自動(dòng)控制理論：第七章 線性離散系統(tǒng)

1、 第七章 線性離散系統(tǒng)7.1 離散系統(tǒng)的基本概念7.2 采樣過(guò)程及采用定理7.3 信號(hào)恢復(fù)與信號(hào)保持7.4 Z變換理論7.5 采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 7.6 線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 連續(xù)系統(tǒng):r(t)、c(t)和e(t)等是時(shí)間t的連 續(xù)函數(shù)，這樣的系統(tǒng)稱為連續(xù)系統(tǒng)。 計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)，微機(jī)是以數(shù)字 方式傳遞和處理信息，控制系統(tǒng)中的信號(hào)定 義在 離散 時(shí)間上的系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。 離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)既有差別，又有相似 性。連續(xù)系統(tǒng)通過(guò)Z變換，可以將連續(xù)系統(tǒng)中 的概念應(yīng)用到離散系統(tǒng)。7.1 離散系統(tǒng)的基本概念 一、信號(hào)分類1、模擬信號(hào) 信號(hào)是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)；2、離散信號(hào) 信號(hào)是時(shí)間上的

2、離散序列；3、數(shù)字信號(hào)離散量化信號(hào)，是時(shí)間上、幅值上的離散序列。 7.1.1 離散系統(tǒng)的特點(diǎn)(a) 連續(xù)信號(hào)t(b) 離散信號(hào)t(c) 離散量化信號(hào)t 二、控制系統(tǒng)分類1、連續(xù)系統(tǒng)2、采樣系統(tǒng)3、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)被控對(duì)象控制器r(t)e(t)u(t)c(t)測(cè)量元件ZOH被控對(duì)象脈沖控制器測(cè)量元件r(t)e(t)u(t)c(t)e*(t)u*(t)D/A被控對(duì)象數(shù)字計(jì)算機(jī)測(cè)量元件r(t)e(t)u(t)c(t)e*(t)u*(t)A/D 采樣周期：一個(gè)非常重要、特殊的參數(shù)，會(huì)影響系統(tǒng)的 穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差、信號(hào)恢復(fù)精度！三、連續(xù)系統(tǒng)與采樣控制系統(tǒng)的區(qū)別相同點(diǎn): 1、采用反饋控制結(jié)構(gòu); 2、由被控對(duì)

3、象、測(cè)量元件和控制器組成; 3、控制系統(tǒng)的目的相同; 4、系統(tǒng)分析的內(nèi)容相同。不同點(diǎn)：信號(hào)的形式（采樣器、保持器）。采樣控制的優(yōu)點(diǎn)： 精度高、可靠、有效抑制干擾、通用性好。 采樣開(kāi)關(guān)的工作方式，指采樣速度和采樣開(kāi)關(guān)的周期性采樣之間的相位問(wèn)題；采樣誤差信號(hào) 是通過(guò)采樣開(kāi)關(guān)對(duì)連續(xù)信號(hào) 采樣后得到的；采樣開(kāi)關(guān)經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間T閉合一次，采樣時(shí)間為，T。T為采樣周期，s=1/T及s=2s分別為采樣頻率和采樣角頻率。 7.1.2 采樣開(kāi)關(guān)的工作方式 采樣的方式 等周期采樣：采樣時(shí)刻為nT(n=0、1、2),T 為常量；多階采樣：采樣時(shí)間是周期性重復(fù)的； 多速采樣：用兩個(gè)具有不同采樣周期的采樣器對(duì)信號(hào)同時(shí)采

