西安交大復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)乘冪與方根PPT課件

1、1一、乘積與商定理一定理一 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積乘積; 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和和.的三角形式分別為的三角形式分別為和和設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)21zz,sin(cos1111） irz ,sin(cos2222） irz )sin(cos)sin(cos22211121 irirzz 則則)sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121 irr證證第1頁(yè)/共24頁(yè)2)sin()cos(21212121 irrzz兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘, , 輻角相加輻角相加.

2、. , 2倍倍再把它的模擴(kuò)大到再把它的模擴(kuò)大到 r從幾何上看, 兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為 , ,21zz , 21 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一個(gè)個(gè)角角按按逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳蛳认劝寻?z . 21zzz 就就表表示示積積所所得得向向量量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z.ArgArg)(Arg2121zzzz 證畢第2頁(yè)/共24頁(yè)3說(shuō)明說(shuō)明由于輻角的多值性, 2121ArgArg)(Argzzzz 兩端都是無(wú)窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)集.對(duì)于左端的任一值, 右端必有值與它相對(duì)應(yīng).例如，, 1 21izz 設(shè)設(shè), 21izz 則則), 2, 1, 0(,2Arg1 nnz), 2, 1, 0(,22Arg2 m

3、mz), 2, 1, 0(,22)Arg(21 kkzz. 1,22)(223 nmkknm只只須須故故, 1 k若若 . 0, 2 2, 0 nmnm或或則則第3頁(yè)/共24頁(yè)4的指數(shù)形式分別為的指數(shù)形式分別為和和設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)21zz,111 ierz .)(212121 ierrzz則則,222 ierz 由此可將結(jié)論推廣到 n 個(gè)復(fù)數(shù)相乘的情況:nzzz 21), 2 , 1(,)sin(cos nkerirzkikkkkk 設(shè)設(shè))sin()cos(212121nnnirrr .)(2121ninerrr 第4頁(yè)/共24頁(yè)5定理二定理二 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于

4、它們的模的商; 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差差.證證按照商的定義, , 0 1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z,1122zzzz ,1122zzzz ,ArgArgArg1122zzzz , 1212zzzz 于是于是.ArgArgArg1212zzzz 的指數(shù)形式分別為的指數(shù)形式分別為和和設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)21zz,111 ierz .)(121212 ierrzz則則,222 ierz 證畢第5頁(yè)/共24頁(yè)6例例1 1解解,3cos3sin ),31(21 21 iziz已知已知,3sin3cos 1 iz因因?yàn)闉?6sin6cos2 iz 63sin63c

5、os 21izz所所以以, i 63sin63cos 21izz.2123i . 2121zzzz和和求求 第6頁(yè)/共24頁(yè)7例例2 2解解. ,2 1 21求求它它的的另另一一個(gè)個(gè)頂頂點(diǎn)點(diǎn)和和點(diǎn)點(diǎn)為為已已知知正正三三角角形形的的兩兩個(gè)個(gè)頂頂izz ). ( ,)3(3 33112zzzzz 或或它它的的終終點(diǎn)點(diǎn)即即為為所所求求頂頂點(diǎn)點(diǎn)到到另另一一個(gè)個(gè)向向量量就就得得或或旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞的的向向量量將將表表示示如圖所示, oxy11 ziz 223z3z 3 ,3 1, 3 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為的的模模為為因因?yàn)闉閺?fù)復(fù)數(shù)數(shù)ie第7頁(yè)/共24頁(yè)8)(12313zzezzi oxy11 ziz 223z3z

6、3 )1(2321ii i 23212321,231233 3iz 所所以以.231233 3iz 第8頁(yè)/共24頁(yè)9二、冪與根1. n次冪:, , nznzzn記記作作次次冪冪的的的的乘乘積積稱稱為為個(gè)個(gè)相相同同復(fù)復(fù)數(shù)數(shù). 個(gè)個(gè)nnzzzz . )sin(cos , ninrznnn 有有對(duì)于任何正整數(shù)對(duì)于任何正整數(shù). , ,1 上式仍成立上式仍成立為負(fù)整數(shù)時(shí)為負(fù)整數(shù)時(shí)那么當(dāng)那么當(dāng)如果我們定義如果我們定義nzznn 第9頁(yè)/共24頁(yè)10,sincos , 1 izrz 即即的的模模當(dāng)當(dāng).sincos)sin(cos ninin 棣莫佛公式棣莫佛公式 . , z , . 3n為已知復(fù)數(shù)其中記為

