昆明理工大學(xué)數(shù)學(xué)模型

1、計算機仿真技術(shù)數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)模型： 是系統(tǒng)某種特征本質(zhì)的模擬，即用數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號、程序、圖形等對實際問題的本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻畫。是用來描述所研究的客觀對象或系統(tǒng)中某一方面的規(guī)律。 它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略。 建模方法： 系統(tǒng)模型的建立是系統(tǒng)仿真的基礎(chǔ)，而建立系統(tǒng)模型是以系統(tǒng)之間的相似性原理為基礎(chǔ)的。1.數(shù)學(xué)模型的建立方法：n機理分析法（演繹法）：它是根據(jù)所遵循的數(shù)學(xué)規(guī)律，直接寫出系統(tǒng)中各個變量之間的相互關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。n測試分析法（系統(tǒng)辯識，歸納法）：采用該方法是因為對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和特性不了解，只能通過試驗來辨別出

2、來，通過對系統(tǒng)的輸入/輸出的測試數(shù)據(jù)來建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即對大量數(shù)據(jù)的分析、總結(jié)和歸納。n混合法：演繹法+歸納法：演繹法確定模型結(jié)構(gòu)，歸納法定參數(shù)。機電傳動系統(tǒng)建模方法牛頓定律、能量守恒、牛頓-歐拉法、動量定理、達郎伯原理等 2.建模的原則 如果要評價一個模型的好壞，一般遵循以下原則： 精確性：相似度 合理性：同一系統(tǒng)可建不同模型，關(guān)鍵是對研究問 題有利 復(fù)雜性：在滿足精度的前提下，越簡單越好。 應(yīng)用性：遵循輸入、輸出量是可以測量的原則。 魯棒性：適應(yīng)的工況范圍寬。 3 建模步驟n模型準(zhǔn)備：了解問題背景，明確建模目的要求，收集資料。n模型假設(shè)：對問題作出必要合理的假設(shè)，使問題突出主要特征，忽

3、略次要方面。n模型構(gòu)成：根據(jù)事物間聯(lián)系及因果等關(guān)系等，依據(jù)所遵循的定律，構(gòu)造各種量之間的關(guān)系，把問題化為數(shù)學(xué)問題。n模型求解：數(shù)值計算法、數(shù)理統(tǒng)計法、優(yōu)化方法、圖論方法等n模型分析：對所得到的解答進行分析，注意結(jié)果是否穩(wěn)定。n模型檢驗：分析結(jié)果，與實際情況比較，看是否符合實際。n模型應(yīng)用：按建立模型所用的數(shù)學(xué)方法：初等數(shù)學(xué)模型、幾何模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、規(guī)劃模型等。按模型的表現(xiàn)分： 靜態(tài)模型和動態(tài)模型； 確定性模型和隨機模型；線性和非線性模型；連續(xù)和離散模型。你碰到過的數(shù)學(xué)模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題航行問題”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水

4、速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小時答：船速每小時20千米千米/ /小時小時. .甲乙兩地相距甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行枨?，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，小時，從乙到甲逆水航行需從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少小時，問船的速度是多少?x =20y =5求解求解航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號表示有關(guān)量（用符號表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以用物理定律（勻速運動的距離等

5、于速度乘以 時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；）； 回答原問題（船速每小時回答原問題（船速每小時20千米千米/小時）。小時）。機電系統(tǒng)建模方法（機理分析）n步驟：n1.確定輸入量、輸出量；n2.按信號傳遞順序?qū)懜鳝h(huán)節(jié)動態(tài)微分方程；n3.消除中間變量；n4.整理。)()()()()()(01110010110txbdttxdbdttxdbtxadttxdadttxdaimimmmimmnnnnnn 復(fù)雜機電系統(tǒng)建模方法（機理分析法）n例例1 1 建立建立RCRC電路運動方程和彈簧阻尼系統(tǒng)運動方程。電

6、路運動方程和彈簧阻尼系統(tǒng)運動方程。(t)(dt(t)duRC122utu(t)(dt(t)dxkc00ixtxxix0機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立22)()()()(dttxdmdttdxctkxtfn例2 如圖所示的機械振動系統(tǒng)。在外力F的作用下，根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)微分方程可以寫成為)()()()(2sXmsscsXskXsFkcsmssFsX21)()(機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立n例3 設(shè)彈簧-質(zhì)量-阻尼組成的簡單的機械平移系統(tǒng)如圖所示，列出以F為輸入，以質(zhì)量的位移y為輸出的運動方程式。根據(jù)牛頓第二定律可得:22dtydmmaF則系統(tǒng)的方程為:kydtdycFFFFdtydmkf22上式經(jīng)整理，