4、樣；隨機(jī)采樣：采樣時(shí)間是隨機(jī)變量。 本章討論等周期采樣數(shù)字計(jì)算機(jī)作為控制器的控制系統(tǒng)多點(diǎn)巡回檢測(cè)與控制系統(tǒng)常見(jiàn)的采樣系統(tǒng) 采樣器（采樣開(kāi)關(guān)）：將連續(xù)信號(hào)變?yōu)槊}沖序列的裝置；采樣過(guò)程：對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣后變?yōu)闀r(shí)間上離散的脈沖序列的過(guò)程；T采樣周期,-采樣時(shí)間 T n整數(shù)7.2.1采樣過(guò)程7.2 采樣過(guò)程及采用定理采樣器e(t)T時(shí)間內(nèi),e(t)變化甚微，可近似為寬度為 ,高度為e(nT)的矩形脈沖序列 信號(hào)采樣 理想采樣序列： 采樣過(guò)程是脈沖調(diào)制過(guò)程,對(duì)采樣器的輸出拉氏變換由拉氏變換實(shí)位移定理采樣過(guò)程相當(dāng)脈沖調(diào)制過(guò)程,采樣輸出是兩個(gè)信號(hào)的乘積-決定采樣信號(hào)幅值-決定采樣時(shí)間 為了從采樣信號(hào)中不失真地

5、復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號(hào),離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)者必須遵循采樣定理;7.2.1 采樣定理如果s 2m，就不能準(zhǔn)確恢復(fù)原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。s 2me(t)就可以從e*(t)中恢復(fù)過(guò)來(lái),也可表示為 若采樣器輸入信號(hào)e(t)帶寬有限，且有直到m (rad/s)的頻率分量，當(dāng)采樣周期T滿足下列條件采樣定理(香農(nóng)定理) 單位脈沖理想響應(yīng)序列e*(t)對(duì)應(yīng)的離散信號(hào)e （t)連續(xù)信號(hào)以T為周期的函數(shù)，可展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)表示為 采樣信號(hào)的頻譜（證明）T(t) =s=2/T為采樣角頻率,Cn是傅氏系數(shù),其值為：T(t) =連續(xù)信號(hào)的頻譜為采樣信號(hào)的頻譜為m-m0m-m0s2s3s-3s-2s-sm-m0s-sm-m0s2s3s-3s

6、-2s-ss滿足什么條件時(shí)才能從恢復(fù)出?s 2m或：T/ms = 2h 7.2.3 采樣周期的選擇理論上，采樣周期T選得越小，即采樣角頻率s選得越高，信息獲得的越多，控制效果越好;但是，T過(guò)短，難以實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜的控制規(guī)律，且實(shí)際意義不大T過(guò)長(zhǎng)，控制誤差大，動(dòng)態(tài)性能降低，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定;采樣周期T參考選擇；控制過(guò)程流量壓力液位溫度成分采樣周期（T)（s)T的選取，主要取決于系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 頻域閉環(huán):閉環(huán)頻率響應(yīng)有低通濾波特性輸入頻率高于r時(shí)，信號(hào)快速衰減，可認(rèn)為通過(guò)系統(tǒng)的控制信號(hào)最高頻率分量為r 。頻域開(kāi)環(huán)：近似有cr，頻率分量超過(guò)c的分量通過(guò)系統(tǒng)后被大幅度衰減。隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣角頻率近似為s

7、=10cT=2/s ,采樣周期公式可表示為時(shí)域指標(biāo):T 可以通過(guò)tr，ts選取，按經(jīng)驗(yàn)公式確定 采樣 定理 信號(hào)復(fù)現(xiàn) 理想濾波器采樣開(kāi)關(guān)7.3 信號(hào)恢復(fù)與信號(hào)保持T選擇得當(dāng)，e(t) 從e*(t)中完全復(fù)現(xiàn)。但理想濾波器不存在，只能用保持器代替。保持器將離散信號(hào) 連續(xù)信號(hào)的元件采樣時(shí)，連續(xù)信號(hào)值與脈沖序列強(qiáng)度相等，nT時(shí)刻，有(n+1)T時(shí)刻，有保持器要解決nT與(n+1)T之間(即0t=Tmwp2 保持器有外推功能，外推作用即現(xiàn)在時(shí)刻的輸出取決于過(guò)去時(shí)刻離散信號(hào)的外推,用公式描述該式說(shuō)明現(xiàn)在時(shí)刻的輸出e(nT+t)，由過(guò)去 (m+1)個(gè)離散信號(hào)e*(nT)、e*(n-1)T、e*(n-2)T

