矩形、菱形、正方形解答題專練詳細答案

1、9.4 矩形、菱形、正方形（解答題）1如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB=4，點E、F分別是BC、AD的中點（1）求證：ABECDF；（2）當四邊形AECF為菱形時，求出該菱形的面積2如圖，四邊形ABCD是菱形，CEAB交AB的延長線于點E，CFAD交AD的延長線于點F，求證：DF=BE3如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開，得到ACD，再將ACD沿DB方向平移到ACD的位置，若平移開始后點D未到達點B時，AC交CD于E，DC交CB于點F，連接EF，當四邊形EDDF為菱形時，試探究ADE的形狀，并判斷ADE與EFC是否全等？請說明理由4已知：如圖，在菱形ABCD中

2、，點E、F分別為邊CD、AD的中點，連接AE，CF，求證：ADECDF5如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E（1）證明：四邊形ACDE是平行四邊形；（2）若AC=8，BD=6，求ADE的周長6如圖，把EFP放置在菱形ABCD中，使得頂點E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，BAD=60，且AB6（1）求EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若EFP的三個頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運動，請直接寫出AP長的最大值和最小值7如圖，在ABC中，ACB=90，D，E分別為AC，

3、AB的中點，BFCE交DE的延長線于點F（1）求證：四邊形ECBF是平行四邊形；（2）當A=30時，求證：四邊形ECBF是菱形8如圖，AEBF，AC平分BAE，且交BF于點C，BD平分ABF，且交AE于點D，AC與BD相交于點O，連接CD（1）求AOD的度數(shù)；（2）求證：四邊形ABCD是菱形9如圖，ABCABD，點E在邊AB上，CEBD，連接DE求證：（1）CEB=CBE；（2）四邊形BCED是菱形10如圖，在RtABC中，B=90，點E是AC的中點，AC=2AB，BAC的平分線AD交BC于點D，作AFBC，連接DE并延長交AF于點F，連接FC求證：四邊形ADCF是菱形11如圖，在四邊形ABC

4、F中，ACB=90，點E是AB邊的中點，點F恰是點E關(guān)于AC所在直線的對稱點（1）證明：四邊形CFAE為菱形；（2）連接EF交AC于點O，若BC=10，求線段OF的長12如圖，在平行四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于一點P，連接AP并延長交BC于點E，連接EF （1）四邊形ABEF是；（選填矩形、菱形、正方形、無法確定）（直接填寫結(jié)果）（2）AE，BF相交于點O，若四邊形ABEF的周長為40，BF=10，則AE的長為，ABC=（直接填寫結(jié)果）13如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過AC的中點O作EFAC，交BC于點E

5、，交AD于點F，連接AE，CF（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若AB=，DCF=30，求四邊形AECF的面積（結(jié)果保留根號）14如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線（1）用直尺和圓規(guī)作線段BD的垂直平分線，分別交AD、BC于E、F（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）連結(jié)BE，DF，問四邊形BEDF是什么四邊形？請說明理由15如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點B落在AC上的點M處，將邊CD沿CF折疊，使點D落在AC上的點N處（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若AB=6，AC=10，求四邊形AECF的面積16如圖，矩形ABCD中，延長AB至E，延長CD

6、至F，BE=DF，連接EF，與BC、AD分別相交于P、Q兩點（1）求證：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，AEF=45，求矩形ABCD的面積17如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，若AB=AO，求ABD的度數(shù)18已知：如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AB上，點F在邊BC上，且BE=CF，EFDF，求證：BF=CD19如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點，將ADM沿直線AM對折，得到ANM（1）當AN平分MAB時，求DM的長；（2）連接BN，當DM=1時，求ABN的面積；（3）當射線BN交線段CD于點F時，求DF的最大值20如圖，菱形ABCD的對角線AC，

7、BD相交于點O，且DEAC，AEBD求證：四邊形AODE是矩形21如圖，將平行四邊形ABCD的邊AB延長到點E，使BE=AB，連接DE，交邊BC于點F（1）求證：BEFCDF；（2）連接BD、CE，若BFD=2A，求證：四邊形BECD是矩形22閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F(xiàn)，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？小敏在思考問題是，有如下思路：連接AC結(jié)合小敏的思路作答（1）若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀（如圖2），則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由；參考小敏思考問題方法解決一下問題：（2）如圖2，在

