機械振動_第二章習題

1、第二章第二章 單自由度系統(tǒng)強迫振動單自由度系統(tǒng)強迫振動工程中的自由振動由于阻尼的存在而逐漸衰減，最后完全停止工程中的自由振動由于阻尼的存在而逐漸衰減，最后完全停止實際上又存在有大量不衰減的持續(xù)振動，由于外界有能量輸入以補充阻尼實際上又存在有大量不衰減的持續(xù)振動，由于外界有能量輸入以補充阻尼的消耗，有的承受外加的激振力。的消耗，有的承受外加的激振力。在外加激振力作用下的振動稱為受迫振動。在外加激振力作用下的振動稱為受迫振動。km一一. 單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動交流電通過電磁交流電通過電磁鐵產(chǎn)生交變的電鐵產(chǎn)生交變的電磁力引起振動系磁力引起振動系統(tǒng)；統(tǒng)； 彈性梁上的電

2、動機由于轉子偏心在彈性梁上的電動機由于轉子偏心在轉動時引起的振動等。轉動時引起的振動等。)sin(tHF簡諧激振力是一種典型的周期變化的激振力：簡諧激振力是一種典型的周期變化的激振力：H：激振力力幅；激振力力幅；：激振力的圓頻率；：激振力的圓頻率；：激振力初相位：激振力初相位m設設F為簡諧激振力，為簡諧激振力， F在坐標軸上的投在坐標軸上的投影寫成：影寫成：)sin(tHF)sin(22tHkxdtxdmmkn2MHh kFFkxFk1.振動微分方程振動微分方程kmxOx圖示振動系統(tǒng)，物塊質量為圖示振動系統(tǒng)，物塊質量為m。取物塊的平衡位置為坐標原點，坐標軸鉛直向下取物塊的平衡位置為坐標原點，坐

3、標軸鉛直向下.)sin(222thxdtxdn恢復力恢復力Fk 在坐標軸上的投影為在坐標軸上的投影為兩端除以兩端除以m，并設：，并設：物塊受力有恢復力物塊受力有恢復力Fk和激振力和激振力F。質點的運動微分方程為質點的運動微分方程為則得：則得：該式為無阻尼受迫振動微分方程的標準形式該式為無阻尼受迫振動微分方程的標準形式)sin(222thdtxdn二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程21xxx)sin(1tAxn)sin(2tbx解由兩部分組成：解由兩部分組成：齊次方程的通解為齊次方程的通解為: :將將x2代入無阻尼受迫振動微分方程，得：代入無阻尼受迫振動微分方程，得：)si

4、n()sin()sin(22thtbtbn22nhb)sin()sin(22thtAxnnb為待定常數(shù)為待定常數(shù)設特解為：設特解為：得得無阻尼受迫振動微分方程無阻尼受迫振動微分方程的全解的全解：解得：解得：表明：無阻尼受迫振動是由兩個諧振動合成的：表明：無阻尼受迫振動是由兩個諧振動合成的：第一部分是頻率為固有頻率的自由振動；第一部分是頻率為固有頻率的自由振動；第二部分是頻率為激振力頻率的振動，稱為受迫振動。第二部分是頻率為激振力頻率的振動，稱為受迫振動。實際振動系統(tǒng)存在阻尼，自由振動部分總會逐漸衰減下去，實際振動系統(tǒng)存在阻尼，自由振動部分總會逐漸衰減下去，因而我們著重研究第二部分受迫振動，它是

5、一種穩(wěn)態(tài)的振動。因而我們著重研究第二部分受迫振動，它是一種穩(wěn)態(tài)的振動。)sin()sin(22thtAxnn2.受迫振動的振幅受迫振動的振幅)sin(2tbx22nhb在簡諧激振的條件下，系統(tǒng)的受迫振動為諧振動，其振動在簡諧激振的條件下，系統(tǒng)的受迫振動為諧振動，其振動頻率等于激振力的頻率，振幅的大小與運動起始條件無關，頻率等于激振力的頻率，振幅的大小與運動起始條件無關，與振動系統(tǒng)的固有頻率與振動系統(tǒng)的固有頻率n激振力的力幅激振力的力幅H、激振力頻率、激振力頻率有關。有關。(1) 若若0，此時激振力的周期趨近于無窮大，激振力為一恒力，并不振，此時激振力的周期趨近于無窮大，激振力為一恒力，并不振動

