15函數(shù)模型及其應(yīng)用

1、第 PAGE 5 頁 共 NUMPAGES 5 頁2013屆高三理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)15函數(shù)模型及其應(yīng)用【考點(diǎn)解讀】函數(shù)模型及其應(yīng)用：B級(jí)【復(fù)習(xí)目標(biāo)】了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、簡(jiǎn)單分段函數(shù)等函數(shù)模型的意義，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用?；顒?dòng)一：基礎(chǔ)知識(shí)1常用的函數(shù)模型有： ，二次函數(shù)， ， ， ，冪函數(shù)。2指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度的比較：一般的，在區(qū)間上，盡管函數(shù)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次上”。隨著x的增大，的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長(zhǎng)速度，而的增長(zhǎng)速度會(huì)越來越慢，因此，總會(huì)存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，有。3函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例的基本題型：（1）給定函數(shù)模型解決實(shí)

2、際問題；（2）建立確定性的函數(shù)模型解決問題；（3）建立擬合函數(shù)模型解決問題4函數(shù)建模的基本程序收集數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型求函數(shù)模型檢驗(yàn)用函數(shù)模型解釋實(shí)際問題。5解應(yīng)用題的一般程序（1）讀：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ).（2）建：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進(jìn)行建“?！笔顷P(guān)鍵的一關(guān).（3）解：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論.一要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實(shí)際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程.（4）答：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原給實(shí)際問題的結(jié)果.6解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵兩點(diǎn)：（一）認(rèn)真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題的

3、實(shí)際背景，然后進(jìn)行科學(xué)的抽象、概括，將實(shí)際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；（二）要合理選取參變量，設(shè)定變?cè)?，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)、方程模型，最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問題獲解?；顒?dòng)二：基礎(chǔ)練習(xí)1某商場(chǎng)對(duì)顧客實(shí)行購物優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)定一次購物付款總額：如果不超過200元，則不予優(yōu)惠，如果超過200元但不超過500元，則按標(biāo)價(jià)給予9折優(yōu)惠，如果超過500元，其500元按條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予7折優(yōu)惠.某人兩次去購物，分別付款168元和423元，假設(shè)他一次購買上述同樣的商品，則應(yīng)付款 元。2某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個(gè)分裂為兩

4、個(gè)），經(jīng)過3小時(shí)，這種細(xì)菌由1個(gè)可繁殖成 512 個(gè)。3圓柱軸截面的周長(zhǎng)L為定值，那么圓柱體積的最大值是 () 。4將長(zhǎng)度為1的鐵絲分成兩段，分別圍成一個(gè)正方形和一個(gè)圓形，要使正方形與圓的面積之和最小，正方形的周長(zhǎng)應(yīng)為 。5如圖，以墻為一邊，用籬笆圍成長(zhǎng)方形的場(chǎng)地，并用平行于一邊的籬笆隔開，已知籬笆的總長(zhǎng)為定值L，這塊場(chǎng)地的長(zhǎng)為時(shí)，場(chǎng)地面積最大，最大面積是_.活動(dòng)三：典型例題例1 通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化，講課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增；中間有一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，設(shè)f(t)表示學(xué)生注意力隨時(shí)間t（分鐘）的

5、變化規(guī)律（f(t)越大，表明學(xué)生注意力越集中），經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析得知： （1）講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？ （2）講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？ （3）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講授完這道題目？解：（1）當(dāng)，是增函數(shù)，且；，是減函數(shù)，且.所以，講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘.（2），故講課開始25分鐘時(shí)，學(xué)生的注意力比講課開始后5分鐘更集中.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，（3）令，則學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時(shí)間28.574=24.572

6、4，所以，經(jīng)過適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達(dá)到所需要的狀態(tài)下講授完這道題.例2 某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為G（x）萬元，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)100臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入R(x) 萬元滿足R(x)=.假定該產(chǎn)品銷售平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律.（1）要使工廠有盈利，產(chǎn)品x應(yīng)控制在什么范圍？（2）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)贏利最大？并求此時(shí)每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為多少？解：依題意，G（x)=x+2,設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為f(x),則（1）要使工廠有贏利，則有f(x)0.當(dāng)0 x5時(shí)，有0.4x2+3.2x2.

