第一章 微觀粒子的狀態(tài)

1、岳賢軍 南通大學(xué)電子信息學(xué)院電子工程系固體電子學(xué)導(dǎo)論概述概述量子力學(xué)統(tǒng)計力學(xué)固體物理半導(dǎo)體物理固體電子學(xué)導(dǎo)論第一章第一章 微觀粒子的狀態(tài)微觀粒子的狀態(tài)第二章第二章 晶體中電子的狀態(tài)晶體中電子的狀態(tài)第三章第三章 晶體中原子的狀態(tài)晶體中原子的狀態(tài)第四章第四章 常見晶體的結(jié)構(gòu)及物理性質(zhì)常見晶體的結(jié)構(gòu)及物理性質(zhì)主要章節(jié)主要章節(jié)量子力學(xué)量子力學(xué)統(tǒng)計物理統(tǒng)計物理固固體體物物理理粒子：指組成宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的基本單元。 粒子運動狀態(tài)：指力學(xué)運動狀態(tài)。 經(jīng)典描述：遵從經(jīng)典力學(xué)的運動規(guī)律。 量子描述：遵從量子力學(xué)的運動規(guī)律。 1.1 粒子運動狀態(tài)的描述粒子運動狀態(tài)的描述第一章第一章 微觀粒子的狀態(tài)微觀粒子的狀態(tài)在分

2、析力學(xué)中，一般把以廣義坐標和廣義動量為自變量的能量函數(shù)寫成H（哈密頓）函數(shù) ( ,),(1,2, )iiH q pir粒子的運動滿足正則運動方程 ,(1,2, )iiiiHHqpirpq 一組 數(shù)值完全確定了這個系統(tǒng)的一個運動狀態(tài)，這就是微觀運動狀態(tài)微觀運動狀態(tài)。 iipq ,1.1 粒子運動狀態(tài)的描述粒子運動狀態(tài)的描述微觀運動狀態(tài)的描述：微觀運動狀態(tài)的描述：使用粒子坐標和動量的描述方法，也可借助幾何表示法討論力學(xué)體系運動狀態(tài)。1.1.1 空間空間(相空間相空間) 設(shè)粒子的自由度為r，經(jīng)典力學(xué)告訴我們，粒子在任一時刻的力學(xué)狀態(tài)由粒子的r個廣義坐標q1, q2,qr和與之共軛的r個廣義動量p1,

3、p2,.pr在該時刻的數(shù)值確定。粒子的能量是其廣義坐標和廣義動量的函數(shù)：如果存在外場，還是描述外場參量的函數(shù)。為了形象地描述粒子的力學(xué)運動狀態(tài)，用q1, q2,qr; p1,p2,.pr共2r個變量為直角坐標，構(gòu)成一個2r維空間，稱為 空間空間。粒子在某一時刻的力學(xué)運動狀態(tài)可用空間中的一點表示，稱為粒子力學(xué)運動狀態(tài)的代表點代表點。當粒子的運動狀態(tài)隨時間改變時，代表點相應(yīng)地在空間中移動，描畫出一條軌道，稱為相跡相跡。1;1(,)rrqq pp粒子在空間的描述： 由N個粒子組成的系統(tǒng)在某一時刻的一個特定的微觀狀態(tài)，在空間中用N個代表點表示。隨著時間的變化，系統(tǒng)運動狀態(tài)的變化由N個代表點在空間中的N

4、條運動軌跡，即N條線代表。1.1.1 空間空間(相空間相空間) 空間性質(zhì)：i) 空間是人為想象出來的超越空間，是個相空間相空間。引進它的目的在于使運動狀態(tài)的描述幾何化、形象化，以便于進行統(tǒng)計?？臻g中的一個代表點是一個粒子的微觀運動狀態(tài)而不是一個粒子。ii) 在經(jīng)典力學(xué)范圍，在無相互作用的獨立粒子系統(tǒng)中，任何粒子總可找到和它相應(yīng)的空間來形象地描述它的運動狀態(tài)，但不是所有的粒子的運動狀態(tài)可以在同一空間中描述。1.1.1 空間空間(相空間相空間) 1. 粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述（坐標，動量）粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述（坐標，動量）3rns粒子自由度,1, 2,iiqpir力學(xué)運動狀態(tài)哈密頓量1212,;,

