平面問(wèn)題有限單元法

1、工程中的有限元方法工程中的有限元方法第第4章章 平面問(wèn)題的有限元法平面問(wèn)題的有限元法內(nèi)容內(nèi)容 平面問(wèn)題的有限元法平面問(wèn)題的有限元法 1 1 連續(xù)體的離散化連續(xù)體的離散化 2 常應(yīng)變?nèi)切螁卧?yīng)變?nèi)切螁卧?3 形函數(shù)的性質(zhì)形函數(shù)的性質(zhì) 4 剛度矩陣剛度矩陣要求要求 理解理解：連續(xù)體：連續(xù)體有限元分片插值的含義有限元分片插值的含義 有限元分析中的幾個(gè)常用概念，包括：有限元分析中的幾個(gè)常用概念，包括： 形函數(shù)，應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣，剛度矩陣形函數(shù)，應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣，剛度矩陣等等 掌握掌握：常應(yīng)變?nèi)切螁卧治龀?yīng)變?nèi)切螁卧治隽鞒塘鞒陶n后作業(yè)課后作業(yè) 推導(dǎo)常應(yīng)變?nèi)切螁卧骶仃囃茖?dǎo)常應(yīng)變?nèi)切?/p>

2、單元各矩陣回顧回顧整體離散單元組裝 QKPP1432123456eijTjmjqjTimiqiOeijjfjifiyxOij eeepK材料力學(xué)材料力學(xué)PP14321234564123456eij其中其中：e = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; i ,j = 1, 2, 3, 4回顧回顧天然劃分出各天然劃分出各梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧猠ijTjmjqjTimiqiOeijjfjifiyxOij eeepK回顧回顧PP1432123456 KQ回顧回顧最終數(shù)學(xué)模型：回顧回顧總體剛度矩陣，載荷向量，剛度方程總體剛度矩陣，載荷向量，剛度方程新問(wèn)題：連續(xù)體的有限元分析 一、連續(xù)體的離散化（化無(wú)限為有限）人工

3、節(jié)點(diǎn)人工節(jié)點(diǎn)逼近性離散逼近性離散節(jié)點(diǎn)位置，單元形狀、大小節(jié)點(diǎn)位置，單元形狀、大小都會(huì)影響對(duì)原始結(jié)構(gòu)的逼近描述都會(huì)影響對(duì)原始結(jié)構(gòu)的逼近描述平面問(wèn)題: 三角形、矩形、任意四邊形空間問(wèn)題: 四面體、正方體、任意六面體Ansys中的中的Meshing功能功能離散化要注意離散化要注意:1.1.單元形狀的選擇單元形狀的選擇: : 平面問(wèn)題的單元，按其幾何平面問(wèn)題的單元，按其幾何特性可分為兩類(lèi)：特性可分為兩類(lèi)：以三節(jié)點(diǎn)三角形為基礎(chǔ)；以三節(jié)點(diǎn)三角形為基礎(chǔ)；以任意四邊形為基礎(chǔ)。以任意四邊形為基礎(chǔ)。 較高精度的三角形等參數(shù)單元；較高精度的三角形等參數(shù)單元； 運(yùn)用非常廣泛的運(yùn)用非常廣泛的四邊形等參數(shù)單元四邊形等參數(shù)

4、單元。這兩類(lèi)都可以增加節(jié)點(diǎn)也構(gòu)成一系列單元：這兩類(lèi)都可以增加節(jié)點(diǎn)也構(gòu)成一系列單元：首選三角形單元和等參數(shù)單元。首選三角形單元和等參數(shù)單元。2.2.對(duì)稱(chēng)性的利用對(duì)稱(chēng)性的利用 利用結(jié)構(gòu)和載荷的對(duì)稱(chēng)性：如結(jié)構(gòu)和載荷都對(duì)于某軸對(duì)稱(chēng)，利用結(jié)構(gòu)和載荷的對(duì)稱(chēng)性：如結(jié)構(gòu)和載荷都對(duì)于某軸對(duì)稱(chēng)，可以取一半來(lái)分析；若對(duì)于可以取一半來(lái)分析；若對(duì)于x軸和軸和y軸都對(duì)稱(chēng)，可以取四分之軸都對(duì)稱(chēng)，可以取四分之一來(lái)分析。一來(lái)分析。3.3.單元的劃分原則單元的劃分原則 通常集中載荷的作用點(diǎn)、分布載荷強(qiáng)度的突變點(diǎn)、分通常集中載荷的作用點(diǎn)、分布載荷強(qiáng)度的突變點(diǎn)、分布載荷與自由邊界的分界點(diǎn)，支承點(diǎn)都應(yīng)取為節(jié)點(diǎn)布載荷與自由邊界的分界點(diǎn)，