6、，所謂的動，所謂的b0振幅實為靜力振幅實為靜力H作用下的靜變形。作用下的靜變形。下面討論受迫振動的振幅與激振力頻率之間的關系下面討論受迫振動的振幅與激振力頻率之間的關系22nhbkHhbn20(2)若若0n按式按式b為負值。習慣上把振幅都取為正值，因而取其絕對值，為負值。習慣上把振幅都取為正值，因而取其絕對值，而視受迫振動與激振力反向，相位應加（或減）而視受迫振動與激振力反向，相位應加（或減）1800。隨著激振力頻率隨著激振力頻率增大，振幅增大，振幅b減小。當減小。當趨于趨于，振幅，振幅b減小趨減小趨于零。于零。將縱軸取為將縱軸取為= b/b0，橫軸取為，橫軸取為=/n， 和和都是無量綱的都是

7、無量綱的量，繪出無量綱的振幅頻率曲線。量，繪出無量綱的振幅頻率曲線。bn0bb1n振幅振幅b與激振力頻率與激振力頻率之間的關系之間的關系22nhb繪出曲線表示。該曲線稱為振幅頻率曲線繪出曲線表示。該曲線稱為振幅頻率曲線上述分析，當上述分析，當=n時，即激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時，振幅時，即激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時，振幅b在在理論上應趨向無窮大，這種現(xiàn)象稱為共振。理論上應趨向無窮大，這種現(xiàn)象稱為共振。22nhb)sin(222thxdtxdn此時特解應設為：此時特解應設為：)cos(2tBtxn(3) 共振現(xiàn)象共振現(xiàn)象當當=n時時是沒有意義的是沒有意義的無阻尼受迫振動微分方程無阻尼受迫

8、振動微分方程得：nhB2)cos(22tthxnnthbn2它的幅值為：它的幅值為：共振時受迫振動的運動規(guī)律為共振時受迫振動的運動規(guī)律為: :ttO實際上，由于系統(tǒng)存在阻尼，共振時振幅不可能達到無限大，實際上，由于系統(tǒng)存在阻尼，共振時振幅不可能達到無限大，一般來說，共振時的振幅都是相當大，往往使機器產(chǎn)生過大一般來說，共振時的振幅都是相當大，往往使機器產(chǎn)生過大的變形，甚至造成破壞。的變形，甚至造成破壞。因此如何避免發(fā)生共振是工程中一個非常重要的課題。因此如何避免發(fā)生共振是工程中一個非常重要的課題。當當=n時，系統(tǒng)共時，系統(tǒng)共振，受迫振動的振振，受迫振動的振幅隨時間無限地增幅隨時間無限地增大，其運

9、動圖線如大，其運動圖線如圖示。圖示。)cos(22tthxnn例例. 圖示為一無重剛桿圖示為一無重剛桿AO，桿長為，桿長為l，其一端，其一端O鉸支另一端鉸支另一端A水平懸掛在剛水平懸掛在剛度為度為k的彈簧上，桿的中點裝有一質量為的彈簧上，桿的中點裝有一質量為m的小球。若在點的小球。若在點A加一激振力加一激振力F=F0sint,其中激振力的頻率其中激振力的頻率=1/2n , , n為系統(tǒng)的固有頻率。忽略阻尼，為系統(tǒng)的固有頻率。忽略阻尼，求系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。求系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。km2l2lFAO解：解：設任一瞬時剛桿擺角為設任一瞬時剛桿擺角為，根據(jù)剛體轉動微分方程可以根據(jù)剛體轉動微分方程可以建

10、立系統(tǒng)的運動微分方程。建立系統(tǒng)的運動微分方程。tlFkllmsin)2(022 令mlFmlFhO024)21(mklmkln4)2(222微分方程整理為：微分方程整理為：thnsin2 thnsin22將將=1/2n代入上式代入上式thnsin4322km2l2lFAOthnsin2 解得：解得：)sin443/(40tmkmlFtklFsin340研究受迫振動方程特解研究受迫振動方程特解t1m2m例例. 圖示帶有偏心塊的電動機，固定在一根彈性梁上。設電機的質量為圖示帶有偏心塊的電動機，固定在一根彈性梁上。設電機的質量為m1，偏心塊的質量為偏心塊的質量為m2 ，偏心距為，偏心距為e，彈性梁的

11、剛性系數(shù)為，彈性梁的剛性系數(shù)為k，求當電機以角速，求當電機以角速度度勻速旋轉時系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。勻速旋轉時系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。解：解：1) 取電機與偏心塊質點系為研究對取電機與偏心塊質點系為研究對象象設電機軸心在瞬時設電機軸心在瞬時t相對其平衡位置相對其平衡位置O的坐標為的坐標為x，kxpdtdxxxO2）作用力：在系統(tǒng)上的恢復力）作用力：在系統(tǒng)上的恢復力:3) 質點系動量定量的微分形式質點系動量定量的微分形式kFkxFk則偏心塊坐標為：則偏心塊坐標為：x+esint 。kxtexdtdmdtdxmdtd)sin(21temkxxmmsin)(2221 此微分方程為質點受迫振動，激振力項此微