8、、e*(n-m)T確定。i（i=0,1,m）為待定系數(shù)，由過(guò)去(m+1)個(gè)e*(n-i)T 確定，i 有唯一解;t0、T、2T、mT為過(guò)去時(shí)刻。m=0，為零階保持器；m=1，為一階保持器；m=m，為m階保持器。一般采用零階保持器t是以nT為坐標(biāo)原點(diǎn)。 主要特點(diǎn)：1、輸出信號(hào)是階梯波，含有高次諧波。2、相位滯后。零階保持器：7.3.1 零階保持器最簡(jiǎn)單、使用最廣泛；采用恒值外推規(guī)律，即將前一采樣時(shí)刻nT的采樣值e(nT)不增不減地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(n+1)T，零階保持器 零階保持器的單位脈沖響應(yīng)由拉氏變換的相似性 零階保持器的幅頻特性注意：2、除了主頻譜外，還有高頻分量；3、零階保持器將產(chǎn)生

9、相角滯后，滯后角1、幅值隨角頻率的增大而衰減，有低通濾波特性； 零階保持器的近似實(shí)現(xiàn)取前兩項(xiàng)取前三項(xiàng)取前三項(xiàng)時(shí)無(wú)源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)形式如圖更高階的近似，使無(wú)源網(wǎng)絡(luò)變得非常復(fù)雜。一般不使用！R1LCR3R2 Z變換是采樣函數(shù)拉氏變換的變形，又稱為采樣拉氏變換，是研究線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。 7.4 Z變換理論線性連續(xù)系統(tǒng)的性能，用拉氏變換分析，線性離散系統(tǒng)的性能，用Z變換分析。 7.4.1 Z變換的定義被定義為采樣函數(shù)* (t) 的Z變換對(duì)Z變換強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：1. z是復(fù)變量, s也是復(fù)變量，分別表示為 s=j2.Z變換中，僅采樣時(shí)刻上的采樣值，信息，不反映采樣時(shí)刻之間的信息，f(t)與* (t) 有相

10、同的Z變換，即Zf(t)Z* (t) =F(z) 該式僅表達(dá)采樣時(shí)刻的設(shè)f（t）的采樣信號(hào)為f*（t） 1. 級(jí)數(shù)求和法7.4.2 Z變換的求法f(t）的離散函數(shù)為* (t) , * (t) 展開(kāi)逐項(xiàng)拉氏變換，得上式為* (t) Z變換的級(jí)數(shù)表達(dá)式。顯然，知道f(t) 采樣時(shí)刻nT（n=0,1,2,）的值f(nT），則可求得Z變換的級(jí)數(shù)展開(kāi)式。 例7.1求1*（t）的Z變換 。|z-1 | 1 ，級(jí)數(shù)收斂，利用求和公式，得1（t）的Z變換 求出 Pi 及 Ai ，可求出F(s)對(duì)應(yīng)的Z變換F(z)： f(t) 的拉氏變換為F(s)，其部分分式之和為 2、部分分式法Ai常系數(shù)Pi 是極點(diǎn)N為極點(diǎn)

11、數(shù)已知f(t），求F(z) ，可以按圖示虛線箭頭的步驟，也可以按實(shí)線箭頭的步驟?？梢愿鶕?jù)F(s)查Z變換表得F(z) 3、留數(shù)計(jì)算法F(s)的全部極點(diǎn)已知, 留數(shù)計(jì)算法公式為F(s)有一階極點(diǎn),s=P1,留數(shù)為F(s) 有q階重復(fù)極點(diǎn),留數(shù)為為 在 時(shí)的留數(shù)Z變換表見(jiàn)P.219表(72) 例7.10已知用留數(shù)法求F(z)。解: 1、線性定理2、平移定理3、初值定理4、終值定理5、復(fù)數(shù)偏移定理6、卷積和定理7.4.3 Z變換的性質(zhì)Z變換常用的定理 設(shè)：則：函數(shù)線性組合的Z變換，等于各函數(shù)Z變換的線性組合。2、平移定理t0時(shí)，f(t)的值為零， f(t)的Z變換為F（z）則原函數(shù)延遲的采樣周期數(shù)為