8、（1）的條件下，若連接AC，BD當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結(jié)論并證明；當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結(jié)論23如圖，點P在矩形ABCD的對角線AC上，且不與點A，C重合，過點P分別作邊AB，AD的平行線，交兩組對邊于點E，F(xiàn)和G，H（1）求證：PHCCFP；（2）證明四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形，并直接寫出它們面積之間的關(guān)系24已知，如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上一點，F(xiàn)為BA延長線上一點，且CE=AF連接DE、DF求證：DE=DF25如圖，在正方形ABCD中，點E（與點B、C不重合）是BC邊上一點，將線段EA繞點E順時針旋

9、轉(zhuǎn)90到EF，過點F作BC的垂線交BC的延長線于點G，連接CF（1）求證：ABEEGF；（2）若AB=2，SABE=2SECF，求BE26已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQBE于點Q，DPAQ于點P（1）求證：AP=BQ；（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長27在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為（6，0）如圖1，正方形OBCD的頂點B在x軸的負半軸上，點C在第二象限現(xiàn)將正方形OBCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角得到正方形OEFG（1）如圖2，若=60，OE=OA，求直線EF的函數(shù)表達式（2）若為銳角，tan=

10、，當AE取得最小值時，求正方形OEFG的面積（3）當正方形OEFG的頂點F落在y軸上時，直線AE與直線FG相交于點P，OEP的其中兩邊之比能否為：1？若能，求點P的坐標；若不能，試說明理由28如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF=CA，連接AF，ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO（1）已知EO=，求正方形ABCD的邊長；（2）猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明29如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，AEF=90，EF交正方形外角的平分線CF于F求證：AE=EF30如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB的中點，F(xiàn)是邊BC

11、的中點，連結(jié)CE、DF求證：CE=DF答案與解析1（2016安順）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB=4，點E、F分別是BC、AD的中點（1）求證：ABECDF；（2）當四邊形AECF為菱形時，求出該菱形的面積【分析】第（1）問要證明三角形全等，由平行四邊形的性質(zhì)，很容易用SAS證全等第（2）要求菱形的面積，在第（1）問的基礎(chǔ)上很快知道ABE為等邊三角形這樣菱形的高就可求了，用面積公式可求得【解答】（1）證明：在ABCD中，AB=CD，BC=AD，ABC=CDA又BE=EC=BC，AF=DF=AD，BE=DFABECDF（2）解：四邊形AECF為菱形，AE=EC又點E是邊BC的中點，B

12、E=EC，即BE=AE又BC=2AB=4，AB=BC=BE，AB=BE=AE，即ABE為等邊三角形，ABCD的BC邊上的高為2sin60=，菱形AECF的面積為2【點評】考查了全等三角形，四邊形的知識以及邏輯推理能力（1）用SAS證全等；（2）若四邊形AECF為菱形，則AE=EC=BE=AB，所以ABE為等邊三角形2（2016廣安）如圖，四邊形ABCD是菱形，CEAB交AB的延長線于點E，CFAD交AD的延長線于點F，求證：DF=BE【分析】連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC平分DAE，CD=BC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CE=FC，然后利用HL證明RtCDFRtCBE，即可得出DF=BE【解答

13、】證明：連接AC，四邊形ABCD是菱形，AC平分DAE，CD=BC，CEAB，CFAD，CE=FC，CFD=CEB=90在RtCDF與RtCBE中，RtCDFRtCBE（HL），DF=BE【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等同時考查了全等三角形的判定與性質(zhì)3（2016荊州）如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開，得到ACD，再將ACD沿DB方向平移到ACD的位置，若平移開始后點D未到達點B時，AC交CD于E，DC交CB于點F，連接EF，當四邊形ED

14、DF為菱形時，試探究ADE的形狀，并判斷ADE與EFC是否全等？請說明理由【分析】當四邊形EDDF為菱形時，ADE是等腰三角形，ADEEFC先證明CD=DA=DB，得到DAC=DCA，由ACAC即可得到DAE=DEA由此即可判斷DAE的形狀由EFAB推出CEF=EAD，EFC=ADC=ADE，再根據(jù)AD=DE=EF即可證明【解答】解：當四邊形EDDF為菱形時，ADE是等腰三角形，ADEEFC理由：BCA是直角三角形，ACB=90，AD=DB，CD=DA=DB，DAC=DCA，ACAC，DAE=A，DEA=DCA，DAE=DEA，DA=DE，ADE是等腰三角形四邊形DEFD是菱形，EF=DE=D

