二元函數(shù)的極值和最值

1、 .二元函數(shù)的極值一 .小值二元函數(shù)的最大值和最二 .數(shù)法條件極值與拉格朗日乘三7.7 7.7 二元函數(shù)的極值與最值二元函數(shù)的極值與最值教學(xué)要求：教學(xué)要求：1. 理解二元函數(shù)極值和條件極值的概念理解二元函數(shù)極值和條件極值的概念; 3. 會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值. 2. 掌握掌握二二元函數(shù)極值存在的必要條件、元函數(shù)極值存在的必要條件、充分條件充分條件; 會(huì)求二元函數(shù)的極值會(huì)求二元函數(shù)的極值.4. 會(huì)求簡單二元函數(shù)的最大值和最小值會(huì)求簡單二元函數(shù)的最大值和最小值, 并會(huì)解決一些簡單的應(yīng)用問題并會(huì)解決一些簡單的應(yīng)用問題.如果如果f (x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a ,c上上連

2、續(xù)連續(xù), 則則f (x)在在a ,c上必定能取得最大值與最小值上必定能取得最大值與最小值.)(xfy xoyacb2x1x3x復(fù)習(xí)：一元函數(shù)的極值、最值復(fù)習(xí)：一元函數(shù)的極值、最值. （1 1）極值：）極值：由由P146極值點(diǎn)定義：極值點(diǎn)定義：端點(diǎn)沒有資格做極值點(diǎn)端點(diǎn)沒有資格做極值點(diǎn)極值點(diǎn)一定在區(qū)間內(nèi)部極值點(diǎn)一定在區(qū)間內(nèi)部.（2 2）最值：）最值： 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值最值只能在只能在極值極值點(diǎn)點(diǎn)和和端點(diǎn)端點(diǎn)處取得處取得. )()(min2xfxf 在區(qū)間在區(qū)間a, b上，上， )()(min2xfxf 區(qū)間區(qū)間a, c上上)(xfy xoyacb2x1x3x),()(max3x

3、fxf ),()(maxcfxf 可見可見,為什么要單獨(dú)考慮端點(diǎn)？為什么要單獨(dú)考慮端點(diǎn)？因因端點(diǎn)沒有資格做極值點(diǎn)，但可能取最值端點(diǎn)沒有資格做極值點(diǎn)，但可能取最值oxya1x2x3xb而而極值點(diǎn)極值點(diǎn)只會(huì)在只會(huì)在駐點(diǎn)駐點(diǎn)和和不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)處處 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值最值只能在只能在極值點(diǎn)極值點(diǎn)和和端點(diǎn)端點(diǎn)處取得處取得. . 所以閉區(qū)間上連續(xù)所以閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)函數(shù)最值最值只能在只能在駐點(diǎn)駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)和和端點(diǎn)端點(diǎn)處取得處取得1.1.求閉區(qū)間求閉區(qū)間 a ,ba ,b 上連續(xù)函數(shù)最值的步驟：上連續(xù)函數(shù)最值的步驟： (2)PK:以上各函數(shù)值以上各函數(shù)值中最大的即為最大中最大的

4、即為最大值，最小的即為最小值值，最小的即為最小值(1)求出求出f (x)在在a,b內(nèi)的內(nèi)的可疑最值點(diǎn)可疑最值點(diǎn)（駐駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn))及其函數(shù)數(shù)值及其函數(shù)數(shù)值 注：注：對(duì)這些可疑最值點(diǎn)對(duì)這些可疑最值點(diǎn)不需不需采用第一或第采用第一或第二充分條件二充分條件確認(rèn)確認(rèn)其是否為極大（?。┲迭c(diǎn)其是否為極大（小）值點(diǎn)閉區(qū)間上閉區(qū)間上可導(dǎo)可導(dǎo)函數(shù)函數(shù)最值最值只存在于只存在于駐點(diǎn)駐點(diǎn)、端點(diǎn)、端點(diǎn)的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二元函數(shù)極值二元函數(shù)極值播放播放一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值1.引例引例設(shè)點(diǎn)),(00yx是),(yxfz 在定義域的內(nèi)點(diǎn)。若存在

