人教版新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課件--專項(xiàng)突破四　立體幾何解答題

1、專項(xiàng)突破四立體幾何解答題專題四2022高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI突破1空間位置關(guān)系、空間角的向量方法必備知識(shí)精要梳理1.證明線線平行和線線垂直的常用方法(1)證明線線平行:利用平行線的傳遞性;利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換;利用三角形的中位線定理;利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理等.(2)證明線線垂直:利用等腰三角形三線合一的性質(zhì);利用勾股定理;利用線面垂直的性質(zhì)等.2.證明線面平行和線面垂直的常用方法(1)證明線面平行:利用線面平行的判定定理;利用面面平行的性質(zhì).(2)證明線面垂直:利用線面垂直的判定定理;利用面面垂直的性質(zhì)定理.3.

2、證明面面平行和面面垂直的常用方法(1)證明面面平行最常用的方法是利用面面平行的判定定理.(2)證明面面垂直最常用的方法是利用面面垂直的判定定理.4.利用空間向量證明平行與垂直設(shè)直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面,的法向量分別為=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),l,則(1)線面平行:laa=0a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)線面垂直:laa=ka1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k0).(3)面面平行:v=va2=a3,b2=b3,c2=c3(0).(4)面面垂直:vv=0a2a3+b2b3+c2c3=0.5.利用空間向量求空間角(1)兩條異面直線所成

3、的角:設(shè)異面直線l,m的方向向量分別為a,b,且它們所關(guān)鍵能力學(xué)案突破考向一空間位置關(guān)系的證明 例1(2021江蘇宿遷期末)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=PA=2,AB=1,E為PC的中點(diǎn).求證:(1)BEPD;(2)BE平面PAD;(3)平面PCD平面PAD.證明 (方法一)(1)如圖,取PD的中點(diǎn)F,連接AF,EF,因?yàn)镋為PC的中點(diǎn),所以FEDC,且FE= DC,又因?yàn)镈C=2AB,ABDC,所以FEAB,且FE=AB,所以四邊形ABEF是平行四邊形,所以BEAF.又因?yàn)镻A=AD,F為PD的中點(diǎn),所以AFPD,所以BEPD.(2)由(1

4、)知BEAF,AF平面PAD,BE平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因?yàn)镻A底面ABCD,所以PAAB.又因?yàn)锳DAB,PAAD=A,所以AB平面PAD.又因?yàn)锳BDC,所以DC平面PAD.又因?yàn)镈C平面PCD,所以平面PCD平面PAD.(方法二)因?yàn)镻A底面ABCD,ADAB,所以PA,AB,AD兩兩互相垂直.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.(3)由(2)知 為平面PAD的一個(gè)法向量,則DC平面PAD.又DC平面PCD,所以平面PCD平面PAD. 方法總結(jié)證明空間中位置關(guān)系的方法證明空間中的平行、垂直關(guān)系,均可利用幾何法和向量

5、法.在實(shí)際應(yīng)用中,可靈活處理,如果題目給出的空間圖形適合建立空間直角坐標(biāo)系,那么可建系后利用坐標(biāo)運(yùn)算來證明位置關(guān)系.(2021浙江金華期中)如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,四邊形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC= AB,B1C1BC,且B1C1= BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求證:(1)A1B1平面AA1C;(2)AB1平面A1C1C.精典對(duì)練得高分 證明 (方法一)(1)因?yàn)锳B=AC,BC= AB,所以AB2+AC2=BC2,所以ABAC.因?yàn)樗倪呅蜛1ABB1是正方形,所以A1B1AB,ABAA1.又AA1AC=A,所以AB平面AA1C.所以A1B1平面AA1C.(

6、2)如圖,取BC的中點(diǎn)D,連接AD,B1D,C1D.因?yàn)锽1C1BC,且B1C1= BC=BD,所以四邊形BDC1B1是平行四邊形,所以C1DBB1,且C1D=BB1.因?yàn)樗倪呅蜛1ABB1是正方形,所以AA1BB1,且AA1=BB1.所以C1DAA1,且C1D=AA1,所以四邊形AA1C1D是平行四邊形, 所以A1C1AD.又AD平面A1C1C,A1C1平面A1C1C,所以AD平面A1C1C.同理B1D平面A1C1C,又B1DAD=D,所以平面B1AD平面A1C1C.又AB1平面B1AD,所以AB1平面A1C1C.(方法二)因?yàn)槎娼茿1-AB-C是直二面角,四邊形A1ABB1為正方形,所以

7、AA1平面BAC.又因?yàn)锳B=AC,BC= AB,所以CAB=90,即ACAB.所以AB,AC,AA1兩兩互相垂直.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).考向二利用空間向量求線面角命題角度1求線面角 例2-1(2021浙江金華三模)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC=2,PB=BC=2 ,PC=6,Q為棱PC上的一點(diǎn),且PQ=2QC.(1)求證:BCAQ;(2)若AQ= ,求直線AB與平面PAC所成角的正弦值.(2)解 由題意易知AO=1,AQ= ,QO=1,AO2+QO2=AQ2,AOQO.