12、k，象函數(shù)則乘z-k。算子z-k的含義表示時(shí)域中時(shí)滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲k個(gè)周期。 1、線性定理 平移定理e(t)第8個(gè)采樣周期e(t-2T) 第10個(gè)采樣周期e(t+6T)第2個(gè)采樣周期 3、初值定理f(t)的Z變換為F（z），并且 存在，4、終值定理經(jīng)常用于分析計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差！則f(t)的Z變換為F（z），f(nT)序列為有限值（n=0,1,2,），并且極限 存在，則函數(shù)序列的終值 6、卷積和定理設(shè)式中為正整數(shù)，當(dāng)n為負(fù)數(shù)時(shí)則有式中5、復(fù)數(shù)偏移定理f(t)的Z變換為F（Z），則 7.4.4 Z反變換Z反變換是已知F（Z），求f(nT)的過(guò)程，即只能求出序列的表達(dá)式，而不能求出它的連續(xù)函數(shù)

13、！求解方法:長(zhǎng)除法(冪級(jí)數(shù)法)、 部分分式法、 留數(shù)法。 1、長(zhǎng)除法（冪級(jí)數(shù)法）要點(diǎn)：將F（Z）用長(zhǎng)除法變?yōu)榻祪缗帕械男问健?F(z) 展開(kāi)成 的無(wú)窮冪級(jí)數(shù)，即 如果冪級(jí)數(shù)收斂，按Z變換定義，式中系數(shù) 即采樣脈沖序列 的脈沖強(qiáng)度f(wàn)(nT)。可以直接寫(xiě)出 的脈沖序列表達(dá)式即： 例7.11求的Z反變換解：為方便求取，將分母首項(xiàng)變成1。為此，用分母首項(xiàng)（Z2） 去除全式 例7.12已知 ，求Z反變換解:展開(kāi)成有理分式將分母首項(xiàng)變成1, 用分母首項(xiàng)（Z2）去除全式得：按長(zhǎng)除法，用分母多項(xiàng)式去除分子多項(xiàng)式，得： 步驟：將變換式寫(xiě)成，展開(kāi)成部分分式查Z變換表兩端乘以Z1.部分分式法（因式分解法，查表法）

14、3.留數(shù)法（反演積分法）函數(shù)F(z)zn-1在極點(diǎn)pi處的留數(shù)，曲線C是包含F(xiàn)(z)zn-1全部極點(diǎn)的任意封閉曲線。若Zi為一重極點(diǎn)若Zi為q重極點(diǎn)由Z變換的定義兩端同乘由復(fù)變函數(shù)理論 例7.14求的Z反變換解：有一個(gè)兩重極點(diǎn) 連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程是用線性微分方程來(lái)描述的，線性采樣系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程是用差分方程描述的。 設(shè)采樣控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖7-9所示：在第k個(gè)采樣時(shí)間間隔中，零階保持器的輸出為eh(t)=e(kT), kT t (k+1)T, 考慮到積分環(huán)節(jié)的作用，在周期內(nèi)輸出c(t)由下式?jīng)Q定： c(t)=c(kT)+e(kT)(t-kT) 由此可得：c(k+1)T=c(kT)+Te(kT)

15、， 簡(jiǎn)寫(xiě)為 c(k+1)=c(k)+Te(k) 由于 e(k)=r(k)-c(k)， 因此 c(k+1)+(T-1)c(k)=Tr(k) 這就是圖7-9所示采樣控制系統(tǒng)的差分方程。7.5.1 差分方程7.5 采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型Gh(s)e(t)e*(t)C(t)r(t) 1/sB(s)eh(t)T圖7-9 c (k+1)+(T-1) c (k)=T r(k) （7-26）7.5 采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 7.5 采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 差分方程的解，不便于研究系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)離散系統(tǒng)的性能的影響。零初始條件下，線性系統(tǒng)輸出的Z變換與輸入的Z變換之比為系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（或z傳遞函數(shù)）。即7.5.2 脈沖傳