5、),(00yx的某一鄰域， 使得對(duì)于該領(lǐng)域內(nèi)異于),(00yx的任一點(diǎn)),(yx：（1）都有),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在),(00yx有極大值；（2）都有),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在),(00yx有極小值；2、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義),(),(00PUyxP即(1)(2)(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 3、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件不不妨妨設(shè)設(shè)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),

6、(00yx處處有有極極大大值值,則則對(duì)對(duì)于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,證證故有 ),(0yxf),(00yxf,故有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必有0),(00 yxfx;同理可證0),(00 yxfy.推廣 若三元函數(shù)),(zyxfu 在),(000zyxP具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在),(000zyxP有極值的必要條件為0),(000 zyxfx，0),(000 zyxfy，0),(000 zyxfz.ky 類似于常數(shù)此時(shí)0, 0),(00

7、處的導(dǎo)數(shù)為在所以一元函數(shù)xxyxf 類似一元函數(shù)，凡能使類似一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn).注：注： 可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn)駐點(diǎn)駐點(diǎn)(3)處無極值在例如函數(shù))0 , 0(xyz 問題：問題：可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)，那什可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)，那什么樣的點(diǎn)才是極值點(diǎn)呢？么樣的點(diǎn)才是極值點(diǎn)呢？這是尋找極值點(diǎn)的這是尋找極值點(diǎn)的 條件條件充分充分處非極值在類似于一元函數(shù)03xxy定理定理2（極值存在的充分條件）（極值存在的充分條件）, ,),(),(0偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)且有一階及二階連續(xù)且有一階及二階連續(xù)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在設(shè)設(shè)

8、 PUyxfz , 0),(, 0),( 0000 yxfyxfyx又又 ),(),(),( 000000yxfCyxfByxfAyyxyxx 令令有極值：時(shí)當(dāng),0) 1 (2 BAC時(shí)有極小值時(shí)有極大值00AA;,0)2(2沒有極值時(shí)當(dāng) BAC.,0)3(2需另作討論為可能極值時(shí)當(dāng) BAC 則（證略）（證略）ABC法則法則求求函函數(shù)數(shù)),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟： 第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)解解，得得駐駐點(diǎn)點(diǎn). ).,(),(),( yxfyxfyxfyyxyxx求求第二步第二步第三步第三步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)對(duì)于每一個(gè)

9、駐點(diǎn)),(00yx， 第四步對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)，根據(jù)ABC 法則判斷其是否為極值點(diǎn).ABC法則只適用于二元函數(shù)法則只適用于二元函數(shù).933),(42233的極值求例xyxyxyxf解解2, 03, 1yyxx),0 , 1 (駐點(diǎn)有, 0 xyfB66 yfCyy, 6, 0, 012)0 , 1 ()3(CBA處在:0630963) 1 (22得由yyfxxfyx, 66)2(xfAxx, 0722 ACB),2 , 1 (),0 , 3()2 , 3(取極小值，在點(diǎn))0 , 1 (),(yxf. 5)0 , 1 (f極小值為類似類似P295、296例例1 、例、例2;P325第第23題題 簡單而

10、重要！簡單而重要！, 6, 0, 012)2 , 1 (CBA處在, 0722 ACB無極值。在點(diǎn))2 , 1 (),(yxf, 6, 0, 012)0 , 3(CBA處在, 0722 ACB無極值。在點(diǎn))0 , 3(),(yxf, 6, 0, 012)2 , 3(CBA處在, 0722 ACB取極大值，在點(diǎn))2 , 3(),(yxf.31)2 , 3(f極大值為, 0 xyfB66 yfCyy, 66 xfAxx),0 , 1 (駐點(diǎn)有),2 , 1 (),0 , 3()2 , 3( .小小值值多多元元函函數(shù)數(shù)的的最最大大值值和和最最二二1.定理定理（詳見（詳見P72性質(zhì)性質(zhì)1） 閉區(qū)域上的