12、分方程為質點受迫振動，激振力項 m2e2sint 即電機旋轉時，偏心塊的離心慣性力在即電機旋轉時，偏心塊的離心慣性力在x軸方向的投影。軸方向的投影。激振力力幅為激振力力幅為 m2e2 等于離心慣性力的大小等于離心慣性力的大小激振力的圓頻率等于轉子的角速度激振力的圓頻率等于轉子的角速度。這種情況引起的激振力的力幅與激振力的頻率有關。這種情況引起的激振力的力幅與激振力的頻率有關。)sin(21texdtdmdtdxmmpixixkxpdtdxt1m2mxxOkF整理后得：整理后得：當當n時，振幅隨著增大而減時，振幅隨著增大而減小，最后趨于小，最后趨于m2e/(m1 +m2) 。b212mmemnO

13、此曲線當此曲線當n時，振幅時，振幅從零開始，隨著頻率增大從零開始，隨著頻率增大而增大；而增大；令：令：22emH 2122mmemh221222)(mmkemhbn繪出振幅頻率曲線。繪出振幅頻率曲線。當當=n時，振幅趨于時，振幅趨于；受迫振動振幅：受迫振動振幅：例例. 圖為一測振儀的簡圖，其中物塊質量為圖為一測振儀的簡圖，其中物塊質量為m，彈簧剛度為，彈簧剛度為k。測振儀放。測振儀放在振動物體表面，將隨物體而運動。設被測物體的振動規(guī)律為在振動物體表面，將隨物體而運動。設被測物體的振動規(guī)律為s=esint，求測振儀中物塊的運動微分方程及其受迫振動規(guī)律。求測振儀中物塊的運動微分方程及其受迫振動規(guī)律

14、。解：解：1）取測振儀為研究對象）取測振儀為研究對象測振儀隨被測物而振動，則其彈簧懸測振儀隨被測物而振動，則其彈簧懸掛點的運動規(guī)律就是掛點的運動規(guī)律就是s=esint 。 2）位移分析）位移分析 取取t=0時物塊的平衡位置為坐標原時物塊的平衡位置為坐標原點點O，取，取x軸如圖。如彈簧原長為軸如圖。如彈簧原長為l0，st為其靜伸長。設任一時刻為其靜伸長。設任一時刻t時，物時，物塊的坐標為塊的坐標為x，彈簧的變形量為，彈簧的變形量為ss s0lstxxOsxst3）物塊運動的微分方程：）物塊運動的微分方程：)(sxkmgxmst ss s0lstxxOteskmgstsin, 整理為：整理為：tk

15、ekxxmsin 可見物塊的運動微分方程為可見物塊的運動微分方程為無阻尼受迫振動的微分方程。無阻尼受迫振動的微分方程。物塊的受迫振動形式：物塊的受迫振動形式：tbxsin激振力的力幅為激振力的力幅為keH 22222)(1)(nnnemkehbb為物塊絕對運動的振幅。為物塊絕對運動的振幅。由于測振儀殼體運動的振幅為由于測振儀殼體運動的振幅為e，記錄紙上畫出的振幅為物塊相對于，記錄紙上畫出的振幅為物塊相對于測振儀的振幅測振儀的振幅 a=|b-e|。當。當n 時，時，b0，有，有ae。一般測振儀的物塊質量較大，彈簧剛度一般測振儀的物塊質量較大，彈簧剛度k很小，使很小，使n很小。很小。用它來檢測頻率

16、用它來檢測頻率不太低的振動時，物塊幾乎不動，記錄紙上畫出的不太低的振動時，物塊幾乎不動，記錄紙上畫出的振幅也就接近于被測物體的振幅。振幅也就接近于被測物體的振幅。ss s0lstxxOtkekxxmsin kxFkdtdxccFctHFsin可建立質點運動微分方程可建立質點運動微分方程tHdtdxckxdtxdmsin22kcmFcFkF若選平衡位置若選平衡位置O為坐標原點，坐標軸鉛直向下。為坐標原點，坐標軸鉛直向下。則各力在坐標軸上的投影為：則各力在坐標軸上的投影為：二二. 單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動x圖示有阻尼振動系統(tǒng)，設物塊的質量為圖示有阻尼振動系統(tǒng)，設物塊