16、遞函數(shù)的定義系統(tǒng)的離散輸出信號(hào)7.5 采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型局限性: (1) 原則上不反映非零初條件下系統(tǒng)響應(yīng)的全部信息; (2) 只適合描述單輸入單輸出系統(tǒng); (3) 只適線性定常離散系統(tǒng)。 脈沖響應(yīng)0tc(t)0r(t)t1r(t)0t1tc(t)0補(bǔ)充 01脈沖序列響應(yīng)200.03211c(t)連續(xù)2關(guān)于延時(shí)3關(guān)于峰值10你看到什么了？ 多數(shù)系統(tǒng)的輸出是連續(xù)信號(hào)c(t)，非采樣信號(hào)c*(t)，在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)，如圖虛線，該開(kāi)關(guān)與輸入采樣開(kāi)關(guān)同步，有相同的采樣周期；若實(shí)際輸出c(t)較平滑，且采樣頻率較高，則可用c*(t)近似描述c(t)；虛設(shè)的采樣開(kāi)關(guān)不存在，它只表明輸出連續(xù)函數(shù)c(

17、t)在采樣時(shí)刻上的離散值c*(t) 。 G1(s)R(s)G2(s)R*(s)R(z)X(s)X*(s)C(z)C(s)C*(s)G1(z)G2(z)TTG1(s)R(s)G2(s)R*(s)R(z)X(s)C(z)C(s)C*(s)TG(z) G(s)r(t)r*(t)c(t)c*(t)G(z)r*(t)=(t),c(t)=g(t)r*(t)=(t-T),c(t-T)=g(t-T)當(dāng)輸入為脈沖序列時(shí)：線性定常離散系統(tǒng)的位移不變性推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)，理解其物理意義由疊加原理，輸出為一系列脈沖響應(yīng)之和，即當(dāng)t=kT時(shí), 輸出的脈沖值為： 推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)，理解其物理意義根據(jù)卷積定理，可得上式的Z變

18、換為：由于系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是從t=0時(shí)刻才出現(xiàn)的信號(hào)，當(dāng)tk時(shí)，上式中的 g(k-n)T) = 0?；蛘哒f(shuō)，kT時(shí)刻之后的輸出脈沖，如r(k+1)T、 r(k+2)T等不會(huì)對(duì)kT 時(shí)刻的輸出產(chǎn)生影響。因此上式的求和的上限可以擴(kuò)展到，于是：上式中，C(Z)、G(Z)、R(Z)分別是c(t)、g(t)、r(t)的Z變換G(z) 是g(t)經(jīng)采樣后離散信號(hào)的Z變換，即系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，即g(t)衰減越快, G(z) 展開(kāi)式中包含的項(xiàng)數(shù)越少 開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)由幾個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時(shí)，脈沖G(z)的求法與連續(xù)系統(tǒng)的G(s)情況不完全相同。兩個(gè)開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)的組成相同，但采樣開(kāi)關(guān)的數(shù)目和位置不同，求出的開(kāi)環(huán)脈沖傳

19、遞函數(shù)也會(huì)不同。對(duì)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，應(yīng)注意以下兩種不同的情況。 7.5.2 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣器串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣器 1、串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣器脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳函之積。如圖，G1 (s) 和G2 (s)之間有理想采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)定義，得G1(s)R(s)G2(s)R*(s)R(z)D(s)D*(s)C(z)C(s)C*(s)G1(z)G2(z)TTG (z) 2、串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣器兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)，脈沖傳遞函數(shù)為這兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)積的Z變換。G1(s)R(s)G2(s)R*(s)R(z)D(s)C(z)C(s)C*(

20、s)TG (z) 開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換1C*(s)G(s)R(s)R*(s)C(s)G1(s)R(s)R*(s)C*(s)C(s)G2(s)G1(s)G2(s)R(s)R*(s)C*(s)C(s)G1(s)R(s)R*(s)C*(s)C(s)G2(s)d(s)d*(s)C(z)=R(z)G(z)C(z)=R(z)G1G2(z)C(z)=R(z)G1(z)G2(z) 開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換2R(s)R*(s)C*(s)C(s)G0(s)1-e-TssR(s)R*(s)C*(s)C(s)G0(s)1-e-TssR(s)R*(s)C*(s)C(s)G0(s)se-Ts1R(z)R(z)z-

