大學(xué)物理：熱學(xué) 第17章 氣體動理論 01,Molecular Phys.

1、PAGE 第3篇 熱 學(xué) (Heat)第17章 溫度和氣體動理論 (Temperature Kinetic Theory of Gases) 1 引言一.熱學(xué)研究對象及內(nèi)容1.對象：熱力學(xué)系統(tǒng)由大量分子或原子組成系統(tǒng)外的物體稱外界2.內(nèi)容：與熱現(xiàn)象有關(guān)的性質(zhì)和規(guī)律熱現(xiàn)象：物質(zhì)中大量分子熱運動的集體 表現(xiàn)。二.熱學(xué)的研究方法1.宏觀描述方法熱力學(xué)方法由實驗確定的基本規(guī)律，研究熱現(xiàn)象的宏觀特性和規(guī)律。對系統(tǒng)進(jìn)行整體描述。2.微觀描述方法統(tǒng)計物理方法從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，用統(tǒng)計平均的方法，研究熱現(xiàn)象及規(guī)律的微觀本質(zhì)。 兩種方法相輔相成。三.幾個概念1.宏觀量與微觀量(1)宏觀量 (macroscop

2、ic quantity)表征系統(tǒng)整體性質(zhì)的物理量可直接測量(如體積、壓強)廣延量：有累加性(如質(zhì)量、能量) 強度量：無累加性(如溫度、壓強)(2)微觀量(microscopic quantity)描寫單個微觀粒子運動狀態(tài)的物理量一般不能直接測量(如分子質(zhì)量、能量)宏觀量是微觀量的統(tǒng)計平均值 (如壓強和大量分子撞擊器壁時動量變化率的統(tǒng)計平均值有關(guān))2.平衡態(tài)(equilibrium state)在不受外界影響的條件下，系統(tǒng)宏觀性質(zhì) 不隨時間改變的狀態(tài)(熱動平衡)。平衡態(tài)理想概念、理想模型（是一定條件下對實際情況的概括和抽象）。假如有人說：“系統(tǒng)宏觀性質(zhì)不隨時間改變的狀態(tài)叫平衡態(tài)”，對嗎？和100

3、C熱源接觸和20C熱源接觸棒上有穩(wěn)定的溫度分布思考：金屬棒算不算處于平衡態(tài)？沒有外界影響：系統(tǒng)和外界間沒有任何形式的能量交換（不做功、不傳熱）。3.狀態(tài)參量描述系統(tǒng)平衡態(tài)的宏觀參量常用：P、V、T平衡態(tài)下狀態(tài)參量不隨時間變化在PV圖上一個點表示一個平衡態(tài)。4.狀態(tài)方程(equation of state)狀態(tài)參量之間的函數(shù)關(guān)系 f (P,V,T) = 0PV = RTM理想氣體狀態(tài)方程 P = nkT (n分子數(shù)密度)k = = 1.3810-23 J/KRNA玻耳茲曼常數(shù)2溫度(Temperature) (自學(xué))一.熱平衡態(tài)兩系統(tǒng)熱接觸下，相當(dāng)長時間后達(dá)到的共 同平衡態(tài)。二.溫度1.溫度：處

4、于熱平衡的系統(tǒng)所具有的共同 的宏觀性質(zhì)，描述此性質(zhì)的物理量稱溫度。溫度是描寫系統(tǒng)熱平衡態(tài)的物理量，一切處于同一熱平衡態(tài)的系統(tǒng)有相同的溫度。 2.熱平衡定律(熱力學(xué)第零定律)實驗表明：若A與C熱平衡 B與C熱平衡 則A與B熱平衡。即分別與第三個系統(tǒng)處于同一熱平衡態(tài)的 兩個系統(tǒng)必然也處于熱平衡。由此定義溫度（處于同一熱平衡態(tài)下的熱 力學(xué)系統(tǒng)所具有的共同的宏觀性質(zhì)）。溫度取決于系統(tǒng)內(nèi)部的熱運動狀態(tài)。 三.溫標(biāo)(temperature scales)（自己看）溫度的數(shù)值表示法稱溫標(biāo)。 1.理想氣體溫標(biāo) 0.5K范圍適用(低壓3He氣)T3T= PVP3V3對一定質(zhì)量m ，定義水的三相點（1954年國際