5、支承點(diǎn)都應(yīng)取為節(jié)點(diǎn)單元的形狀和尺寸可以根據(jù)要求進(jìn)行調(diào)整。對(duì)于重要或應(yīng)單元的形狀和尺寸可以根據(jù)要求進(jìn)行調(diào)整。對(duì)于重要或應(yīng)力變化急劇的部位，單元應(yīng)劃分得小些；對(duì)于次要和應(yīng)力變力變化急劇的部位，單元應(yīng)劃分得小些；對(duì)于次要和應(yīng)力變化緩慢的部位，單元可劃分得大些；中間地帶以大小逐漸變化緩慢的部位，單元可劃分得大些；中間地帶以大小逐漸變化的單元來(lái)過(guò)渡?；膯卧獊?lái)過(guò)渡。單元的劃分原則單元的劃分原則 單元數(shù)量要根據(jù)計(jì)算精度和計(jì)算機(jī)的容量來(lái)決定。在保單元數(shù)量要根據(jù)計(jì)算精度和計(jì)算機(jī)的容量來(lái)決定。在保證精度的前提下，盡可能減少單元數(shù)量。證精度的前提下，盡可能減少單元數(shù)量。不要把不同厚度或不同材料的區(qū)域劃分在一個(gè)單元

6、里。不要把不同厚度或不同材料的區(qū)域劃分在一個(gè)單元里。單元的劃分原則單元的劃分原則 根據(jù)誤差分析，應(yīng)力及位移的誤差都和單元的最小內(nèi)角根據(jù)誤差分析，應(yīng)力及位移的誤差都和單元的最小內(nèi)角正弦成反比，所以單元的邊長(zhǎng)力求接近相等。即單元的三正弦成反比，所以單元的邊長(zhǎng)力求接近相等。即單元的三（四）條邊長(zhǎng)盡量不要懸殊太大。（四）條邊長(zhǎng)盡量不要懸殊太大。4.4.節(jié)點(diǎn)的編號(hào)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)應(yīng)盡量使應(yīng)盡量使同一單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào)相差小些同一單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào)相差小些，以減少整體，以減少整體剛度矩陣的半帶寬，節(jié)約計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)。剛度矩陣的半帶寬，節(jié)約計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)。上圖，節(jié)點(diǎn)順短邊編號(hào)為好。上圖，節(jié)點(diǎn)順短邊編號(hào)為好。單元分析的理論基礎(chǔ)：建

7、立三角形單元節(jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系單元分析的目的：彈性力學(xué)基本理論vmumvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujyxoFymFxmFyjFyiFxii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eFxjyxo單元節(jié)點(diǎn)位移單元等效節(jié)點(diǎn)力(基本變量，基本方程，邊界條件)？平面問(wèn)題彈性力學(xué)基本理論回顧：基本基本變量變量幾何幾何方程方程平衡平衡方程方程 D物理物理方程方程平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題單元分析的流程單元分析的流程單元變形單元變形分析分析單元變形分析（位移）單元變形分析（位移）問(wèn)題問(wèn)題：平面三角形

8、問(wèn)題中仍包：平面三角形問(wèn)題中仍包含無(wú)窮多內(nèi)部連續(xù)點(diǎn)，如何用含無(wú)窮多內(nèi)部連續(xù)點(diǎn)，如何用節(jié)點(diǎn)位移表征內(nèi)部連續(xù)位移？節(jié)點(diǎn)位移表征內(nèi)部連續(xù)位移？解決思路解決思路：插值，即用節(jié)點(diǎn)位：插值，即用節(jié)點(diǎn)位移插值近似其它點(diǎn)的位移。移插值近似其它點(diǎn)的位移。vmumvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujyxo如何插值？如何插值？22123456.uaa xa ya xa xya y22123456.vbb xb yb xb xyb y多項(xiàng)式中包含的項(xiàng)數(shù)越多，就越接近實(shí)際的位移分布，越精確。但選取多少項(xiàng)數(shù)，要受單元型式的限制。單元變形分析（位移）單元變形分析（位移）vmu