8、以O(shè)為原點(diǎn),OC,OA,OQ所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.名師點(diǎn)析利用向量求直線與平面所成角的方法(1)分別求出直線與它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角).(2)求出直線的方向向量m,平面的法向量n,設(shè)直線與平面所成的角為,則sin =|cos|= ,求出的值.精典對(duì)練得高分(2021山東濟(jì)南一模)已知正方體ABCD-A1B1C1D1和平面,直線AC1平面,直線BD平面.(1)求證:平面平面B1CD1;(2)若P為線段AC1上的動(dòng)點(diǎn),求直線BP與平面所成角的最大值.(1)證明 如圖,連接A1C1,則B1D1A1C1,因?yàn)锳A1平面

9、A1B1C1D1,所以AA1B1D1.又因?yàn)锳A1A1C1=A1,所以B1D1平面AA1C1.因?yàn)锳C1平面AA1C1,所以B1D1AC1.同理B1CAC1.因?yàn)锽1D1B1C=B1,所以AC1平面B1CD1.因?yàn)锳C1平面,過直線AC1作平面與平面相交于直線l,所以AC1l.所以l平面B1CD1.又l平面,所以平面平面B1CD1.(2)解 設(shè)正方體的棱長為1,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則數(shù)學(xué)思想擴(kuò)思路轉(zhuǎn)化與化歸思想(2021山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,CC1=2,E,F

10、分別為BC,CC1的中點(diǎn).(1)求過E,F,D1三點(diǎn)的截面的面積;(2)一只小蟲從點(diǎn)A經(jīng)BB1上一點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C1,求小蟲所經(jīng)過的路程最短時(shí),直線ED1與平面APC1所成角的正弦值.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則A(2,0,0),C1(0,1,2),D1(0,0,2),E(1,1,0).名師點(diǎn)析沿幾何體表面運(yùn)動(dòng),求距離之和最小的問題,通常采取化曲為直的思想方法,將幾何體的表面展開,在平面內(nèi),將折線轉(zhuǎn)化為直線,進(jìn)而求出距離之和最小等問題.命題角度2已知線面角求線段長 又因?yàn)锳BB1D,ABCD=D,所以B1D平面ABC.又因?yàn)?/p>

11、B1D平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面ABC.方法點(diǎn)撥已知線面角求其他量的解法要點(diǎn)(1)正確設(shè)置變量:已知線面角確定點(diǎn)的位置或線段長度時(shí),可以直接在空間直角坐標(biāo)系中設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)(只有一個(gè)坐標(biāo)未知),也可以利用共線向量的設(shè)法,例如點(diǎn)P在線段AB上,可設(shè) (01),這樣可將點(diǎn)P的坐標(biāo)用一個(gè)變量表示.(2)準(zhǔn)確進(jìn)行轉(zhuǎn)化:已知直線的方向向量為m,平面的法向量為n. 精典對(duì)練得高分(2021廣東汕頭一模)如圖,在圓柱OO1中,四邊形ABCD是其軸截面,EF為O1的直徑,且EFCD,AB=2,BC=a(a1).(1)求證:BE=BF;(2)若直線AE與平面BEF所成角的正弦值為 ,求二面角A

12、-BE-F的余弦值. (1)證明 如圖,連接BO1,依題意,在圓柱OO1中,BC平面CEDF,EF平面CEDF,EFBC.又EFCD,BCCD=C,EF平面ABCD.又BO1平面ABCD,EFBO1.又O1為EF的中點(diǎn),BE=BF.考向三利用空間向量求二面角命題角度1求二面角 例3-1(2021湖南長沙模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,ABC=90,AB=1,BC= ,PDC是邊長為2的等邊三角形,平面PDC平面ABCD,E為PC的中點(diǎn).(1)設(shè)平面PAD平面PBC=l,求證:DEl;(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值.解 (1)因?yàn)锳BCD,ABC=90,所以BC

13、CD.又平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=DC,BC平面ABCD,所以BC平面PDC.又BC平面PBC,所以平面PDC平面PBC.因?yàn)镻DC為等邊三角形,E為PC的中點(diǎn),所以DEPC.又平面PDC平面PBC=PC,DE平面PDC,所以DE平面PBC.又l平面PBC,所以DEl.(2)設(shè)DC的中點(diǎn)為O,因?yàn)镻D=PC,所以PODC.因?yàn)槠矫鍼DC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=DC,PO平面PDC,所以PO平面ABCD.因?yàn)锳B=1,CD=2,O為CD的中點(diǎn),所以AB=OC.又ABCD,所以ABOC.又ABC=90,所以四邊形ABCO為矩形,所以O(shè)AOC.名師點(diǎn)析利用空間向量

