第29練 “空間角”攻略

1、第29練“空間角”攻略題型分析高考展望空間角包括異面直線所成的角，線面角以及二面角，在高考中頻繁出現(xiàn)，也是高考立體幾何題目中的難點所在.掌握好本節(jié)內(nèi)容，首先要理解這些角的概念，其次要弄清這些角的范圍，最后再求解這些角.在未來的高考中，空間角將是高考考查的重點，借助向量求空間角，將是解決這類題目的主要方法.體驗高考1.(2015浙江)如圖，已知ABC，D是AB的中點，沿直線CD將ACD翻折成ACD，所成二面角ACDB的平面角為，則()A.ADB B.ADB C.ACB D.ACB答案B解析極限思想：若，則ACB，排除D；若0，如圖，則ADB，ACB都可以大于0，排除A，C.故選B.2.(2016

2、課標全國乙)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq f(r(3),2) B.eq f(r(2),2) C.eq f(r(3),3) D.eq f(1,3)答案A解析如圖所示，設平面CB1D1平面ABCDm1，平面CB1D1，則m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m，同理可得CD1n.故m、n所成角的大小與B1D1、CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.而B1CB1D1CD1(均為面對角線)，因此CD1B1eq f(,3)

3、，得sinCD1B1eq f(r(3),2)，故選A.3.(2016課標全國丙)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點.(1)證明MN平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.(1)證明由已知得AMeq f(2,3)AD2.取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC的中點知TNBC，TNeq f(1,2)BC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因為AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解取BC的中點E，連接AE.由ABAC得AEBC

4、，從而AEAD，AEeq r(AB2BE2)eq r(AB2blc(rc)(avs4alco1(f(BC,2)2)eq r(5).以A為坐標原點，eq o(AE,sup6()的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.由題意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(eq r(5)，2，0)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)，1，2)，eq o(PM,sup6()(0，2，4)，eq o(PN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)，1，2)，eq o(AN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(

5、r(5),2)，1，2).設n(x，y，z)為平面PMN的法向量，則eq blcrc (avs4alco1(no(PM,sup6()0，,no(PN,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2y4z0，,f(r(5),2)xy2z0，)可取n(0，2，1).于是|cosn，eq o(AN,sup6()|eq f(|no(AN,sup6()|,|n|o(AN,sup6()|)eq f(8r(5),25).所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為eq f(8r(5),25).高考必會題型題型一異面直線所成的角例1在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求異面直線BA1與A

6、C所成的角.解方法一因為eq o(BA1,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(BB1,sup6()，eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，所以eq o(BA1,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(BA,sup6()eq o(BB1,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BB1,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BB1,sup6()eq o(BC,su

7、p6().因為ABBC，BB1AB，BB1BC，所以eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()0，eq o(BB1,sup6()eq o(AB,sup6()0，eq o(BB1,sup6()eq o(BC,sup6()0，eq o(BA,sup6()eq o(AB,sup6()a2.所以eq o(BA1,sup6()eq o(AC,sup6()a2.又eq o(BA1,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(BA1,sup6()|eq o(AC,sup6()|coseq o(BA1,sup6()，eq o(AC,sup6()，coseq o(BA1,sup6()，eq

8、 o(AC,sup6()eq f(a2,r(2)ar(2)a)eq f(1,2).所以eq o(BA1,sup6()，eq o(AC,sup6()120，所以異面直線BA1與AC所成的角為60.方法二連接A1C1，BC1，則由條件可知A1C1AC，從而BA1與AC所成的角即為BA1與A1C1所成的角，由于該幾何體為邊長為a的正方體，于是A1BC1為正三角形，BA1C160，從而所求異面直線BA1與AC所成的角為60.方法三由于該幾何體為正方體，所以DA，DC，DD1兩兩垂直且長度均為a，于是以D為坐標原點，eq o(DA,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(DD1,sup6(

9、)分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，于是有A(a，0，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，B(a，a，0)，從而eq o(AC,sup6()(a，a，0)，eq o(BA1,sup6()(0，a，a)，且|eq o(AC,sup6()|eq o(BA1,sup6()|eq r(2)a，eq o(AC,sup6()eq o(BA1,sup6()a2，所以coseq o(AC,sup6()，eq o(BA1,sup6()eq f(a2,r(2)ar(2)a)eq f(1,2)，即eq o(AC,sup6()，eq o(BA1,sup6()120，所以所求異面直線BA1

10、與AC所成的角為60.點評(1)異面直線所成的角的范圍是(0，eq f(,2).求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決.具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上；證明作出的角即為所求的角；利用三角形來求角.(2)如果題目條件易建立空間坐標系，可以借助空間向量來求異面直線所成角：設異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角滿足cos |cosm1，m2|.變式訓練1(2015浙江)如圖，三棱錐ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，點M，N分別是AD，B