15、A，EFDD，CEF=DAE，EFC=CDA，CDCD，ADE=ADC=EFC，在ADE和EFC中，ADEEFC【點評】本題考查平移、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型4（2016淮安）已知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別為邊CD、AD的中點，連接AE，CF，求證：ADECDF【分析】由菱形的性質(zhì)得出AD=CD，由中點的定義證出DE=DF，由SAS證明ADECDF即可【解答】證明：四邊形ABCD是菱形，AD=CD，點E、F分別為邊CD、AD的中點，AD=2DF，CD=2DE，DE=DF，在ADE和CDF

16、中，ADECDF（SAS）【點評】此題主要考查了全等三角形的判定、菱形的性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵5（2016蘇州）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E（1）證明：四邊形ACDE是平行四邊形；（2）若AC=8，BD=6，求ADE的周長【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定證明即可；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)得出平行四邊形的周長即可【解答】（1）證明：四邊形ABCD是菱形，ABCD，ACBD，AECD，AOB=90，DEBD，即EDB=90，AOB=EDB，DEAC，四邊形ACDE是平行四邊形；（2）解：四邊形

17、ABCD是菱形，AC=8，BD=6，AO=4，DO=3，AD=CD=5，四邊形ACDE是平行四邊形，AE=CD=5，DE=AC=8，ADE的周長為AD+AE+DE=5+5+8=18【點評】此題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定問題，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判定解答即可6（2016棗莊）如圖，把EFP放置在菱形ABCD中，使得頂點E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，BAD=60，且AB6（1）求EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若EFP的三個頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運動，請直接寫出AP長的最大值和最小值【分析】（1）根據(jù)銳角三角函

18、數(shù)求出FPG，最后求出EPF（2）先判斷出RtPMERtPNF，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求解即可，（3）根據(jù)運動情況及菱形的性質(zhì)判斷求出AP最大和最小值【解答】解：（1）過點P作PGEF于點G，如圖1所示PE=PF=6，EF=6，F(xiàn)G=EG=3，F(xiàn)PG=EPG=EPF在RtFPG中，sinFPG=，F(xiàn)PG=60，EPF=120（2）過點P作PMAB于點M，作PNAD于點N，如圖2所示AC為菱形ABCD的對角線，DAC=BAC，AM=AN，PM=PN在RtPME和RtPNF中，PM=PN，PE=PF，RtPMERtPNF，ME=NF又AP=10，PAM=DAB=30，AM=AN=APcos30=10=

19、5，AE+AF=（AM+ME）+（ANNF）=AM+AN=10（3）如圖，當EFP的三個頂點分別在AB，AD，AC上運動，點P在P，P之間運動，PO=PO=3，AO=9，AP的最大值為12，AP的最小值為6，【點評】此題是菱形的性質(zhì)題，主要考查了菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線7（2016三明）如圖，在ABC中，ACB=90，D，E分別為AC，AB的中點，BFCE交DE的延長線于點F（1）求證：四邊形ECBF是平行四邊形；（2）當A=30時，求證：四邊形ECBF是菱形【分析】（1）利用平行四邊形的判定證明即可；（2）利用菱形的判定證明即可【解答】證明：（1）

20、D，E分別為邊AC，AB的中點，DEBC，即EFBC又BFCE，四邊形ECBF是平行四邊形（2）ACB=90，A=30，E為AB的中點，CB=AB，CE=ABCB=CE又由（1）知，四邊形ECBF是平行四邊形，四邊形ECBF是菱形【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定與性質(zhì)，利用平行四邊形的判定以及菱形的判定是解題關(guān)鍵8（2016撫順）如圖，AEBF，AC平分BAE，且交BF于點C，BD平分ABF，且交AE于點D，AC與BD相交于點O，連接CD（1）求AOD的度數(shù)；（2）求證：四邊形ABCD是菱形【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DAC=BAC，ABD=DBC，然后根據(jù)平行

21、線的性質(zhì)得到DAB+CBA=180，從而得到BAC+ABD=（DAB+ABC）=180=90，得到答案AOD=90；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ADB=DBC，DAC=BCA，根據(jù)角平分線定義得出DAC=BAC，ABD=DBC，求出BAC=ACB，ABD=ADB，根據(jù)等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出答案【解答】解：（1）AC、BD分別是BAD、ABC的平分線，DAC=BAC，ABD=DBC，AEBF，DAB+CBA，=180，BAC+ABD=（DAB+ABC）=180=90，AOD=90；（2）證明：AEBF，ADB=DBC，DA

