10.2排列與組合（基礎教育）

1、10.2 排列與組合要點梳理1.排列 （1）排列的定義：從n個 的元素中取出m (m n)個元素，按照一定的 排成一列，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個排列. （2）排列數(shù)的定義：從n個不同的元素中取出m（mn）個元素的 的個數(shù)叫做從n個 不同的元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A 表示.不同順序所有不同排列基礎知識 自主學習1陽山書屋（3）排列數(shù)公式：A = . （4）全排列：n個不同的元素全部取出的 ，叫 做n個不同元素的一個全排列，A =n (n-1） （n-2）21= .于是排列數(shù)公式寫成階乘 的形式為 ，這里規(guī)定0！= .2.組合（1）組合的定義：從n個 的元素中取出m（m n）

2、個元素 叫做從n個不同的元素中取出 m（mn）個元素的一個組合.n(n-1)(n-2)(n-m+1)排列n！1不同合成一組2陽山書屋（2）組合數(shù)的定義：從n個不同的元素中取出m（m n）個元素的 的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中取出m（mn）個元素的組合數(shù)，用C 表示.（3）組合數(shù)的計算公式： = ，由于0！= ，所以 C = .（4）組合數(shù)的性質(zhì)：C = ；C = + .所有不同組合113陽山書屋基礎自測1.從1，2，3，4，5，6六個數(shù)字中，選出一個偶數(shù)和兩個奇數(shù)，組成一個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有（） A.9個B.24個C.36個D.54個 解析 選出符合題意的三個數(shù)有 =9種

3、方法，每三個數(shù)可排成 =6個三位數(shù)， 共有96=54個符合題意的三位數(shù).D4陽山書屋2.已知1，2X1,2,3,4,5，滿足這個關(guān)系式的集合X共有（） A.2個B.6個C.4個D.8個 解析 由題意知集合X中的元素1，2必取，另外，從3，4，5中可以不取，取1個，取2個，取3個. 故有 =8（個）.D5陽山書屋3.某中學要從4名男生和3名女生中選派4人擔任奧 運會志愿者，若男生甲和女生乙不能同時參加， 則不同的選派方案共有（ ） A.25種B.35種C.840種D.820種 解析 若選男生甲，則有 =10種不同的選法；同 理，選女生乙也有10種不同的選法；兩人都不選有 =5種不同的選法，所以共

4、有25種不同的選派方案.A6陽山書屋4.（2009湖南理，5）從10名大學畢業(yè)生中選3人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為（） A.85B.56C.49D.28 解析 丙不入選的選法有 =84（種）, 甲乙丙都不入選的選法有 =35（種）. 所以甲、乙至少有一人入選，而丙不入選的選法有84-35=49種.C7陽山書屋5.有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有（） A.36種B.48種C.72種D.96種 解析 恰有兩個空位相鄰，相當于兩個空位與第 三個空位不相鄰，先排三個人，然后插空.從而共 =72種排法.C8陽山書屋題型一 排列問

5、題【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù). （1）選其中5人排成一排； （2）排成前后兩排，前排3人，后排4人； （3）全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾； （4）全體排成一排，女生必須站在一起； （5）全體排成一排，男生互不相鄰； （6）全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有3人.題型分類 深度剖析9陽山書屋 思維啟迪 無限制條件的排列問題，直接利用排列數(shù)公式即可.但要看清是全排列還是選排列；有限制條件的排列問題，常見類型是“在與不在”、“鄰與不鄰”問題，可分別用相應方法. 解 （1）從7個人中選5個人來排列， 有 =76543=2 520種. （2）分兩步完成，先

6、選3人排在前排，有 種方法，余下4人排在后排，有 種方法，故共有 =5 040種.事實上，本小題即為7人排成一排的全排列，無任何限制條件.10陽山書屋 （3）（優(yōu)先法） 方法一 甲為特殊元素.先排甲，有5種方法；其余6人有 種方法，故共有5 =3 600種. 方法二 排頭與排尾為特殊位置.排頭與排尾從非甲的6個人中選2個排列，有 種方法，中間5個位置由余下4人和甲進行全排列有 種方法，共有 =3 600種. （4）（捆綁法）將女生看成一個整體，與3名男生在一起進行全排列，有 種方法，再將4名女生進行全排列,也有 種方法,故共有 =576種.11陽山書屋 （5）（插空法）男生不相鄰，而女生不作要