5、規(guī)定） T3 273.16 KT = 273.16 ( )PVP3V3 只要測定了某狀態(tài)的P、V值，即可得該 狀態(tài)下的T值。 2.熱力學(xué)溫標(biāo)（絕對溫標(biāo)、開爾文溫標(biāo)）建立在熱力學(xué)第二定律的基礎(chǔ)上（不依賴于測溫物質(zhì)和測溫屬性）。國際上規(guī)定為最基本是溫標(biāo)。在理想氣體溫標(biāo)有效范圍內(nèi)，兩種溫標(biāo)一 致。 T：K (Kelvin) 熱力學(xué)溫度、絕對溫度 T3 = 273.16K 3.攝氏溫標(biāo)1960年國際計量大會規(guī)定：攝氏溫標(biāo)由熱力學(xué)溫標(biāo)導(dǎo)出， t = (T - 273.15) 攝氏零度是273.15K。 4.華氏溫標(biāo) tF = 32 + (9/5)t F水 冰點：tF = 32 F 沸點：tF = 212

6、 F 以下為 氣體動理論 部分 討論：氣體的壓強與溫度氣體分子按速率和按能量的分布 實際氣體的狀態(tài)方程輸運過程 特別注意：統(tǒng)計平均的方法及統(tǒng)計性的規(guī)律 3 理想氣體的壓強和溫度一.理想氣體的微觀模型忽略分子大小(看作質(zhì)點) 分子線度 6， (還有內(nèi)部相對運動) 2.氣體分子的自由度考慮：剛性分子，無內(nèi)部相對運動 (低溫、常溫下如此)(1)單原子分子(He、 Ne、 Ar、) i = t = 3，(2)雙原子分子(O2、H2、 CO、) 雙原子分子示意圖 t = 3 r = 2 繞軸轉(zhuǎn)動自由度無意義 i = t + r = 5(3)多原子分子(H2O、 NH3、 CO2、) i = t + r

7、= 6 二.能量均分定理 (Principle of the equipartition of energy) 1.能量均分定理 t = kT32平動情形 由平均平動動能 平動自由度 t = 312kT每個平動自由度的平均動能都相等，為 由于分子的無規(guī)則碰撞，能量不僅在分子 間交換，還可在平動自由度間轉(zhuǎn)移，沒有 哪個平動自由度占有優(yōu)勢。 分子有轉(zhuǎn)動的情形 無規(guī)則碰撞過程中，能量可在平動、轉(zhuǎn)動 間及轉(zhuǎn)動自由度間交換，沒有哪個自由度 特殊。 各自由度的平均動能都是相等的 能量均分定理(Principle of the equipartition of energy) ：在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分

8、子每個自 由度所對應(yīng)的平均動能都等于12kT 2.分子的平均動能 k = kTi2 單原子分子 k = (3/2) kT雙原子分子(剛性) k = (5/2) kT多原子分子(剛性) k = 3kT三.理想氣體內(nèi)能1.內(nèi)能：內(nèi)能(Internal energy)是氣體內(nèi)所有 分子的動能、分子內(nèi)的勢能與分子間的相 互作用勢能的總和。 2.理想氣體內(nèi)能對理想氣體，分子間的勢能為零對剛性分子，分子內(nèi)的勢能為零 理想氣體內(nèi)能(Internal energy of ideal gases) 是其所有分子的平均動能之和 E = N k = N( ) kT i2若氣體有N個分子，則內(nèi)能 k =RNA= (摩

9、爾數(shù))NNA， 因 E = RTi2 有理想氣體內(nèi)能 理想氣體內(nèi)能只是溫度的函數(shù)，且和熱力 學(xué)溫度T成正比。 5 麥克斯韋速率分布律分子的速度分布、速率分布有無規(guī)律? 分子數(shù)多； 分子速度的大小、方向千變?nèi)f化單個無規(guī)則，整體有規(guī)律(統(tǒng)計規(guī)律)開演時刻 to 實例用圖 進(jìn)場人數(shù)統(tǒng)計：每5分鐘間隔 內(nèi)進(jìn)電影院的 人數(shù)。 實例：人口情況統(tǒng)計一.速率分布函數(shù)1.統(tǒng)計方法把速率分成很多相等的間隔統(tǒng)計每間隔內(nèi)的分子數(shù)N +o 速率間隔 NN ： + 間隔內(nèi)分子數(shù)與分子總數(shù)N之比 NN ：某 處單位速率間隔內(nèi)分子數(shù)與NddN 總數(shù)之比。 ：某 處單位速率間隔內(nèi)分子數(shù)與 總數(shù)之比2.速率分布函數(shù) 速率分布函數(shù)