22、C=BCA，AC、BD分別是BAD、ABC的平分線，DAC=BAC，ABD=DBC，BAC=ACB，ABD=ADB，AB=BC，AB=ADAD=BC，ADBC，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=AB，四邊形ABCD是菱形【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定的應(yīng)用，能得出四邊形ABCD是平行四邊形是解此題的關(guān)鍵9（2016沈陽）如圖，ABCABD，點E在邊AB上，CEBD，連接DE求證：（1）CEB=CBE；（2）四邊形BCED是菱形【分析】（1）欲證明CEB=CBE，只要證明CEB=ABD，CBE=ABD即可（2）先證明四邊形CEDB是平行四邊形，再根據(jù)BC=BD即

23、可判定【解答】證明；（1）ABCABD，ABC=ABD，CEBD，CEB=DBE，CEB=CBE（2）ABCABD，BC=BD，CEB=CBE，CE=CB，CE=BDCEBD，四邊形CEDB是平行四邊形，BC=BD，四邊形CEDB是菱形【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定等知識，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，記住平行四邊形、菱形的判定方法，屬于中考?？碱}型10（2016聊城）如圖，在RtABC中，B=90，點E是AC的中點，AC=2AB，BAC的平分線AD交BC于點D，作AFBC，連接DE并延長交AF于點F，連接FC求證：四邊形ADCF是菱形【分析】先證明AE

24、FCED，推出四邊形ADCF是平行四邊形，再證明AEDABD，推出DFAC，由此即可證明【解答】證明：AFCD，AFE=CDE，在AFE和CDE中，AEFCEDAF=CD，AFCD，四邊形ADCF是平行四邊形由題意知，AE=AB，EAD=BAD，AD=AD，AEDABDAED=B=90，即DFAC四邊形ADCF是菱形【點評】本題考查菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型11（2016德陽）如圖，在四邊形ABCF中，ACB=90，點E是AB邊的中點，點F恰是點E關(guān)于AC所在直線的對稱點（1）證明：四邊形CF

25、AE為菱形；（2）連接EF交AC于點O，若BC=10，求線段OF的長【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE=AB=EA，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到AE=AF，CE=CF，得到CE=EA=AF=CF，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OA=OC，OE=OF，根據(jù)三角形中位線定理求出OE，得到答案【解答】（1）證明：ACB=90，點E是AB邊的中點，CE=AB=EA，點F是點E關(guān)于AC所在直線的對稱點，AE=AF，CE=CF，CE=EA=AF=CF，四邊形CFAE為菱形；（2）解：四邊形CFAE為菱形；OA=OC，OE=OF，OE=BC=5，OF=5【點評】本題考查的是菱形的判定和

26、性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，掌握四條邊相等的四邊形是菱形、菱形的對角線垂直且互相平分是解題的關(guān)鍵12（2016梅州）如圖，在平行四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于一點P，連接AP并延長交BC于點E，連接EF （1）四邊形ABEF是菱形；（選填矩形、菱形、正方形、無法確定）（直接填寫結(jié)果）（2）AE，BF相交于點O，若四邊形ABEF的周長為40，BF=10，則AE的長為10，ABC=120（直接填寫結(jié)果）【分析】（1）先證明AEBAEF，推出EAB=EAF，由ADBC，推出EAF=AEB=EAB，得到BE=AB=AF，由此即可

27、證明（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)首先證明AOB是含有30的直角三角形，由此即可解決問題【解答】解：（1）在AEB和AEF中，AEBAEF，EAB=EAF，ADBC，EAF=AEB=EAB，BE=AB=AFAFBE，四邊形ABEF是平行四邊形AB=AF，四邊形ABEF是菱形故答案為菱形（2）四邊形ABEF是菱形，AEBF，BO=OF=5，ABO=EBO，AB=10，AB=2BO，AOB=90BA0=30，ABO=60，AO=BO=5，ABC=2ABO=120故答案為，120【點評】本題考查菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、作圖基本作圖等知識，解題的關(guān)鍵是全等三角形的證明，想到利用特殊三角形解決問題，屬

28、于中考?？碱}型13（2016賀州）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過AC的中點O作EFAC，交BC于點E，交AD于點F，連接AE，CF（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若AB=，DCF=30，求四邊形AECF的面積（結(jié)果保留根號）【分析】（1）由過AC的中點O作EFAC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四邊形ABCD是矩形，易證得AOFCOE，則可得AF=CE，繼而證得結(jié)論；（2）由四邊形ABCD是矩形，易求得CD的長，然后利用三角函數(shù)求得CF的長，繼而求得答案【解答】（1）證明：O是AC的中點，且EFAC，AF=CF，AE=CE，OA=OC，四