9、mvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujyxo22123456.uaa xa ya xa xya y22123456.vbb xb yb xb xyb y插值系數(shù)的確定：插值系數(shù)的確定：待定系數(shù)法待定系數(shù)法123123123iiijjjmmmuaa xa yuaa xa yuaa xa y123123123iiijjjmmmvbb xb yvbb xb yvbb xb y6個(gè)方程個(gè)方程6個(gè)系數(shù)個(gè)系數(shù)矩陣表達(dá)和運(yùn)算123123123iiijjjmmmuaa xa yuaa xa yuaa xa y321111aaayxyxyxuuummjjiimji

10、 T111mmjjiiyxyxyx令令 mjiuuuaaa1321T*1TTTT2AA為三角形單元的面積 T*為T(mén)的伴隨矩陣： T*Tijjiijjimiimmiimjmmjjmmjxxyyyxyxxxyyyxyxxxyyyxyx矩陣表達(dá)和運(yùn)算（續(xù)）令令mjimjimjimmmjjjiiicccbbbaaacbacbacbaT*TmjimjimjimjiuuucccbbbaaaAaaa21321同理，由同理，由123123123iiijjjmmmvbb xb yvbb xb yvbb xb y12312ijmiijmjijmmbaaavbbbbvAbcccv1,()()()2iiiijjjjm

11、mmmu x yab xc y uab xc y uab xc y uA1,()()()2iiiijjjjmmmmv x yab xc y vab xc y vab xc y vA回代，得回代，得12311111 , a1 , a122211iiiiiiijjjjjjjmmmmmmmuxyuyxuauxyuyxuAAAuxyuyxu1211iijjmmxyAxyxy其中： 從解析幾何可知，式中的 就是三角形i、j、m的面積。為保證求得的面積為正值，節(jié)點(diǎn)i、j、m的編排次序必須是逆時(shí)針?lè)较?。二、平面?wèn)題三角形單元分析三角形單元形函數(shù)1,()()()2iiiijjjjmmmmu x yab xc

12、y uab xc y uab xc y uA1,()()()2iiiijjjjmmmmv x yab xc y vab xc y vab xc y vA1,()2iiiiNx yab xc yA令令1,()2jjjjNx yab xc yA1,()2mmmmNx yab xc yA000000iiijmjijmjmmuvNNNuuNNNvvuv 得得 ufv 單元內(nèi)各點(diǎn)位移：?jiǎn)卧獌?nèi)各點(diǎn)位移： iiiejjjmmmuvuvuv單元節(jié)點(diǎn)位移：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移： eNf形函數(shù)形函數(shù)1111jjijmmjmmjijmmjijmmxyax yx yxyybyyyxcxxx 其中（i , j , m輪換） (

13、3-9) 例題：圖示等腰三角形單元，求其形函數(shù)矩陣?yán)}：圖示等腰三角形單元，求其形函數(shù)矩陣NN。0ijmmjax yx yijmbyya0ijmcx x 0jm iimax yxy0jmibyy jmicx x a 2mijjiax yx yamijbyyamijcx xa ijm 由三角形的面積由三角形的面積22aA 211()(00)2iiiixNabxc yaxAaa211()(00)2jjjjyNab xc yayAaa2211()() 12mmmmxyNab x c yaax ayAaaa 00 10 0001xyxyaaaaNxyxyaaaa形函數(shù)有哪形函數(shù)有哪些的性質(zhì)？些的性質(zhì)？

14、二、平面問(wèn)題三角形單元分析單元變形分析（應(yīng)變）單元變形分析（應(yīng)變）位移位移應(yīng)變應(yīng)變 eNf 00 xuvyyx 代入代入 00010002iiijmjijmjiijjmmmmuvbbbucccvAcbcbcbuveB記為記為B矩陣稱(chēng)為應(yīng)變矩陣。 ijmBBBB0102iiiiibBcAcb常常數(shù)數(shù)二、平面問(wèn)題三角形單元分析單元應(yīng)力分析單元應(yīng)力分析應(yīng)變應(yīng)變應(yīng)力應(yīng)力 eB D代入代入 eDB eS記為記為S矩陣稱(chēng)為應(yīng)力矩陣。 SD BD為彈性矩陣為彈性矩陣 ijmijmSDBBBSSS寫(xiě)成分塊形式，有對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，彈性矩陣D為(3-18)所以，S的子矩陣可記為（i , j , m輪換） 210