14、求二面角的步驟(1)分別求出兩個(gè)半平面的一個(gè)法向量;(2)求出兩個(gè)法向量的夾角;(3)根據(jù)圖形判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角,利用二面角的平面角與兩個(gè)法向量的夾角的關(guān)系,求出二面角.精典對(duì)練得高分(2021山東德州期中)如圖,在多面體ABCDEF中,平面ADE平面ABCD,CF平面ABCD,ADE是正三角形,四邊形ABCD是菱形,AB=2,(1)求證:EF平面ABCD;(2)求二面角E-AF-C的正弦值.(2)解 連接OB,BD,四邊形ABCD是菱形,BAD=ABD是正三角形.又O為AD的中點(diǎn),OBAD.由(1)知OE平面ABCD,OA,OB,OE兩兩互相垂直.命題角度2已知二面角求其他量例

15、3-2(2021新高考 ,20)如圖,在三棱錐A-BCD中,平面ABD平面BCD,AB=AD,O為BD的中點(diǎn).(1)證明:AOCD;(2)若OCD是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45,求三棱錐A-BCD的體積. (1)證明 在ABD中,AB=AD,O為BD的中點(diǎn),AOBD.平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,AO平面ABD,AO平面BCD.CD平面BCD,AOCD.(2)解 (方法一)如圖,過點(diǎn)E作ENAO交BD于N,過點(diǎn)N作NMCD交BC于M.AO平面BCD,ENAO,EN平面BCD.ENBC.在BCD中,OB=OD=OC=1,

16、BCD=90,即DCBC.NMCD,NMBC.又ENNM=N,BC平面EMN,BCME.二面角E-BC-D的平面角是EMN=45,設(shè)平面EBC的法向量為n=(x,y,z),則 名師點(diǎn)析已知二面角求其他量的解法要點(diǎn)(1)正確設(shè)置變量,已知二面角求其他量時(shí),關(guān)鍵是在空間直角坐標(biāo)系中設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或相關(guān)向量的坐標(biāo),從而用設(shè)出的參數(shù)表示出兩個(gè)平面的法向量.(2)準(zhǔn)確建立方程,根據(jù)已知條件(二面角的度數(shù)、二面角的余弦值、二面角的正弦值等)建立關(guān)于參數(shù)的方程.(3)求解方程,得到參數(shù)值,注意根據(jù)二面角的大小對(duì)參數(shù)值進(jìn)行取舍,進(jìn)而得到其他量.精典對(duì)練得高分(2021廣東梅州二模)如圖,在四棱錐B-ACDE

17、中,平面ABC平面ACDE,ABC是等邊三角形,在直角梯形ACDE中,AECD,AEAC,AE=1,AC=CD=2,P是棱BD的中點(diǎn).(1)求證:EP平面BCD;(2)設(shè)點(diǎn)M在線段AC上,若平面PEM與平面EAB所成的銳二面角的余弦值為(1)證明 如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接PO,AO.因?yàn)锳BC為等邊三角形,所以AOBC.因?yàn)槠矫鍭BC平面ACDE,AEAC,平面ABC平面ACDE=AC,AE平面ACDE,所以AE平面ABC.又AO平面ABC,所以AEAO.又AECD,所以CDAO.又CDBC=C,所以AO平面BCD.因?yàn)镻為BD的中點(diǎn),O為BC的中點(diǎn),所以PO= CD=1,POCD.又AEC

18、D,AE=1,所以AEPO,AE=PO,所以四邊形AEPO為平行四邊形,所以EPAO,所以EP平面BCD.(2)解 由(1)知POAE,AE平面ABC,AOBC,所以PO平面ABC,所以O(shè)A,OB,OP兩兩互相垂直.易錯(cuò)防范不丟分(2021山東濱州二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,O是BD的中點(diǎn),PO平面(1)證明 如圖,設(shè)ACBD=N,連接PN,OA,OC.因?yàn)镈AB=BCD=90,O為BD的中點(diǎn),所以O(shè)A=OD=OC,即O為ACD的外心.又AD=AC=CD,所以ACD為等邊三角形,所以O(shè)為ACD的中心.所以ACBD.由PO平面ABCD,可得POAC.又POBD=O,所以AC平面PDB,所