29、邊形ABCD是矩形，ADBC，AFO=CEO，在AOF和COE中，AOFCOE（AAS），AF=CE，AF=CF=CE=AE，四邊形AECF是菱形；（2）解：四邊形ABCD是矩形，CD=AB=，在RtCDF中，cosDCF=，DCF=30，CF=2，四邊形AECF是菱形，CE=CF=2，四邊形AECF是的面積為：ECAB=2【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識注意證得AOFCOE是關(guān)鍵14（2016衢州）如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線（1）用直尺和圓規(guī)作線段BD的垂直平分線，分別交AD、BC于E、F（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）連結(jié)BE，DF，問四邊形

30、BEDF是什么四邊形？請說明理由【分析】（1）分別以B、D為圓心，比BD的一半長為半徑畫弧，交于兩點，確定出垂直平分線即可；（2）連接BE，DF，四邊形BEDF為菱形，理由為：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，DEF=BEF，再由AD與BC平行，得到一對內(nèi)錯角相等，等量代換及等角對等邊得到BE=BF，再由BF=DF，等量代換得到四條邊相等，即可得證【解答】解：（1）如圖所示，EF為所求直線；（2）四邊形BEDF為菱形，理由為：證明：EF垂直平分BD，BE=DE，DEF=BEF，ADBC，DEF=BFE，BEF=BFE，BE=BF，BF=DF，BE=ED=DF=BF，四邊形BEDF為菱形【點評

31、】此題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，以及作圖基本作圖，熟練掌握性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵15（2016揚州）如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點B落在AC上的點M處，將邊CD沿CF折疊，使點D落在AC上的點N處（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若AB=6，AC=10，求四邊形AECF的面積【分析】（1）首先由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證得AB=CD，ADBC，ANF=90，CME=90，易得AN=CM，可得ANFCME（ASA），由平行四邊形的判定定理可得結(jié)論；（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，設(shè)CE=x，則EM=8x，CM=106=4，在RtCEM中，利

32、用勾股定理可解得x，由平行四邊形的面積公式可得結(jié)果【解答】（1）證明：折疊，AM=AB，CN=CD，F(xiàn)NC=D=90，AME=B=90，ANF=90，CME=90，四邊形ABCD為矩形，AB=CD，ADBC，AM=CN，AMMN=CNMN，即AN=CM，在ANF和CME中，ANFCME（ASA），AF=CE，又AFCE，四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：AB=6，AC=10，BC=8，設(shè)CE=x，則EM=8x，CM=106=4，在RtCEM中，（8x）2+42=x2，解得：x=5，四邊形AECF的面積的面積為：ECAB=56=30【點評】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判

33、定定理和勾股定理等，綜合運用各定理是解答此題的關(guān)鍵16（2016遵義）如圖，矩形ABCD中，延長AB至E，延長CD至F，BE=DF，連接EF，與BC、AD分別相交于P、Q兩點（1）求證：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，AEF=45，求矩形ABCD的面積【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出A=ABC=C=ADC=90，AB=CD，AD=BC，ABCD，ADBC，證出E=F，AE=CF，由ASA證明CFPAEQ，即可得出結(jié)論；（2）證明BEP、AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE=BP=，得出EQ=PE+PQ=3，由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出AQ=AE=3，求

34、出AB=AEBE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD的面積【解答】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，A=ABC=C=ADC=90，AB=CD，AD=BC，ABCD，ADBC，E=F，BE=DF，AE=CF，在CFP和AEQ中，CFPAEQ（ASA），CP=AQ；（2）解：ADBC，PBE=A=90，AEF=45，BEP、AEQ是等腰直角三角形，BE=BP=1，AQ=AE，PE=BP=，EQ=PE+PQ=+2=3，AQ=AE=3，AB=AEBE=2，CP=AQ，AD=BC，DQ=BP=1，AD=AQ+DQ=3+1=4，矩形ABCD的面積=ABAD=24=8【點評】

35、本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵17（2016廣州）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，若AB=AO，求ABD的度數(shù)【分析】首先證明OA=OB，再證明ABO是等邊三角形即可解決問題【解答】解：四邊形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AO=OB，AB=AO，AB=AO=BO，ABO是等邊三角形，ABD=60【點評】本題考查矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型18（2016岳陽）已知：如圖，在矩形AB

36、CD中，點E在邊AB上，點F在邊BC上，且BE=CF，EFDF，求證：BF=CD【分析】由四邊形ABCD為矩形，得到四個角為直角，再由EF與FD垂直，利用平角定義得到一對角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得到三角形BEF與三角形CFD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證【解答】證明：四邊形ABCD是矩形，B=C=90，EFDF，EFD=90，EFB+CFD=90，EFB+BEF=90，BEF=CFD，在BEF和CFD中，BEFCFD（ASA），BF=CD【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵19（2016福州）如圖，矩形A