15、1011002ED 22 11122iiiiiiiibcESDBbcAcb( i ) 對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只要將 (i) 式中的E換成E/1-2 ，換成 /1-，即得到其彈性矩陣(j)（i , j , m輪換） 101110112112002 1ED SD BEbcbccbiiiiiiii12 11211122 1122 112iiiiNab xc yA1211iijjmmxyAxyxy在上節(jié)中，提出了形函數(shù)的概念，即其中（i , j , m輪換）我們來(lái)討論一下形函數(shù)所具有的一些性質(zhì)。行列式的性質(zhì)：行列式的任一行（或列）的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素與

16、其他行（或列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零。注意到常數(shù)ai 、bi 、ci ，aj 、bj 、 cj 和am 、bm 、cm 三、形函數(shù)的性質(zhì)1 , 12iiiiiiimNxyab xc y1 , 02ijjiijijNxyab xc y1 , 02immiimimNxyab xc y分別是行列式2的第一行、第二行和第三行各元素的代數(shù)余子式，我們有 形函數(shù)在各單元節(jié)點(diǎn)上的值，具有“本點(diǎn)是1、它點(diǎn)為零”的性質(zhì)，即在節(jié)點(diǎn)i上，在節(jié)點(diǎn)j、m上，(a)(b)(c)三、形函數(shù)的性質(zhì) , 0 , , 1 , , 0 , 0 , , 0 , , 1jiijjjjmmmiimjjmmmNxyNxyNxyN

17、xyNxyNxy , , , 12121ijmiiijjjmmmimmijmijmNxyNxyNxyab xc yab xc yab xc yaaabbbxcccy類(lèi)似地有(d) 在單元的任一節(jié)點(diǎn)上，三個(gè)形函數(shù)之和等于1，即(e)三、形函數(shù)的性質(zhì)1ijmNNN,1,0iijiijjijxxNx yxxxxNx yxxNx y 簡(jiǎn)記為(3-22)這說(shuō)明，三個(gè)形函數(shù)中只有二個(gè)是獨(dú)立的。 三角形單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊的兩端節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)、而與其它節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)關(guān)。例如，在i j 邊上，有(3-23)三、形函數(shù)的性質(zhì)ijmiiiijmyybyxxxxyxxc 1,2102mmmmmiimmmim

18、ibNx yab xcxxycab xc y 事實(shí)上，因i j 邊的直線方程方程為(f)代入（3-10）式中的Nm (x , y) 和Nj (x , y)，有(g)(h)三、形函數(shù)的性質(zhì),ijjixxNx yxx,11iijmjixxNx yNNxx 故有 (g)另外，由（3-22）可以求得(h)利用形函數(shù)的這一性質(zhì)可以證明，相鄰單元的位移分別進(jìn)行線性插值之后，在其公共邊上將是連續(xù)的。三、形函數(shù)的性質(zhì)單元平衡分析二、平面問(wèn)題三角形單元分析FymFxmFyjFyiFxii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eFxjyxo問(wèn)題問(wèn)題：假設(shè)隔離出的各單元，僅在節(jié)點(diǎn)：假設(shè)隔離

19、出的各單元，僅在節(jié)點(diǎn)上有內(nèi)力的作用（上有內(nèi)力的作用（若單元邊界上和體內(nèi)若單元邊界上和體內(nèi)有力的作用，可事先等效到節(jié)點(diǎn)上，有力的作用，可事先等效到節(jié)點(diǎn)上，如如何等效？何等效？），則單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力與變形產(chǎn)），則單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力與變形產(chǎn)生的應(yīng)力構(gòu)成平衡力系。生的應(yīng)力構(gòu)成平衡力系。單元滿足平衡條件單元滿足平衡條件平平衡衡方方程程用虛功方程代替。單元平衡分析二、平面問(wèn)題三角形單元分析平面問(wèn)題虛功原理平面問(wèn)題虛功原理dddeeepxxyyxyxyxyxySbubvpupvS euNv eB eS代入代入得得 ddddeeeeTxxyyxyxyTeTeTeTeBDBBDB 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功二、平面問(wèn)題三角形單元分