10、(Function of distribution of f () = ( )1NdNd speeds) 二.麥克斯韋速率分布律1859年Maxwell用概率論 證明了理想氣體分子按速 度的分布是有規(guī)律的。 速率分布律：分子數(shù)按速度大小的分布。 1.麥克斯韋速率分布函數(shù) f () = 4( )3/22em2kT- m22kT理想氣體；平衡態(tài)；無外場 麥克斯韋速率分布曲線 f ()T op 1 2 d麥克斯韋速率分布曲線 2.討論dNNd(1)速率范圍： 0 (2)豎線意義： f () 即 dNN 21 f ()d窄面積意義: f()d 即 寬面積意義: 即12范圍內(nèi)分子數(shù)與總數(shù)之比0 f ()

11、d = 1(3)曲線下面積 稱歸一化條件(nomalizing condition) (4)如溫度升高，曲線如何畫?(請自己畫) (5)麥克斯韋速率分布規(guī)律是統(tǒng)計規(guī)律，只適 用于大量分子組成的集體。麥克斯韋速率分布的實驗驗證(見教材 B版17.10，P24)三.三種速率df()d = 0p最概然速率 對速率分布曲線求極值 可得最概然速率(最可幾速率) (the most probable speed) p =2kTm2RT= 1.41RT p 意義：(請自己敘述)思考如T p、f()曲線及f(p)如何變？ 為什么? 如m f()曲線如何變? = 0 dN = 0 Nf()d =1N1 + 2N

12、2 + + nNnN= iNiNN1N1 2.平均速率 = 0 f ()d 再由麥克斯韋速率分布函數(shù)可得 1.60RT =8kTm8RT= 平均速率(average speed)練習(xí)：請寫出12間分子的平均速率的表 示式。 3.方均根速率2 = 0 2 f ()d同理 再由麥克斯韋速率分布函數(shù)可得 方均根速率(root-mean-square speed)2 =3kTm3RT= 1.73RT 練習(xí)：請寫出12間分子的方均根速率的 表示式。 4.幾點討論(1)三種速率數(shù)值不同2p E1)上的粒子數(shù)之比為= exp N2N1-(E2-E1)kT 例 H原子基態(tài)能級 E1 = -13.6 eV 第一

13、激發(fā)態(tài) E2 = -3.4 eV 在室溫下 T=300K，有N2N1 10-170 即處于基態(tài)的原子最多，處于激發(fā)態(tài)的極 少。二.重力場中理想氣體分子按位置的分布 重力作用下，分子位置分布下密上疏，不 再均勻。 1.位置區(qū)間中的分子數(shù)分析位置在 x x + dx， y y + dy， z z + dz， 中的分子數(shù)(速度不究) dNr 位置區(qū)間：dxdydz 是三維坐標(biāo)空間中的一個體積元。 位置區(qū)間dxdydz中的分子數(shù)dNr可由dNr = C - e dxdydz -EkkTedxdydz-EpkT對dN, r中的各速度分量積分而得到dNr = Cexp( )dxdydz-EpkT 得出 其

14、中 C = C 積分 2.重力場中的分子數(shù)密度nCexp( )-EpkTdNrdxdydz為分子數(shù)密度n，有 重力場中 Ep = mgznCexp( )-mgzkT 于是 可見C即z = 0處的分子數(shù)密度n0 平衡態(tài)T下分子數(shù)密度隨高度變化的公式nn0exp( )-mgzkT 3.恒溫氣壓公式因為 P = nkT pp0exp( )-mgzkT p0exp( )-gzRT 有恒溫氣壓公式 其中 P0 = n0kT是高度為零處的壓強高度每升高10米，大氣壓強約降133Pa (1mmHg) ，此為高度計的原理。7 實際氣體等溫線(自學(xué))(教材B版P27)patm-3 (10L/mol)要求搞清：圖

15、中的四種狀態(tài)臨界點臨界態(tài)臨界等溫線臨界溫度飽和蒸汽壓 CO2的等溫線)(mV實際氣體等溫線(isotherm of real gases) 8 范德瓦爾斯方程理想氣體微觀模型： 分子無大小 分子間無作用力(碰撞時除外) 理想氣體只是在T不太低、P不太大條件下對實際氣體的近似。對實際氣體，則需考慮分子大小和分子間 作用力 二因素 fodr0r 斥力引力10-9m 分子間的作用力一.分子間的相互作用 1.實際氣體分子間的作用力 r = d時 f (斥力) d分子的有效直徑 d 10-10米 r 0 (斥力) r = r0時 f = 0 r0平衡距離 r r0時 f s時 f 0 s分子力的有效作用