37、BCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點，將ADM沿直線AM對折，得到ANM（1）當AN平分MAB時，求DM的長；（2）連接BN，當DM=1時，求ABN的面積；（3）當射線BN交線段CD于點F時，求DF的最大值【分析】（1）由折疊性質(zhì)得MAN=DAM，證出DAM=MAN=NAB，由三角函數(shù)得出DM=ADtanDAM=即可；（2）延長MN交AB延長線于點Q，由矩形的性質(zhì)得出DMA=MAQ，由折疊性質(zhì)得出DMA=AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出MAQ=AMQ，證出MQ=AQ，設(shè)NQ=x，則AQ=MQ=1+x，證出ANQ=90，在RtANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4

38、，AQ=5，即可求出ABN的面積；（3）過點A作AHBF于點H，證明ABHBFC，得出對應(yīng)邊成比例=，得出當點N、H重合（即AH=AN）時，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此時點M、F重合，B、N、M三點共線，由折疊性質(zhì)得：AD=AH，由AAS證明ABHBFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出結(jié)果【解答】解：（1）由折疊性質(zhì)得：ANMADM，MAN=DAM，AN平分MAB，MAN=NAB，DAM=MAN=NAB，四邊形ABCD是矩形，DAB=90，DAM=30，DM=ADtanDAM=3tan30=3=；（2）延長MN交AB延長線于點Q，如圖1所示：四邊形ABCD

39、是矩形，ABDC，DMA=MAQ，由折疊性質(zhì)得：ANMADM，DMA=AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，MAQ=AMQ，MQ=AQ，設(shè)NQ=x，則AQ=MQ=1+x，ANM=90，ANQ=90，在RtANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，（x+1）2=32+x2，解得：x=4，NQ=4，AQ=5，AB=4，AQ=5，SNAB=SNAQ=ANNQ=34=；（3）過點A作AHBF于點H，如圖2所示：四邊形ABCD是矩形，ABDC，HBA=BFC，AHB=BCF=90，ABHBFC，=，AHAN=3，AB=4，當點N、H重合（即AH=AN）時，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，

40、此時點M、F重合，B、N、M三點共線，如圖3所示：由折疊性質(zhì)得：AD=AH，AD=BC，AH=BC，在ABH和BFC中，ABHBFC（AAS），CF=BH，由勾股定理得：BH=，CF=，DF的最大值=DCCF=4【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強，難度較大，熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)，證明三角形相似和三角形全等是解決問題的關(guān)鍵20（2016吉林）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且DEAC，AEBD求證：四邊形AODE是矩形【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出ACBD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理得四邊形AOD

41、E為平行四邊形，由矩形的判定定理得出四邊形AODE是矩形【解答】證明：四邊形ABCD為菱形，ACBD，AOD=90，DEAC，AEBD，四邊形AODE為平行四邊形，四邊形AODE是矩形【點評】本題考查了矩形的判定以及菱形的性質(zhì)，還考查了平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵21（2016南通）如圖，將ABCD的邊AB延長到點E，使BE=AB，連接DE，交邊BC于點F（1）求證：BEFCDF；（2）連接BD、CE，若BFD=2A，求證：四邊形BECD是矩形【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，ABCD，再由BE=AB得出BE=CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出BEF=CDF

42、，EBF=DCF，進而可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得ABCD，AB=CD，A=DCB，再由AB=BE，可得CD=EB，進而可判定四邊形BECD是平行四邊形，然后再證明BC=DE即可得到四邊形BECD是矩形【解答】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，ABCDBE=AB，BE=CDABCD，BEF=CDF，EBF=DCF，在BEF與CDF中，BEFCDF（ASA）；（2）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，AB=CD，A=DCB，AB=BE，CD=EB，四邊形BECD是平行四邊形，BF=CF，EF=DF，BFD=2A，BFD=2DCF，DCF=FDC，DF=CF

43、，DE=BC，四邊形BECD是矩形【點評】此題主要考查的值矩形的判定及平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對邊相等；對角相等；對角線互相平分22（2016蘭州）閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F(xiàn)，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？小敏在思考問題是，有如下思路：連接AC結(jié)合小敏的思路作答（1）若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀（如圖2），則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由；參考小敏思考問題方法解決一下問題：（2）如圖2，在（1）的條件下，若連接AC，BD當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形