7、可得系統(tǒng)的微分方程為:Fkydtdycdtydm22 kcsmssFsY21傳遞函數(shù): 右圖所示為電樞控制直流電動機，要求取電樞電壓Ua(t)為輸入量，電動機轉(zhuǎn)速為輸出量，列寫微分方程。圖中R、L分別是電樞電路的電阻和電感，ML是折合到電動機軸上的總負載轉(zhuǎn)距。激磁磁通為常值。Ea為電樞兩端反電勢，M為電機電磁力矩,J為轉(zhuǎn)動部分折合到電機軸上的總轉(zhuǎn)動慣量。例例4aaaaEtRidttdiLtU)()()()(tikMamLMMdttdJ)(克希荷夫 得電樞回路電壓平衡方程：dakE 楞次定律 得電樞反電勢：安培定律 得電磁轉(zhuǎn)矩方程：牛頓定律 得轉(zhuǎn)矩平衡方程：LmdLmdadmddMkkRdtdM

8、kkLukdtdkkRJdtdkkLJm122消中間變量得： 函數(shù)記錄儀方框圖 復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型反饋口：反饋口：放大器：放大器：電動機：電動機：減速器：減速器：繩繩 輪：輪：電電 橋：橋：rmmmmmuTKKKKKLTKKKKKLTL432143211 消去中間變量可得：消去中間變量可得：LKuKLKuKTuKuuuupmmmmmpr423321 例例7 X-Y 7 X-Y 記錄儀記錄儀 機電傳動系統(tǒng)概述機電傳動系統(tǒng)概述n機電傳動系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)和功能機電傳動系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)和功能機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立有三種阻止運動的力：慣性力、彈簧力和阻尼力。22)()()()(dttxdmdttdvmtma

9、tFm（2）彈簧力：對于線性彈簧來說，彈簧被拉伸或壓縮時，彈簧的變形量與所受的力成正比，數(shù)學(xué)模型為)()(tkxtFk（1）慣性力：根據(jù)牛頓第二定律，慣性力等于質(zhì)量乘以加速度，數(shù)學(xué)模型為（3）阻尼力：當(dāng)力較大質(zhì)量塊獲得較大速度時，不能忽略空氣阻尼力的影響。在粘性摩擦系統(tǒng)中，阻尼力與速度v成正比，數(shù)學(xué)模型為dttdxctcvtFc)()()(典型傳動機構(gòu)的動力學(xué)模型1.定軸傳動機構(gòu)的模型機電傳動系統(tǒng)建模方法 1212M tKttsKss)()()()(20)0()0(sJssTtJtT )()()()()()(210)0(21ssBssTttBtT2.齒輪傳動機構(gòu)的模型（1）：剛性傳動軸情況21

10、e1122JJn J21e1122BBn B0e120Mn MieeeMMBJ01111 iiiiiTTBJ1 2TTBJLLLLL LiLii/iTT12齒輪傳動機構(gòu)的模型（2）：彈性傳動軸情況2422n KnnzzMMKJMKJMKJKMJi322323323424434323321212221111/)(,)()(),( )()(1212322KJnJ )()(2422442nKnnJn 3.絲杠螺母傳動機構(gòu)的模型 慣性負載的等效轉(zhuǎn)換：轉(zhuǎn)換前后系統(tǒng)所具有的動能不變。 Je=mL(L0/2)2 2iieie2ddddttJT tBtt iieeT sss J sBiLL20機電傳動系統(tǒng)建模

11、方法機構(gòu)的數(shù)學(xué)建模4.同步齒形帶傳動機構(gòu)的模型主動輪半徑：ri從動輪半徑：rL齒形帶彈性變形：l= riirLL 對主動輪和從動輪分別列寫微分方程，并化簡。2002( )()()iimidddJM tBKdtdtdt20002()()iLidddJBKdtdtdt 對輸入軸列方程對輸入軸列方程: 對輸出軸列方程對輸出軸列方程: 200( )()( )( )LiJ ssBsKss20( )( )()( )( )miiJ ssM sBsKss拉拉氏氏變變換換 022( )( )()()mLmLmLsBsKJ JM sJJssBsKJJ基本物理量的折算 n在建立機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的過程中，經(jīng)常會遇到基