17、的質量為m，作用在物塊上的力有線性恢，作用在物塊上的力有線性恢復力復力Fk、粘性阻尼力、粘性阻尼力Fc和簡諧激振力和簡諧激振力F。,2mkn,2mcn Hhm整理得：整理得：thxdtdxndtxdnsin2222有阻尼受迫振動微分方程的標準形式有阻尼受迫振動微分方程的標準形式二階線性常系數(shù)非齊次微分方程二階線性常系數(shù)非齊次微分方程其解由兩部分組成：其解由兩部分組成：21xxxx1 ：齊次方程的通解：齊次方程的通解在小阻尼在小阻尼（n n ）情形下，有情形下，有)sin(221tnAexnnnttHdtdxckxdtxdmsin22kcmFcFkFx兩端除以兩端除以m，并令：，并令：x2 ：對

18、應齊次方程的特解：對應齊次方程的特解設它的形式為：設它的形式為：)sin(2tbx其中其中表示受迫振動的相位落表示受迫振動的相位落后于激振力的相位角。后于激振力的相位角。代入微分方程，可得：代入微分方程，可得：thtbtnbtbnsin)sin()cos(2)sin(22將右端改寫為：將右端改寫為：)sinsinthth)cos(sin)sin(costhth可整理為：可整理為：kcmFcFkFxthxdtdxndtxdnsin2222對任意瞬時對任意瞬時t，必須滿足：，必須滿足：0sin20cos)(22hnbhbn222224)(nhbn222tannn)sin()sin(22tbtnAe

19、xnnt其中其中A A和和 為積分常數(shù)，由運動的初始條件確定。為積分常數(shù)，由運動的初始條件確定。有阻尼受迫振動由兩部分合成：有阻尼受迫振動由兩部分合成：第一部分是衰減振動；第二部分是受迫振動第一部分是衰減振動；第二部分是受迫振動0)cos(sin2)sin(cos)(22thnbthbnkcmFcFkFx兩方程聯(lián)立，可解出：兩方程聯(lián)立，可解出：得微分方程的通解為：得微分方程的通解為：xOtxOtxOt)sin()sin(22tbtnAexnnt由于阻尼的存在由于阻尼的存在第一部分振動隨時間第一部分振動隨時間的增加，很快地衰減，的增加，很快地衰減，這段過程稱為過渡過這段過程稱為過渡過程（瞬態(tài)過程

20、）程（瞬態(tài)過程）. .過渡過程是很短暫的。過渡過程是很短暫的。過渡過程之后，系統(tǒng)過渡過程之后，系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)過程。進入穩(wěn)態(tài)過程。)sin(2tbx有阻尼存在，受簡諧激振力作用的受迫振動仍然是諧振動，其振動頻率有阻尼存在，受簡諧激振力作用的受迫振動仍然是諧振動，其振動頻率等于激振力的頻率，其振幅表達式為：等于激振力的頻率，其振幅表達式為：222224)(nhbn受迫振動的振幅不僅與激振力的力幅有關，還與激振力的頻率受迫振動的振幅不僅與激振力的力幅有關，還與激振力的頻率以及振以及振動系統(tǒng)的參數(shù)動系統(tǒng)的參數(shù)m、k和阻力系數(shù)和阻力系數(shù)c有關。有關。下面研究穩(wěn)態(tài)過程的振動。下面研究穩(wěn)態(tài)過程的振動。由受迫振

21、動的運動方程特解可知：由受迫振動的運動方程特解可知：22224)1 (1obb212tan222224)(nhbn222tannn采用無量綱形式，橫軸表示頻率比采用無量綱形式，橫軸表示頻率比=/=/n, ,縱軸表示振幅比縱軸表示振幅比=b/b=b/b0。阻尼的改變用阻尼比阻尼的改變用阻尼比=c/c=c/cc c= =n/n來表示。來表示。015. 020. 025. 050. 070. 000. 1不同阻尼條件下受迫振動的振幅頻率曲線不同阻尼條件下受迫振動的振幅頻率曲線阻尼對振幅的影響程度與頻率有關阻尼對振幅的影響程度與頻率有關1）當）當n時，阻尼對振幅的影響甚微，可忽略系統(tǒng)的阻尼而時，阻尼對

22、振幅的影響甚微，可忽略系統(tǒng)的阻尼而當作無阻尼處理。當作無阻尼處理。2）當）當n （即（即1）時，振幅顯著地增大。這時阻尼對振幅）時，振幅顯著地增大。這時阻尼對振幅有明顯的影響，即阻尼增大，振幅顯著地下降。有明顯的影響，即阻尼增大，振幅顯著地下降。222224)(nhbn振幅振幅bmax具有最大值，這時的頻率具有最大值，這時的頻率稱為共振頻率。稱為共振頻率。在共振頻率下的振幅為：在共振頻率下的振幅為：22max2nnhbn222224)(nhbn222212nnn當當時時或2max12obb在一般情況下，阻尼比在一般情況下，阻尼比n時，有阻尼受迫振動的振幅影響也較小，時，有阻尼受迫振動的振幅影響