7、80,得1x7,15時(shí)，有8.2x0,得x8.2,5x8.2.綜上，要使工廠贏利，應(yīng)滿足1x5時(shí)f(x)8.25=3.2所以當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，贏利最大，此時(shí)只須求x=4時(shí)，每臺(tái)產(chǎn)品售價(jià)為=2.4（萬元/百臺(tái)）=240（元/臺(tái)）.例3 某外商到一開放區(qū)投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費(fèi)12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元.（1）若扣除投資及各種經(jīng)費(fèi)，則從第幾年開始獲取純利潤(rùn)？（2）若干年后，外商為開發(fā)新項(xiàng)目，有兩種處理方案：年平均利潤(rùn)最大時(shí)以48萬美元出售該廠；純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以16萬元出售該廠，問哪種方案最合算？解：由題意知，每年的經(jīng)費(fèi)是以12為

8、首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)純利潤(rùn)與年數(shù)的關(guān)系為 （1）純利潤(rùn)就是要求 解得 知從第三年開始獲利 （2）年平均利潤(rùn)當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)取等號(hào). 故此方案先獲利616+48=144（萬美元），此時(shí)n=6， 當(dāng)n=10時(shí)，. 故第種方案共獲利128+16=144（萬美元），故比較兩種方案，獲利都是144萬美元。但第種方案只需6年，而第種方案需10年，故選擇第方案. 活動(dòng)四：自主檢測(cè)1某學(xué)校為了教職工的住房問題，計(jì)劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓.已知土地的征用費(fèi)為2388元/m2，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的2.5倍.經(jīng)工程技術(shù)人員核算，第一、二層的建筑費(fèi)用相同都為

9、445元/m2，以后每增高一層，其建筑費(fèi)用就增加30元/m2.試設(shè)計(jì)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)，使總費(fèi)用最少，并求出其最少費(fèi)用.（總費(fèi)用為建筑費(fèi)用和征地費(fèi)用之和）.解：設(shè)樓高為n層，總費(fèi)用為y元，則征地面積為，征地費(fèi)用為元，樓層建筑費(fèi)用為：，從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，總費(fèi)用y最少故當(dāng)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)為20層時(shí)，最少總費(fèi)用為1000A元。2（2004年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試題（北京卷理工19）某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元，該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100個(gè)時(shí)，每多訂購一個(gè)，訂購的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元.（1）當(dāng)

10、一次訂購量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元？（2）設(shè)一次訂購量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元，寫出函數(shù)的表達(dá)式；（3）當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是多少元？如果訂購1000個(gè)，利潤(rùn)又是多少元？（工廠售出一個(gè)零件的利潤(rùn)實(shí)際出廠單價(jià)成本）解：()設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元，一次訂購量為x0個(gè)，則 因此，當(dāng)一次訂購量為550個(gè)時(shí)，每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元。()當(dāng)0 x100時(shí)，P=60當(dāng)100 x550時(shí)，當(dāng)x550時(shí)，P=51所以()設(shè)銷售商的一次訂購量為x個(gè)時(shí)，工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，則當(dāng)x=500時(shí)，L=6000；當(dāng)x=1000時(shí)，L=11000

11、因此，當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是6000元；如果訂購1000個(gè)，利潤(rùn)是11000元。3隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員人（140420，且為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利萬元.據(jù)評(píng)估，在經(jīng)營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利萬元，但公司需付下崗職員每人每年萬元的生活費(fèi)，并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的，為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？解 設(shè)裁員人，可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為萬元,則 =依題意 0.又140420, 70210.(1)當(dāng)0,即70,即140210時(shí)， , 取到最大值; 綜上所述，當(dāng)70140時(shí)，應(yīng)裁員人；當(dāng)140210時(shí)，應(yīng)裁員人.4甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（千米時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元. 把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米時(shí)）的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域； 為了使全程運(yùn)輸成