12、本物理量的折算問題，在此結(jié)合數(shù)控機床進給系統(tǒng)，介紹建模中的基本物理量的折算問題。n數(shù)控機床進給系統(tǒng)如圖2-3所示。電動機通過兩級減速齒輪z1、z2、z3、z4及絲杠螺母機構(gòu)驅(qū)動工作臺做直線運動。 圖2-3 數(shù)控機床進給系統(tǒng) n圖2-3中，J1為軸I部件和電動機轉(zhuǎn)子構(gòu)成的轉(zhuǎn)動慣量；J2、 J3為分別為軸II、III部件的轉(zhuǎn)動慣量；k1、k2、k3分別為軸I、II、III的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；k為絲杠螺母副的軸向剛度系數(shù)；m為工作臺質(zhì)量；c為工作臺導(dǎo)軌粘性阻尼系數(shù)；T1、T2、T3分別為軸的輸入轉(zhuǎn)矩。 n將軸I、II、III上的轉(zhuǎn)動慣量和工作臺的轉(zhuǎn)動慣量都折算到軸I上，作為系統(tǒng)總轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)T1、T2、

13、T3 分別為軸I、II、III的負載轉(zhuǎn)矩，1、2、3分別為軸I、II、III的角速度，v為工作臺的運動速度。 (1) 軸I、II、III轉(zhuǎn)動慣量的折算 根據(jù)動力平衡原理，1111TJT 1. 轉(zhuǎn)動慣量的折算2222TJT 對于軸I有： 對于軸II有：n由于軸II的輸入轉(zhuǎn)矩是從軸I上的負載轉(zhuǎn)矩獲得的，且與他們的轉(zhuǎn)速成反比，所以有 1122TzzT 1212zz又由傳動關(guān)系知2222TJT將上三式聯(lián)立得： 221122121TzzzzJT3333TJT對于軸III有 根據(jù)力學(xué)原理和傳動關(guān)系，整理得 ： 34312432132TzzzzzzJT121432433zzzzzz2433TzzT (2)工

14、作臺質(zhì)量的折算 根據(jù)動力平衡關(guān)系：絲杠轉(zhuǎn)動一周所做的功等于工作臺前進一個導(dǎo)程時其慣性力所做的功，對于工作臺和絲杠有，式中 L絲杠導(dǎo)程。 根據(jù)傳動關(guān)系有：LvmT2314231322zzzzLLv將上兩式聯(lián)立得： 14231232mzzzzLT(3)折算到軸I上的總轉(zhuǎn)動慣量 1423123343124321322211221212mzzzzLTTzzzzzzJTTzzzzJT1111TJT112242312423132212112JLzzzzmzzzzJzzJJT式中J系統(tǒng)折算到軸I上的總轉(zhuǎn)動慣量。 224231242313221212LzzzzmzzzzJzzJJJ 其中，第二項為軸II轉(zhuǎn)動慣

15、量折算到軸I上的當(dāng)量轉(zhuǎn)動慣量；第三項為軸III轉(zhuǎn)動慣量折算到軸I上的當(dāng)量轉(zhuǎn)動慣量；第四項為工作臺質(zhì)量折算到軸I上的當(dāng)量轉(zhuǎn)動慣量。n當(dāng)工作臺勻速轉(zhuǎn)動時，軸的驅(qū)動轉(zhuǎn)矩T3完全用來克服粘滯阻尼力的消耗?？紤]到其他各環(huán)節(jié)的摩擦損失比工作臺導(dǎo)軌的摩擦損失小得多，故只計工作臺導(dǎo)軌的粘性阻尼系數(shù)C，其它忽略。 2. 粘性阻尼系數(shù)的折算 131423TzzzzT214231Lzzzzv 即絲杠旋轉(zhuǎn)一周T3所做的功，等于工作臺前進一個導(dǎo)程時其阻尼力所做的功。根據(jù)力學(xué)原理和傳動關(guān)系有將以上三式聯(lián)立，并整理得 根據(jù)工作臺與絲杠之間的動力平衡關(guān)系有:LvcT231122423112ccLzzzzTcLzzzzc224

16、2312式中c工作臺導(dǎo)軌折算到軸I上的粘性阻尼系數(shù)n機械系統(tǒng)中各元件在工作時受到力和/或力矩的作用，將產(chǎn)生伸長（或壓縮）和/或扭轉(zhuǎn)等彈性變形，這些變形將影響整個系統(tǒng)的精度和動態(tài)性能。在機械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模中，需要將其折算成相應(yīng)的當(dāng)量扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)和/或線性剛度系數(shù)。 n在本例中，首先將各軸的扭轉(zhuǎn)角折算到軸I上，絲杠與工作臺之間的軸向彈性變形會使軸III產(chǎn)生一個附加扭轉(zhuǎn)角，所以也要折算到軸I上，然后求出折算到軸I上的系統(tǒng)的當(dāng)量剛度系數(shù)。 3. 剛度系數(shù)的折算 （1）軸向剛度系數(shù)的折算 當(dāng)系統(tǒng)受到載荷作用時，絲杠螺母副和螺母座都會產(chǎn)生軸向彈性變形，其示意圖如圖2-10所示。設(shè)絲杠的輸入轉(zhuǎn)矩為T3，絲杠

