西安交大復變函數(shù)復數(shù)乘冪與方根PPT課件

1、1一、乘積與商定理一定理一 兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模的兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積乘積; 兩個復數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的兩個復數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和和.的三角形式分別為的三角形式分別為和和設復數(shù)設復數(shù)21zz,sin(cos1111） irz ,sin(cos2222） irz )sin(cos)sin(cos22211121 irirzz 則則)sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121 irr證證第1頁/共24頁2)sin()cos(21212121 irrzz兩復數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘兩復數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘, , 輻角相加輻角相加.

2、. , 2倍倍再把它的模擴大到再把它的模擴大到 r從幾何上看, 兩復數(shù)對應的向量分別為 , ,21zz , 21 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一個個角角按按逆逆時時針針方方向向先先把把 z . 21zzz 就就表表示示積積所所得得向向量量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z.ArgArg)(Arg2121zzzz 證畢第2頁/共24頁3說明說明由于輻角的多值性, 2121ArgArg)(Argzzzz 兩端都是無窮多個數(shù)構(gòu)成的兩個數(shù)集.對于左端的任一值, 右端必有值與它相對應.例如，, 1 21izz 設設, 21izz 則則), 2, 1, 0(,2Arg1 nnz), 2, 1, 0(,22Arg2 m

3、mz), 2, 1, 0(,22)Arg(21 kkzz. 1,22)(223 nmkknm只只須須故故, 1 k若若 . 0, 2 2, 0 nmnm或或則則第3頁/共24頁4的指數(shù)形式分別為的指數(shù)形式分別為和和設復數(shù)設復數(shù)21zz,111 ierz .)(212121 ierrzz則則,222 ierz 由此可將結(jié)論推廣到 n 個復數(shù)相乘的情況:nzzz 21), 2 , 1(,)sin(cos nkerirzkikkkkk 設設)sin()cos(212121nnnirrr .)(2121ninerrr 第4頁/共24頁5定理二定理二 兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商兩個復數(shù)的商的模等于

4、它們的模的商; 兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差差.證證按照商的定義, , 0 1時時當當 z,1122zzzz ,1122zzzz ,ArgArgArg1122zzzz , 1212zzzz 于是于是.ArgArgArg1212zzzz 的指數(shù)形式分別為的指數(shù)形式分別為和和設復數(shù)設復數(shù)21zz,111 ierz .)(121212 ierrzz則則,222 ierz 證畢第5頁/共24頁6例例1 1解解,3cos3sin ),31(21 21 iziz已知已知,3sin3cos 1 iz因因為為,6sin6cos2 iz 63sin63c

5、os 21izz所所以以, i 63sin63cos 21izz.2123i . 2121zzzz和和求求 第6頁/共24頁7例例2 2解解. ,2 1 21求求它它的的另另一一個個頂頂點點和和點點為為已已知知正正三三角角形形的的兩兩個個頂頂izz ). ( ,)3(3 33112zzzzz 或或它它的的終終點點即即為為所所求求頂頂點點到到另另一一個個向向量量就就得得或或旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞的的向向量量將將表表示示如圖所示, oxy11 ziz 223z3z 3 ,3 1, 3 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為的的模模為為因因為為復復數(shù)數(shù)ie第7頁/共24頁8)(12313zzezzi oxy11 ziz 223z3z

6、3 )1(2321ii i 23212321,231233 3iz 所所以以.231233 3iz 第8頁/共24頁9二、冪與根1. n次冪:, , nznzzn記記作作次次冪冪的的的的乘乘積積稱稱為為個個相相同同復復數(shù)數(shù). 個個nnzzzz . )sin(cos , ninrznnn 有有對于任何正整數(shù)對于任何正整數(shù). , ,1 上式仍成立上式仍成立為負整數(shù)時為負整數(shù)時那么當那么當如果我們定義如果我們定義nzznn 第9頁/共24頁10,sincos , 1 izrz 即即的的模模當當.sincos)sin(cos ninin 棣莫佛公式棣莫佛公式 . , z , . 3n為已知復數(shù)其中記為

7、的次方根為稱的根方程znzwzwnnkinkrzwnn2sin2cos1)1, 2 , 1 , 0( nk推導過程如下:2.2.棣莫佛公式棣莫佛公式第10頁/共24頁11),sin(cos irz 設設),sin(cos iw 根據(jù)棣莫佛公式, )sin(cos ninwnn ),sin(cos ir , rn 于于是是,coscos n,sinsin n ,2 kn 顯然顯然), 2, 1, 0( k,2, 1nkrn 故故 nkinkrzwnn2sin2cos1 第11頁/共24頁12 , 1, 2 , 1 , 0 時時當當 nk :個相異的根個相異的根得到得到 n,sincos10 ni

8、nrwn ,2sin2cos11 ninrwn ,.)1(2sin)1(2cos11 nninnrwnn 當k以其他整數(shù)值代入時, 這些根又重復出現(xiàn). 第12頁/共24頁13 , 時時例例如如nk nninnrwnn2sin2cos1 ninrn sincos1.0w 從幾何上看, , 個值就是以原點為中心個值就是以原點為中心的的nzn . 1個頂點個頂點邊形的邊形的為半徑的圓的內(nèi)接正為半徑的圓的內(nèi)接正nnrn第13頁/共24頁14例例3 3解解.)1()1( nnii 化簡化簡 ii212121 4sin4cos2i ii212121 4sin4cos2i第14頁/共24頁15 nnii)1

9、()1(nni 4sin4cos)2(nni 4sin4cos)2( 4sin4cos4sin4cos)2(ninninn.4cos222 nn第15頁/共24頁16例例5 5 . 1 4的的值值計計算算i 解解 4sin4cos21ii 424sin424cos2184kiki).3 , 2 , 1 , 0( k,16sin16cos280 iw即,169sin169cos281 iw第16頁/共24頁17,1617sin1617cos282 iw.1625sin1625cos283 iw. 2 8圓的正方形的四個頂點圓的正方形的四個頂點的的心在原點半徑為心在原點半徑為這四個根是內(nèi)接于中這四

10、個根是內(nèi)接于中oxy1w2w3w0w第17頁/共24頁18例例6 6解解.)1()1( 55zz 解解方方程程 , 1 z直接驗證可知方程的根直接驗證可知方程的根故原方程可寫成, 1115 zz ,11 zzw 令令 , 1 5 w則則. 4 , 3 , 2 , 1 , 0,52 kewik , 1 0 w故故,521iew ,542iew ,563iew .584iew 第18頁/共24頁1911 wwz因為因為11 iiee1sincos1sincos ii 2sin2cos2cos22cos2sin2sin2 ii,2tan i 故原方程的根為, 00 z,5tan1 iz,52tan2

11、 iz,53tan3 iz.54tan4 iz第19頁/共24頁20例例7 7. 34 : ,)31( , 111 nnnnnnnnyxyxiiyxn求求證證且且為為自自然然數(shù)數(shù)若若證證nnniiyx)31( nni 3sin3cos2 3sin3cos2ninn利用復數(shù)相等可知:,3cos2 nxnn,3sin2 nynn第20頁/共24頁21 11nnnnyxyx3)1(sin23cos23sin23)1(cos211 nnnnnnnn 3)1(3sin212nnn23212 n. 341 n等式得證.第21頁/共24頁22三、小結(jié)與思考 應熟練掌握復數(shù)乘積與商的運算. 在各種形式中以三角形式、指數(shù)形式最為方便: 棣莫佛( (de Moivre)公式)(212121 ierrzz)(121212 ierrzz nininsincos