5、rrq qqp ppr個廣義坐標r個廣義動量 空間(2r維相空間)自由度 r單粒子狀態(tài)及其演變過程空間中的點和曲線n-粒子的數(shù)目，s-束縛條件個數(shù)3r , , ;,xyzx y z ppp22212xyzHpppm2. 例子例子自由粒子自由粒子 zmppymppxmppzyx321,xpxLxpxp自由粒子：不受外力作用而自由運動的粒子。以單原子分子為例，有3個自由度，設(shè)其質(zhì)量為m，需要6個量確定它的運動狀態(tài)。3.例子例子線性諧振子線性諧振子 分子內(nèi)原子的振動，晶體中原子或離子在其平衡位置附近的振動都可看作簡諧運動。 彈性力 ：圓頻率 ：AxfmA1r qp22m2m能量恒定的軌跡為橢圓3.例

6、子例子線性諧振子線性諧振子 xq xmppx2222222122pAxmpmxm122222mxmp1. 經(jīng)典物理經(jīng)典物理成成就就舉舉例例牛頓力學(xué)牛頓力學(xué)支配天體和力學(xué)對象的運動；支配天體和力學(xué)對象的運動；楊氏衍射實驗楊氏衍射實驗確定了光的波動性；確定了光的波動性；Maxwell方程組的建立方程組的建立把光和電磁現(xiàn)象建立在牢把光和電磁現(xiàn)象建立在牢固的基礎(chǔ)上；固的基礎(chǔ)上；統(tǒng)計力學(xué)統(tǒng)計力學(xué)的建立的建立引入統(tǒng)計方法，關(guān)注大量粒子運引入統(tǒng)計方法，關(guān)注大量粒子運動的整體效果。動的整體效果。1.1.2 微觀粒子的量子描述微觀粒子的量子描述量子力學(xué)量子力學(xué) 一旦深入到分子、原子領(lǐng)域，一些實驗事實和經(jīng)典理論發(fā)

7、生矛一旦深入到分子、原子領(lǐng)域，一些實驗事實和經(jīng)典理論發(fā)生矛盾或無法理解。盾或無法理解。 黑體輻射、光電效應(yīng)、氫原子光譜黑體輻射、光電效應(yīng)、氫原子光譜存在與經(jīng)典物理學(xué)的概念完全不相容的嶄新的實驗事實存在與經(jīng)典物理學(xué)的概念完全不相容的嶄新的實驗事實輻射的微粒性；輻射的微粒性；b. 物質(zhì)粒子的波動性；物質(zhì)粒子的波動性；c. 物理量的物理量的“量子化量子化”，即測量值取分立值或某些確定值，即測量值取分立值或某些確定值2. 量子的發(fā)現(xiàn)量子的發(fā)現(xiàn)3. 量子力學(xué)的誕生量子力學(xué)的誕生什么是量子力學(xué)什么是量子力學(xué)? 研究微觀粒子運動規(guī)律的理論研究微觀粒子運動規(guī)律的理論 微觀粒子：分子、原子、原子核微觀粒子：分子