7、的次方根為稱的根方程znzwzwnnkinkrzwnn2sin2cos1)1, 2 , 1 , 0( nk推導(dǎo)過(guò)程如下:2.2.棣莫佛公式棣莫佛公式第10頁(yè)/共24頁(yè)11),sin(cos irz 設(shè)設(shè)),sin(cos iw 根據(jù)棣莫佛公式, )sin(cos ninwnn ),sin(cos ir , rn 于于是是,coscos n,sinsin n ,2 kn 顯然顯然), 2, 1, 0( k,2, 1nkrn 故故 nkinkrzwnn2sin2cos1 第11頁(yè)/共24頁(yè)12 , 1, 2 , 1 , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nk :個(gè)相異的根個(gè)相異的根得到得到 n,sincos10 ni

8、nrwn ,2sin2cos11 ninrwn ,.)1(2sin)1(2cos11 nninnrwnn 當(dāng)k以其他整數(shù)值代入時(shí), 這些根又重復(fù)出現(xiàn). 第12頁(yè)/共24頁(yè)13 , 時(shí)時(shí)例例如如nk nninnrwnn2sin2cos1 ninrn sincos1.0w 從幾何上看, , 個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心的的nzn . 1個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)邊形的邊形的為半徑的圓的內(nèi)接正為半徑的圓的內(nèi)接正nnrn第13頁(yè)/共24頁(yè)14例例3 3解解.)1()1( nnii 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) ii212121 4sin4cos2i ii212121 4sin4cos2i第14頁(yè)/共24頁(yè)15 nnii)1

9、()1(nni 4sin4cos)2(nni 4sin4cos)2( 4sin4cos4sin4cos)2(ninninn.4cos222 nn第15頁(yè)/共24頁(yè)16例例5 5 . 1 4的的值值計(jì)計(jì)算算i 解解 4sin4cos21ii 424sin424cos2184kiki).3 , 2 , 1 , 0( k,16sin16cos280 iw即,169sin169cos281 iw第16頁(yè)/共24頁(yè)17,1617sin1617cos282 iw.1625sin1625cos283 iw. 2 8圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)的的心在原點(diǎn)半徑為心在原點(diǎn)半徑為這四個(gè)根是內(nèi)接于中這四

10、個(gè)根是內(nèi)接于中oxy1w2w3w0w第17頁(yè)/共24頁(yè)18例例6 6解解.)1()1( 55zz 解解方方程程 , 1 z直接驗(yàn)證可知方程的根直接驗(yàn)證可知方程的根故原方程可寫(xiě)成, 1115 zz ,11 zzw 令令 , 1 5 w則則. 4 , 3 , 2 , 1 , 0,52 kewik , 1 0 w故故,521iew ,542iew ,563iew .584iew 第18頁(yè)/共24頁(yè)1911 wwz因?yàn)橐驗(yàn)?1 iiee1sincos1sincos ii 2sin2cos2cos22cos2sin2sin2 ii,2tan i 故原方程的根為, 00 z,5tan1 iz,52tan2

11、 iz,53tan3 iz.54tan4 iz第19頁(yè)/共24頁(yè)20例例7 7. 34 : ,)31( , 111 nnnnnnnnyxyxiiyxn求求證證且且為為自自然然數(shù)數(shù)若若證證nnniiyx)31( nni 3sin3cos2 3sin3cos2ninn利用復(fù)數(shù)相等可知:,3cos2 nxnn,3sin2 nynn第20頁(yè)/共24頁(yè)21 11nnnnyxyx3)1(sin23cos23sin23)1(cos211 nnnnnnnn 3)1(3sin212nnn23212 n. 341 n等式得證.第21頁(yè)/共24頁(yè)22三、小結(jié)與思考 應(yīng)熟練掌握復(fù)數(shù)乘積與商的運(yùn)算. 在各種形式中以三角形式、指數(shù)形式最為方便: 棣莫佛( (de Moivre)公式)(212121 ierrzz)(121212 ierrzz nininsincos