粘彈性半空間內(nèi)負(fù)載沿梁的運(yùn)動(dòng)

1、Eur. J. Mech. A/Solids 19 (2000) 361371Ó2000年Éditions科學(xué)等醫(yī)學(xué)Elsevier公司的SAS。保留所有權(quán)。S0997-7538(99)00148-5/FLA粘彈性半空間內(nèi)負(fù)載沿梁的運(yùn)動(dòng)Alexei V. Kononov *, Rogier A.M. Wolfert代爾夫特理工大學(xué)土木工程學(xué)院,Stevinweg 12628 CN代爾夫特,荷蘭(1998.11.4收錄; 1999.7.5修改)摘 要：粘彈性半空間等效的基礎(chǔ)與歐拉-伯努利梁相互作用的表達(dá)式已推導(dǎo)出來。結(jié)果顯示：等效粘彈性基礎(chǔ)取決于梁上波動(dòng)的頻率和波數(shù)。等效基礎(chǔ)

2、真實(shí)和虛構(gòu)的部分與瑞利波和剪切波速度之間的相位差有本質(zhì)的不同。比此間隔的一些速率還大的速率會(huì)發(fā)生彈性波的輻射。對于不同的速率，可以計(jì)算出由均勻移動(dòng)恒定負(fù)載產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)梁位移。負(fù)載之下的最大位移發(fā)生于瑞利波速率法則的速率。Ó2000年Éditions科學(xué)等醫(yī)學(xué)Elsevier公司的SAS關(guān)鍵詞：粘彈性半空間/歐拉伯努利梁/均勻移動(dòng)恒定負(fù)載/臨界速度1.引言在過去的幾十年，隨著在鐵軌現(xiàn)有系統(tǒng)高速列車的快速部署，很多理論和實(shí)際工作致力于與軌道接觸火車的動(dòng)力學(xué)，并且路堤基底也已經(jīng)出現(xiàn)。特別是, 列車振動(dòng)本質(zhì)擴(kuò)大的問題已經(jīng)由不同的作者研究。更早進(jìn)行的研究是1961年由Filipov進(jìn)行

3、的。他分析了粘彈性半空間的歐拉-伯努利梁上勻速移動(dòng)載荷的問題，該空間相當(dāng)于的火車、鐵軌與地基相互作用的模型。結(jié)果表明，當(dāng)火車運(yùn)動(dòng)的速度與瑞麗波的速率相等時(shí)，火車震動(dòng)變得無限強(qiáng)烈。之后，Labra于1975年將鐵軌軸向壓力考慮進(jìn)去，使這些結(jié)果得以延伸。在這兩人的論文中，載荷速度的考慮范圍取決于瑞利波的速率，同時(shí)梁位移也沒有派生。因此,不久前在1996年、1997年，Dieterman和Metrikine的論文中這個(gè)模型得到了全面的研究。本文假設(shè)底層半空間也擁有粘性(或內(nèi)摩擦)屬性。這樣一個(gè)改進(jìn)的模型是由物理和實(shí)際兩方面描述的。因?yàn)閷?shí)際中任何過程總是伴隨著能量耗散,這種性質(zhì)應(yīng)該被考慮。因此,本文研

4、究了沿著處于粘彈性半空間的歐拉-伯努利梁的一個(gè)定載荷的運(yùn)動(dòng)。本研究的目的是定性的分析半空間響應(yīng)相關(guān)的內(nèi)摩擦對動(dòng)載的效應(yīng),該處的半空間響應(yīng)是E-B梁的相互作用。在這個(gè)關(guān)鍵上, Dieterman和Metrikine在1996年、1997年得到的結(jié)果可被解釋為粘性參數(shù)傾向于零時(shí)的限制。作為一種研究方法,隨時(shí)間變化的指數(shù)傅里葉變換和空間坐標(biāo)被用來獲得一個(gè)表達(dá)式，此式作為一個(gè)相對荷載速度的函數(shù)是對與E-B梁相互作用之粘彈性半空間的等效基礎(chǔ)而言的。該式是使用圍道積分的方法推導(dǎo)而來的。由于很多鐵路工程師模擬了作為Winkler地基梁的被支撐鐵軌，等效粘彈性基礎(chǔ)才得以被詳加研究。該結(jié)果一個(gè)額外的好處就是可用