8、、原子、原子核(質(zhì)子、中子質(zhì)子、中子)、電子電子、光子光子等。等。德布羅意：德布羅意：物質(zhì)波假設(shè)物質(zhì)波假設(shè)ph海森堡：海森堡：矩陣形式的量子理論矩陣形式的量子理論等價薛定諤泡利約爾證明4. 正統(tǒng)解釋正統(tǒng)解釋波函數(shù)波函數(shù)波動方程波動方程矩陣力學(xué)矩陣力學(xué)連續(xù)的波分立的粒子1). 概率波原理概率波原理2),(tr波恩解釋：波恩解釋：波函數(shù)的統(tǒng)計意義是波函數(shù)在空間某一點波函數(shù)的統(tǒng)計意義是波函數(shù)在空間某一點的強度的強度 和在該點找到粒子的幾率成正比。和在該點找到粒子的幾率成正比。實驗證明實驗證明 對于一個電子雖然不能知道它一定在照片上哪一對于一個電子雖然不能知道它一定在照片上哪一點出現(xiàn)，但由波函數(shù)的強度

9、分布，可知道它在照片上點出現(xiàn)，但由波函數(shù)的強度分布，可知道它在照片上各點出現(xiàn)的幾率。各點出現(xiàn)的幾率。-波恩解釋。波恩解釋。 2). 測不準原理測不準原理海森堡提出測不準原理（不確定性原理），解釋波動性和粒子海森堡提出測不準原理（不確定性原理），解釋波動性和粒子性實驗現(xiàn)象的矛盾起源。性實驗現(xiàn)象的矛盾起源。hqphtEP 動量，q位置E能量， t時間推論推論例，電子的單縫衍射例，電子的單縫衍射實驗實驗hpxxh=6.62610-34 J.S - 普朗克常數(shù)普朗克常數(shù)判定常數(shù)：判定常數(shù)：h=6.62610-34 J.S - 普朗克常數(shù)普朗克常數(shù)量子力學(xué)的應(yīng)用范圍量子力學(xué)的應(yīng)用范圍體系的作用量體系的作

10、用量= 能量能量 時間時間 = 動量動量 長度長度 =角動量角動量角度角度測不準原理并提供了衡量微觀問題和宏觀問題的界限測不準原理并提供了衡量微觀問題和宏觀問題的界限hx phx m vhx vm 例一例一:氫原子中的電子氫原子中的電子810/hvm x 厘米 秒與電子本身運動的速度相比是同一數(shù)量級與電子本身運動的速度相比是同一數(shù)量級.基態(tài)基態(tài) v108厘米厘米/秒，秒， x10-8厘米，厘米， m=910-28克，克， h=6.63 10-27爾格秒爾格秒例二例二:陰極射線管中的電子束陰極射線管中的電子束,電子速度電子速度v108厘米厘米/秒秒,設(shè)設(shè)測量電子速度的精度為千分之一測量電子速度的

11、精度為千分之一,即即 v105厘米厘米/秒秒厘米510vmhx該值在陰極射線管實驗的該值在陰極射線管實驗的精度要求下精度要求下可以忽略可以忽略.同樣是同樣是電子電子,這種條件下這種條件下,可以當作可以當作經(jīng)典粒子來經(jīng)典粒子來處理處理.3). 互補原理互補原理波爾：一些經(jīng)典概念的應(yīng)用不可避免的排除另一些經(jīng)典波爾：一些經(jīng)典概念的應(yīng)用不可避免的排除另一些經(jīng)典概念的應(yīng)用。概念的應(yīng)用。波動性和粒子性互補。真正的物質(zhì)特性只有一個，波動性和粒子性互補。真正的物質(zhì)特性只有一個，波粒二象性波粒二象性。但每次測量中只可能表現(xiàn)出一面。但每次測量中只可能表現(xiàn)出一面。電子雙縫干電子雙縫干涉實驗涉實驗坍縮：許多科學(xué)家相信

