函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性

1、-1-第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、單調(diào)性的判別法二、曲線的凹凸性及拐點-2-2xyo)(xfy xyo)(xfy abAB( )0fx( )0fx( ) , ( ,( , )( )( ) , ( ) , ( , )( )00.yf xa ba byf xaa bfbyf xaa bfxxb，設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).（1） 若在則在上；（2） 若內(nèi)內(nèi)在則在上單調(diào)增單調(diào)減少加abBA定理定理 1 1：一、單調(diào)性的判別法-3-3證證1212, , .x xa bxx，且由由LagrangeLagrange中值定理可得中值定理可得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx

2、( , )( )0,a bfx若在內(nèi)，( )0,f則).()(12xfxf ( ) , .yf xa b故，在上單調(diào)增加).()(12xfxf ( , )( )0,a bfx若在內(nèi)，( )0,f則( ) , .yf xa b故，在上單調(diào)減少-4-4sin0,2 .yxx例1 討論在上的單調(diào)性解：1 cos0,(0,2 ),yxx sin0,2 .yxx在上單調(diào)增加注釋注釋 1 : 1 : 函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性的導(dǎo)數(shù)符號來判

3、別一個區(qū)間上的單調(diào)性8( )2xf xx如( )(, 2f x 在上單調(diào)增加. , a b注注釋釋2 2： 定理中的可換成其它區(qū)間(含無窮區(qū)間).28(, 2)( )20.xfx ，在內(nèi)-5-注釋注釋 3 3 ：函數(shù)在整個定義域上不一定是單調(diào)的，但在不同的區(qū)間上具有單調(diào)性.解解1.xyex例2討論的單調(diào)性, 1xey(,0)0,y在內(nèi)，函數(shù)在(- ,0上單調(diào)減少；(0,)0,y，在內(nèi)(,).D 定義域0函數(shù)在 ,+上單調(diào)增加；-6-6sin0,2 yx如在上不單調(diào)3322220, , , ,2 但在上單調(diào)322( )()0.ff且00yxxx再如，在點不可導(dǎo), 但兩側(cè)單調(diào)性改變.注釋注釋 3

4、3 ：劃分函數(shù)單調(diào)性的點只可能是導(dǎo)數(shù)為零的點及導(dǎo)數(shù)不存在的點2 232-7-總結(jié)：總結(jié)：討論函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1) 確定函數(shù)的定義域；(2) 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零的點及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點；(3) 這些點將定義域分成若干個小區(qū)間，列表討論.(4) 區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零，不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如例如, , 003xyxy，(,). 但在上單調(diào)增加-8-832( )29123.f xxxx例3 確定的單調(diào)區(qū)間解解: :2( )618126(1)(2)fxxxxx令,0)( xf121,2xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21( )f x故，的單調(diào)增區(qū)間 (,1,2,) 1

5、, 2 (- ，)定義域為:( )f x 的單調(diào)減區(qū)間-9-9解解32( ).f xx例4 確定的單調(diào)區(qū)間(,). 定義域:)0(,32)(3 xxxf0.x 當(dāng)時，導(dǎo)數(shù)不存在0( )0 xfx ，當(dāng)時( )0,)f x在上單調(diào)增加；0( )0,xfx ，當(dāng)時( )(,0f x在上單調(diào)減少；單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為(,0：單調(diào)減區(qū)間0,).單調(diào)增區(qū)間：32xy -10-10證證0ln(1).xxx例5 當(dāng)時，證明：( )ln(1),f xxx設(shè)( ).1xfxx則( )0,)(0,)( )0,f xfx在上連續(xù)，且可導(dǎo)，( )0,)f x在上單調(diào)增加；(0)0,f又0( )(0)0 xf xf，當(dāng)

6、時ln(1)0,xxln(1).xx即, 利用單調(diào)性證明不等式利用單調(diào)性證明不等式-11-112122(0, )sin1.xxexx 例6 當(dāng)時，證明證2122( )sin(1)(0, )xf xexxx，令xxexffxcos)(0)0(0cos)(0)0( xexffx0)0()( fxf( )fx單調(diào)減少，0)0()(fxf0)0()( fxf212sin(1)0 xexx，即證畢.( )fx單調(diào)減少,1sin)(0)0( xexffx( )f x 單調(diào)減少，-12-123210.xxx 例7證明只有一個實根證:32( )1f xxxx令2212( )3213()033fxxxx ( )