20、析單元平衡分析 dd,eepxyxySiiTjeeeeeeeexiyixjyjxjyjjmmbubvpupvSuvuFFFFFFFvuv 外力虛功外力虛功載荷等效載荷等效公式公式二、平面問(wèn)題三角形單元分析單元平衡分析外力虛功外力虛功內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 deTTeTeeeBDBF d0eTTeeeBDBF deeTKBDB令令Ke單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?0TeeeeKF 單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠屉x散化離散化：?jiǎn)卧治鰡卧治觯喝斯卧?、?jié)點(diǎn)人工單元、節(jié)點(diǎn)euNveBeS 0TeeeeKF 下次課內(nèi)容：?jiǎn)卧M裝和單元等效節(jié)點(diǎn)外載下次課內(nèi)容：?jiǎn)卧M裝和單元等效節(jié)點(diǎn)外載如圖（如圖（a）所示一高深懸臂梁

21、，在右端部受集中力）所示一高深懸臂梁，在右端部受集中力F作用，材料彈性模作用，材料彈性模量量E、泊松比、泊松比v1/3，懸臂梁的厚度（板厚）為，懸臂梁的厚度（板厚）為t，如圖（，如圖（b）所示有）所示有限元模型，試按平面應(yīng)力問(wèn)題計(jì)算兩個(gè)單元的位移形函數(shù)，應(yīng)變矩陣，限元模型，試按平面應(yīng)力問(wèn)題計(jì)算兩個(gè)單元的位移形函數(shù)，應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣和剛度矩陣。應(yīng)力矩陣和剛度矩陣。內(nèi)容內(nèi)容 平面問(wèn)題的有限元法平面問(wèn)題的有限元法 2 3 形函數(shù)的性質(zhì)形函數(shù)的性質(zhì) 4 整體剛度矩陣的組裝及其性質(zhì)整體剛度矩陣的組裝及其性質(zhì) 5 等效節(jié)點(diǎn)載荷向量等效節(jié)點(diǎn)載荷向量要求要求 理解：連續(xù)體有限元理解：連續(xù)體有限元分片插值分片

22、插值的含義；的含義； 形函數(shù)形函數(shù)的功能及其性質(zhì)；的功能及其性質(zhì)； 基于虛功方程的基于虛功方程的整體剛度矩陣整體剛度矩陣的組裝；的組裝； 基于虛功方程的基于虛功方程的等效節(jié)點(diǎn)載荷向量等效節(jié)點(diǎn)載荷向量的生成的生成 掌握：掌握： 常應(yīng)變?nèi)切螁卧M裝技術(shù)常應(yīng)變?nèi)切螁卧M裝技術(shù)； 常應(yīng)變?nèi)切螁卧刃Ч?jié)點(diǎn)載荷向量的生成常應(yīng)變?nèi)切螁卧刃Ч?jié)點(diǎn)載荷向量的生成 課后作業(yè)課后作業(yè) 推導(dǎo)常應(yīng)變?nèi)切螁卧倓偤偷刃лd荷向量推導(dǎo)常應(yīng)變?nèi)切螁卧倓偤偷刃лd荷向量回顧回顧整體離散單元組裝人工節(jié)點(diǎn)人工節(jié)點(diǎn)逼近離散逼近離散vmumvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujy

23、xo單元節(jié)點(diǎn)位移FmyFmxFjyFiyFixi (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eFjxyxo單元等效節(jié)點(diǎn)力單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠?0eeeKF回顧回顧幾何實(shí)體的逼近性離散幾何實(shí)體的逼近性離散回顧回顧 iiiejjjmmmuvuvuv 目標(biāo)目標(biāo)：對(duì)三角形單元，建立節(jié)點(diǎn)位移與等效節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。：對(duì)三角形單元，建立節(jié)點(diǎn)位移與等效節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。vmumvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujyxo單元節(jié)點(diǎn)位移FmyFmxFjyFiyFixi (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eF

24、jxyxo單元等效節(jié)點(diǎn)力 exieyiexjeeyjexmeymFFFFFFF？回顧回顧單元分析的流程單元分析的流程（1）節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移vmumvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujyxo解決辦法：插值 (分片插值的提法),0,0,0,0,0,0,iiijmjijmjmmuvN x yN x yN x yu x yuN x yN x yN x yv x yvuv 形函數(shù)形函數(shù)矩陣矩陣回顧回顧1,()2iiiiNx yab xc yA下標(biāo)下標(biāo)i, j, m 輪換輪換ijmmjax yx yijmbyyijmcxx 性質(zhì)：性質(zhì)

