從數(shù)據(jù)到結(jié)論(人民大學吳喜之教授)對應分析

1、對應分析行和列變量的相關(guān)問題行和列變量的相關(guān)問題 在因子分析中，或者對變量（列中的變量）在因子分析中，或者對變量（列中的變量）進行分析，或者對樣品（觀測值或行中的進行分析，或者對樣品（觀測值或行中的變量）進行分析；而且常常把每一種分析變量）進行分析；而且常常把每一種分析結(jié)果畫出載荷圖來看各個變量之間的接近結(jié)果畫出載荷圖來看各個變量之間的接近程度。程度。 典型相關(guān)分析也只研究列中兩組變量之間典型相關(guān)分析也只研究列中兩組變量之間的關(guān)系。的關(guān)系。 然而，在很多情況下，所關(guān)心的不僅僅是然而，在很多情況下，所關(guān)心的不僅僅是行或列本身變量之間的關(guān)系，而是行變量行或列本身變量之間的關(guān)系，而是行變量和列變量的

2、相互關(guān)系；這就是因子分析等和列變量的相互關(guān)系；這就是因子分析等方法所沒有說明的了。先看一個例子。方法所沒有說明的了。先看一個例子。例子（數(shù)據(jù)例子（數(shù)據(jù)ChMath.sav ) 在研究讀寫漢字能力與數(shù)學的關(guān)系的研究在研究讀寫漢字能力與數(shù)學的關(guān)系的研究時，人們?nèi)〉昧藭r，人們?nèi)〉昧?32個美國亞裔學生的數(shù)學個美國亞裔學生的數(shù)學成績和漢字讀寫能力的數(shù)據(jù)。成績和漢字讀寫能力的數(shù)據(jù)。 關(guān)于漢字讀寫能力的變量有三個水平：關(guān)于漢字讀寫能力的變量有三個水平：“純漢字純漢字”意味著可以完全自由使用純漢意味著可以完全自由使用純漢字讀寫，字讀寫，“半漢字半漢字”意味著讀寫中只有部意味著讀寫中只有部分漢字（比如日文），

3、而分漢字（比如日文），而“純英文純英文”意味意味著只能夠讀寫英文而不會漢字。而數(shù)學成著只能夠讀寫英文而不會漢字。而數(shù)學成績有績有4 4個水平（個水平（A A、B B、C C、D D）。）。 這項研究是為了考察漢字具有的抽象圖形這項研究是為了考察漢字具有的抽象圖形符號的特性能否會促進兒童空間和抽象思符號的特性能否會促進兒童空間和抽象思維能力。該數(shù)據(jù)以列聯(lián)表形式展示在表中：維能力。該數(shù)據(jù)以列聯(lián)表形式展示在表中： 人們可以對這個列聯(lián)表進行前面所說的人們可以對這個列聯(lián)表進行前面所說的c c2檢驗來考檢驗來考察行變量和列變量是否獨立。結(jié)果在下面表中察行變量和列變量是否獨立。結(jié)果在下面表中（通過（通過An

4、alyzeDescriptive StatisticsCrosstabs） 例子（數(shù)據(jù)例子（數(shù)據(jù)ChMath.sav) 由于所有的檢驗都很顯著，看來兩個變量由于所有的檢驗都很顯著，看來兩個變量的確不獨立。的確不獨立。 但是如何用象因子分析的載荷圖那樣的直但是如何用象因子分析的載荷圖那樣的直觀方法來展示這兩個變量各個水平之間的觀方法來展示這兩個變量各個水平之間的關(guān)系呢？這就是本章要介紹的對應分析關(guān)系呢？這就是本章要介紹的對應分析（correspondence analysis）方法。）方法。 對應分析方法被普遍認為是探索性數(shù)據(jù)分對應分析方法被普遍認為是探索性數(shù)據(jù)分析的內(nèi)容，因此，讀者只要能夠會用