7、求，所以應先排女生，有 種方法，再在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生，有 種方法，故共有 =1 440種. （6）把甲、乙及中間3人看作一個整體，第一步先排甲、乙兩人有 種方法，再從剩下的5人中選3人排到中間，有 種方法，最后把甲、乙及中間3人看作一個整體，與剩余2人全排列，有 種方法，故共有 =720種.12陽山書屋 探究提高 排列問題的本質(zhì)就是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制主要表現(xiàn)在：某些元素“排”或“不排”在哪個位子上，某些元素“相鄰”或“不相鄰”.對于這類問題在分析時，主要按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子.13陽山書屋知能遷移1

8、用0、1、2、3、4、5這六個數(shù)字，可以組成多少個分別符合下列條件的無重復數(shù)字的四位數(shù)： （1）奇數(shù)；（2）偶數(shù)；（3）大于3 125的數(shù). 解 （1）先排個位，再排首位，共有 =144（個）. （2）以0結(jié)尾的四位偶數(shù)有 個，以2或4結(jié)尾的四位偶數(shù)有 個，則共有 =156（個）. （3）要比3 125大，4、5作千位時有2 個，3作千位，2、4、5作百位時有3 個，3作千位，1作百位時有2 個，所以共有2 =162(個).14陽山書屋題型二 組合問題【例2】 （12分）男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？ （1）男運動員3名，女運

9、動員2名； （2）至少有1名女運動員； （3）隊長中至少有1人參加； （4）既要有隊長，又要有女運動員.15陽山書屋思維啟迪 （1）分步.（2）可分類也可用間接法.（3）可分類也可用間接法.（4）分類.解 （1）第一步：選3名男運動員，有 種選法.第二步：選2名女運動員，有 種選法.共有 =120種選法.3分（2）方法一 至少1名女運動員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類加法計數(shù)原理可得總選法數(shù)為 =246種.6分16陽山書屋方法二 “至少1名女運動員”的反面為“全是男運動員”可用間接法求解.從10人中任選5人有 種選法，其中全是男運動員的選法有 種.所以“至少有

10、1名女運動員”的選法為 =246種. 6分（3）方法一 可分類求解：“只有男隊長”的選法為 ；“只有女隊長”的選法為 ；“男、女隊長都入選”的選法為 ；所以共有2 + =196種選法.9分17陽山書屋方法二 間接法：從10人中任選5人有 種選法.其中不選隊長的方法有 種.所以“至少1名隊長”的選法為 - =196種.9分（4）當有女隊長時，其他人任意選，共有 種選法.不選女隊長時，必選男隊長，共有 種選法.其中不含女運動員的選法有 種，所以不選女隊長時的選法共有 - 種選法.所以既有隊長又有女運動員的選法共有 + - =191種. 12分18陽山書屋 探究提高 解組合題時，常遇到“至多”、“至

11、少”問題，可用直接法分類求解，也可用間接法求解以減少運算量.當限制條件較多時，要恰當分類，逐一滿足.19陽山書屋知能遷移2 在7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種？ （1）A，B必須當選； （2）A，B必不當選； （3）A，B不全當選； （4）至少有2名女生當選； （5）選取3名男生和2名女生分別擔任班長、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔任，班長必須由女生擔任.20陽山書屋解 （1）由于A，B必須當選，那么從剩下的10人中選取3人即可，有 =120種.（2）從除去的A，B兩人的10人中選5人即可，有 =252種.（3）全部選法有 種，A，B全當選有

12、種，故A，B不全當選有 - =672種.21陽山書屋（4）注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或沒有女生，故可用間接法進行，有 =596種選法.（5）分三步進行：第一步：選1男1女分別擔任兩個職務為 ；第二步：選2男1女補足5人有 種；第三步：為這3人安排工作有 .由分步乘法計數(shù)原理共有 =12 600種選法.22陽山書屋題型三 排列、組合的綜合應用【例3】 4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).（1）恰有1個盒不放球，共有幾種放法？（2）恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？（3）恰有2個盒不放球，共有幾種放法？ 把不放球的盒子先拿走，再放球到余 下的盒子中并且不空. 解 （

13、1）為保證“恰有1個盒不放球”，先從4個盒 子中任意取出去一個，問題轉(zhuǎn)化為“4個球，3個盒 子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把 4個球分成2，1，1的三組，然后再從3個盒子中選1 個放2個球，其余2個球放在另外2個盒子內(nèi)，由分 步乘法計數(shù)原理，共有 =144種.思維啟迪23陽山書屋（2）“恰有1個盒內(nèi)有2個球”，即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，也即另外3個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.（3）確定2個空盒有 種方法.4個球放進2個盒子可分成（3，1）、（2，2）兩類，第一類有序不均勻分組有 種方法