21、1R(z)(1-z-1)R(z)C(z)(1-z-1)R(z)=ZG0(s)sC(z)R(z)(1-z-1)=ZG0(s)sC(z)=R(z)GhG0(z) 采樣拉氏變換的兩個(gè)重要性質(zhì)1）采樣函數(shù)的拉氏變換具有周期性G*(s)=G*(s+jks)由Pg211公式(7-11)得：E*(s)G1(s) G2(s)*=E*(s)G1(s) G2(s)*2）離散信號(hào)可從離散符號(hào)中提出來(lái)設(shè)G1(s)G2(s)=G (s)，則有：E*(s)G(s)*=E*(s)與無(wú)關(guān)，=E*(s)G(s)*所以有：=E*(s)G*(s) 開(kāi)關(guān)位置的等效變換1(t)+t*1(t)*=t*+1(t)t1(t)+tR(s)B(

22、s)E(s)E*(s)R(s)B(s)E*(s)R(s)B(s)E*(s)E*(s)*RB*RBR*B 例7.17 設(shè)兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)，求出中間有采樣開(kāi)關(guān)和無(wú)采樣開(kāi)關(guān)時(shí)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解：兩個(gè)環(huán)節(jié)中間有采樣開(kāi)關(guān)時(shí)兩個(gè)環(huán)節(jié)中間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)時(shí) 連續(xù)系統(tǒng):閉環(huán)與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)之間有確定的關(guān)系，可以用典型的結(jié)構(gòu)圖來(lái)描述閉環(huán)系統(tǒng)。離散系統(tǒng):采樣開(kāi)關(guān)的位置不同，結(jié)構(gòu)形式就不一樣，沒(méi)有唯一的典型結(jié)構(gòu)圖，因而閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)沒(méi)有一般的計(jì)算公式，只能根據(jù)具體結(jié)構(gòu)而具體求取。閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)是閉環(huán)離散系統(tǒng)輸出信號(hào)的Z變換與輸入信號(hào)的Z變換之比，即 7.5.3 閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)P.228表7-3列出了典型的閉

23、環(huán)離散系統(tǒng)及其輸出的Z變換函數(shù) 閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換1C*(s)G1(s)E(s)E*(s)C(s)R(s)G2(s)B(s)R*(s)B*(s)E(z)=R(z)-B(z)B(z)=E(z)G1G2(z)C(z)=E(z)G1(z)B(s)C*(s)G1(s)E(s)E*(s)C(s)R(s)G2(s)E*(s) 閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換2C*(s)G2(s)E(s)E*(s)C(s)R(s)G3(s)G1(s)R(s)G1(s)C*(s)G2(s)E(s)E*(s)C(s)R(s)G3(s)G1(s)G1(s)B(s)C*(s)G2(s)E(s)E*(s)C(s)R(s)G3(s)

24、G1(s)G1(s)RG1*B*(s)E*(s)E(z)=RG1(z)-B(z)B(z)=E(z)G1G2G3(z)C(z)=E(z)G2(z)(z)不存在 G2(s)C(s)R(s)G1(s)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換3C*(s)G2(s)C*(s)R(s)G1(s)G2(s)C*(s)R(s)B(s)G1(s)G1(s) C(s)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換4C*(s)G2(s)C(s)R(s)G3(s)G1(s)C*(s)A*(s)G2(s)R(s)G3(s)G1(s)A*(s)R(s)G1(s)G3(s)G1(s)A*(s)G2(s)C (s)C(s)=R(s)G1(s)-A*(s)G1

25、(s)G3(s)C*(s)=R(s)G1(s)*-A*(s)G1(s)G3(s)*C(z)=RG1(z)-A(z)G1G3(z) 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)誤差脈沖傳遞函數(shù)對(duì)于單位反饋系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)誤差脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)采樣系統(tǒng)的特征方程R(s)R*(s)E(s)C(s)C*(s)TE*(s)T 例7.18如圖(T=1),試確定 （1）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)； （2）在 z平面繪出系統(tǒng)零極點(diǎn)圖； 解. (1)(2)系統(tǒng)z平面零極點(diǎn)圖 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)(1) 環(huán)節(jié)之間有開(kāi)關(guān)時(shí)(2) 環(huán)節(jié)之間無(wú)開(kāi)關(guān)時(shí) 本節(jié)討論離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)指出計(jì)算離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差的方法。7.6.1離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件（