12、，量子態(tài)是無法精確測量的。一旦被測量，量子物體就會發(fā)生“坍縮”，從擁有多種可能位置的狀態(tài)變成類似經(jīng)典物體的單一位置。1.2 單個微觀粒子的狀態(tài)單個微觀粒子的狀態(tài)定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程()0(1,2,3, )iidLLirdtqq多質(zhì)點體系動力學(xué)的普適動力學(xué)方程多質(zhì)點體系動力學(xué)的普適動力學(xué)方程拉格朗日拉格朗日方程方程拉格朗日力學(xué)哈密頓力學(xué)演變啟發(fā)薛定諤方程函數(shù)函數(shù)H稱為哈密頓量或者能量函數(shù)稱為哈密頓量或者能量函數(shù)1riiiHLp q ,iiiiHHLHqppqtt 哈密頓正則方程哈密頓哈密頓雅可比方程雅可比方程12120,rrSHtSS q qqt 一一. 哈密頓力學(xué)哈密頓力學(xué)微觀粒子的運

13、動方程微觀粒子的運動方程二二.薛定諤方程薛定諤方程薛定諤(奧地利)Erwin Schrodinger (1887-1961)薛定諤的貓 1.薛定諤方程的一般表示式薛定諤方程的一般表示式 t , rrVm2tt , ri22 粒子的勢能函數(shù)其中rV,zyx2222222222kmE22,2ix tx ttm x ,i kxtx tAe,i kxtx tAeti2222m xEmpE22自由粒子自由粒子非自由粒子？非自由粒子？三維？三維？ t , rrVm2tt , ri22三維三維E能量算符能量算符 22V2rm 自由粒子：自由粒子：力場中的粒子：力場中的粒子：22pEm rVm2pE2it歸一

14、化常數(shù)歸一化常數(shù)D和（r，t）稱為歸一化波函數(shù)）稱為歸一化波函數(shù)),(trC 其中波函數(shù)滿足歸一化條件其中波函數(shù)滿足歸一化條件1|2dVVC例例 一維運動的粒子，描寫其狀態(tài)的波函數(shù)為一維運動的粒子，描寫其狀態(tài)的波函數(shù)為axxaAeaxxtxEi0sin, 00, E和和a是確定的常數(shù)，是確定的常數(shù)，A是任意常數(shù)，求是任意常數(shù)，求（1）歸一）歸一化波函數(shù)；（化波函數(shù)；（2）幾率分布密度；（）幾率分布密度；（3）粒子在何處出）粒子在何處出現(xiàn)的幾率最大？現(xiàn)的幾率最大？ aAaxdxaa221sin2022歸一化常數(shù)A AA A得得到到1 1, ,d dx xt tx x, ,由由歸歸一一化化條條件件

15、1 1解解2 2a ax x0 0 x xa asinsine ea a2 2a ax x0,0,x x0 0t tx,x,歸一化波函數(shù)為歸一化波函數(shù)為i iEt a ax x0 0 x xa as si in na a2 2a ax x0 0, ,x x0 0 x xx xw w幾幾率率密密度度2 22 22 2 . .處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率最大處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率最大2 2a a所以在x所以在x2 2a ax x0 0 x xa asinsina a2 2dxdxd d令令3 32 2 當粒子或系統(tǒng)受到外界不隨時間變化的作用當粒子或系統(tǒng)受到外界不隨時間變化的作用,即勢即勢函數(shù)函數(shù)V (r)不依賴時間

16、變化不依賴時間變化-定態(tài)定態(tài). 代入薛定諤方程式令,tfrtr2. 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 rrVrm2r1dttdftfi22有=E rErrVm222-定態(tài)薛定諤方程 tECetf最后得最后得: rErHrVm2H22則令哈密頓算符H波函數(shù)應(yīng)滿足的標準化條件波函數(shù)應(yīng)滿足的標準化條件 波函數(shù)是有限的波函數(shù)是有限的. 波函數(shù)是單值的波函數(shù)是單值的. 波函數(shù)以及它對坐標的一階微商是連續(xù)的波函數(shù)以及它對坐標的一階微商是連續(xù)的.三三. 物理量與算符物理量與算符1.算符算符經(jīng)典：基本物理量位置經(jīng)典：基本物理量位置 r、動量、動量p、勢能、勢能v量子：位置算符量子：位置算符 、動量算符、動量算符