17、和工作臺之間的彈性變形為，相應(yīng)的絲杠附加轉(zhuǎn)角為3。3. 剛度系數(shù)的折算 圖2-10 彈性變形等效示意圖LkT23L23332321 kkTkT33 即 kk221式中k附加扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)所以： 根據(jù)動力平衡和傳動關(guān)系，對于絲杠軸III有 （2）扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)的折算 設(shè)1、2、3分別為軸I、II、III在輸入轉(zhuǎn)矩T1、T2、T3作用下產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角，根據(jù)動力平衡和傳動關(guān)系有111kT2112222kTzzkT313142333kTzzzzkTn因為絲杠和工作臺之間的軸向彈性變形，使得軸III產(chǎn)生了一個附加扭轉(zhuǎn)角3，所以軸III上的實際扭轉(zhuǎn)角III為： III=3+3kkzzz

18、zkTkTIIIkT33313142333kTzzzzkTn將各軸的扭轉(zhuǎn)角折算到軸I上，得到系統(tǒng)的當(dāng)量扭轉(zhuǎn)角 IIIzzzzzz31422121111kT212222kTzzkkkzzzzkTkTIIIkTTkkzzzzkzzkTkkzzzzkTzzkT113231422212113231422121211111111式中k折算到軸I上的當(dāng)量扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù) kkzzzzkzzkk1111132314222121kTTkkzzzzkzzkTkkzzzzkTzzkT113231422212113231422121211111111n齒輪傳動機構(gòu)的模型小結(jié)：齒輪傳動機構(gòu)的模型

19、小結(jié)： （1）從動軸上的轉(zhuǎn)動慣量）從動軸上的轉(zhuǎn)動慣量J等效到主動軸上等效到主動軸上時，時，Je=n2J，n為由主動軸到從動軸的傳動比。為由主動軸到從動軸的傳動比。 （2）類似地，對于從動軸上的剛度）類似地，對于從動軸上的剛度K、阻尼、阻尼B，等效到主動軸上時，等效到主動軸上時， Ke=n2K， Be=n2B。 （3）從動軸上的力矩）從動軸上的力矩M等效到主動軸上為等效到主動軸上為nM。 （4）從動軸上的轉(zhuǎn)角）從動軸上的轉(zhuǎn)角 折算到主動軸上為折算到主動軸上為 /n。 （5）主動軸向從動軸的轉(zhuǎn)換也成立。）主動軸向從動軸的轉(zhuǎn)換也成立。n備注：齒輪傳動系統(tǒng)的模型結(jié)構(gòu)簡化的一些前提假設(shè) （1）齒輪具有理

20、想的齒廓幾何形狀。 （2）齒輪的材質(zhì)是均勻的，在嚙合過程中嚙合剛度為常數(shù)。 （3）齒輪嚙合過程無功率消耗。 （4）齒輪傳動過程是平穩(wěn)的，無脫嚙現(xiàn)象。2.2 機構(gòu)的數(shù)學(xué)建模2.2.1 機構(gòu)的運動學(xué)建模1.基于閉環(huán)矢量法的系統(tǒng)運動學(xué)模型：連桿機構(gòu) 定義各個桿件矢量R1, R2, R3, . 閉環(huán)矢量方程 ，正交分解 被動桿件的速度方程 被動桿件的加速度方程機電傳動系統(tǒng)建模方法機構(gòu)的數(shù)學(xué)建模 0Ri0Rzyxi,0Rzyxit,dddrivedrivepassive,passiveDCdrivedrivepassive,passiveddddDCttdrivepassive,1passiveBA舉例

21、：定義連桿矢量閉環(huán)矢量方程 R2+R3=R1+R4矢量投影方程 r2c2+r3c3=r1c1+r4c4， r2s2+r3s3=r1s1+r4s4速度方程 C=D機電傳動系統(tǒng)建模方法機構(gòu)的數(shù)學(xué)建模334432 22334442 22ssscccrrrrrr 加速度方程 A=B 仿真算法機電傳動系統(tǒng)建模方法機構(gòu)的數(shù)學(xué)建模33443334442222 222 223 334 442222 222 223 334 44ssccsccccsssrrrrrrrrrrrrq 用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu)用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu)單缸四沖程發(fā)動機中就有這種機構(gòu)。單缸四沖程發(fā)動機中就有這種機構(gòu)。q