16、距離 s d的幾十至幾百倍2.實際氣體分子模型 有引力的剛球模型fodr有引力的剛球模型 分子是直徑為 d 的剛球 r = d時 f (斥力) r d時 f 0 (引力)二.范德瓦爾斯方程在理想氣體狀態(tài)方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)行兩項修正。 1.分子大小引起的修正P =RT一摩爾理想氣體狀態(tài)方程 如何理解體積 : 容器的體積? 氣體的體積? 氣體分子的自由活動的空間? 可壓縮的體積?對實際氣體，考慮分子本身有大小 分子自由活動的空間為 - b b ：反映分子本身體積的改正項P =RT - b狀態(tài)方程應(yīng)修改為 可以證明：b約為1 mol氣體分子本身總體積的4倍b = 4NA43( )3d2 d 10-10

17、 m b 10-6 m3 = 1cm3 2.分子間引力引起的修正分子作用力對壓強的影響 asbcs分子作用球 f合 f合 f合=0 (1)容器中分子所受的引力分子作用球：一以某分子為中心為半徑 畫的球。分子a (在容器中部)：不受力(分子球內(nèi)其他分子對a的引力抵消)分子b、c (在表面層內(nèi))：受指向氣體內(nèi)部 的合力此合力 (分子撞壁動量) (分子對壁的沖力) 此合力效果 指向內(nèi)部的壓強(內(nèi)壓強Pi) (2)內(nèi)壓強Pi 被吸引的表面層內(nèi)的分子數(shù)密度n 施加引力的內(nèi)部分子的數(shù)密度nPi n2 12 Pi =a2 a 反映分子間引力的常數(shù)(3)方程的修正P =RT - b - Pi分子實際作用于器壁

18、的由實驗可測的壓強 3.范德瓦爾斯方程 (Van der Waals eguation)(P + )( - b) = RTa2(1)對1 mol氣體 = ( )VMV = ( ) ，M(P + )( V - b) = RTMaV 2M22M(2)質(zhì)量為M的氣體 實際氣體在相當(dāng)大的壓強范圍內(nèi)更近似遵 守范德瓦爾斯方程(見教材B版P31表)遵守范德瓦爾斯方程的氣體稱范德瓦爾斯 氣體 各種氣體的常數(shù)a、b可由實驗測量三.范德瓦爾斯等溫線 1.范德瓦爾斯等溫線(P + )( - b) = RTa21mol的范氏方程3 - ( b + ) 2 + - = 0 aPabPRTP可改寫為由此方程反映的PV關(guān)

19、系即為范氏等溫v 范德瓦爾斯等溫線 BC段：飽和蒸汽與液 體的共存態(tài)AB段：汽態(tài)BE段：過飽和蒸汽EF段：實際不存在DC段：液態(tài)CF段：過熱液體（云室）（氣泡室）不穩(wěn)定態(tài)線(理論曲線) 范氏等溫線和實際氣體等溫線符合較好 2.過飽和汽、過熱液體(1)過飽和汽(BE段)是不太穩(wěn)定的狀態(tài)，實際中可存在比同溫下飽和汽的摩爾體積(B點)小，密度大、壓強大如有凝結(jié)中心，可迅速凝結(jié)云室：探測粒子徑跡 (2)過熱液體(CF段)是不太穩(wěn)定的狀態(tài)，實際中可存在比同溫下平衡液體(C點)摩爾體積大密度小、壓強小如有汽化中心，將劇烈汽化，壓強突增， 很危險(可引起鍋爐爆炸)。氣泡室：探測粒子徑跡( )k = 0 ,

20、( )k = 0dPdd2Pd23.臨界參量由 可得 k = 3b ,Tk =8a27bRPk =a27b2, a = 32kPk , b = k3 由實驗測得k、Pk a、b 9 氣體分子的平均自由程 氣體分子碰撞，使分子速度有穩(wěn)定分布(平衡態(tài)下)實現(xiàn)能量均分使氣體由非平衡態(tài) 平衡態(tài)討論: 理想氣體 ，平衡態(tài)碰撞頻率 1.定義：一個分子單位時間內(nèi)所受到的平均 碰撞次數(shù)。 2.計算 (1)模型：分子看作是有引力的剛性小球 (有效直徑d) (2)計算設(shè)分子A以平均相對速率u運動，而其他 分子不動；以A的軌跡為軸線，以d為半徑作一圓柱 體，柱體長ut；凡分子中心在柱體內(nèi)的其他分子都將d 碰撞頻率的