11、C的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是_.答案eq f(7,8)解析如圖所示，連接DN，取線段DN的中點K，連接MK，CK.M為AD的中點，MKAN，KMC為異面直線AN，CM所成的角.ABACBDCD3，ADBC2，N為BC的中點，由勾股定理求得ANDNCM2eq r(2)，MKeq f(1,2)ANeq r(2).在RtCKN中，CKeq r(r(2)212)eq r(3).在CKM中，由余弦定理，得cosKMCeq f(r(2)22r(2)2r(3)2,2r(2)2r(2)eq f(7,8).題型二直線與平面所成的角例2如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，ABCD，AC

12、BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點.(1)證明：PEBC；(2)若APBADB60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.(1)證明以H為原點，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標系如圖，則A(1，0，0)，B(0，1，0)，設C(m，0，0)，P(0，0，n)(m0)，則D(0，m，0)，E(eq f(1,2)，eq f(m,2)，0).可得eq o(PE,sup6()(eq f(1,2)，eq f(m,2)，n)，eq o(BC,sup6()(m，1，0).因為eq o(PE,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(m,2)eq

13、 f(m,2)00，所以PEBC.(2)解由已知條件可得meq f(r(3),3)，n1，故C(eq f(r(3),3)，0，0)，D(0，eq f(r(3),3)，0)，E(eq f(1,2)，eq f(r(3),6)，0)，P(0，0，1)，設n(x，y，z)為平面PEH的法向量，則eq blcrc (avs4alco1(no(HE,sup6()0，,no(HP,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)xf(r(3),6)y0，,z0，)因此可以取n(1，eq r(3)，0)，又eq o(PA,sup6()(1，0，1)，所以|coseq o(PA,sup6

14、()，n|eq f(r(2),4)，所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為eq f(r(2),4).點評(1)求直線l與平面所成的角，先確定l在上的射影，在l上取點作的垂線，或觀察原圖中是否存在這樣的線，或是否存在過l上一點與垂直的面.(2)找到線面角、作出說明，并通過解三角形求之.(3)利用向量求線面角，設直線l的方向向量和平面的法向量分別為m和n，則直線l與平面所成角滿足sin |cosm，n|，eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2).變式訓練2如圖，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ABBC4，四邊形ABDE是直角梯形，BDAE，BDBA，BDeq f(1

15、,2)AE2，點O、M分別為CE、AB的中點.(1)求證：OD平面ABC；(2)求直線CD和平面ODM所成角的正弦值；(3)能否在EM上找到一點N，使得ON平面ABDE？若能，請指出點N的位置并加以證明；若不能，請說明理由.解以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BD為z軸，建立空間直角坐標系，則C(4，0，0)，A(0，4，0)，D(0，0，2)，E(0，4，4)，O(2，2，2)，M(0，2，0).(1)證明平面ABC的法向量n1(0，0，1)，eq o(DO,sup6()(2，2，0)，eq o(DO,sup6()n10，OD平面ABC.(2)解設平面ODM的法向量為n2，直線CD與平面O

16、DM所成角為，eq o(DO,sup6()(2，2，0)，eq o(DM,sup6()(0，2，2)，n2(1，1，1)，eq o(CD,sup6()(4，0，2)，sin eq f(o(CD,sup6()n2,|o(CD,sup6()|n2|)eq f(r(15),5).(3)解設EM上一點N滿足eq o(BN,sup6()eq o(BM,sup6()(1)eq o(BE,sup6()(0，42，44)，平面ABDE的法向量n3(1，0，0)，eq o(ON,sup6()eq o(BN,sup6()eq o(BO,sup6()(2，22，24)，不存在使n3eq o(ON,sup6()，不存

17、在滿足題意的點N.題型三二面角例3(2016浙江)如圖，在三棱臺ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求證：BF平面ACFD；(2)求二面角BADF的平面角的余弦值.(1)證明延長AD，BE，CF相交于一點K，如圖所示.圖因為平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCFE，因此BFAC.又因為EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BFCK，且CKACC，所以BF平面ACFD.(2)解方法一如圖所示，過點F作FQAK于Q，連接BQ.因為BF平面ACFD，所以BFAK，則AK平面BQF，所以BQA

18、K.所以BQF是二面角BADF的平面角.在RtACK中，AC3，CK2，得FQeq f(3r(13),13).在RtBQF中，F(xiàn)Qeq f(3r(13),13)，BFeq r(3)，得cosBQFeq f(r(3),4).所以二面角BADF的平面角的余弦值為eq f(r(3),4).方法二如圖所示，延長AD，BE，CF相交于一點K，則BCK為等邊三角形.圖取BC的中點O，連接KO，則KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC.以點O為原點，分別以射線OB，OK的方向為x軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系Oxyz.由題意得B(1，0，0)，C(1，0，0)，K(0，0，eq r(3