22、 用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu)用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu)曲柄滑塊機構(gòu)的閉環(huán)矢量方程為曲柄滑塊機構(gòu)的閉環(huán)矢量方程為 q 用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu)用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu)將此矢量方程分解到將此矢量方程分解到z z和和y y坐標(biāo)軸上坐標(biāo)軸上 將上式對時間求導(dǎo)數(shù)，有將上式對時間求導(dǎo)數(shù)，有 q 用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu)用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu) 可以寫成如下的矩陣形式：可以寫成如下的矩陣形式：曲柄的速度曲柄的速度omega2omega2已知，方程描述的是曲柄滑塊機構(gòu)已知，方程描述的是曲柄滑塊機構(gòu)速度速度問題。問題。q 用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu)

23、用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu) 可求出可求出omega3omega3和和dr1.dr1.如果將如果將omega2omega2作為仿作為仿真輸入，可以用數(shù)值積分從速度中求出真輸入，可以用數(shù)值積分從速度中求出theta2,theta3,r1theta2,theta3,r1。q 用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu)用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu) 編寫編寫matlabmatlab函數(shù)函數(shù)function x=compvel(u)function x=compvel(u)%u(1)=omega-2%u(1)=omega-2%u(2)=theta-2%u(2)=theta-2%u(3)=theta-

24、3%u(3)=theta-3r2=25.4;r3=101.6;r2=25.4;r3=101.6;a=r3a=r3* *sin(u(3) 1;-r3sin(u(3) 1;-r3* *cos(u(3) 0;cos(u(3) 0;b=-b=-r r2 2* *u(1)u(1)* *sin(u(2);r2sin(u(2);r2* *u(1)u(1)* *cos(u(2);cos(u(2);x=inv(a)x=inv(a)* *b;b;q 用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu)用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu) 5.5.勻速輸入時完成的運動學(xué)仿真勻速輸入時完成的運動學(xué)仿真q 用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機

25、構(gòu)用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu) 6 6、建立初始條件、建立初始條件在仿真運行之前，建立初始條件。這是求解任何微分方程的在仿真運行之前，建立初始條件。這是求解任何微分方程的關(guān)鍵一步。關(guān)鍵一步。Theta2Theta2、theta3theta3、r1r1必須是機構(gòu)某個真實位置時必須是機構(gòu)某個真實位置時的角度和長度。的角度和長度。假設(shè)仿真的初始條件：假設(shè)仿真的初始條件：Theta2=0radTheta2=0rad；theta3=0radtheta3=0rad；r1=177mmr1=177mmq 用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu)用閉環(huán)矢量方程動態(tài)仿真曲柄滑塊機構(gòu) 7 7、運行仿真結(jié)果、運行仿真

26、結(jié)果輸入：輸入：Th20=0;Th20=0;Th30=0;Th30=0;R10=127;R10=127;Plot(tout,simout(:,5)Plot(tout,simout(:,5)機電傳動系統(tǒng)建模方法機構(gòu)的數(shù)學(xué)建模2.D-H法建立運動學(xué)模型： 對多體系統(tǒng)的每一剛體建立固連對多體系統(tǒng)的每一剛體建立固連坐標(biāo)系；坐標(biāo)系； 應(yīng)用坐標(biāo)變換原理推導(dǎo)機構(gòu)應(yīng)用坐標(biāo)變換原理推導(dǎo)機構(gòu)“末末端坐標(biāo)系端坐標(biāo)系”相對于相對于“參考坐標(biāo)系參考坐標(biāo)系”的等價的等價齊次變換矩陣。齊次變換矩陣。坐標(biāo)變換 設(shè)Pxyz=px, py, pzT Puvw=pu, pv, pwT 矢量表示法： Puvw=puiu+pvjv+p

27、wkw 當(dāng)Ouvw繞任意軸旋轉(zhuǎn)后， px=ixPuvw=puixiu+pvixjv+pwixkw py=jyPuvw=pujyiu+pvjyjv+pwjykw pz=kzPuvw=pukziu+pvkzjv+pwkzkw方向余弦矩陣 R為正交矩陣RT= R1wvuwvuwzvzuzwyvyuywxvxuxzyxpppppppppRkkjkikkjjjijkijiiixyzuvwPRP1uvwxyzPR P剛體的連續(xù)轉(zhuǎn)動及其合成剛體的連續(xù)轉(zhuǎn)動及其合成特殊情形：特殊情形： 對對x軸的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動 對對y軸的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動 對對z軸的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動1000cossin0sincoscos0sin010s