23、也較小，這時可以忽略阻尼，將系統(tǒng)當作無阻尼系統(tǒng)處理。這時可以忽略阻尼，將系統(tǒng)當作無阻尼系統(tǒng)處理。)sin(2tbx有阻尼受迫振動的位相總比激振力落后一個相位角有阻尼受迫振動的位相總比激振力落后一個相位角，稱為相位差。稱為相位差。222tannn表達了相位差隨諧振力頻率的變化關系。表達了相位差隨諧振力頻率的變化關系。212tan或212tan由微分方程的特解由微分方程的特解畫出相位差隨激振力頻率的變化曲線（相頻曲線）畫出相位差隨激振力頻率的變化曲線（相頻曲線）01 . 02 . 05 . 00 . 10 . 40 . 20 . 41 . 02 . 05 . 00 . 1相頻曲線可看到：相位差總是

24、在相頻曲線可看到：相位差總是在0至至180區(qū)間變化，是一區(qū)間變化，是一單調上升的曲線。共振時：單調上升的曲線。共振時：=n =90 ，阻尼值不同的曲，阻尼值不同的曲線都交于這一點。越過共振區(qū)之后，隨著頻率線都交于這一點。越過共振區(qū)之后，隨著頻率的增加，相的增加，相位差趨近位差趨近180，這時激振力與位移反相。，這時激振力與位移反相。相頻曲線相頻曲線212tan解：解：1) 取系統(tǒng)為研究對象取系統(tǒng)為研究對象2）受力分析）受力分析kcmlllF例例. 如圖所示為一無重剛桿。其一端鉸支，距鉸支端如圖所示為一無重剛桿。其一端鉸支，距鉸支端l處有一質量為處有一質量為m的質點，的質點，距距2l處有一阻尼器

25、，其阻尼系數(shù)為處有一阻尼器，其阻尼系數(shù)為c，距，距3l處有一剛度為處有一剛度為k的彈簧，并作用一的彈簧，并作用一簡諧激振力簡諧激振力F=F0sint。剛桿在水平位置平衡，試列出系統(tǒng)的振動微分方程，。剛桿在水平位置平衡，試列出系統(tǒng)的振動微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率并求系統(tǒng)的固有頻率n以及當激振力頻率以及當激振力頻率等于等于n時質點的振幅。時質點的振幅。kFcF3）建立系統(tǒng)的振動微分方程）建立系統(tǒng)的振動微分方程設剛桿在振動的擺角為設剛桿在振動的擺角為，由動量，由動量矩定理：矩定理：tlFklclmlsin3940222 整理得：整理得：tmlFmkmcsin3940 令：mkn9mcn2mlFh0

26、3kmcFlbB40當當=n時，其擺角時，其擺角的振的振幅為：幅為：222224)(nhbnkmclFlcFnhbn443200tmlFmkmcsin3940 kcmlllFkFcF質點的振幅：質點的振幅： 工程中的回轉機械，如渦輪機、電機等，在運轉時經(jīng)常由工程中的回轉機械，如渦輪機、電機等，在運轉時經(jīng)常由于轉軸的彈性和轉子偏心而發(fā)生振動。于轉軸的彈性和轉子偏心而發(fā)生振動。 當轉速增至某個特定值時，振幅會突然加大，振動異常激當轉速增至某個特定值時，振幅會突然加大，振動異常激烈，當轉速超過這個特定值時，振幅又會很快減小。使轉子烈，當轉速超過這個特定值時，振幅又會很快減小。使轉子發(fā)生激烈振動的特定

27、轉速稱為發(fā)生激烈振動的特定轉速稱為臨界轉速臨界轉速。三三. 轉子的臨界轉速轉子的臨界轉速以單圓盤轉子為例，說明這現(xiàn)象以單圓盤轉子為例，說明這現(xiàn)象yxtOACgFFzOCA設圓盤的質量為設圓盤的質量為m，質心為，質心為C，點，點A為圓盤與轉軸的為圓盤與轉軸的交點，偏心距交點，偏心距e=AC。圓盤與轉軸一起以勻角速度圓盤與轉軸一起以勻角速度轉動時，由于慣性力轉動時，由于慣性力的影響，轉軸將發(fā)生彎曲而偏離原固定的幾何軸線的影響，轉軸將發(fā)生彎曲而偏離原固定的幾何軸線 z 。設點設點O為為z軸與圓盤的交點，軸與圓盤的交點，rA=OA為轉軸上點為轉軸上點A的的撓度（變形）撓度（變形） 在俯視圖上，設轉軸安