44、，寫出結(jié)論并證明；當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結(jié)論【分析】（1）如圖2，連接AC，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EFAC，EF=AC，然后根據(jù)平行四邊形判定定理即可得到結(jié)論；（2）由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=BD，HG=AC，于是得到當AC=BD時，F(xiàn)G=HG，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到GHBD，GHGF，于是得到HGF=90，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論【解答】解：（1）是平行四邊形，證明：如圖2，連接AC，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，EFAC，EF=AC，同理HGAC，HG=AC，綜上可得：EFHG，EF=HG，故四邊形EF

45、GH是平行四邊形；（2）AC=BD理由如下：由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=BD，HG=AC，當AC=BD時，F(xiàn)G=HG，平行四邊形EFGH是菱形，（3）當ACBD時，四邊形EFGH為矩形；理由如下：同（2）得：四邊形EFGH是平行四邊形，ACBD，GHAC，GHBD，GFBD，GHGF，HGF=90，四邊形EFGH為矩形【點評】此題主要考查了中點四邊形，關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半23（2016臺州）如圖，點P在矩形ABCD的對角線AC上，且不與點A，C重合，過點P分別作邊AB，AD的平行線，交兩組對邊于點E，F(xiàn)和G，H（1）求證：

46、PHCCFP；（2）證明四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形，并直接寫出它們面積之間的關(guān)系【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出對邊平行，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等的角，結(jié)合全等三角形的判定定理AAS即可得出PHCCFP；（2）由矩形的性質(zhì)找出D=B=90，再結(jié)合對邊互相平行即可證出四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形，通過角的正切值，在直角三角形中表示出直角邊的關(guān)系，利用矩形的面積公式即可得出兩矩形面積相等【解答】證明：（1）四邊形ABCD為矩形，ABCD，ADBCPFAB，PFCD，CPF=PCHPHAD，PHBC，PCF=CPH在PHC和CFP中，PHCCFP（ASA）（2）四邊形ABCD為

47、矩形，D=B=90又EFABCD，GHADBC，四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形EFAB，CPF=CAB在RtAGP中，AGP=90，PG=AGtanCAB在RtCFP中，CFP=90，CF=PFtanCPFS矩形DEPH=DEEP=CFEP=PFEPtanCPF；S矩形PGBF=PGPF=AGPFtanCAB=EPPFtanCABtanCPF=tanCAB，S矩形DEPH=S矩形PGBF【點評】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）通過平行找出相等的角；（2）利用矩形的判定定理來證明四邊形為矩形本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時

48、，根據(jù)結(jié)合矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理來解決問題是關(guān)鍵24（2016無錫）已知，如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上一點，F(xiàn)為BA延長線上一點，且CE=AF連接DE、DF求證：DE=DF【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，C=DAF=90，然后利用“邊角邊”證明DCE和DAF全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可【解答】證明：四邊形ABCD是正方形，AD=CD，DAB=C=90，F(xiàn)AD=180DAB=90在DCE和DAF中，DCEDAF（SAS），DE=DF【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用全等三角形對應(yīng)邊相等證明線段相等是常用的方法之一，一定要熟練掌握并靈

49、活運用25（2016來賓）如圖，在正方形ABCD中，點E（與點B、C不重合）是BC邊上一點，將線段EA繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90到EF，過點F作BC的垂線交BC的延長線于點G，連接CF（1）求證：ABEEGF；（2）若AB=2，SABE=2SECF，求BE【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE與三角形EFG全等；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得出AB=EG=2，SABE=SEGF，求出SEGF=2SECF，根據(jù)三角形面積得出EC=CG=1，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BC=AB=2，即可求出答案【解答】（1）證明：EPAE，AEB+GEF=90

50、，又AEB+BAE=90，GEF=BAE，又FGBC，ABE=EGF=90，在ABE與EGF中，ABEEGF（AAS）；（2）解：ABEEGF，AB=2，AB=EG=2，SABE=SEGF，SABE=2SECF，SEGF=2SECF，EC=CG=1，四邊形ABCD是正方形，BC=AB=2，BE=21=1【點評】此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵26（2016哈爾濱）已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQBE于點Q，DPAQ于點P（1）求證：AP=BQ；（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出