26、一）S平面和Z平面的映射關(guān)系設(shè)復(fù)變量則因?yàn)橛捎赟平面Z平面變化一周變化一周Z平面以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的點(diǎn)（顯然有|z|= et=1)S平面是虛軸上的點(diǎn)z平面的單位圓映射到s平面為虛軸；z平面單位圓內(nèi)的點(diǎn)（|z|= et1）映射到s平面位于左半平面的點(diǎn)（ 1 ）映射到z平面則位于右半平面的點(diǎn)（0) 。S平面Z平面7.6 線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差Z平面S平面 （二）線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件R(s)R*(s)E(s)C(s)C*(s)TE*(s)T 勞斯判據(jù)用到離散系統(tǒng)，必須引入Z域到 w域的線性變換，使Z平面上的單位圓，映射成w平面上

27、的左半平面，這種新的坐標(biāo)變換，稱為雙線性變換，或稱為w變換。7.6.2 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)雙線性變換法Z和W均為復(fù)變量將Z帶入 （2）W平面的左半平面對(duì)應(yīng)Z平面單位圓內(nèi)（3）W平面的右半平面對(duì)應(yīng)Z平面單位圓外討論（1）W平面的虛軸,對(duì)應(yīng)實(shí)部u=0對(duì)應(yīng)Z平面單位圓Z平面W平面 例7.20 如圖，求系統(tǒng)穩(wěn)定的K1。解:R(s)E(s)C(s)E*(s)T整理得:勞斯表 例7.21如圖示，T=1s，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K1 值范圍。解：閉環(huán)特征方程R(s)C(s)T 勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是即所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍是 T、k對(duì)離散系統(tǒng)性能的影響TkT=0 k=0.2k=0.8k=1.2k=10k=1

28、00結(jié)論T不變時(shí),k越大性能越差k不變時(shí), T越大性能越差(T為采樣周期) 兩種計(jì)算方法一種用Z變換終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差;7.6.3 線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差另一種方法用誤差脈沖傳遞函數(shù)求穩(wěn)態(tài)誤差。如圖系統(tǒng)穩(wěn)定，1/1+G(z) 的全部極點(diǎn)都在Z平面的單位圓內(nèi)。應(yīng)用Z變換終值定理，得穩(wěn)態(tài)誤差將G(z)中有個(gè)z=1的極點(diǎn)的系統(tǒng)稱為型系統(tǒng)，= 012時(shí)，對(duì)應(yīng)0型型型系統(tǒng)。也稱為無(wú)差度R(s)E(s)C(s)C*(s)E*(s)T 采樣系統(tǒng)為型系統(tǒng)時(shí)采樣系統(tǒng)為型系統(tǒng)時(shí) 1.單位階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)位置誤差系數(shù) 采樣系統(tǒng)為型系統(tǒng)時(shí)采樣系統(tǒng)為0型系統(tǒng)時(shí)2.單位斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)速度誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤

29、差 系 統(tǒng) 類 型位 置 誤 差速 度 誤 差加 速 度 誤 差0型1/kp型0T/kv型00T2/ka3.單位加速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 靜態(tài)加速度誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差 例7.22如圖示，T=1s, r(t)=2t,n(t)=t， （1）無(wú)零階保持器時(shí)，求穩(wěn)態(tài)誤差。 （2）有零階保持器，穩(wěn)態(tài)誤差如何變化？無(wú)零階保持器，設(shè) 解 (1)n(t)=0, 考慮r(t)=2t的作用，則穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和采樣周期有關(guān)，T小會(huì)減小穩(wěn)態(tài)誤差。輸入信號(hào)2tR(s)C(s)T(s)T r(t)=0，考慮n(t)=1(t)的作用，誤差信號(hào)的Z變換表達(dá)式為得將代入上式得由Z變換的終值定理r(t)和n(t)同時(shí)作用，總的穩(wěn)態(tài)誤差為注意：線性離散系統(tǒng)中，可應(yīng)用疊加原理求多個(gè)輸入信號(hào)作用的穩(wěn)態(tài)誤差。 (2) 有零階保持器，則Z變