5、在車-軌-基相互作用更廣范圍的模型上。另外，不同的荷載速度可以計(jì)算出沿著在此等效粘彈性基上的梁的荷載運(yùn)動(dòng)穩(wěn)態(tài)位移。最后,對負(fù)載產(chǎn)生的位移還進(jìn)行的分析。2.傅氏域的模型和通解沿著靜止在粘彈性半空間內(nèi)寬2b的E-B梁的恒定載荷的勻速運(yùn)動(dòng)如圖1。作為該模型一個(gè)視覺例子，我們可以使用一個(gè)例子,比如一個(gè)大質(zhì)量（火車頭）在土層之上的混凝土板式軌道上運(yùn)動(dòng)。該處假定在梁和半空間之間的接觸式連續(xù)光滑的,這樣接觸面的剪應(yīng)力、為零。此外,它假定梁和半空間的正常應(yīng)力一致分布在梁和半空間的寬度上,還假定位移沿梁的中心線等效。對于粘彈性連續(xù)介質(zhì)，所謂的沃伊特固體(Kolsky,1963)被使用。這里可能會(huì)注意到，這個(gè)假設(shè)

6、是對模型適用性的限制,但另一方面,模型變得對分析研究更容易理解。該問題的控制方程為：其中,u=iux +juy +kuz (i,j,k是基向量),，是粘彈性半空間的Lamé常量，是粘性參數(shù)，是半空間質(zhì)量密度， 梁的垂直位移。圖1. 模型與參考系m和EI分別是梁的單位長度質(zhì)量和抗彎剛度,P是恒定負(fù)載,V是負(fù)載速度,是Dirac函數(shù)，是Heaviside階梯函數(shù)。式(1)的解如下：u=a （4）其中，標(biāo)量勢(x,y,z,t)、矢量勢a(x,y,z,t)可以滿足所謂的約束條件a=0(見(Achenbach, 1993)。式(4)代入式(1)得下列方程：其中，、分別是縱波和橫波的速度，、是粘

7、性系數(shù)(這里假設(shè))。應(yīng)用下面隨時(shí)間變化的傅里葉變換和平面空間坐標(biāo)：代入到式(2)、(3)、(5)，得以下傅氏域內(nèi)的方程組：半空間運(yùn)動(dòng)：約束條件：以z=0的邊界條件：協(xié)調(diào)條件：另外:表示了自由E-B梁的豎向振動(dòng)的色散關(guān)系。式(6)的通解解釋了對于較大的正值z適當(dāng)?shù)男袨椋硎救缦拢浩渲校簩⑸鲜酱?7)、(8)式的下列線性代數(shù)方程：(11)式的解如下：其中：為了滿足相容性條件,半空間位移z軸分量的傅立葉圖像應(yīng)該被推導(dǎo)出來。這樣有：將上面的(13)式代入?yún)f(xié)調(diào)條件(9)得到：其中：為了能推導(dǎo)，方便的方法是將式(14)改寫如下：方程(15)描述了受到與均勻移動(dòng)定載荷作用的粘彈性半空間相互作用的E-B梁的

8、振動(dòng)。為了確定的物理意義，描述沿著傅氏域內(nèi)彈性Winkler基上的E-B梁的定載荷的運(yùn)動(dòng)方程在此文中用術(shù)語描述如下：其中，指彈性基的Winkler常量(例如,見(Duffy Dean,1990)或(Dieterman和Metrikine,1996)。因此，很明顯可以理解為某種等效的粘彈性基，這種粘彈性基處于無限E-B梁所伴隨的額外運(yùn)動(dòng)所處的粘彈性半空間的傅氏域之中。在垂直梁位移的最終結(jié)果被算出之前，等效粘彈性基表達(dá)式(16)要先被詳加分析。3.等效粘彈性基的求解為了說明由梁中波的相位速率決定的等效粘彈性基，式(15)的積分應(yīng)該寫成：引進(jìn)一個(gè)新的變量和參數(shù)、，其中，是x,y方向波數(shù)量的比率，記，