19、)，A(1，3，0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，f(r(3),2)，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，f(r(3),2).因此，eq o(AC,sup6()(0，3，0)，eq o(AK,sup6()(1，3，eq r(3)，eq o(AB,sup6()(2，3，0).設平面ACK的法向量為m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量為n(x2，y2，z2).由eq blcrc (avs4alco1(o(AC,sup6()m0，,o(AK,sup6()m0，)得eq blcrc (avs4alco1(3y10，,x13y1r(3)z

20、10，)取m(eq r(3)，0，1)；由eq blcrc (avs4alco1(o(AB,sup6()n0，,o(AK,sup6()n0，)得eq blcrc (avs4alco1(2x23y20，,x23y2r(3)z20，)取n(3，2，eq r(3)，于是，cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(r(3),4).所以二面角BADF的平面角的余弦值為eq f(r(3),4).點評(1)二面角的范圍是(0，解題時要注意圖形的位置和題目的要求.作二面角的平面角常有三種方法.棱上一點雙垂線法：在棱上任取一點，過這點在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；面

21、上一點三垂線法：自二面角的一個面上一點向另一個面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(即斜足)，斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；空間一點垂面法：自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角.(2)用向量法求二面角的大小如圖(1)，AB、CD是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小eq o(AB,sup6()，eq o(CD,sup6().如圖(2)(3)，n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos cosn1，n2或cosn1，n2.變式訓練3如圖，長方體ABCDA1B1C1D1

22、中，AA1AD1，AB2，點E是C1D1的中點.(1)求證：DE平面BCE；(2)求二面角AEBC的大小.(1)證明建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0，0，0)，E(0，1，1)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，eq o(DE,sup6()(0，1，1)，eq o(BE,sup6()(1，1，1)，eq o(BC,sup6()(1，0，0).因為eq o(DE,sup6()eq o(BE,sup6()0，eq o(DE,sup6()eq o(BC,sup6()0，所以eq o(DE,sup6()eq o(BE,sup6()，eq o(DE,sup6()eq o(BC,sup6().則D

23、EBE，DEBC.因為BE平面BCE，BC平面BCE，BEBCB，所以DE平面BCE.(2)解設平面AEB的法向量為n(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(no(AB,sup6()0，,no(BE,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(y0，,xyz0.)所以平面AEB的法向量為n(1，0，1)，因為DE平面BCE，所以eq o(DE,sup6()就是平面BCE的法向量.因為cosn，eq o(DE,sup6()eq f(no(DE,sup6(),|n|o(DE,sup6()|)eq f(1,2)，由圖形可得二面角AEBC的大小為120.高考題型精練1

24、.在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B與B1C所在直線所成角的大小是()A.30 B.45 C.60 D.90答案C解析作A1BD1C，連接B1D1，易證B1CD1就是A1B與B1C所在直線所成角，由于B1CD1是等邊三角形，因此B1CD160，故選C.2.在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B與平面BB1D1D所成的角的大小是()A.90 B.30 C.45 D.60答案B解析連接A1C1B1D1O，A1O平面BB1D1D，A1B與平面BB1D1D所成的角為A1BO，A1Oeq f(1,2)A1B，A1BO30，A1B與平面BB1D1D所成的角的大小是30.3.如圖所示，將等腰直角

25、ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，此時BAC60，那么這個二面角大小是()A.90 B.60 C.45 D.30答案A解析連接BC，則ABC為等邊三角形，設ADa，則BDDCa，BCACeq r(2)a，所以BDC90，故選A.4.已知正三棱錐SABC中，E是側(cè)棱SC的中點，且SABE，則SB與底面ABC所成角的余弦值為()A.eq f(r(6),3) B.eq f(r(3),3) C.eq f(r(2),3) D.eq f(r(3),6)答案A解析如圖，在正三棱錐SABC中，作SO平面ABC，連接OA，OB，則O是ABC的中心，OABC，由此可得SABC，又SABE，所以SA平面SB

26、C.故正三棱錐SABC的各側(cè)面是全等的等腰直角三角形.方法一由上述分析知cosSBAcosABOcosSBO，即cos 45cos 30cosSBO，所以cos SBOeq f(r(6),3)，故選A.方法二因為SO平面ABC，所以SB與平面ABC所成的角為SBO，令AB2，則OBeq f(2r(3),3)，SBeq r(2)，所以cos SBOeq f(OB,SB)eq f(f(2r(3),3),r(2)eq f(r(6),3)，故選A.5.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、B1C1的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于()A.45 B