17、、勢能算符、勢能算符 不確定r p V由定態(tài)薛定諤方程看出：由定態(tài)薛定諤方程看出：哈密頓量H=T+V rVm2H22哈密頓算符22m2TVV動能算符勢能算符rr ip VV衍生算符衍生算符p r L角動量算符動能算符m2p T2Vm2p H2能量算符（哈密頓算符）力算符VF速度算符mp v 加速度算符mVa 基本算符基本算符2.概率波與經(jīng)典物理量概率波與經(jīng)典物理量微觀粒子的觀測量微觀粒子的觀測量= =該量的平均值該量的平均值任一函數(shù)f的平均值可表示為：dff*例：位置的平均值動量的平均值drr*dip*概率分布隨時間變化規(guī)律概率分布隨時間變化規(guī)律 概率流密度概率流密度由含時間的薛定諤方程得到由

18、含時間的薛定諤方程得到0Jtw)(m2i-J概率流密度概率流密度上式兩邊同乘m 質(zhì)量守恒定律 上式兩邊同乘e 電荷守恒定律 上式兩邊同乘N 粒子數(shù)守恒定律 2) t , r (CddW) t , r (w1.一維無限深勢阱一維無限深勢阱2.一維線性諧振子一維線性諧振子3.氫原子氫原子4.勢壘貫穿勢壘貫穿四四.定態(tài)問題的幾個實例定態(tài)問題的幾個實例熟悉微觀粒子波函數(shù)的求解熟悉微觀粒子波函數(shù)的求解, ,分析所得結(jié)果的物理意義分析所得結(jié)果的物理意義, ,初步了解微觀粒子運動的主要規(guī)律。初步了解微觀粒子運動的主要規(guī)律。 rErrUm222定態(tài)薛定諤方程一維無限深勢阱一維無限深勢阱一維線性諧振子一維線性諧

19、振子氫原子氫原子勢壘貫穿勢壘貫穿1 .一維無限深勢阱一維無限深勢阱 axxaxxU, 0000解在區(qū)，U（X）=0，則定態(tài)薛定諤方程為 xExdxdm2222 0222222xkxdxdmEk有令 kxCBeAexikxikxsin通解 xanCxsin，那末 00sin000C 0sin01,2,aaCkaknna再利用歸一化條件： aCdxxanCa21sin20利用波函數(shù)連續(xù)條件：利用波函數(shù)連續(xù)條件： 2sin000,aanxxaxxxa最后得：取分立值anknmamkE22222222結(jié)果分析：結(jié)果分析：（3） * 能級分布不均勻。能級分布不均勻。 *能量量子化與阱寬能量量子化與阱寬a

20、有密切關(guān)系。有密切關(guān)系。 *n時，能級密集分布，趨于經(jīng)典情況。時，能級密集分布，趨于經(jīng)典情況。1222221nmaEEEnnn（1）能量量子化。）能量量子化。（2）最小能量不為零。）最小能量不為零。取分立值anknmamkE222222222.一維線性諧振子一維線性諧振子將將V(x)代入定態(tài)薛定諤方程，得代入定態(tài)薛定諤方程，得Exmdxdm22222212 m為振子質(zhì)量，為振子質(zhì)量，為振動的角頻率為振動的角頻率21Emx令0222dd方方程程變變?yōu)闉?212( )V xmx勢能漸近方程為漸近方程為2220dd () 2D e12 令令212( )( )HD eH有有222(1)( )0d Hd