28、in0coscossin0sincos0001稱為基本旋轉(zhuǎn)矩陣。如果稱為基本旋轉(zhuǎn)矩陣。如果Ouvw坐標(biāo)系繞坐標(biāo)系繞Oxyz坐標(biāo)系的一個坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動則可對旋轉(zhuǎn)矩陣左乘坐標(biāo)系的一個坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動則可對旋轉(zhuǎn)矩陣左乘相應(yīng)的基本旋轉(zhuǎn)矩陣；如果相應(yīng)的基本旋轉(zhuǎn)矩陣；如果Ouvw坐標(biāo)系繞自坐標(biāo)系繞自己的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，則可對旋轉(zhuǎn)矩陣右乘相應(yīng)的己的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，則可對旋轉(zhuǎn)矩陣右乘相應(yīng)的基本旋轉(zhuǎn)矩陣?；拘D(zhuǎn)矩陣。,zyxRRRR當(dāng)當(dāng)Ouvw坐標(biāo)系繞坐標(biāo)系繞Oxyz坐標(biāo)系順序繞坐標(biāo)系順序繞Ox軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角，繞角，繞Oy軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角，繞角，繞Oz軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角時，角時，旋轉(zhuǎn)變換矩陣為旋轉(zhuǎn)變換矩陣為當(dāng)當(dāng)Ouvw坐標(biāo)系繞自己的

29、坐標(biāo)系順序坐標(biāo)系繞自己的坐標(biāo)系順序繞繞Ou軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角，角，繞繞Ov軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角，繞角，繞Ow軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角時，旋轉(zhuǎn)變換矩角時，旋轉(zhuǎn)變換矩陣為陣為,TTzyxuvwRRRRRRR以歐拉角表示的旋轉(zhuǎn)矩陣以歐拉角表示的旋轉(zhuǎn)矩陣 歐拉角方式I：繞Oz旋轉(zhuǎn)角繞轉(zhuǎn)動后的Ou軸轉(zhuǎn)動角繞轉(zhuǎn)動后的Ow軸轉(zhuǎn)動角 歐拉角方式歐拉角方式II：繞：繞Oz旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 角角繞轉(zhuǎn)動后的繞轉(zhuǎn)動后的Ov軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動角角繞轉(zhuǎn)動后的繞轉(zhuǎn)動后的Ow軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動角角 歐拉角方式歐拉角方式III：繞：繞Ox旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角（偏轉(zhuǎn)）角（偏轉(zhuǎn)）繞繞Oy軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動角（俯仰）角（俯仰）繞繞Oz軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動 角角（側(cè)傾）（側(cè)傾）1311333OPR

30、T1000100010001zyxdddT齊次坐標(biāo)和變換矩陣齊次坐標(biāo)和變換矩陣 齊次坐標(biāo)P=wpx, wpy, wpz, wT 齊次變換矩陣 齊次平移矩陣舉例：兩關(guān)節(jié)機器人，平面運動問題O0 x0y0z0繞O0z0軸旋轉(zhuǎn)q1O1x1y1z1沿O1x1軸平移l1O1x1y1z1繞O1z1軸旋轉(zhuǎn)q2 O2x2y2z2沿O2x2 軸平移l2O2x2y2z2 0T1=Rz, q1Tx, l1，1T2=Rz, q2Tx, l2，T=0T11T2末端齊次坐標(biāo)（在O2x2y2z2）P2=0 0 0 1變換至O0 x0y0z0P0=TP2系統(tǒng)的動力學(xué)模型系統(tǒng)的動力學(xué)模型1.拉格朗日法 拉格朗日方程T質(zhì)點系動能

31、，qj廣義坐標(biāo)，Qj廣義力 或L拉格朗日函數(shù)，L=KP；K、P質(zhì)點系動能和勢能；廣義力Fj中不含有勢力d1,2,.,djjjLLFjftqq&),.,2 , 1(fjQqTqTdtdjjj 設(shè)有設(shè)有n個知點組成的知點系，受完整的理想約束，具有個知點組成的知點系，受完整的理想約束，具有k個自由度，其位置可由個自由度，其位置可由k個廣義坐標(biāo)個廣義坐標(biāo) 來確定。來確定。則有則有kqqq,21 jjjQqTqTdtd)(), 2 , 1(kj 式中式中2121iinivmT為質(zhì)點系的動能；為質(zhì)點系的動能；jq 是廣義坐標(biāo)對是廣義坐標(biāo)對時間的變化率，稱為時間的變化率，稱為廣義速度廣義速度； 是對

