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第2章 復(fù)變函數(shù)的積分 在實(shí)變函數(shù)的微積分學(xué)中，微分法、積分法是研究函數(shù)性質(zhì)的重要方法。 同樣，在復(fù)變函數(shù)中，微分法、積分法是研究復(fù)變函數(shù)性質(zhì)的重要方法和解決實(shí)際問題的有力工具。2.1 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)平面上的線積分一、復(fù)變函數(shù)積分的定義 與實(shí)數(shù)函數(shù)的積分相似，復(fù)變函數(shù)的積分定義為和的極限。k：復(fù)常數(shù)二、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)（可由實(shí)變函數(shù)積分性質(zhì)得到）證明：三角不等式 推廣為：7. 若 在曲線L上的最大值為M，曲線L的長(zhǎng)度為S，則 證明： 2. (i) 由0 1直線的參數(shù)方程為則: z=t, dz=dt (ii) 由1 1+i 直線的參數(shù)方程為則: z=1+it, dz=idt故結(jié)論：對(duì)于函數(shù)Re(z), 積分 與路徑有關(guān)。一、單通區(qū)域的柯西定理 和 構(gòu)成閉合曲線L，所以定理3 若f(z)在閉單通區(qū)域 中解析，則f(z)沿 的邊界線L的積分為零。證明略。二、 復(fù)通區(qū)域的柯西定理定理4 若f(z)在閉復(fù)通區(qū)域 中解析，則f(z)沿所有邊界線正 方向積分之和為零。正方向：沿邊界線的正方向環(huán)繞時(shí)， 保持在左邊。證明：作割線將閉復(fù)通區(qū)域變成閉單通區(qū)域。閉單通區(qū)域的邊界線L由 和 組成，則又所以推廣：對(duì)于n連通區(qū)域，有n條獨(dú)立的邊界線，則證明：設(shè)積分回路L1連續(xù)變形為L(zhǎng)2，f(z)在L1,L2及它們 之間的區(qū)域解析，則可把L1和L2分別看作閉復(fù)通 區(qū)域的內(nèi)外邊界線，

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