28、在圓盤中點，在俯視圖上，設轉軸安在圓盤中點，當軸彎曲時，圓盤仍繞點當軸彎曲時，圓盤仍繞點O勻速轉動。勻速轉動。圓盤慣性力的合力圓盤慣性力的合力Fg通過質心，背離軸心點通過質心，背離軸心點O，大，大小為小為Fg =m2OC。作用在圓盤上的彈性恢復力作用在圓盤上的彈性恢復力F指向軸心點指向軸心點O，大小，大小為為F=krA ，k為軸的剛度系數(shù)。為軸的剛度系數(shù)。圖示的單圓盤轉子垂直地安裝在無質量的彈性轉軸上。圖示的單圓盤轉子垂直地安裝在無質量的彈性轉軸上。)(22ermOCmkrAA由達朗伯原理，慣性力由達朗伯原理，慣性力Fg與恢復力與恢復力F相互平衡相互平衡而點而點O、A、C應在同一直線上，且有：

29、應在同一直線上，且有：yxtOACgFF22mkemrA以以m除分子與分母除分子與分母mk系統(tǒng)的固有頻率系統(tǒng)的固有頻率222nAer則上式為：則上式為：解出解出A點撓度：點撓度：22mkerA當轉動角速度從當轉動角速度從0逐漸增大時，撓度逐漸增大時，撓度rA也逐漸增大；也逐漸增大；當當=n時，時， rA趨于無窮大。趨于無窮大。實際上由于阻尼和非線性剛度的影響，實際上由于阻尼和非線性剛度的影響，rA為一很大的有限為一很大的有限值。值。使轉軸撓度異常增大的轉動角速度稱為臨界角速度，記為使轉軸撓度異常增大的轉動角速度稱為臨界角速度，記為cr ，它等于系統(tǒng)的固有頻率，它等于系統(tǒng)的固有頻率n；此時的轉速

30、稱為臨界轉速，記為此時的轉速稱為臨界轉速，記為nn222nAerArencrO當當 cr時上式為負值，取時上式為負值，取rA其絕對值；其絕對值；再增大時，撓度值再增大時，撓度值rA迅速減小而趨于定值迅速減小而趨于定值e（偏心距），（偏心距），此時質心位于點此時質心位于點A與點與點O之間，如之間，如b圖所示。圖所示。當當cr時，時，rA e，這時質心，這時質心C與軸心點與軸心點O趨于重合，即圓趨于重合，即圓盤繞質心盤繞質心C轉動，這種現(xiàn)象稱為自動定心現(xiàn)象。轉動，這種現(xiàn)象稱為自動定心現(xiàn)象。222nAerArencrO 偏心轉子轉動時，由于慣性力作用，偏心轉子轉動時，由于慣性力作用，彈性轉軸將發(fā)生彎

31、曲而繞原幾何軸線轉動，彈性轉軸將發(fā)生彎曲而繞原幾何軸線轉動，稱稱“弓狀回轉弓狀回轉”。軸承壓力的方向周期性。軸承壓力的方向周期性變化。變化。 當轉子角速度接近臨界角速度、轉軸當轉子角速度接近臨界角速度、轉軸的變形和慣性力都急劇增大，軸承承受很的變形和慣性力都急劇增大，軸承承受很大的動壓力，機器會發(fā)生劇烈振動。大的動壓力，機器會發(fā)生劇烈振動。 在一般情況下，轉子不允許在臨界轉在一般情況下，轉子不允許在臨界轉速下運轉，只能在遠低于或遠高于臨界轉速下運轉，只能在遠低于或遠高于臨界轉速下運行。速下運行。zOCA 工程中，振動現(xiàn)象是不可避免的，因為有許多回轉機械中工程中，振動現(xiàn)象是不可避免的，因為有許多

32、回轉機械中的轉子不可能達到絕對的轉子不可能達到絕對“平衡平衡”，往復機械的慣性力更無法平，往復機械的慣性力更無法平衡，這些都是產(chǎn)生振動的來源。衡，這些都是產(chǎn)生振動的來源。 對這些不可避免的振動只能采用各種方法進行隔振或減振。對這些不可避免的振動只能采用各種方法進行隔振或減振。四四.隔隔 振振 將振源與需要防振的物體之間用彈性元件和阻尼元件進將振源與需要防振的物體之間用彈性元件和阻尼元件進行隔離，這種措施稱為隔振。行隔離，這種措施稱為隔振。 隔振分為：隔振分為： 主動隔振主動隔振 被動隔振被動隔振 主動隔振是將振源與支持振源的基礎隔離開來。主動隔振是將振源與支持振源的基礎隔離開來。圖示電動機為一