21、分析 A靜止 = d2u 與A相碰， 碰撞截面(collision cross-section)： 圓柱體的截面積 = d2 稱分子的碰撞截面。圓柱體體積： d 2ut 柱體內(nèi)分子數(shù)： d 2ut n， (n分子數(shù)密度)碰撞頻率 Z = = d 2u nd 2ut ntu = 2 平均相對速率和平均速率的關(guān)系為 因分子碰撞有各種可能夾角：0180 vvu平均相對速率和平 均速率的關(guān)系 平均而言： = 90 碰撞頻率(collision frequency)：Z = 2 d 2 n 標(biāo)準(zhǔn)狀況下，空氣分子 Z = 6.5109 次/秒 (每秒碰65億次! ) 平均自由程定義：氣體分子在相鄰兩次碰撞

22、間飛行 的平均路程。 =Z 平均自由程(mean free path) =1 2 d 2 n 對理想氣體 P = nkT ， 有 =kT 2 d 2 p TP可見標(biāo)準(zhǔn)狀況下，空氣分子 d = 3.510-10m， = 6.910-8m (約為d的200倍)低壓下， P 一般容器線度(1m)認(rèn)為： 容器線度10 輸運過程討論：非平衡態(tài)問題及其過渡非平衡態(tài)：系統(tǒng)各部分物理性質(zhì)不均勻 (如流速、溫度、密度 不均勻)。輸運過程(遷移過程) (Transport process)： 系統(tǒng)從非平衡態(tài)自發(fā)向平衡態(tài)(物理性質(zhì)均勻)過渡的過程。 一.熱傳導(dǎo)1.熱傳導(dǎo)(thermal conduct)：物體內(nèi)各部

23、分T 不均勻時，內(nèi)能由T高處 T低處的現(xiàn)象。 設(shè)想簡單情形： A、B兩板間有導(dǎo)熱物質(zhì)T由下而上遞減熱量將沿z軸傳遞在z = z0處有一假想的分界面，面積為z0zoxT1BT2 (T1)A- T=T(z)dQdS 熱傳導(dǎo) dS 2.分析dTdz 0(1)遷移原因：T不均勻 溫度梯度 (2)遷移的物理量：內(nèi)能熱運動能量 (遷移內(nèi)能的多少稱熱量)dQ = - k( ) dSdtdT Q = - k(dT/dz)z0dSdtdzz0(3)宏觀規(guī)律實驗表明： Fourier定律 負(fù)號反映熱量總是由T高處T低處。k導(dǎo)熱系數(shù)，由導(dǎo)熱物質(zhì)性質(zhì)及狀態(tài)決 定。一般氣體：k10-310-2 W/mk (4)微觀解釋

24、對氣體：內(nèi)部溫度不均勻，表明內(nèi)部各處分子平均熱運動能量 不同 對穿過dS面的分子 由下上的分子帶有較大的平均能量 由上下的分子帶有較小的平均能量上下分子交換 能量向上凈遷移宏觀上表現(xiàn)為熱傳導(dǎo)k = nm c13由分子運動論可以導(dǎo)出 (c 氣體定容比熱)二.擴散擴散(diffusion)原因：密度 不均勻dM = - D( ) dSdtdzz0d 遷移物理量：質(zhì)量M宏觀規(guī)律： D擴散系數(shù)(單位：m2/s)D = 13微觀解釋：分子由大處向小處凈遷移 可以導(dǎo)出： 三.內(nèi)摩擦內(nèi)摩擦(internal friction)流體有粘滯性(viscosity)流體內(nèi)各部分流速不同時，將發(fā)生內(nèi)摩擦 現(xiàn)象。內(nèi)摩

25、擦力(粘滯力viscous force)：流體內(nèi) 各層之間由于流速不同而引起的相互作用力。 2.分析：設(shè)想簡單情形；A、B兩板間有流體，下板靜止，上板以u0沿x勻速運動，帶動 板間流體沿x向流動平行于板的各層流體流速不同zu0Au = 0Bxu=u(z)z0odSdfdf 內(nèi)摩擦在z0 處有一假想分界面，面積dS 在分界面處 下面的流體層(流速小)對上面的流體層(流速大)產(chǎn)生沿-x向的粘滯力df ； 下面的流體層受到沿+x向的粘滯力df (1)遷移原因：定向速度u不均勻(2)遷移的物理量：定向速度(或定向動量)df = ( ) dSdzdu = - k(dT/dz)z0dSdtz0(3)宏觀規(guī)律： -內(nèi)摩擦系數(shù)(粘滯系數(shù))，與流體性質(zhì) 和狀態(tài)有關(guān)(單位：牛頓秒/米2或 帕秒)。(4)