21、HHdd21n11()22En最后解得：最后解得： nnnHeNx221 （1）能量量子化。）能量量子化。 （2）最小能量不為零。）最小能量不為零。 （3） En=h能量等間距分布能量等間距分布結(jié)果分析：結(jié)果分析： 221eddeHnnnn其中12016032124816,128, 24,2, 1355244332210HHHHHH2 , 1 , 02121nnhnEn（4）不同的）不同的n對應(yīng)不同波函數(shù)，對應(yīng)不同波函數(shù)，n很大時，趨于經(jīng)典情況很大時，趨于經(jīng)典情況（4）n很大時趨于經(jīng)典情況很大時趨于經(jīng)典情況 按照經(jīng)典力學(xué)的觀點，按照經(jīng)典力學(xué)的觀點，區(qū)是粒子不可能到達的區(qū)是粒子不可能到達的區(qū)域。

22、區(qū)域。量子力學(xué)可以證明量子力學(xué)可以證明，即使即使EU時，粒子也有一時，粒子也有一定的幾率穿過勢壘而到達定的幾率穿過勢壘而到達區(qū)。區(qū)。勢壘貫穿勢壘貫穿 0000,UxaU xxxaEmkkdxd221212220區(qū)EUmkkdxd0222222220區(qū)Emkkdxd223232220區(qū)相應(yīng)地解分別為：相應(yīng)地解分別為：xikxikeAeA1121xkxkeBeB2221xikxikeCeC3321入射幾率入射幾率A A2 21 1反射幾率反射幾率A A2 22 2透射幾率透射幾率C C2 21 1可得到可得到的關(guān)系,的關(guān)系,C C, ,A A, ,可確定A可確定A連續(xù),連續(xù),dxdxd d由由,

23、,1 12 21 1)0UE0U16E0(DE EU U2 2m m0 02 21 12 21 10 02 2a ae eD DA AC CD D透透射射系系數(shù)數(shù)結(jié)論：結(jié)論：微觀粒子的能量微觀粒子的能量EU0時，存在穿透勢壘時，存在穿透勢壘的可能性。穿透系數(shù)由的可能性。穿透系數(shù)由m、（、（ U0 -E）以及以及a決定。決定。 勢壘穿透（也稱隧穿效應(yīng)）是一種微觀效應(yīng)，是勢壘穿透（也稱隧穿效應(yīng)）是一種微觀效應(yīng)，是微觀粒子波動性的典型表現(xiàn)，微觀粒子波動性的典型表現(xiàn)，E EU U2 2m m0 02 21 12 21 10 02 2a ae eD DA AC CD DdxxbaE E) )U U2 2

24、m m0 02 2e eD DD D(任意形狀勢壘任意形狀勢壘例例,各向同性的介質(zhì)在外電場中的極化問題各向同性的介質(zhì)在外電場中的極化問題 質(zhì)量為質(zhì)量為 、電荷為、電荷為e 的離子是在平衡位置附近作簡諧振動。的離子是在平衡位置附近作簡諧振動?，F(xiàn)沿現(xiàn)沿x軸方向加一均勻電場軸方向加一均勻電場 ，則離子在此方向，則離子在此方向 為：為：H五五. 微擾問題微擾問題電中性介質(zhì)的電中性介質(zhì)的”分子分子”可以看可以看成是正負電荷的復(fù)合體成是正負電荷的復(fù)合體,在平衡在平衡位置做小振動位置做小振動,外場下外場下,正負電荷正負電荷平均位置發(fā)生位移平均位置發(fā)生位移,不在重合不在重合.微擾定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程

25、（1）EH 設(shè)設(shè))2()1()0()2()1()0(0EEEEHHH （2） （3）（4）將（將（2）、（）、（3）、（）、（4）代入（）代入（1）式，比較兩）式，比較兩端端同級同級的量的量零級近似零級近似 (2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)0HHEEE一級近似一級近似二級近似二級近似（5）（6）（7）下面逐級求解。下面逐級求解。(0)(0)(0)0HE(1)(0)(0)(1)(1)(0)0HHEE 0120012012HHEEEEH求解微擾問題，必須分兩種情況考慮：求解微擾問題，必須分兩種情況考慮：無微擾時體系處于非簡并態(tài)（無微擾時體系處于非簡并態(tài)（ 非簡并）非簡并）)0(kE