9、和分別是x方向相速和半空間縱橫波速之間的比率，記，這樣積分J得到如下的傅里葉積分形式：其中：另外，應(yīng)該記住的是。將積分降為對數(shù)值計(jì)算有用的形式的一種有效方法是圍道積分。這樣，式(17)中的被積函數(shù)映射到一個(gè)復(fù)雜的s平面。該被積函數(shù)包含自由基和，故此應(yīng)該找分叉點(diǎn)和被其誘發(fā)的切口。求解包含了分叉點(diǎn)，結(jié)果如下：假定k1 > 0，從而位于復(fù)雜s平面的一、三象限。此外，適當(dāng)?shù)那锌趹?yīng)該在積分路徑都符合必要條件： > 0和> 0。為了滿足上述兩個(gè)條件，切口須沿著滿足下述條件的曲線：以及自由基參數(shù)。將代入此參數(shù)并利用(18)式，就可以發(fā)現(xiàn)分叉切口的下述參數(shù)表示：其中：通過選擇順著圖2所示分叉

10、切口的的標(biāo)志來保持在復(fù)雜s平面正向。復(fù)雜s平面的其它奇異點(diǎn)都是極點(diǎn)，(17)式被積函數(shù)的分母等于0時(shí)才會(huì)發(fā)生，并導(dǎo)致極點(diǎn)的及可通過求解而得具體值最后,等值線接近圖2所示的上半面。圖2 奇異點(diǎn)和積分的等值線這樣，方可算出式(17)中的積分J。由于順著分叉點(diǎn)周圍的大半圓等值線和循環(huán)的等值線是隨著它們的半徑而減小至消失，因此下式是有依據(jù)的：其中，是式(17)的被積函數(shù)，沿著分叉切口的積分。參數(shù)化得到的最終形式為：其中：依據(jù)式(19)，(17)式的積分通過給出如下等效粘彈性基表達(dá)式而被細(xì)化：利用式(20),結(jié)果如圖3,其參數(shù)設(shè)置: ，。由數(shù)據(jù)可得以下結(jié)論：(1)等效粘彈性基取決于梁中波的頻率和波數(shù)，且

11、當(dāng)時(shí)它會(huì)有本質(zhì)的改變(是零粘性參數(shù)下穩(wěn)定的Rayleigh波速)。(2)等效粘彈性基的實(shí)部有個(gè)局部最小值()。當(dāng)粘性參數(shù)趨于0時(shí)，該最值變成，成為0。(3)與完全彈性半空間矛盾的是，這里的等效粘彈性基總有個(gè)不為0的虛部。(4)當(dāng)，此時(shí)耗能過程是半空間和彈性波輻射中的粘滯損失導(dǎo)致的，故此等效粘彈性基的虛部顯著增加。圖3.的等效粘彈性基;(a),(b)4.臨界速度及梁的位移此處，我們用前面得到的等效粘彈性基的結(jié)果來計(jì)算垂直穩(wěn)態(tài)梁位移。該位移是用來研究載荷的臨界速度的。本文中臨界速度指的是梁位移在有負(fù)載速度功能的負(fù)載下所具有的速度有一個(gè)最大值。為了得到梁位移，以下的傅里葉映像(見式(15)應(yīng)該被反積

12、：得到：為了求得該積分的數(shù)值解，應(yīng)該改寫上式，為此，可用如下的函數(shù)的對稱關(guān)系：如果將(見式(20)的表即可達(dá)式推演得到上邊這些關(guān)系，其中假設(shè)k1 < 0。值得注意的是，這樣的話等值線會(huì)近似于復(fù)雜s域的下半部分。的性質(zhì)也可物理化。自等效粘彈性基(動(dòng)態(tài)響應(yīng)函數(shù))作為時(shí)空域中的真值函數(shù)以來，眾所周知的是它的傅里葉映像都有式(22)一樣的對稱性(Landau和Lifshitz,1975)。由(22)式，可將(21)式改寫成：其中：這里，。式(23)(24)分別描述了對于裝載點(diǎn)梁位移的對稱與非對稱部分。最后，梁位移的計(jì)算被推導(dǎo)并呈現(xiàn)在圖4上，(a)(d)對應(yīng)了四種不同相對負(fù)載速率(其它所有參數(shù)都是