11、連續(xù)函數(shù)閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值: A A 閉區(qū)域閉區(qū)域D D上可導(dǎo)函數(shù)的最值上可導(dǎo)函數(shù)的最值一般一般求法求法注：注：極值點(diǎn)極值點(diǎn)（見（見P107定義）定義）和和駐點(diǎn)駐點(diǎn)（見（見P75偏導(dǎo)定義）偏導(dǎo)定義）一定是內(nèi)點(diǎn)一定是內(nèi)點(diǎn)駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)(1)(1)求出函數(shù)在求出函數(shù)在D D內(nèi)部的一切可疑內(nèi)部的一切可疑極值點(diǎn)（駐點(diǎn)）處的函數(shù)值極值點(diǎn)（駐點(diǎn)）處的函數(shù)值駐點(diǎn)駐點(diǎn)邊界邊界上的上的最值最值 比較這些函數(shù)值的大小比較這些函數(shù)值的大小, , 最大的就是最大的就是函數(shù)在函數(shù)在D D上的最大值上的最大值, , 最小的就是函數(shù)在最小的就是函數(shù)在D D上的上的最小值最小值.

12、 .（內(nèi)點(diǎn)）（內(nèi)點(diǎn)）（邊界上）（邊界上）(3)PK(3)PK 注：可疑極值點(diǎn)（駐點(diǎn)）無需用注：可疑極值點(diǎn)（駐點(diǎn)）無需用ABCABC法則確認(rèn)其是不是真正的極值點(diǎn)。法則確認(rèn)其是不是真正的極值點(diǎn)。（whywhy？）？）A A閉區(qū)域閉區(qū)域D D上上可導(dǎo)可導(dǎo)函數(shù)的最值函數(shù)的最值一般一般求法求法(2)(2)求函數(shù)在區(qū)域邊界上的最值求函數(shù)在區(qū)域邊界上的最值 例 5求( , )f x y2222xx yy在圓域22( , )|1Dx yxy 內(nèi)的最大值與最小值例 5求( , )f x y2222xx yy在圓域22( , )|1Dx yxy 內(nèi)的最大值與最小值比較( , )f x y在D內(nèi)駐點(diǎn)處的函數(shù)值:與(

13、 , )f x y在D的邊界上的最大值與最小值得1()f M0，2()f M3()f M14類似題：類似題： P325： 25（2）B 實(shí)際問題實(shí)際問題 最值的求法最值的求法則該駐點(diǎn)必為所求的最值點(diǎn)則該駐點(diǎn)必為所求的最值點(diǎn). 若只有若只有唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn)，最值不會(huì)在邊界上最值不會(huì)在邊界上（為什么？）（為什么？） 對(duì)該唯一駐點(diǎn)無需用對(duì)該唯一駐點(diǎn)無需用ABC法則法則判斷其是否為極值點(diǎn)判斷其是否為極值點(diǎn)。（即（即不會(huì)在極端情況取得不會(huì)在極端情況取得）四個(gè)條件缺一不可四個(gè)條件缺一不可若實(shí)際問題若實(shí)際問題存在最值，存在最值，且目且目標(biāo)函數(shù)為標(biāo)函數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)函數(shù)函數(shù)類似題：類似題：P297例例3、 P29

14、9例例5；P325：27，28例 6 要造一個(gè)體積為 23m的長方體箱子，問要選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最少？和zm，則高為z2xym設(shè)箱子的表面積為A，則A222()xyxy（x0，y0）最小值一定存在，D( , )|0,0 x yxy內(nèi)取得并且在開區(qū)域又可導(dǎo)函數(shù)( , )A x y？何訂價(jià)才能時(shí)利潤最大問廠家如總成本函數(shù)需求函數(shù)分別為銷售量分別為為售價(jià)分別同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷售，：某廠商生產(chǎn)同一產(chǎn)品例),(4035,05. 010,2 . 024,72122112121qqCpqpqqqpp)(4035:212211qqqpqpL 利利潤潤解解1395p12p32p05. 0p2 . 0