32、應(yīng)廣義坐標(biāo)是對應(yīng)廣義坐標(biāo)jQ 的廣義力。的廣義力。jq這就是這就是拉格朗日方程拉格朗日方程，簡稱簡稱拉氏方程拉氏方程。它是由它是由k個二個二階常微分方程組成的方程組。將此微分方程組積分，階常微分方程組成的方程組。將此微分方程組積分，就可以得出以就可以得出以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點的運動方程。廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點的運動方程。 二、保守系統(tǒng)的拉格朗日方程二、保守系統(tǒng)的拉格朗日方程 在上述條件下，如果質(zhì)點系所受的主動力都是在上述條件下，如果質(zhì)點系所受的主動力都是有勢力，就得到保守系統(tǒng)的拉格朗日方程有勢力，就得到保守系統(tǒng)的拉格朗日方程0)(jjqLqLdtd), 2 , 1(kj 式中式中 為質(zhì)點系動能和勢能

33、之差，稱為為質(zhì)點系動能和勢能之差，稱為拉格拉格朗日函數(shù)。朗日函數(shù)。VTL這就是這就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。 3、計算對應(yīng)每個廣義坐標(biāo)的廣義力、計算對應(yīng)每個廣義坐標(biāo)的廣義力 ；當(dāng)主；當(dāng)主動力為有勢力時，需要寫出用廣義坐標(biāo)表示的勢能動力為有勢力時，需要寫出用廣義坐標(biāo)表示的勢能及拉格朗日函數(shù)及拉格朗日函數(shù) 。jQVTL 4、計算諸導(dǎo)數(shù)：、計算諸導(dǎo)數(shù)：jqTjqT)(jqTdtd或或jqLjqL)(jqLdtd 5、寫出拉格朗日方程并加以整理，得到、寫出拉格朗日方程并加以整理，得到k個二個二階常微分方程。由階常微分方程。由2 k個初始條件，解得運動方程。個初始條件，解得運動方程

34、。 1、確定研究對象，（一般以整個系統(tǒng)）判斷系、確定研究對象，（一般以整個系統(tǒng)）判斷系統(tǒng)的自由度數(shù)目，選取合適的廣義坐標(biāo)。統(tǒng)的自由度數(shù)目，選取合適的廣義坐標(biāo)。 2、分析系統(tǒng)的運動，寫出用廣義坐標(biāo)及廣義速、分析系統(tǒng)的運動，寫出用廣義坐標(biāo)及廣義速度表示的系統(tǒng)的動能。（速度及角速度均為絕對的）度表示的系統(tǒng)的動能。（速度及角速度均為絕對的） 三、應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟三、應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟 例4 在水平面內(nèi)運動的行星齒輪機構(gòu)如圖。已知動齒輪半徑為r，重為P，可視為均質(zhì)圓盤；曲柄OA重Q，可視為均質(zhì)桿；定齒輪半徑為R。今在曲柄上作用一不變的力偶，其矩為M，使機構(gòu)運動。求曲柄的運動方程。OMr

35、RA 解：以整個系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)具有一個自由度，取曲柄轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)。 由運動學(xué)關(guān)系知，動齒輪的角速度 與曲柄的角速度 的關(guān)系為rRr 則系統(tǒng)的動能為OMrRA22222222)(92(121)21(21)(21)(3121RrPQgrgPRrgPRrgQT 給曲柄以虛位移 ，則對應(yīng)的廣義力為MMWQ求諸導(dǎo)數(shù)2)(92(61RrPQgT 2)(92(61)(RrPQgTdtd0TQTTdtd)(由，得MRrPQg 2)(92(61即2)(92(6RrPQMg 積分得曲柄的運動方程為0022)(92(3ttRrPQMg式中， 、 分別為初始轉(zhuǎn)角和初始角速度。00舉例：二關(guān)節(jié)機械手舉例：二關(guān)

36、節(jié)機械手 選取廣義坐標(biāo)，建立坐標(biāo)系選取廣義坐標(biāo)，建立坐標(biāo)系 計算系統(tǒng)動能和勢能計算系統(tǒng)動能和勢能 求出拉格朗日函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)求出拉格朗日函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù) 求廣義力求廣義力 代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程 二關(guān)節(jié)機械手如圖所示，二關(guān)節(jié)機械手如圖所示，T1和和T2為關(guān)節(jié)驅(qū)動為關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，力矩，m1和和m2分別為連桿的質(zhì)量，且以連桿分別為連桿的質(zhì)量，且以連桿末端的點質(zhì)量表示；末端的點質(zhì)量表示；d1和和d2分別為兩桿的長分別為兩桿的長度，度，1和和2分別為兩桿的廣義坐標(biāo)，分別為兩桿的廣義坐標(biāo)，g為重力為重力加速度。用拉格朗日法建立該機械手的動力加速度。用拉格朗日法建立該機械手的動力學(xué)模型。學(xué)模型。計

