數(shù)值分析第一章緒論

1、數(shù)值分析主講教師：盛瑩主講教師：盛瑩第第1 1章章 緒緒 論論1 1 數(shù)值分析研究的對象和內(nèi)容數(shù)值分析研究的對象和內(nèi)容 數(shù)值分析是研究科學(xué)計算中各種數(shù)學(xué)問題求解的數(shù)值計算方法。 用計算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計算解決實際問題的過程如下：實際實際問題問題數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型模型數(shù)值計數(shù)值計算方法算方法程序程序設(shè)計設(shè)計計算機(jī)計算計算機(jī)計算求出結(jié)果求出結(jié)果 對數(shù)學(xué)模型建立數(shù)值計算方法，并對方法進(jìn)行理論分析，直到編程上機(jī)計算出結(jié)果，以及對結(jié)果的分析，這就是數(shù)值分析研究的對象和任務(wù)。 如何評價不同算法的好壞呢？ 一個好的算法應(yīng)具有如下點：一個好的算法應(yīng)具有如下點： 一個好的算法應(yīng)具有如下特點：一個好的算法應(yīng)具有如下特點： （

2、1 1）結(jié)構(gòu)簡單，易于計算機(jī)實現(xiàn)；）結(jié)構(gòu)簡單，易于計算機(jī)實現(xiàn)； （2 2）理論上要保證方法的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性；）理論上要保證方法的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性； （3 3）計算效率高：計算速度快，節(jié)省存儲量；）計算效率高：計算速度快，節(jié)省存儲量； （4 4）經(jīng)過數(shù)值實驗檢驗，證明行之有效。）經(jīng)過數(shù)值實驗檢驗，證明行之有效。 我們在學(xué)習(xí)的過程中，要注意掌握數(shù)值方法我們在學(xué)習(xí)的過程中，要注意掌握數(shù)值方法 隨著計算機(jī)的飛速發(fā)展，數(shù)值分析方法已深入到計算的基本原理和思想，要注意方法處理的技巧及其的基本原理和思想，要注意方法處理的技巧及其與計算機(jī)的結(jié)合，要重視誤差分析、收斂性和穩(wěn)與計算機(jī)的結(jié)合，要重視誤差分析、

3、收斂性和穩(wěn)定性的基本理論。定性的基本理論。物理、計算力學(xué)、計算化學(xué)、計算生物學(xué)、計算經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個領(lǐng)域。本課僅限介紹最常用的數(shù)學(xué)模型的最基本的數(shù)值分析方法。2 2 誤差的來源和分類誤差的來源和分類 誤差是描述數(shù)值計算之中近似值的精確程度，在數(shù)值計算中十分重要，誤差按來源可分為模型誤差、觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差四種。 1.1.模型誤差模型誤差 數(shù)學(xué)模型通常是由實際問題抽象得到的，一般帶有誤差，這種誤差稱為模型誤差。 2.2.觀測誤差觀測誤差 數(shù)學(xué)模型中包含的一些物理參數(shù)通常是通過觀測和實驗得到的，難免帶有誤差，這種誤差稱為觀測誤差。 3.3.截斷誤差截斷誤差 求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值方法通常是一

4、種近似方法，這種因方法產(chǎn)生的誤差稱為截斷誤差截斷誤差或方法方法誤差。誤差。 例如，利用ln（x+1）的Taylor公式：.) 1(.) 1ln(11441331221nnnxxxxxx實際計算時只能截取有限項代數(shù)和計算，如取前5項有：5141312112ln5141312112ln這里產(chǎn)生誤差（記作R5）.101918171615R 4.4.舍入誤差舍入誤差 由于計算機(jī)只能對有限位數(shù)進(jìn)行運算，在運算中象 312 、e 在數(shù)值分析中，我們總假定數(shù)學(xué)模型是準(zhǔn)確的，因而不考慮模型誤差和觀測誤差，主要研究截斷誤差和舍入誤差對計算結(jié)果的影響。 等都要按舍入原則保留有限位，這時產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差舍入誤

5、差或計算誤差計算誤差。3 3 絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字 設(shè)x是精確值x*的一個近似值，記e=x*-x稱e為近似值x的絕對誤差絕對誤差，簡稱誤差誤差。 |e| 則稱為近似值x的絕對誤差限絕對誤差限，簡稱誤差限誤差限。 精確值x* 、近似值x和誤差限之間滿足：x-x*x+通常記為 x*=x絕對誤差有時并不能很好地反映近似程度的好壞，如x*=10， x=1 ，y*=10000， y=5雖然y是x的5倍，但在10000內(nèi)差5顯然比10內(nèi)差1好。如果滿足 稱er為近似值x的相對誤差相對誤差。記*xxxxeer 由于x*未知，實際使用時總是將x的相對誤差取為xxxxeer*

6、 r =/|x|稱為近似值x的相對誤差限相對誤差限。|er|r. 設(shè)x=1.24是由精確值x*經(jīng)過四舍五入得到的近似值,求x的絕對誤差限和相對誤差限。 解解 由已知可得: 1.235x*0,但計算結(jié)果顯示I80,可見,雖然I0的近似誤差不超過0.510-4,但隨著計算步數(shù)的增加,誤差明顯增大。這說明這里的遞推公式是數(shù)值不穩(wěn)定的。事實上，由于 In=1-nIn-1，和I*n=1-nI*n-1 ，n=1，2，可得In-I*n=-n（In-1-I*n-1）=(-1)nn!（I0-I*0）可見,隨著計算步數(shù)的增加,誤差迅速放大，使結(jié)果失真。若將計算公式改寫為1 , 2,.1, )1 (11kknInI

7、nn類似地可得0 , 1,.,1, )(!) 1(*nnkIInkIInnknkk可見，近似誤差I(lǐng)k-I*k是可控制的，算法是數(shù)值穩(wěn)定的。I90.0684 I70.1121 I50.1455 I30.2073 I10.3679I80.1035 I60.1268 I40.1709 I20.2642 I00.6321例如，由于10109919110110dxxIdxexe取近似值0684. 0)10110(2119eI，遞推得：可見,I0已精確到小數(shù)點后四位。 習(xí)題習(xí)題1 1（第（第1010頁）頁）1-11-1，1-21-2，1-31-3，1-41-4第一章練習(xí)題第一章練習(xí)題課堂練習(xí)1.設(shè)x2.1

8、8和y 2.1200分別是由精確值 和 經(jīng)過四舍五入得到的近似值，問 (x), (y), , 各是多少？ 解： (x)0.005， (y)=0.00005, =0.005/2.18 0.23% =0.00005/2.1200 0.0024% *x*y( )rx( )ry( )rx( )ry課堂練習(xí)2. 下列近似值的絕對誤差限都是0.005，x=1.38, y=-0.0312, z=0.86 ,問各個近似值有幾位有效數(shù)字？ 解：x有3位有效數(shù)字，y有1位有效數(shù)字，z沒有有效數(shù)字。410課堂練習(xí)3.要使 的相對誤差限不超過0.1，應(yīng)取幾位有效數(shù)字？ 解： 的首位數(shù)字 4，設(shè)x有n位有效數(shù)字，由相對誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系可知： 令 ，解得 ，即n=417171a11110811021nnra%1 . 010811n097. 3n課堂練習(xí)4.下面公式如何變形才能使數(shù)值計算得到比較精確的結(jié)果？ x-sinx (x1)解：將sinx在x=0處Taylor展開，有 sinx= , 故有 x-sinx= ,.! 7! 5! 3753xxxx.! 7! 5