27、.60 C.90 D.120答案B解析如圖，連接A1B，BC1，A1C1，則A1BBC1A1C1，因為EFA1B，GHBC1，所以異面直線EF與GH所成的角等于60，故選B.6.正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABBC，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()A.eq f(2,3) B.eq f(r(3),3) C.eq f(r(2),3) D.eq f(1,3)答案A解析設ACBDO，連接OC1，過C點作CHOC1于H，連接DH.BDAC，BDAA1，BD平面ACC1A1，BDCH，又CHOC1，CH平面C1BD，則CDH為CD與平面BDC1所成的角，設AA12AB2，O

28、C1eq r(CCoal(2,1)OC2) eq r(4f(r(2),2)2)eq f(3r(2),2)，由等面積法有OC1CHOCCC1，代入算出CHeq f(2,3)，sin CDHeq f(CH,CD)eq f(2,3)，故選A.7.直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，2AB2ACAA1，則異面直線BA1與B1C所成角的余弦值等于_.答案eq f(r(30),10)解析以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，因為2AB2ACAA12，則A1(0，0，2)，B(1，0，0)，B1(1，0，2)，C(0，1，0)，eq o(BA1,sup6()(1，0，

29、2)，eq o(B1C,sup6()(1，1，2)，設異面直線BA1與B1C所成的角為，則cos eq f(|o(BA1,sup6()o(B1C,sup6()|,|o(BA1,sup6()|o(B1C,sup6()|)eq f(3,r(5)r(6)eq f(r(30),10).8.如圖所示，在四棱錐PABCD中，已知PA底面ABCD，PA1，底面ABCD是正方形，PC與底面ABCD所成角的大小為eq f(,6)，則該四棱錐的體積是_.答案eq f(1,2)解析PA底面ABCD，底面ABCD是正方形，PC與底面ABCD所成角的大小為eq f(,6)，RtPAC中，PA1，PCAeq f(,6)，

30、ACeq r(3)，底面ABCD是正方形，ABeq f(r(6),2)，Veq f(1,3)eq f(r(6),2)eq f(r(6),2)1eq f(1,2).9.以等腰直角三角形ABC斜邊BC上的高AD為折痕，使ABD和ACD折成互相垂直的兩個平面，則BAC_.答案60解析不妨設ABC的斜邊為2，則ADBDCD1，ACABeq r(2)，因為ABD和ACD折成互相垂直的兩個平面，且ADBD，ADDC，所以BDC是二面角BADC的平面角，即BDDC，則BCeq r(2)，所以折疊后的ABC為等邊三角形，即BAC60.10.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BCeq r(3

31、)，D、E分別是AC1和BB1的中點，則直線DE與平面BB1C1C所成的角為_.答案eq f(,6)解析取AC中點F，連接BF，DF，則DFBE，DFBE，DEBF，BF與平面BB1C1C所成的角為所求.AB1，BCeq r(3)，AC2，ABBC，又ABBB1，AB平面BB1C1C.作GFAB交BC于G，則GF平面BB1C1C，F(xiàn)BG為直線BF與平面BB1C1C所成的角，由條件知BGeq f(1,2)BCeq f(r(3),2)，GFeq f(1,2)ABeq f(1,2)，tanFBGeq f(GF,BG)eq f(r(3),3)，F(xiàn)BGeq f(,6).11.(2016四川)如圖，在四棱

32、錐PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDeq f(1,2)AD.E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90.(1)在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM平面PBE，并說明理由；(2)若二面角PCDA的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點M(M平面PAB)，點M即為所求的一個點.理由如下：由已知，BCED，且BCED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.從而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE.所以CM平面PBE.(說明：延長AP至點N，使得APPN，則所找的點可以是直線MN上任意一點)(2)方

33、法一由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.從而CDPD.所以PDA是二面角PCDA的平面角.所以PDA45.設BC1，則在RtPAD中，PAAD2.過點A作AHCE，交CE的延長線于點H，連接PH.易知PA平面ABCD，從而PACE.且PAAHA，于是CE平面PAH.又CE平面PCE，所以平面PCE平面PAH.過A作AQPH于Q，則AQ平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH45，AE1，所以AHeq f(r(2),2).在RtPAH中，PHeq r(PA2AH2)eq f(3r(2),2).所以sinAPHeq f(AH,PH)eq f(1,3).方法二由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，于是CDPD.從而PDA是二面角PCDA的平面角，所以PDA45.由PAB90，且PA與CD所成的角為90，可得PA平面ABCD.設BC1，則在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A為原點，以eq o(AD,sup6()，eq o(AP,sup6()的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0，0，