37、算連桿計算連桿1 1的動能的動能K K1 1和勢能和勢能P P1 122211 11111111111122cosKmvm dPm gym gd &計算連桿計算連桿2 2的動能的動能K K2 2和勢能和勢能P P2 22222222,21gymPvmK222222211212211212211 121212211 121212sinsin()coscos()coscos()()sinsin()()vxyxddyddxddydd &式中式中求得求得1222222212212212211211()cos()22Km dm dm d d & &)cos(cos2122

38、1122gdmgdmP以及以及yx1T2T21),(11yx1m1d2d2m),(22yxg二連桿機械手122222222121122122112(2)2cos()vddd d & & &222222121211212212211211()()cos()22KKKmm dm dm d d & &)cos(cos)(2122112121gdmgdmmPPP求得二連桿機械手系統(tǒng)的總動能和總勢能分別為：求得二連桿機械手系統(tǒng)的總動能和總勢能分別為：121122121221221122212222212112212222122 121222122221222212

39、2 12()sinsin()sin()sin()()2coscoscosLmm gdm gdLm d dm gdLmm dm dm dm d dm d dLm dm dm d d & &拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)L L對對L L求偏導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)22221211221211()()22LKPmm dm d&2212211212112212cos()()coscos()m d dmm gdm gd & &2212122212211222212222122 12122 122()2coscossindLmm dm dm d ddtdLm dm dm d

40、dm d ddt & & & & & &2222212222122 1221222(cos)2sinsinm dm d dm d dm d d & & &11122212122212212221222()2cos(cos)dLLTdtmm dm dm d dm dm d d & & &22122 1221222121122122sinsin()sinsin()m d dm d dmm gdm gd & &222222122122222(cos)dLLTm dm d dm ddt &a

41、mp; & &22122 12212sinsin()m d dm gd &把相應(yīng)的偏導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)代入拉格朗日方程，可求得力矩把相應(yīng)的偏導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)代入拉格朗日方程，可求得力矩T T1 1和和T T2 2的動力學(xué)表達式的動力學(xué)表達式22111 1122111 11222112 121212 1122221 1222211 12222212 122212 12TDDDDDDDTDDDDDDD & & & & & & & & &力矩力矩T T1 1和和T T2 2的動力學(xué)表達式的一般形式和矩陣表達式為：的動力學(xué)表

42、達式的一般形式和矩陣表達式為：1111211112211212111112221222112222122212222 1TDDDDDDDTDDDDDDD & & & & &D Diiii關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)i i的有效慣量：關(guān)節(jié)的有效慣量：關(guān)節(jié)i i的加速度的加速度 將在關(guān)節(jié)將在關(guān)節(jié)i i上產(chǎn)生上產(chǎn)生 的慣性力；的慣性力；D Dijij關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)i i和和j j的耦合慣量：關(guān)節(jié)的耦合慣量：關(guān)節(jié)i i和和j j的加速度的加速度 和和 將在關(guān)節(jié)將在關(guān)節(jié)j j和和i i上分別產(chǎn)上分別產(chǎn) 生一個等于生一個等于 和和 的慣性力；的慣性力； 關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)j j的速度作用在關(guān)節(jié)的速度作

43、用在關(guān)節(jié)i i上產(chǎn)生的向心力；上產(chǎn)生的向心力；ijjjD &i& &iiiD& &i& &j& &ijiD& &ijjD& &ijkjkikjkjD D & & &關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)j j和和k k的速度的速度 和和 引起的作用在關(guān)節(jié)引起的作用在關(guān)節(jié)i i的哥氏力；的哥氏力；j&k&D Di i關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)i i處的重力。處的重力。3.聯(lián)立約束法建立動力學(xué)模型聯(lián)立約束法建立動力學(xué)模型(牛頓牛頓-歐拉法歐拉法) 根據(jù)牛頓定律列出每個連接桿件（運動部件）的力（力矩）平衡方程，同時將系統(tǒng)約束方程一起聯(lián)立，建立約束矩陣方程。通過求解約束矩陣方程不僅可求出各構(gòu)件動力-運動關(guān)系，還可同時解出各構(gòu)件間的約束反力。應(yīng)用舉例 力平衡方程 約束方程 約束矩陣方程0)(1iiiniiramF將上式寫成解析式，則有將上式寫成解析式，則有0)()()(1niiiiiiiiiiiiizzmZyymYxxmX 以上兩式是由達朗伯原理和虛位移原理相結(jié)合以上兩式是由達朗伯原理和虛位移原理相結(jié)合而得到的結(jié)果，稱為而得到的結(jié)果，稱為動力學(xué)普遍方程動力學(xué)普遍方程，也稱，也稱達朗達朗伯伯拉格朗日方程拉格朗日方程。動力學(xué)普遍方程可以敘述如。動力學(xué)普遍方程可