5、數(shù)據(jù)析的內(nèi)容，因此，讀者只要能夠會用數(shù)據(jù)畫出描述性的點圖，并能夠理解圖中包含畫出描述性的點圖，并能夠理解圖中包含的信息即可。的信息即可。 對應分析對應分析 處理列聯(lián)表的問題僅僅是對應分析的處理列聯(lián)表的問題僅僅是對應分析的一個特例。一般地，一個特例。一般地，對應分析常規(guī)地處理連續(xù)變量的數(shù)據(jù)對應分析常規(guī)地處理連續(xù)變量的數(shù)據(jù)矩陣；這些數(shù)據(jù)具有如在主成分分析、矩陣；這些數(shù)據(jù)具有如在主成分分析、因子分析、聚類分析等時所處理的數(shù)因子分析、聚類分析等時所處理的數(shù)據(jù)形式。據(jù)形式。在因子分析中，根據(jù)各行變量的因子在因子分析中，根據(jù)各行變量的因子載荷和各列變量的因子載荷之間的關(guān)載荷和各列變量的因子載荷之間的關(guān)系，

6、行因子載荷和列因子載荷之間可系，行因子載荷和列因子載荷之間可以兩兩配對。以兩兩配對。對應分析對應分析 如果對每組變量選擇前兩列因子載荷，那么兩組如果對每組變量選擇前兩列因子載荷，那么兩組變量就可以畫出兩個因子載荷的散點圖。變量就可以畫出兩個因子載荷的散點圖。 由于這兩個圖所表示的載荷可以配對，于是就可由于這兩個圖所表示的載荷可以配對，于是就可以把這兩個因子載荷的兩個散點圖畫到同一張圖以把這兩個因子載荷的兩個散點圖畫到同一張圖中，并以此來直觀地顯示各行變量和各列變量之中，并以此來直觀地顯示各行變量和各列變量之間的關(guān)系。間的關(guān)系。 由于列聯(lián)表數(shù)據(jù)形式和一般的連續(xù)變量的數(shù)據(jù)形由于列聯(lián)表數(shù)據(jù)形式和一般

7、的連續(xù)變量的數(shù)據(jù)形式類似，所以也可以用對應分析的數(shù)學方法來研式類似，所以也可以用對應分析的數(shù)學方法來研究行變量各個水平和列變量各個水平之間的關(guān)系；究行變量各個水平和列變量各個水平之間的關(guān)系； 雖然對不同數(shù)據(jù)類型所產(chǎn)生結(jié)果的解釋有所不同，雖然對不同數(shù)據(jù)類型所產(chǎn)生結(jié)果的解釋有所不同，數(shù)學的原理是一樣的。下面通過對數(shù)學的原理是一樣的。下面通過對ChMath.sav數(shù)據(jù)的計算和結(jié)果分析來介紹對應分析。數(shù)據(jù)的計算和結(jié)果分析來介紹對應分析。 首先看對應分析結(jié)果的一個主要首先看對應分析結(jié)果的一個主要SPSS展示，然后展示，然后再解釋該圖的來源和解釋。再解釋該圖的來源和解釋。 運用純漢字的點和最好的數(shù)學成績運

8、用純漢字的點和最好的數(shù)學成績A最接近，而不會漢字最接近，而不會漢字只會英文的點與最差的數(shù)學成績只會英文的點與最差的數(shù)學成績F（或者（或者D，雖然在縱坐，雖然在縱坐標稍有差距）最接近，而用部分漢字的和數(shù)學成績標稍有差距）最接近，而用部分漢字的和數(shù)學成績B接近。接近。對應分析的數(shù)學原理是什么？結(jié)果解釋結(jié)果解釋 根據(jù)根據(jù)SPSS對數(shù)據(jù)對數(shù)據(jù)ChMath.sav的計算，得到一些表格。的計算，得到一些表格。 其中第一個就是下面的各維的匯總表。這里所涉及其中第一個就是下面的各維的匯總表。這里所涉及的是行與列因子載荷之間的關(guān)系；選擇行和列變量的是行與列因子載荷之間的關(guān)系；選擇行和列變量的顯著的因子載荷的標準