15、212221 0121 . 00324 . 02121pLpLpp120p,80p21 時(shí)時(shí)利利潤潤最最大大120p,80p21 根據(jù)實(shí)際問題的意義，根據(jù)實(shí)際問題的意義，引例引例 .數(shù)數(shù)法法條條件件極極值值與與拉拉格格朗朗日日乘乘三三1. 條件極值與無條件極值條件極值與無條件極值 自變量除了受其定義域限制外還有別的條自變量除了受其定義域限制外還有別的條件限制，這種情況下的極值稱為件限制，這種情況下的極值稱為條件極值條件極值.相應(yīng)地，前面討論的極值稱為相應(yīng)地，前面討論的極值稱為無條件極值無條件極值. 有時(shí)條件極值可轉(zhuǎn)化為無條件極值來求有時(shí)條件極值可轉(zhuǎn)化為無條件極值來求（如（如P301例例6） ，

16、 此為此為“降元法降元法”但并非所有條件極值都能用但并非所有條件極值都能用“降元法降元法”求解，求解，下面介紹新方法下面介紹新方法.2. 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 .0),(),(條條件件下下的的可可能能極極值值點(diǎn)點(diǎn)在在考考慮慮 yxyxfz , ),(),(),(,求其可能極值點(diǎn)求其可能極值點(diǎn)作函數(shù)作函數(shù)一方面一方面yxyxfyxF 0 xxxfF令令說明說明F(x, y, )的可能極值點(diǎn)為上述方程組確定的的可能極值點(diǎn)為上述方程組確定的(x, y).),(0),(,xyyx 確定了確定了另一方面另一方面0 yyyfF0),( yxF ),(),(yxyxdxdyyx 且且（課外閱讀）（課

17、外閱讀）的的可可能能極極值值點(diǎn)點(diǎn)為為滿滿足足而而)(,(xxfz 0),(,0 yxdxdz 同時(shí)同時(shí)的點(diǎn)的點(diǎn),dxdyffdxdzyx 又又.0),(0 yxffxyyx 即即（課外閱讀）（課外閱讀）拉格朗日乘數(shù)法的具體應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法的具體應(yīng)用 條件下的可疑極值點(diǎn)在求0),(),(1) yxyxfz ),(),(),( yxyxfyxF 先先構(gòu)構(gòu)造造拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù) 0),(00yxFfFfFyyyxxx 令令解出解出(x,y)即為即為可疑極值點(diǎn)可疑極值點(diǎn).判別可疑極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn)通常由實(shí)際判別可疑極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn)通常由實(shí)際問題來定，問題來定，不需用不需用ABC法則法則.條件

18、下的可疑極值點(diǎn)在求0),(),( )2(zyxzyxfu ),(),(),( zyxzyxfzyxF 構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù) 0),(000zyxFfFfFfFzzzyyyxxx 令令解出解出(x,y,z)即為可能極值點(diǎn)即為可能極值點(diǎn). :0),(, 0),( ),( )3(條件下的可能極值點(diǎn)條件下的可能極值點(diǎn)在在求求 yxyxyxfu ).,(),(),(),( yxyxyxfyxF 構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)類似地，由 偏導(dǎo)數(shù)為零的條件解出可疑極值點(diǎn)8 解解：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù))25015050000(100),(4143yxyxyxF 025015050000025025015075414