25、：其中：其中：（a）Ni (x, y)在在i點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移為點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移為1，其它節(jié)點(diǎn)為，其它節(jié)點(diǎn)為0。（b）單元中任一點(diǎn)各形函數(shù)的和為）單元中任一點(diǎn)各形函數(shù)的和為1。力學(xué)意義力學(xué)意義：固定：固定 j，m節(jié)點(diǎn)，使節(jié)點(diǎn)，使i節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移1，則單元內(nèi)各點(diǎn)的位，則單元內(nèi)各點(diǎn)的位移場(chǎng)為移場(chǎng)為Ni (x, y)。力學(xué)意義力學(xué)意義：令單元發(fā)生剛體位移：令單元發(fā)生剛體位移u0，則單元內(nèi)各點(diǎn)的位移均為，則單元內(nèi)各點(diǎn)的位移均為u0，即，即00,iijjmmijmu x yNx y uNx y uNx y uNNNuu（2）內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移應(yīng)變應(yīng)變回顧回顧解決辦法：彈性力學(xué)幾何方程 00 xuv

26、yyx euNv 00010002iiijmjijmjiijjmmmmuvbbbucccvAcbcbcbuveBB矩陣稱(chēng)為應(yīng)變矩陣 得得代入代入該單元為常應(yīng)變單元該單元為常應(yīng)變單元（3）應(yīng)變應(yīng)變應(yīng)力應(yīng)力回顧回顧解決辦法：彈性力學(xué)物理方程eB得得代入代入 D eDB eSS矩陣稱(chēng)為應(yīng)力矩陣。 SD B 2101011002ED ijmSSSS 22 (1)1122iiiiiiiibcESDBbcAcb 00010002ijmijmiijjmmbbbBcccAcbcbcb例：對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題SDB代入代入得得其中其中dddeeepxxyyxyxyxyxySbubvpupvS （4）應(yīng)力等效節(jié)點(diǎn)內(nèi)力

27、回顧回顧解決辦法：?jiǎn)卧胶夥治銎矫鎲?wèn)題虛功原理euNveB eS代入代入得得 ddeeTeTexxyyxyxyBD B 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功外力虛功外力虛功 ddeepeTexyxySbubvpupvSF 外力虛功外力虛功內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 0eeeKF單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠?單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠探⒘藛卧墓?jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)建立了單元的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，系， 稱(chēng)為稱(chēng)為單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?。它是。它? 66 6矩陣，矩陣，其元素其元素表示該單元的各節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的表示該單元的各節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力，節(jié)點(diǎn)力，它決定于該單元的形狀、大小、

28、方位和彈性常它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行數(shù)，而與單元的位置無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。移動(dòng)而改變。 eK 0eeeKF一、 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 已經(jīng)求出了下列關(guān)系已經(jīng)求出了下列關(guān)系 t ABT t ABDBKTe e eF D B BDS ( (6 6) )( (3 3) )( (3 3) )( (6 63 3) )( (3 33 3) )( (3 36 6) )( (3 36 6) )( (6 66 6) )一、 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系：(以簡(jiǎn)單平面桁架為例)平面問(wèn)題中，離散

29、化的單元組合體極為相似，單元組合體在節(jié)點(diǎn)載荷的作用下，節(jié)點(diǎn)對(duì)單元、單元對(duì)節(jié)點(diǎn)都有作用力與反作用力存在，大小相等方向相反，統(tǒng)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)力。 節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系為單元?jiǎng)偠确匠蹋篈DBPCAP eeeFK一、單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x： 將將 寫(xiě)成分塊矩陣寫(xiě)成分塊矩陣 寫(xiě)成普通方程寫(xiě)成普通方程 其中其中 表示節(jié)點(diǎn)表示節(jié)點(diǎn)s(ss(s= =i,j,mi,j,m) )產(chǎn)生單位位移時(shí)，在產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)r(rr(r= =i,j,mi,j,m) )上所需要施加的上所需要施加的節(jié)節(jié)點(diǎn)力的大小。點(diǎn)力的大小。iiiijimijjijjjmjmmimjmmmFKKKFKKK

