非平穩(wěn)信號分析

1、非平穩(wěn)信號分析 教學(xué)內(nèi)容：n信號的時頻表示方法n短時傅立葉變換n分?jǐn)?shù)傅立葉變換nWigner分布與廣義雙線性時頻分布n小波分析和應(yīng)用對學(xué)習(xí)者的要求n三個基本要求：n掌握時頻分析的基本思想n熟悉處理非平穩(wěn)信號的基本方法n能將非平穩(wěn)信號分析方法應(yīng)用在實際工作中。非平穩(wěn)信號分析介紹：n信號是什么？n信號分析的任務(wù)是什么？n什么是非平穩(wěn)信號？n用什么方法來分析和處理非平穩(wěn)信號？ 信號：n信號是隨時間或空間變化的物理量。n信號的數(shù)學(xué)表示方式： 多變量函數(shù)。信號分析：n對信號基本性質(zhì)的研究和表征。n多變量函數(shù)的不同表示。平穩(wěn)信號與非平穩(wěn)信號：n平穩(wěn)隨機(jī)信號11( ),., ( )(),., (),., ,

2、( ),nnnx tx tx tx ttTx t tT1若的聯(lián)合分布函數(shù)與的聯(lián)合分布函數(shù)對所有的t都相同，則由隨機(jī)過程表征的隨機(jī)信號稱為（嚴(yán)格）平穩(wěn)隨機(jī)信號。平穩(wěn)信號與非平穩(wěn)信號：n廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號21212( ),( )| ( )| , ()xxx t tTE x tmEx tR t tR tt若隨機(jī)信號滿足：（1） 常數(shù)（2） （3） 稱為廣義（二階）平穩(wěn)隨機(jī)信號。平穩(wěn)信號與非平穩(wěn)信號：n廣義(n階）平穩(wěn)隨機(jī)信號n階統(tǒng)計量不隨時間變化的隨機(jī)信號平穩(wěn)信號與非平穩(wěn)信號：n非平穩(wěn)隨機(jī)信號 不是廣義平穩(wěn)的信號為非平穩(wěn)信號。n某階統(tǒng)計量隨時間變化的信號。 （時變信號）非平穩(wěn)信號分析的主要研究領(lǐng)域：n

3、短時傅立葉變換n時頻分析n分?jǐn)?shù)階傅立葉變換n小波變換n其他新的信號分析和處理工具Fourier的貢獻(xiàn)：n用數(shù)學(xué)方式提出任何一個周期函數(shù)都能表示為一組正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之和。n他解釋了這一數(shù)學(xué)論斷的實際物理意義。Fourier變換的意義：波的合成輸入：自然光紅色光橙色光紫色光輸入：f(x)頻率1頻率2.Fourier變換的一種解釋一個反例：n1873年，Bois-Reymond構(gòu)造了一個反例： 一個連續(xù)的周期函數(shù)，但它的Fourier級數(shù)在給定點(diǎn)發(fā)散。對Fourier變換理論的修正：n修正對函數(shù)的要求，并找出適合于Fourier級數(shù)理論的活動類。n修正Fourier級數(shù)收斂的定義。n找出另外的正

4、交函數(shù)族，使其對三角函數(shù)族的發(fā)散現(xiàn)象不在產(chǎn)生。三個研究方向的結(jié)果：第一個方向： 由Lebegue解決。平方可積函數(shù)。即： 2 , 02L第二個方向： 產(chǎn)生了調(diào)和分析這一研究 領(lǐng)域。nSSSroaCesxSnnn)()(110和）代替。用部分和的平均（部分和第三個方向： 產(chǎn)生了最原始的小波：Harr小波問題：n是否存在0,1上的正交函數(shù)族hn(x)，對任意0,1上的連續(xù)函數(shù)，有).( 1 , 0)(,0 xfxhhfnnn上一致收斂于在n1909年，Haar找到了一個現(xiàn)在被稱為Haar函數(shù)（小波）的函數(shù)，滿足上面的要求。1/21 1 , 0)(2)2(2)(0) 1 ,211)21, 01)(0