9、是一樣的。選擇多少就涉的顯著的因子載荷的標準是一樣的。選擇多少就涉及幾維。為了畫出散點圖，就至少要選擇兩維了。及幾維。為了畫出散點圖，就至少要選擇兩維了。 表中的術(shù)語表中的術(shù)語 Inertia慣量慣量, 為每一維到其重心的加權(quán)距離的平方。為每一維到其重心的加權(quán)距離的平方。它度量行列關(guān)系的強度。它度量行列關(guān)系的強度。 Singular Value奇異值（是慣量的平方根），反映奇異值（是慣量的平方根），反映了是行與列各水平在二維圖中分量的相關(guān)程度，是了是行與列各水平在二維圖中分量的相關(guān)程度，是對行與列進行因子分析產(chǎn)生的新的綜合變量的典型對行與列進行因子分析產(chǎn)生的新的綜合變量的典型相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)

10、。 Chi Square就是關(guān)于列聯(lián)表行列獨立性就是關(guān)于列聯(lián)表行列獨立性c c2檢驗的檢驗的c c2統(tǒng)計量的值，和前面表中的相同。其后面的統(tǒng)計量的值，和前面表中的相同。其后面的Sig為為在行列獨立的零假設(shè)下的在行列獨立的零假設(shè)下的p-值，注釋表明自由度為值，注釋表明自由度為(4-1)(3-1)=6，Sig.值很小說明列聯(lián)表的行與列之值很小說明列聯(lián)表的行與列之間有較強的相關(guān)性。間有較強的相關(guān)性。 Proportion of Inertia慣量比例，是各維度（公因慣量比例，是各維度（公因子）分別解釋總慣量的比例及累計百分比，類似于子）分別解釋總慣量的比例及累計百分比，類似于因子分析中公因子解釋能力

11、的說明。因子分析中公因子解釋能力的說明。 解釋解釋 從該表可以看出，由于第一維的從該表可以看出，由于第一維的慣量比例占了總比例的慣量比例占了總比例的93.9%93.9%，因此，其他維的重要性可以忽略因此，其他維的重要性可以忽略（雖然畫圖時需要兩維，但主要（雖然畫圖時需要兩維，但主要看第一維橫坐標）?？吹谝痪S橫坐標）。 在在SPSSSPSS的輸出中還有另外兩個表的輸出中還有另外兩個表分別給出了畫圖中兩套散點圖所分別給出了畫圖中兩套散點圖所需要的兩套坐標。需要的兩套坐標。解釋解釋 該表給出了圖該表給出了圖中中三個漢字使用點的坐三個漢字使用點的坐標：純漢字標：純漢字(-.897,-.240)(-.8

12、97,-.240)，半漢字，半漢字(.102,.491)(.102,.491)，純英文，純英文(.970,-.338)(.970,-.338)，以及以及四個數(shù)學成績點的坐標：數(shù)學四個數(shù)學成績點的坐標：數(shù)學A(-.693,-.345)，數(shù)學，數(shù)學B(-.340,.438)，數(shù)學，數(shù)學C(.928,.203)，數(shù)學，數(shù)學C(1.140,-.479)。兩表中的概念不必記；其中兩表中的概念不必記；其中Mass為行為行與列的邊緣概率；與列的邊緣概率；Score in Dimension是各維度的分值是各維度的分值 (二維圖中的坐標二維圖中的坐標)；Inertia:就是前面所提到的慣量，為每就是前面所提到

13、的慣量，為每一行一行/列到其重心的加權(quán)距離的平方。列到其重心的加權(quán)距離的平方。 SPSS的的實現(xiàn)實現(xiàn) 打開打開ChMath.sav數(shù)據(jù)，其形式和本章開始數(shù)據(jù)，其形式和本章開始的列聯(lián)表有些不同。其中的列聯(lián)表有些不同。其中ch列代表漢字使列代表漢字使用的三個水平；而用的三個水平；而math列代表數(shù)學成績的列代表數(shù)學成績的四個水平；第一列四個水平；第一列count實際上是實際上是ch和和math兩個變量各個水平組合的出現(xiàn)數(shù)目，也就兩個變量各個水平組合的出現(xiàn)數(shù)目，也就是列聯(lián)表中間的數(shù)目。是列聯(lián)表中間的數(shù)目。 由于由于count把很大的本應有把很大的本應有232行的原始數(shù)行的原始數(shù)據(jù)簡化成只有據(jù)簡化成只