30、FKKK miiiiijjimimjjiijjjjmmmiimjjmmmFK K K FK K K FK K K eF rsK eF一、 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x： 將節(jié)點(diǎn)力列向量將節(jié)點(diǎn)力列向量 與節(jié)點(diǎn)位移列向量與節(jié)點(diǎn)位移列向量 均擴(kuò)展成均擴(kuò)展成(6(61)1)階列矩陣，單元?jiǎng)偠染仃囅鄳?yīng)地展開(kāi)成階列矩陣，單元?jiǎng)偠染仃囅鄳?yīng)地展開(kāi)成(6(66)6)階方陣：階方陣： 元素元素K K的腳碼，標(biāo)有的腳碼，標(biāo)有“- -”的表示水平方向，沒(méi)有標(biāo)的表示水平方向，沒(méi)有標(biāo)“- -”的表示垂直方向。的表示垂直方向。 eF eiijuvu ixiiiiijijimimiiijimimiy

31、iiijjxjijijjjjjmjmjijjjmjmjyjijjjmimjmmmmmxmimjmmimjmmmmmymimjmKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFvKKKKKKFuKKKKKKFv 一、 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x： 單元?jiǎng)偠染仃嚨母髟氐奈锢硪饬x： 表示節(jié)點(diǎn)s(s=i,j,m)在水平方向、垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)r(r=i,j,m)上分別所要施加的水平節(jié)點(diǎn)力和垂直節(jié)點(diǎn)力的大小。例如 表示節(jié)點(diǎn)j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i所需要施加的水平節(jié)點(diǎn)力的大小。rxrssrsss i, j,mF (KuK v )(ri,j,m)

32、ryrssrssS i, j, mF (K uK v )(ri, j,m)rsrsrsrsK ， K ， K ， KijK一、 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)： 1)1)對(duì)稱(chēng)性：對(duì)稱(chēng)性： 是對(duì)稱(chēng)矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣 2)2)奇異性：奇異性： 是奇異矩陣是奇異矩陣 單元?jiǎng)偠染仃囁衅鏀?shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和也為零。（力學(xué)含義是什么？） 由此可見(jiàn)，單元?jiǎng)偠染仃嚫髁性氐目偤蜑榱?。由?duì)稱(chēng)性可知，各行元素的總和也為零。 eK eK0Ke一、一、 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)： 例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，設(shè)例

33、題：求下圖所示單元的剛度矩陣，設(shè)yxaai(a,0)m(0,0)j(0,a)1 1、求、求BB2 2、求求 DD3 3、求求 SS4 4、求求 0 eK 1000101000101011011Ba 5.000010001 ED 1000100001010 0.5 0.5 00.50.5ESa 5.15.15.5.05.5.105.5.11010005.5.05.5.05.5.05.5.00100012EtKe回顧回顧整體離散單元組裝人工節(jié)點(diǎn)人工節(jié)點(diǎn)逼近離散逼近離散vmumvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujyxo單元節(jié)點(diǎn)位移FmyFmxFjyFi

34、yFixi (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eFjxyxo單元等效節(jié)點(diǎn)力單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠?0eeeKF二、單元組裝技術(shù)ijmiiii) 1(iVyiPxiP)e (iU )3(iV)3(iU) 1(iU)4(iV)4(iU)e (iV (a)(b)(c)二、單元組裝技術(shù)ijmiiii) 1(iVyiPxiP)e (iU )3(iV)3(iU) 1(iU)4(iV)4(iU)e (iV (a)(b)(c),iiuv以i點(diǎn)為例，利用虛功原理建立平衡方程，設(shè)虛位移各單元i節(jié)點(diǎn)等效內(nèi)力的虛功為:1,3,4eeiiiieUuVv各單元i節(jié)點(diǎn)等效外力的虛功為:xiiy

35、iiPuPvi節(jié)點(diǎn)平衡方程：1,3,4eeiiiieUuVvxiiyiiPuPv二 iiejjmmuvuvuv 0eeeKF由單元?jiǎng)偠确匠蹋簩?duì)每一個(gè)單元，將i節(jié)點(diǎn)虛位移擴(kuò)展到單元全部節(jié)點(diǎn)，如， eeiiuTv 則則Te表示節(jié)點(diǎn)位移提取矩陣表示節(jié)點(diǎn)位移提取矩陣對(duì)對(duì)i節(jié)點(diǎn)，有節(jié)點(diǎn)，有 TT,1:6,eeeeeeixiyix iyeKTP PT TeeeeeeixiiyieeFuFvKT 同理，可建立其它節(jié)點(diǎn)的平衡方程。二對(duì)對(duì)i節(jié)點(diǎn)，有節(jié)點(diǎn)，有 TT,1:6,eeeeeeixiyix iyeKTP PT 將每一個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)位移（包括虛位移）擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)位移向量，如 eeT則，11iinnuvuvu