33、振源，在電動機與基礎之間用橡膠塊隔離開來，以減弱圖示電動機為一振源，在電動機與基礎之間用橡膠塊隔離開來，以減弱通過基礎傳到周圍物體去的振動。通過基礎傳到周圍物體去的振動。kcmFkFcF1.主動隔振主動隔振振源產(chǎn)生的激振力振源產(chǎn)生的激振力F(t)=Hsint 物塊與基礎間彈簧剛度：物塊與基礎間彈簧剛度：k 阻尼系數(shù)：阻尼系數(shù)：c根據(jù)有阻尼受迫振動的理論根據(jù)有阻尼受迫振動的理論物塊的振幅為：物塊的振幅為：22220222224)1 (4)(bnhbn對圖示主動隔振的簡化模型。對圖示主動隔振的簡化模型。物塊振動時傳遞到基礎上的力為兩部分：物塊振動時傳遞到基礎上的力為兩部分：一部分是由于彈簧變形而作

34、用于基礎上的力：一部分是由于彈簧變形而作用于基礎上的力：)sin(tkbkxFk)cos(tcbxcFckcmFkFcF兩部分力相位差為兩部分力相位差為90，頻率相同，合成為一個，頻率相同，合成為一個同頻率合力，合力的最大值為：同頻率合力，合力的最大值為：222max2maxmax)()(cbkbFFFckN22max41 kbFN即：即：FNmax：振動時傳遞給基礎作用力的最大值：振動時傳遞給基礎作用力的最大值另一部分是通過阻尼元件作用于基礎的力：另一部分是通過阻尼元件作用于基礎的力：222222max4)1 (41HFN它與激振力的力幅它與激振力的力幅H之比為：之比為：20125. 02

35、. 035. 07 . 00 . 2)(n稱為力的傳遞率。稱為力的傳遞率。表明力的傳遞率與阻尼和激振頻率有關。表明力的傳遞率與阻尼和激振頻率有關。1）1.414，1.414時，加大阻尼會使時，加大阻尼會使振幅增大，降低隔振效果。振幅增大，降低隔振效果。5）阻尼太小，機器過共振區(qū)）阻尼太小，機器過共振區(qū)時會產(chǎn)生很大的振動，隔振，時會產(chǎn)生很大的振動，隔振，要選擇恰當阻尼值。要選擇恰當阻尼值。不同阻尼時傳遞率不同阻尼時傳遞率與頻率比與頻率比的關系曲線。的關系曲線。地基振動將引起物體的振動，這種激振稱為位移激振。地基振動將引起物體的振動，這種激振稱為位移激振。設物塊的振動位移為設物塊的振動位移為x，則

36、作用在物塊上，則作用在物塊上)(1xxktdxsin1kcmtdxsin1x將需要防振的物體與振源隔開稱為被動隔振。將需要防振的物體與振源隔開稱為被動隔振。例如，在精密儀器的底下墊上橡皮或泡沫塑料，將放置在汽車上的測量例如，在精密儀器的底下墊上橡皮或泡沫塑料，將放置在汽車上的測量儀器用橡皮繩吊起來等。儀器用橡皮繩吊起來等。圖示一被動隔振的簡化模型。物塊表示被隔振的圖示一被動隔振的簡化模型。物塊表示被隔振的物體，質量為物體，質量為m；彈簧和阻尼器表示隔振元件，；彈簧和阻尼器表示隔振元件，彈簧的剛性系數(shù)為彈簧的剛性系數(shù)為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為，阻尼器的阻尼系數(shù)為c。設地基振動為簡諧振動，即：設地基

37、振動為簡諧振動，即：)(1xxc 2.被動隔振被動隔振彈簧力為：彈簧力為：阻尼力為：阻尼力為：)()(11xxcxxkxm 質點運動微分方程為質點運動微分方程為整理得整理得11cxkxkxxcxm tdxsin1tdctkdkxxcxmcossin 右端兩個同頻率的諧振動合成，得右端兩個同頻率的諧振動合成，得)sin(tHkxxcxm 222ckdHkcmtdxsin1x其中：其中：kcarctan設上述方程的特解（穩(wěn)態(tài)振動）為設上述方程的特解（穩(wěn)態(tài)振動）為)sin(tbx)sin(tHkxxcxm 2222222)(cmkckdb寫成無量綱形式為寫成無量綱形式為2222224)1 (41db