19、以ACDP. 所以DP2+PN2=DN2,所以DPPN.又PNAC=N,所以DP平面APC.又DP平面ADP,所以平面ADP平面APC.易錯(cuò)警示由于二面角的大小與兩個(gè)面的法向量的夾角并不完全相等,因此要注意結(jié)合圖形判斷二面角的范圍來確定參數(shù)的取值,忽視對(duì)范圍的判斷將會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.突破2立體幾何中的翻折問題及探索性問題關(guān)鍵能力學(xué)案突破考向一立體幾何中的翻折問題 圖 圖 (1)求證:平面BC1E平面ABED;(2)求直線BC1與平面AC1D所成角的正弦值. (1)證明 連接AE,由已知得AE=2.CEAB,CE=AB=AE=2,四邊形ABCE為菱形.連接AC交BE于點(diǎn)F,則CFBE.C1FAF.又B

20、EAF=F,C1F平面ABED.又C1F平面BC1E,所以平面BC1E平面ABED. 名師點(diǎn)析立體幾何中翻折問題的求解策略(1)解決翻折問題最關(guān)鍵的就是對(duì)比翻折前后的圖形,找到哪些點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化,哪些發(fā)生了變化,這些不變的量和變化的量反映了翻折后空間圖形的結(jié)構(gòu)特征,在證明和求解的過程中應(yīng)恰當(dāng)?shù)丶右岳?(2)一般地,位于折痕同側(cè)的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化,而位于折痕兩側(cè)的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系會(huì)發(fā)生變化.特別地,與折痕垂直的線段,翻折前后垂直關(guān)系不變(常用于找翻折后形成的二面角的平面角);與折痕平行的線段,翻折后平行關(guān)系保持不變.精典對(duì)練得高

21、分(2021山東濟(jì)南二模)如圖,在等腰梯形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),AB=BC=CE,將ADE,BCE分別沿AE,BE折起,使得平面ADE平面ABE,平面BCE平面ABE,如圖.圖 圖 (1)求證:ABCD;(2)設(shè)平面ADE與平面BCE的交線為l,求二面角D-l-C的大小.(1)證明 由題意可知ADE,ABE,BCE為全等的等邊三角形.如圖,分別過點(diǎn)C,D作CMBE,DNAE,垂足分別為M,N,連接MN,則M,N分別為BE,AE的中點(diǎn),CM=DN.平面BCE平面ABE,平面BCE平面ABE=BE,CM平面BCE,CM平面ABE.同理DN平面ABE,CMDN.四邊形CDNM為平行四邊形,CD

22、MN.又M,N分別為BE,AE的中點(diǎn),MNAB,ABCD.(2)解 連接BN,則BNAE.由(1)知DN平面ABE,則NA,NB,ND兩兩互相垂直.以N為坐標(biāo)原點(diǎn),NA,NB,ND所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.易錯(cuò)防范不丟分(2021廣東佛山二模)如圖,在梯形ABCD中,ABCD,BAD=90,AD=CD= AB,E為AB的中點(diǎn),沿DE將ADE折起,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置,如圖所示.圖 圖 (1)求證:DEPC;(2)若PC=PD,求平面PBE與平面PCD所成二面角的正弦值. (1)證明 如圖,取DE的中點(diǎn)O,連接OP,OC,CE.在梯形ABCD中,因?yàn)锽AD=90

23、,AD=CD= AB,ABCD,E為AB的中點(diǎn),所以四邊形AECD為正方形,AE=AD=CE=CD.由翻折可知PE=PD=CE=CD.又O為DE的中點(diǎn),所以O(shè)PDE,OCDE.又OPOC=O,所以DE平面OPC.又PC平面OPC,所以DEPC.(2)解 不妨設(shè)CD=2,則PD=2,OP=OC=又PC=PD=2,所以O(shè)P2+OC2=PC2,所以O(shè)POC.結(jié)合(1)可知OP,OC,OD兩兩互相垂直.以O(shè)為原點(diǎn),OC,OD,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.易錯(cuò)警示翻折問題中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是對(duì)翻折后的空間圖形分析不到位,不能根據(jù)翻折前平面圖形中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系推出翻

24、折后空間圖形的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系,從而找不到解題的突破口,所以應(yīng)注意分析翻折前后圖形間的聯(lián)系,找到有用信息解決問題.考向二立體幾何中的探索性問題例2(2021河北石家莊二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PAB為等邊三角形,平面PAB平面ABCD,E為AD的中點(diǎn).(1)求證:CEPD.(2)在線段BD(不包括端點(diǎn))上是否存在點(diǎn)F,使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為 ?若存在,確定點(diǎn)F的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.解 取AB的中點(diǎn)O,連接PO,因?yàn)镻AB為等邊三角形,所以POAB.又平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,PO平面PAB,所以PO平面ABCD.取CD的中點(diǎn)G,連接OG,則OB,OP,OG兩兩互相垂直.以O(shè)為原點(diǎn),OB,OG,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)AB=2,則C(1,2,0),P(0,0, ),E(-1,