14、；第二類有序均勻分組有 種方法.故共有 （ ）=84種.24陽山書屋 探究提高 排列、組合綜合題目，一般是將符合要求的元素取出（組合）或進行分組，再對取出的元素或分好的組進行排列.其中分組時，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標準.知能遷移3 已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對它們進行一一測試,直至找出所有4件次品為止.（1）若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？（2）若恰在第5次測試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？25陽山書屋 解 （1）先排前4次測試，只能取正品，有 種不同測試方法，再從4件次

15、品中選2件排在第5和第10的位置上測試，有 = 種測法，再排余下4件的測試位置，有 種測法.所以共有不同排法 =103 680種. （2）第5次測試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn).所以不同測試方法共有 （ ） =576種.26陽山書屋方法與技巧1.解排列、組合混合題一般是先選元素、后排元素、或充分利用元素的性質(zhì)進行分類、分步，再利用兩個基本原理作最后處理.2.對于較難直接解決的問題則可用間接法，但應做到不重不漏.3.對于選擇題要謹慎處理，注意等價答案的不同形式，處理這類選擇題可采用排除法分析答案的形式，錯誤的答案都是犯有重復或遺漏的錯誤.思想方法 感悟提高27

16、陽山書屋4.對于分配問題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復或遺漏.失誤與防范 要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別，均勻分組不 要重復計數(shù).28陽山書屋一、選擇題1.（2009遼寧理，5）從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有（） A.70種B.80種 C.100種D.140種 解析 對此問題可分類：男2女1和男1女2，故總共有 =70種不同的組隊方案.A定時檢測29陽山書屋2.（2009北京理，7）用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（） A.324B.328

17、 C.360D.648 解析 若組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)，可分為兩種情況：當個位上是0時，共有98=72種情況；當個位上是不為0的偶數(shù)時，共有488=256種情況. 綜上，共有72+256=328種情況.B30陽山書屋3.高三（一）班學生要安排元旦晚會的4個音樂節(jié)目，2個 舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié) 目不連排，則不同排法的種數(shù)是（） A.1 800 B.3 600C.4 320D.5 040 解析 4個音樂節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的排列共 種. 兩個舞蹈節(jié)目不連排，用插空法，不同的排法種 數(shù)是 =3 600.B31陽山書屋4.攝影師要為5名學生和2位老師拍照，要求排成一排，

18、2位老師相鄰且不排在兩端，不同的排法共有（） A.1 440種B.960種 C.720種D.480種 解析 2位老師作為一個整體與5名學生排隊，相當于6個元素排在6個位置，且老師不排兩端，先安排老師，有 種排法，5名學生排在剩下的5個位置,有 種，所以共有 =960種排法.B32陽山書屋5.（2009廣東理，7）2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有（） A.36種B.12種C.18種D.48種 解析 小張和小趙選派一人參加有

19、=24種方案，小張和小趙都參加有 =12種方案， 共有不同的選派方案24+12=36種.A33陽山書屋6.2008年北京奧運會期間，計劃將5名志愿者分配到 3個不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至 少分配一名志愿者的方案種數(shù)為（） A.540B.300C.150D.180 解析 每個場館至少一名志愿者，相當于將5人分成三組，然后排列，三組的人數(shù)分別為3，1，1或2，2，1，這樣,分組方法共有 種，然后三組進行排列，有 種. 所以共有 =150種方案.C34陽山書屋二、填空題7.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五種不同的商品在貨架上排成一排，其中甲、乙兩種必須排在一起，而丙、丁兩種不能排在一起，不

20、同的排法共有 種. 解析 甲、乙排在一起，用“捆綁”排列，丙丁 不排在一起，用插空法，不同的排法共有 =24種.2435陽山書屋8.宿舍樓內(nèi)的走廊一排有8盞燈，為節(jié)約用電又不影響照明，要同時熄掉其中3盞，但這3盞燈不能相鄰，則不同的熄燈方法種數(shù)為 .（用數(shù)字作答） 解析 可以先將五盞燈排列，然后將3盞將要熄滅的燈分成三組插空，共有20種不同的熄燈方法.2036陽山書屋9.（2009浙江理，16）甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是 （用數(shù)字作答）. 解析 當每個臺階上各站1人時有 種站法，當兩個人站在同一個臺階上時有 種站法，因此不同的站法種數(shù)有 =210+126 =336（種）.33637陽山書屋三、解答題10.某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災醫(yī)療隊，其中 （1）某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？ （2）甲、乙均不能參加，有多少種選法？ （3）甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？ （4）隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？ 解（1）只需從其他18人中選3人即可， 共有 =816（種）；38陽山書屋（2）只需從其他18人中選5人即可，共有 =8 568（種）；（3）分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，