19、34141 yxFyxFyxFyx 類似題：類似題：P302例例7、 P303例例9；P325：24，26，29-31作業(yè)作業(yè)： P325 23（1）,25（2）,27,29一一. .條件極值條件極值min(max)( , ) ). . ( , )0 int )zf x ygoal functionstx yconstracondition目標(biāo)函數(shù)（約束條件（),(yxfz 以二元函數(shù)為例，求函數(shù)以二元函數(shù)為例，求函數(shù)0),( yx 在在條件下的可能極值點(diǎn)條件下的可能極值點(diǎn) 。以下內(nèi)容為課外閱讀以下內(nèi)容為課外閱讀 由一元函數(shù)極值得，由一元函數(shù)極值得， 00(,)0 xy ，取得極值取得極值在在

20、0)(,(xxxyxfz 分析分析：00(,)xy若),(yxfz 是是的條件極值點(diǎn)的條件極值點(diǎn)),(00yx( , )x y( , )f x y若若都在都在)1(C 某鄰域內(nèi)是某鄰域內(nèi)是類函數(shù)，類函數(shù)，( , )0 x y( )yy x，則確定隱函數(shù)確定隱函數(shù)),(yxfz )(,(xyxfz 可化為可化為有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)00000(,)|(,)xx xyxydydxxy 代入，則 0|),(),(|000000 xxyxxxdxdyyxfyxfdxdz00000000(,)(,)(,)0(,)yxxyfxyfxyxyxy 0000000000(,)(,)0,(,)(,)

21、0,(,)0.xxyyfxyxyfxyxyxy00(,)( , )xyzf x y是條件極值點(diǎn)的必要條件條件極值點(diǎn)的必要條件此方程組為Lagranges Method To maximize or minimize),(yxfsubject 0),( yx to the constraintsolve the system of equations . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx critical point for the constrained extremum a Lagrange multiplier.foryx,),(yxEach s

22、uch pointis aand problem and the correspondingis called拉拉 格格 朗朗 日日 乘乘 數(shù)數(shù) 法法 要要 找找 函函 數(shù)數(shù)),(yxfz 在在 條條 件件0),( yx 下下 的的 可可 能能 極極 值值 點(diǎn)點(diǎn) ， 先先 構(gòu)構(gòu) 造造 函函 數(shù)數(shù)( ,)( ,)( ,)Fx yfx yx y， 可可 由由 (,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.xxxyyyFfx yx yFfx yx yFx y 解解 出出 , yx， 其其 中中yx ,就就 是是 可可 能能 的的 極極值值 點(diǎn)點(diǎn) 的的 坐坐 標(biāo)標(biāo) . 拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)

23、的情況：拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：要找函數(shù)要找函數(shù)),(tzyxfu 在條件在條件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的極值，下的極值， 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù) ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 可由可由 偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出tzyx,，即得極值點(diǎn)，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo). 二、應(yīng)用 解解：構(gòu)造構(gòu)造Lagranges Function)25015050000(100),(4143yxyxyxF 02501505000002502501507543434141yxFyxFyxFyx或調(diào)用或調(diào)用MatlabMatlab

24、軟件中命令軟件中命令constrconstr來來計(jì)算有約束的極小問題計(jì)算有約束的極小問題 計(jì)算結(jié)果：計(jì)算結(jié)果：250 50 xy16719)50,250( f即應(yīng)該雇傭即應(yīng)該雇傭250個(gè)勞動(dòng)力而把其余的個(gè)勞動(dòng)力而把其余的部分作為資本投入，可獲得最大產(chǎn)量部分作為資本投入，可獲得最大產(chǎn)量0200400-10001002000100200300400020040001002003004000100200300400500050100150200010020030040001002003004003144( , )100f x yx xy0200400-1000100200010020030040002004000100200300400 要要找找函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可可能能極極值值點(diǎn)點(diǎn), ,先先構(gòu)構(gòu)造造 L La ag gr ra an ng ge e 函函數(shù)數(shù)( , , )( , )( , )F x yf x yx y，可可由由 ( , )( , )0,( , )( , )0,( , )0.xxxyyyFfx yx yFfx yx yFx y 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo). . Kuhu-Tucker