26、（1）非簡并微擾）非簡并微擾（2）簡并微擾）簡并微擾無微擾時體系處于簡并態(tài)（無微擾時體系處于簡并態(tài)（ 是簡并的）是簡并的）)0(kE24221snmenE (1)求任一非簡并能級求任一非簡并能級k的的零級近似零級近似：(如如,諧振子諧振子)0()0()0()0(kkEE代入上式，并注意到代入上式，并注意到 (2)求任一非簡并能級求任一非簡并能級k的的一級近似一級近似： 將將) 0() 1 () 0() 1 () 0() 0() 0(0) 1 (knnnknknnEaEHHa) 0() 1 () 1 () 0() 0() 1 (0EEHHnnna)0()1()1(1.非簡并定態(tài)微擾非簡并定態(tài)微擾

27、 則則mkmkmkmmEaEHEa)1()1()0()0()1(mnnmd)0()0(得得dHHkmmk)0()0(式中，式中，（8）) 0() 1 () 0() 1 () 0() 0() 0() 0() 1 (knnnknknnnEaEHEa) 0() 1 () 0() 1 () 0() 0() 0() 0() 1 (knnnknknnnEaEHEa兩端左乘兩端左乘 并積分，且考慮到本征函數(shù)的正交歸一性并積分，且考慮到本征函數(shù)的正交歸一性 )0(m兩端左乘兩端左乘 并積分，且考慮到并積分，且考慮到本征函數(shù)的正交歸一性本征函數(shù)的正交歸一性 微擾矩陣元微擾矩陣元 它是微擾在零級波函數(shù)下的平均值。

28、它是微擾在零級波函數(shù)下的平均值。dHHEkkkk)0()0()1(時，由（時，由（8）式得）式得)0()0()1(mkmkmEEHakm 時，由時，由（8）式）式得得mkmkmkmkmmEaEHEa)1()1()0()0()1(（8）式）式:那么，能量和波函數(shù)的一級近似為那么，能量和波函數(shù)的一級近似為：)0()0()0(/)0()0(nnknkkkkkkkEEHHEE式中求和號中不包含式中求和號中不包含n=k的項。的項。（3）求任一非簡并能級）求任一非簡并能級k的二級近似：的二級近似：)0()2()2(nnnka設(shè)設(shè) 兩端左乘兩端左乘 并積分，且考慮到本征函數(shù)的正并積分，且考慮到本征函數(shù)的正交

29、歸一性交歸一性 )0(m代入二級近似方程代入二級近似方程(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)0HHEEE 011nnnka nnknkEEHE002/2則則 nnknkkkkkEEHHEE002/0可求得能量的二級近似：可求得能量的二級近似：零級零級一級修正一級修正二級修正二級修正)0()0()0(/)0(nnknkkkEEH非簡并微擾適用的條件是：非簡并微擾適用的條件是： 100nknkEEH )(0)0(nkEE1.3. 1.3. 大量微觀粒子的狀態(tài)大量微觀粒子的狀態(tài) 波函數(shù)：波函數(shù)：1(x), 2(x), 3(x) 模的平方反映了模的平方反映了某個粒子在位置空間出現(xiàn)的幾率某個