38、其中其中 是振動物體的位移與地基激振位移之比，稱為位移的是振動物體的位移與地基激振位移之比，稱為位移的傳遞率。位移傳遞率曲線與力的傳遞率曲線相同。傳遞率。位移傳遞率曲線與力的傳遞率曲線相同。在被動隔振中，對隔振元件的要求與主動隔振是一樣的。在被動隔振中，對隔振元件的要求與主動隔振是一樣的。kcmtdxsin1x曲線曲線當當 1 , 1，無隔振效果無隔振效果（ n）。）。 21在在區(qū)域內，區(qū)域內，不隔振，反而放大不隔振，反而放大 1共振共振 1 , 2，隔振區(qū)隔振區(qū) 令令 , %100)1 (為隔離振動百分率。為隔離振動百分率。 %10012%10011122當當55 . 2時，時， %9681

39、一般取一般取 55 . 2 1.0 1.0 2 隔振要求隔振要求 5)2.5( n55 . 2即：高頻振動易隔離，即：高頻振動易隔離，低頻振動很難隔離低頻振動很難隔離,因因系系統(tǒng)彈簧剛度要低（統(tǒng)彈簧剛度要低（k要小，但要小，但k太小系統(tǒng)又不穩(wěn)太小系統(tǒng)又不穩(wěn)定定,，應，應無法滿足隔振要求無法滿足隔振要求 采用主動，半主動隔振）采用主動，半主動隔振） 隔振設計步驟隔振設計步驟 a. 按按 要求確定要求確定 b. 計算設備質量計算設備質量m（從圖紙等有關資料）（從圖紙等有關資料） c. 計算隔振裝置剛度計算隔振裝置剛度 d. 驗算隔振后振幅，若振幅太大可增大設驗算隔振后振幅，若振幅太大可增大設備質量

40、備質量m或改變隔振器參數(shù)出（增大或改變隔振器參數(shù)出（增大 ）55 . 2mk2n 例：系統(tǒng)固有頻率為例：系統(tǒng)固有頻率為3.8Hz ，隔振器阻尼，隔振器阻尼比比 ，地基干擾為正弦干擾。振，地基干擾為正弦干擾。振幅幅 ，最大振動速度，最大振動速度 求隔振后設備振幅。求隔振后設備振幅。125. 0m102Y541.256 10/Ym sc m k y(t) 地面擾動頻率為地面擾動頻率為sradYY/28. 610210256. 154而而 ) s/rad(9 .238 . 32f2n2 . 0)2()1 ()2(12222設備振幅設備振幅 mYX651042 . 0102例：一機器質量為例：一機器質

41、量為kg690m ，機器工作時產(chǎn)生，機器工作時產(chǎn)生的激振力為的激振力為 tsinF) t (Fo， 122.5rad/s 186gNFo已知已知s/cm1v，作隔振設計。，作隔振設計。 取取sradn/8 .4035 .122 3n初步設計取初步設計取 0有有 125. 0112XX則則 )/(45. 2125. 06908 .409811865 .12222VscmmFXno為此增大質量，設增加質量為為此增大質量，設增加質量為 m（基礎質量），（基礎質量），則總質量則總質量 mmM從從2VMFXno有：有： kgVFMno169018 .40125. 09811865 .12222kg100

42、0mMm隔振彈簧剛度隔振彈簧剛度 )m/N(108 . 21690)8 .40(Mk622n 五五. 振系在任意周期力作用下的強迫振動振系在任意周期力作用下的強迫振動)(tfkxxm 對 tnatftnbtfnncos)( sin)(與有 )sin(nntnXx及 )cos(nntnXx其中kAnnXnnnn22222211nnnbaA或2112nnnnntg 任意周期力可展為富里葉級數(shù)任意周期力可展為富里葉級數(shù)) tnsinbtncosa (2a) t (fnno則則 22222)/2()/1 ()sin()(cos2nnnnnnonnktnbtnakax 六六.振系在任意激勵下的強迫振動振系在任意激勵下的強迫振動脈沖響應函數(shù)脈沖響應函數(shù)假定在假定在0t 時的極短時的極短時間間隔時間間隔 之內質量之內質量m受到一個受到一個 沖量沖量I作用，且作用，且 dtPI)(則質量則質量m將產(chǎn)生一個初速度將產(chǎn)生一個初速度 ox 而初位移為零（而初位移為零（d很短，系統(tǒng)很短，系統(tǒng) 來不及產(chǎn)生位移）來不及產(chǎn)生位移）dmpmIxoox 0c k P(t) m 系統(tǒng)對此初始條件的響應為系統(tǒng)對此初始條件的響應為txtdxxexdodonntcossin)(sin tIhtemIdtdnte