5、2xhknkxhxhxxxhjjjn其中：其他不是連續(xù)函數(shù)。缺點(diǎn)：)(xhn基礎(chǔ)知識：n群 一個集合X,在這個集合上有一個被稱作乘法的內(nèi)部運(yùn)算。且滿足： exxxxxxXxXxxexxeXeXzyxyzxzxy111,) 3()2(,)()() 1 (，使的逆元存在對任意的，使存在恒等元結(jié)合律nAbel群（可交換群）Xyxyxxy,n環(huán) 一個集合X,在這個集合上有兩個分別被稱作乘法與加法的內(nèi)部運(yùn)算。且滿足：zxyxxzyxzxyzyxyzxzxyXzyxX)()()()(,)2() 1 (加法可交換律。即乘法是可結(jié)合的，且對群。在加法下是一個可交換n環(huán)的恒等元xxeexXxXe，有對,nAbe

6、l環(huán) 在乘法運(yùn)算下，還是一個Abel群的環(huán)。n域 一個具有恒等元的環(huán)，且滿足除零（加法的恒等元）以外的所有元素都有逆元。n模 在一個Abel群上再加上一個被稱為數(shù)乘的外部運(yùn)算。XyxRxxxxxyxyx,)()()()(n代數(shù) 一個在具有恒等元的環(huán)R上的模A，再加上一個內(nèi)部可結(jié)合運(yùn)算（乘法）。 )()()(2) 1 (yxyxxyA）（是一個環(huán)。nLebesgue積分學(xué)定理 Riemann積分與Lebesgue積分f(x)xRiemann積分xLebesgue積分f(x)幾乎處處收斂： eaxfxfn., )()(0是一個零測集。不收斂與即：)()(0 xfxfxAnn控制收斂定理dxxfdx

7、xfxfnxgxfxfxfnnnn)(lim)()()()(,)()(可積，并且成立，那么對于所有的如果幾乎處處假定nFubili定理 dxdyyxfdydxyxfdxdyyxfdxdyyxf),(),(),(.),(則如果函數(shù)空間： Ca,b :f(x)|f(x)是a,b上的連續(xù)函數(shù) L2 :f(x)|f(x)是平方可積函數(shù)二.內(nèi)積空間 設(shè)X是一個復(fù)線性空間，若存在一個二元 映射，滿足：1)線性性:=a+b2)對稱性： =3)非負(fù)性：則稱X是一個內(nèi)積空間。0, 0, 0,uuuuu并三.賦范線性空間 設(shè)X是一個線性空間，若存在X上的一個泛函，滿足：1)非負(fù)性:2)齊次性：3)三角不等式：則稱

8、X是賦范線性空間。uuvuuaau00,0uuu并內(nèi)積空間與賦范線性空間的關(guān)系：n內(nèi)積空間可以下面的方法定義范數(shù)，成為一個賦范線性空間。 2/1,xxx賦范線性空間中的收斂概念：000 xxxxnn，則稱若完備性：X,X00 xxxxnn則完備的賦范線性空間稱為Banach空間。Banach空間的另一種表述：柯西序列： 是柯西序列。時，則稱當(dāng)nmnnxmnxxXx, 0,若任一柯西序列都有極限，則稱X為Banach空間。n完備的內(nèi)積空間就是Hilbert空間。常用的函數(shù)空間： 212222122, :m ax( ):,():,()rrnnnnnnnnC a bxx tLfgfgdtffdtlxxcdc dxc Hilbert空間的正交概念：222, 0,vuvuvuvuHvuHilbertH此時：正交。則稱若空間，是VV,H,V, 0,HVHVwvwvuuuwwHilbert，有唯一的分解：對則交補(bǔ)定義為：的一個閉子空間，其正空間是設(shè)投影定理：uvwn投影算子：vuPVHPVV,:基的討論：基基Riesz基基正交基正交基規(guī)范正交基。規(guī)范正交基。NkkVNkkkVNkkkkvuuHuvvuuPvcuuspanVNkv12211,P,H1.1)(且，則的一組規(guī)范正交向量組是設(shè)正交展開定理定理：N22N,P,H. 2)(kkV