30、粒子在位置空間出現(xiàn)的幾率. 即粒子關(guān)于即粒子關(guān)于空間空間的分布的分布. 本節(jié)要討論的三個統(tǒng)計分布是大量近獨立的微本節(jié)要討論的三個統(tǒng)計分布是大量近獨立的微觀粒子構(gòu)成的平衡態(tài)孤立系統(tǒng)中觀粒子構(gòu)成的平衡態(tài)孤立系統(tǒng)中,粒子按粒子按能量的分布能量的分布規(guī)律規(guī)律.微觀粒子的個體運動微觀粒子的個體運動大量粒子的集體表現(xiàn)大量粒子的集體表現(xiàn)統(tǒng)計方法該該量量子子態(tài)態(tài)被被占占據(jù)據(jù)的的幾幾率率即即：粒粒子子占占據(jù)據(jù)數(shù)數(shù)的的每每一一個個量量子子態(tài)態(tài)的的平平均均能能量量為為i系統(tǒng)中的粒子可處于系統(tǒng)中的粒子可處于 一系列分立能級一系列分立能級: 1、2、3、i上上每個能級的量子態(tài)數(shù)每個能級的量子態(tài)數(shù)(簡并度簡并度):g1、

31、g2、g3,gi.gn每個能級分布的粒子數(shù)：每個能級分布的粒子數(shù)：n1、n2、n3,ni.nn iiignf分布函數(shù)三個分布三個分布:(1)麥克斯韋麥克斯韋-玻爾茲曼分布玻爾茲曼分布(M-B)(2)費米費米-狄拉克分布狄拉克分布(F-D)(3)玻色玻色-愛因斯坦分布愛因斯坦分布(B-E)量子統(tǒng)計分布量子統(tǒng)計分布-經(jīng)典統(tǒng)計分布經(jīng)典統(tǒng)計分布F-DB-D經(jīng)典統(tǒng)計：粒子是可區(qū)分的。經(jīng)典統(tǒng)計：粒子是可區(qū)分的。量子統(tǒng)計：粒子是全同、量子統(tǒng)計：粒子是全同、 不可區(qū)分的。不可區(qū)分的。服從泡利不相容原理。服從泡利不相容原理。不服從泡利不相容原理。不服從泡利不相容原理。（1） 宏觀態(tài)與微觀態(tài)宏觀態(tài)與微觀態(tài)（2）

32、等幾率假設(shè)等幾率假設(shè)（3） 最可幾分布最可幾分布幾個概念幾個概念一一.統(tǒng)計分析原理統(tǒng)計分析原理設(shè)四個同樣的小球設(shè)四個同樣的小球,標以標以a、b、c、d，放在一箱子內(nèi)，雜亂地，放在一箱子內(nèi)，雜亂地搖動箱子后我們來觀察小球在箱子中的分布。搖動箱子后我們來觀察小球在箱子中的分布。分布（宏觀態(tài)）分布（宏觀態(tài)）a bcda cbda dcbb cadb dacd cab a b c d ab c d b a c d c a b d d a b cb c da a c db a b dc a b cda b c d(1)(2)(3)(4)(5)微觀態(tài)微觀態(tài)a bcda cbda dcbb cadb dac

33、d cab a b c d ab c d b a c d c a b d d a b cb c da a c db a b dc a b cda b c d(1)(2)(3)(4)(5)每個微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率每個微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率161W等幾率假設(shè)等幾率假設(shè)每個微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率？每個微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率？相等相等最可幾分布最可幾分布最可能出現(xiàn)的宏觀分布最可能出現(xiàn)的宏觀分布相應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)目最多相應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)目最多a bcda cbda dcbb cadb dacd cab a b c d ab c d b a c d c a b d d a b cb c da a c db a b dc a b cda b c d(1)(2)(3)(4)(5)161P164P166P164P161P分布（宏觀態(tài)）分布（宏觀態(tài)）確定最可幾分布確定最可幾分布寫出微觀態(tài)數(shù)目寫出微觀態(tài)數(shù)目W的普遍公式的普遍公式求極值求極值最可幾分布最可幾分布（粒子占據(jù)（粒子占據(jù)格子格子的情況）的情況）量子態(tài)量子態(tài)宏觀態(tài)宏觀態(tài)二二. M-B 統(tǒng)計統(tǒng)計系統(tǒng)中的粒子可處于系統(tǒng)