14、有12行的匯總數(shù)據(jù)，在進行計行的匯總數(shù)據(jù)，在進行計算之前必須進行加權(quán)。也就是點擊圖標中算之前必須進行加權(quán)。也就是點擊圖標中的小天平，再按照的小天平，再按照count加權(quán)即可。加權(quán)即可。SPSS的的實現(xiàn)實現(xiàn) 加權(quán)之后，選擇加權(quán)之后，選擇AnalyzeData ReductionCorrespondence Analysis， 然后把然后把“漢字使用漢字使用”選入選入Row（行），再（行），再點擊點擊Define Range來定義其范圍為來定義其范圍為1(Minimum value)到到3(Maximum value)，之后點擊之后點擊Update。 類似地，點擊類似地，點擊Continue之后，

15、把之后，把“數(shù)學成數(shù)學成績績”選入選入Column (列列)，并以同樣方式定義，并以同樣方式定義其范圍為其范圍為1到到4。 由于其他選項可以用默認值，就可以直接由于其他選項可以用默認值，就可以直接點擊點擊OK來運行了。這樣就得到上述表格和來運行了。這樣就得到上述表格和點圖。點圖。 對應分析的數(shù)學對應分析的數(shù)學(Correspondence Analysis) (SPSS Data Reduction) 因子分析對變量和對樣品要分別對待因子分析對變量和對樣品要分別對待. 對應分對應分析把變量和樣本同時反映到相同坐標軸析把變量和樣本同時反映到相同坐標軸(因子因子軸軸)的一張圖形上的一張圖形上. 數(shù)

16、學上數(shù)學上, 令令A=aij為為np矩陣矩陣, x=xi 為為n-(列列)向量向量, y=yj 為為p-(列列)向量向量. 那么那么(r,x,y)稱為對稱為對應分析問題應分析問題C0(A)的解的解, 如果如果1.1.(1,., )(1,., ).nijjijimijijija yrxinaa xryjpa行記分行記分(row score) xi和列記分和列記分yj的加權(quán)均值成的加權(quán)均值成比例比例, 而列記分而列記分yj和行記分和行記分xi的加權(quán)均值成比的加權(quán)均值成比例例. 數(shù)值數(shù)值r為行列記分的相關(guān)為行列記分的相關(guān)(在典型相關(guān)的意在典型相關(guān)的意義上義上). 1.1.(1,., )(1,., )

17、.nijjijimijijija yrxinaa xryjpa11111122222221111112222222()()()()()()()()rR xRACRACR xrC yRACRACC y記記R=diag(ai.), C=diag(a.i), R1/2= diag(a.i1/2), 則則上面式子為上面式子為rx=R-1Ay; ry=C-1Ax或或rR1/2x=(R-1/2AC-1/2)C1/2y; rC1/2y=(C-1/2A R-1/2)R1/2x= (R-1/2 A C-1/2 )R1/2xX為一個解的條件是下面特征值問題有解為一個解的條件是下面特征值問題有解(最最大特征值為大特

18、征值為1是平凡解是平凡解, 兩組非零特征值相同兩組非零特征值相同!)令令22r uZ Zur vZZ v11112222(),ZRACvR x uC y前面的特征值問題可以寫成前面的特征值問題可以寫成兩個特征值問題有同樣的非零特征值兩個特征值問題有同樣的非零特征值.如如U是是ZZ的特征向量的特征向量, 則則ZU是是ZZ的特征向的特征向量量. ZZ的特征根為的特征根為l l1l l2l lp; ZZ相應的特征相應的特征向量為向量為u1,u2,up. ZZ相應的特征向量為相應的特征向量為v1,v2,vn.對最大的對最大的m個特征值得因子載荷陣個特征值得因子載荷陣111122111112212112222211222211221122mmmmmmmmpppmmnnnmmuuuvvvuuuvvvFGuuvvvvllllllllllllllllll可以對可以對變量變量和和樣品樣品作作兩兩因子載荷圖兩兩因子載荷圖.下面再看另一個例子。下面再看另一個例子。 吸煙和位子的關(guān)系吸煙和位子的關(guān)系(列變量為列變量為:高級經(jīng)理高級經(jīng)理,低級經(jīng)理低級經(jīng)理,高級職員高級職員,低級職員低級職員,秘書秘書行變量為行變量為吸煙程度吸煙程度)smag imag semp iemp sec no 4 4 25 18 10light 2 3 10 24 6 med 3 0 10 33