51、圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=BA，BAQ=ADP，再根據(jù)已知條件得到AQB=DPA，判定AQBDPA并得出結(jié)論；（2）根據(jù)AQAP=PQ和全等三角形的對應(yīng)邊相等進行判斷分析【解答】解：（1）正方形ABCDAD=BA，BAD=90，即BAQ+DAP=90DPAQADP+DAP=90BAQ=ADPAQBE于點Q，DPAQ于點PAQB=DPA=90AQBDPA（AAS）AP=BQ（2）AQAP=PQAQBQ=PQDPAP=PQDPBQ=PQ【點評】本題主要考查了正方形以及全等三角形，解決問題的關(guān)鍵是掌握：正方形的四條邊相等，四個

52、角都是直角解題時需要運用：有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，以及全等三角形的對應(yīng)邊相等27（2016金華）在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為（6，0）如圖1，正方形OBCD的頂點B在x軸的負半軸上，點C在第二象限現(xiàn)將正方形OBCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角得到正方形OEFG（1）如圖2，若=60，OE=OA，求直線EF的函數(shù)表達式（2）若為銳角，tan=，當AE取得最小值時，求正方形OEFG的面積（3）當正方形OEFG的頂點F落在y軸上時，直線AE與直線FG相交于點P，OEP的其中兩邊之比能否為：1？若能，求點P的坐標；若不能，試說明理由【分析】（1）先判斷出AEO為正三角形，

53、再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出OM即可；（2）判斷出當AEOQ時，線段AE的長最小，用勾股定理計算即可；（3）方法一：由OEP的其中兩邊之比為：1分三種情況進行計算即可方法二：設(shè)出點F的坐標，進而表示出GF和AE解析式，進而得出點P坐標，即可表示出OP2，PE2，OE2，最后建立方程求解即可【解答】解：（1）如圖1，過點E作EHOA于點H，EF與y軸的交點為MOE=OA，=60，AEO為正三角形，OH=3，EH=3E（3，3）AOM=90，EOM=30在RtEOM中，cosEOM=，即=，OM=4M（0，4）設(shè)直線EF的函數(shù)表達式為y=kx+4，該直線過點E（3，3），3k+4=3，解得k=，所以，直

54、線EF的函數(shù)表達式為y=x+4（2）如圖2，射線OQ與OA的夾角為（ 為銳角，tan=）無論正方形邊長為多少，繞點O旋轉(zhuǎn)角后得到正方形OEFG的頂點E在射線OQ上，當AEOQ時，線段AE的長最小在RtAOE中，設(shè)AE=a，則OE=2a，a2+（2a）2=62，解得a1=，a2=（舍去），OE=2a=，S正方形OEFG=OE2=（3）方法一：設(shè)正方形邊長為m當點F落在y軸正半軸時如圖3，當P與F重合時，PEO是等腰直角三角形，有=或=在RtAOP中，APO=45，OP=OA=6，點P1的坐標為（0，6）在圖3的基礎(chǔ)上，當減小正方形邊長時，點P在邊FG 上，OEP的其中兩邊之比不可能為：1；當增加

55、正方形邊長時，存在=（圖4）和=（圖5）兩種情況如圖4，EFP是等腰直角三角形，有=，即=，此時有APOF在RtAOE中，AOE=45，OE=OA=6，PE=OE=12，PA=PE+AE=18，點P2的坐標為（6，18）如圖5，過P作PRx軸于點R，延長PG交x軸于點H設(shè)PF=n在RtPOG中，PO2=PG2+OG2=m2+（m+n）2=2m2+2mn+n2，在RtPEF中，PE2=PF2+EF2=m2+n2，當=時，PO2=2PE22m2+2mn+n2=2（m2+n2），得n=2mEOPH，AOEAHP，=，AH=4OA=24，即OH=18，m=9在等腰RtPRH中，PR=HR=PH=36，

56、OR=RHOH=18，點P3的坐標為（18，36）當點F落在y軸負半軸時，如圖6，P與A重合時，在RtPOG中，OP=OG，又正方形OGFE中，OG=OE，OP=OE點P4的坐標為（6，0）在圖6的基礎(chǔ)上，當正方形邊長減小時，OEP的其中兩邊之比不可能為：1；當正方形邊長增加時，存在=（圖7）這一種情況如圖7，過P作PRx軸于點R，設(shè)PG=n在RtOPG中，PO2=PG2+OG2=n2+m2，在RtPEF中，PE2=PF2+FE2=（m+n ）2+m2=2m2+2mn+n2當=時，PE2=2PO22m2+2mn+n2=2n2+2m2，n=2m，由于NG=OG=m，則PN=NG=m，OEPN，AOEANP，=1，即AN=OA=6在等腰RtONG中，ON=m，12=m，m=6，在等腰RtPRN中，RN=PR=6，點P5的坐標為（18，6）所以，OEP的其中兩邊