7、(,)f x 在上嚴(yán)格單增( )f x于是，至多有一個零點.(0)10f ，又051248)2(f( ) 2,0f x故，在上至少有一個零點.( )=0f x即，方程只有一個實根.( )f x綜上，只有一個零點.-13-13xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x“弧在弦下弧在弦下”二、曲線的凹凸性及拐點問題問題: : 如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向? ?“弧在弦上弧在弦上”-14-141212()()(),22xxf xf xf(1)若恒有1212()()(),22xxf xf xf(2)若恒有( ).f xI則稱的圖形在間 上是凸區(qū)的拐點：拐點：函數(shù)圖形上凹凸的分

8、界點.12( ),f xIxxI定義 設(shè)在區(qū)間 上連續(xù)，1. 1. 曲線的凹凸與拐點的定義曲線的凹凸與拐點的定義( ).f xI則稱的圖形在間 上是凹區(qū)的-15-15xyo)(xfy xyo)(xfy abAB( )fx遞增abBA0y ( )fx遞減0y定理定理 2 2( ) , ( , )( )( , )( )0( , , ()( )0) , .f xa ba bf xa bf xa bfxa bfxa b，若在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則(1) 若在則在上的圖形是的;(2) 若在則在上的圖形內(nèi)是的內(nèi)凹凹凸凸2. 2. 曲線凹凸性的判定曲線凹凸性的判定-16-16.2,2102121xxx

9、xxbaxx，且記，不妨設(shè)證明：);,(),)()()(01110110 xxxxfxfxf),(2)()(0)(012xfxfxff 時，當(dāng)1（）成立。2（ ）成立。),(2)()(0)(012xfxfxff 時，當(dāng)值定理：上分別應(yīng)用拉格朗日中和在區(qū)間,)(2001xxxxxf02101012012)()()(2)()(xxxxxxffxfxfxf注意：，兩式相減得：理：上應(yīng)用拉格朗日中值定在區(qū)間,)(21xf );,(),)()()(211212 fff);,(),)()()(20202202xxxxfxfxf-17-4.yx例8 判斷曲線的凹凸性解解: :23124xyxy ，00,xy

10、當(dāng)時，00.xy，當(dāng)時4(,)yx 故，在上是凹的.x注釋注釋 1 1：在個別二階導(dǎo)數(shù)為0的點，若此點兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號，則不改變曲線的凹凸性.改變凹凸性的點二階導(dǎo)為零及二階只可能是導(dǎo)不存在的點。注注釋釋 2 2：-18-183.yx例9 判斷曲線的凹凸性解解,32xy ,6xy 00,xy當(dāng)時，(,0曲線在為凸的；0,)曲線在為凹的；點(0,0)是曲線的拐點.注意：注意：00,xy當(dāng)時，-19-193.yx例10 求曲線的拐點解解: :,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此點(0,0)為曲線3xy 的拐點.-20-20總結(jié)：總結(jié)：判別曲線的凹凸性及拐點的方法步驟：

11、( )( );afx求( )( )0( )bfxfx求出使的點及不存在的點；( )( )cfx檢查在這些點左右兩邊的點符號，從而決定曲線的凹凸區(qū)間及其拐點.-21-2143341.yxx例11 求的凹凸區(qū)間及拐點解解: :,121223xxyxxy24362 0y ，令21230,xxy xy)0,(23(0, )23( ,)0230102711211327點 （0,1） 及( ,)均為拐點.) 1 , 0(),(2711322233(,0), ( ,)(0, )故，該曲線在上是凹的，上是凸的;-22-22注注釋釋 3 3：若函數(shù)在閉區(qū)間上為凹(凸)函數(shù)，則最大(小)值在邊界達(dá)到.-23-23

12、220sin.xxx例12 證明：當(dāng)時，有證： 22( )sin0F xxxx令2(0)0( )0FF，則2( )cos( )sin0FxxFxx ，又2(0, )( )F x，故，在內(nèi)是凸函數(shù)，2( )min(0),( )0F xFF則22sin0.xxx從而-24-24lnln()ln(0,0)2xyxxyyxyxy例13 證明:證：( )ln(0)f zzzz令( )ln1fzz)0(01)( zzzf( )f z，是凹函數(shù)1() ( )( )22xyff xf y則1( lnln )ln222xyxyxxyy即，lnln()ln2xyxxyyxy故，-25-2515415243PP習(xí)題1, 3( 4, 6), 5( 2, 5), 6 8(3,4), 9(3,6), 10(1,2), 13, 14-26-26思考題思考題不能斷定不能斷定. .例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)( xxxxxf-27-27112214(1, 2,)()10;(2)(2)1(1, 2,)()10;2kkkkxkfxkkxkfxk ，00;=0( )( )=