13、定值，和)。在圖4(a)中，描述了準(zhǔn)靜態(tài)的情況。所謂的本征場即是隨負(fù)載運(yùn)動(dòng)。該場由于粘性損失而稍微不對稱()。隨著增加負(fù)載速率，負(fù)載下的位移逐漸增大。如果負(fù)載速率是具有的性質(zhì)，則對于準(zhǔn)靜態(tài)情況而言負(fù)載下的位移會(huì)顯著增大，見圖4(b)。的反應(yīng)顯示，兩種情況下的彈性波都不會(huì)產(chǎn)生輻射。圖4(c)中，可以看到波依賴于負(fù)載而產(chǎn)生輻射。這很容易理解，是由于的切線顯著增加(見圖3)。主波(Dbefore負(fù)載)波長要比尾波(Dbehind負(fù)載)的小很多。由于尾波、主波的不同振幅，波場也是相當(dāng)?shù)牟粚ΨQ。輻射僅僅導(dǎo)致波沿表面移動(dòng)。對于波不僅沿著表面輻射還還會(huì)進(jìn)入粘彈性半空間以至于輻射變得更強(qiáng)，如圖4所示。從圖4(

14、a)-(d)中，易知負(fù)載下的梁位移依據(jù)負(fù)載速率而不同。因此，有趣的是尋找使該位移為最大值的速率。圖5中顯示了與相對的負(fù)載下的梁位移絕對值，其中是三套粘性參數(shù)所對應(yīng)的相對負(fù)載速率。分析該圖,可得以下結(jié)論:(1)對于一個(gè)比略小的速度即對于所有相對較小的粘性參數(shù) ，負(fù)載下的最大位移才會(huì)產(chǎn)生。隨著粘性參數(shù)的增大，最大位移轉(zhuǎn)向更小的速率，但同時(shí)最大值的相對值顯著增加(顯然，在這些情況下,術(shù)語“臨界速度 變得毫無意義)。(2)負(fù)載下的最大位移對于所有負(fù)載速率任然是有限的。應(yīng)該指出的是，負(fù)載下的位移不總是等于梁最大位移的(例如圖4(c)-(d)圖4.梁位移(a)(b)(c)(d)圖5.不同粘彈性參數(shù)下對應(yīng)的

15、載荷下的梁位移5. 結(jié)論本文分析了沿著粘彈性半空間上歐拉-伯努利梁的恒定載荷的均勻運(yùn)動(dòng)。首先，導(dǎo)出等效粘彈性基。該等效基由兩部分組成，實(shí)部描述半空間的彈性特性，而虛部描述了由彈性波的內(nèi)摩擦和輻射導(dǎo)致的能量損失。結(jié)果顯示，實(shí)部、虛部都嚴(yán)重依賴于梁內(nèi)波的頻率和波數(shù)，其中該梁是伴隨著Rayleigh波、剪切波速率間相速度的。另外，實(shí)部在此間隔內(nèi)對某些速率有局部最小值，而虛部由波輻射導(dǎo)致顯著增加。不同的負(fù)載速率可計(jì)算出穩(wěn)態(tài)梁的位移。對于較Rayleig波而言相對小的速率，本征場略不對稱，而且不產(chǎn)生波。而對于相對大的速率，負(fù)載在半空間內(nèi)產(chǎn)生體積波，也會(huì)在梁上產(chǎn)生伴有不同波長和振幅的尾波。最后，負(fù)載下的最

16、大位移依據(jù)相對負(fù)載速率推導(dǎo)而出。對于約為Rayleigh波速的速率它有一個(gè)有限的最大值。ReferencesAchenbach J., 1993. Wave Propagation in Elastic Solids, 7th ed. North-Holland, Amsterdam.Dieterman H., Metrikine A., 1996. The equivalent stiffness of a half-space interacting with a beam. Critical velocities of a moving load along a beam. Eur. J

17、. Mech. A/Solids 15 (1), 6790.Dieterman H., Metrikine A., 1997. Steady-state displacement of a beam on an elastic half-space due to a uniformly moving constant load. Eur. J.Mech. A/Solids 16 (2), 295306.Duffy Dean G., 1990. The response of an infinite railroad track to a moving vibrating mass. J. Ap

18、pl. Mech. 57, 6673.Filippov A., 1961. Steady-state vibrations of an infinite beam on elastic half-space subjected to a moving load. Izvestija AN SSSR OTN Mechanica i Mashinostroenie 6, 97105 (translated from Russian).Kenney J., 1954. Steady-state vibrations of beam on elastic foundation for moving load. J. Appl.