36、vTe表示單元節(jié)點(diǎn)位移提取矩陣表示單元節(jié)點(diǎn)位移提取矩陣二對(duì)所有節(jié)點(diǎn)，有對(duì)所有節(jié)點(diǎn)，有 TTTTeeeeTKTP 由虛位移的任意性，整理得由虛位移的任意性，整理得 TTeeeeTKTP TeeeeKTKT總體剛度矩陣總體剛度矩陣總體剛度方程總體剛度方程二 KP總體剛度方程等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量。等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量。三、 單元等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量 連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí)，為簡(jiǎn)化受力情況，需把彈性體承受的連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí)，為簡(jiǎn)化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點(diǎn)移置任意分布的載荷都向節(jié)點(diǎn)移置( (分解分解) )，而成為，而成為節(jié)點(diǎn)載荷節(jié)點(diǎn)載荷。 將載荷移置到節(jié)點(diǎn)上，必須遵循

37、將載荷移置到節(jié)點(diǎn)上，必須遵循靜力等效的原則靜力等效的原則。靜力等效是指原載荷。靜力等效是指原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的與節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的虛功相等虛功相等。在一定的位移模式下，移置結(jié)果。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原則。是唯一的，且總能符合靜力等效原則。等效公式：等效公式： ddeepeTexyxySbubvpupvSR 注：?jiǎn)卧吔鐑?nèi)力相互抵消三、 單元等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量 在線性位移模式下，對(duì)于常見(jiàn)的一些載荷，可以通過(guò)在線性位移模式下，對(duì)于常見(jiàn)的一些載荷，可以通過(guò)簡(jiǎn)單的虛功計(jì)算，得出所需的載荷列矩陣。簡(jiǎn)單的虛功計(jì)算，得出所需的載荷列矩陣。yjcbxi

38、wlmmyiyjyyjcbxiwlmmxixjx均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，把均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，把1/31/3的重力移到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的重力移到每個(gè)節(jié)點(diǎn)三、 單元等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量 例：例：總載荷的總載荷的2/32/3移置到節(jié)點(diǎn)移置到節(jié)點(diǎn)i i，1/31/3移置到節(jié)點(diǎn)移置到節(jié)點(diǎn)j j，與原載荷同向與原載荷同向yxmjipixjxjLiLyxmjiqixjxL三、 單元等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量 載荷向節(jié)點(diǎn)的移置，可載荷向節(jié)點(diǎn)的移置，可以用普遍公式來(lái)表示。以用普遍公式來(lái)表示。體力的移置體力的移置分布面力的移置分布面力的移置在線性位移模式下，用在線性位移模式下，用直接計(jì)算法簡(jiǎn)單；非線直接計(jì)

39、算法簡(jiǎn)單；非線性模式下，要用普遍公性模式下，要用普遍公式計(jì)算。式計(jì)算。yxoMpmjimxjxixmyjyiyypxp eTRNp tdxdy eTsRNP tds內(nèi)容內(nèi)容 4 平面問(wèn)題的有限元法平面問(wèn)題的有限元法 3 1 計(jì)算實(shí)例計(jì)算實(shí)例 2 位移位移邊界條件邊界條件的處理的處理 3 平面矩形單元平面矩形單元分析分析要求要求 理解：有限元分析的基本步驟理解：有限元分析的基本步驟 引入位移邊界條件的原理引入位移邊界條件的原理 平面矩形平面矩形單元分析的原理單元分析的原理 掌握：掌握： 引入位移邊界條件的引入位移邊界條件的置置“1”法法和和乘大數(shù)法乘大數(shù)法 平面問(wèn)題三角單元有限元分析平面問(wèn)題三角

40、單元有限元分析整體流程整體流程 課后作業(yè)課后作業(yè) 完成邊界條件的引入和剛度方程的求解完成邊界條件的引入和剛度方程的求解回顧回顧整體離散單元組裝人工節(jié)點(diǎn)人工節(jié)點(diǎn)逼近離散逼近離散單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠?eeeKF KP總體剛度方程總體剛度方程ijmiiii) 1(iVyiPxiP)e (iU )3(iV)3(iU) 1(iU)4(iV)4(iU)e (iV (a)(b)(c)回顧回顧回顧回顧回顧平面連續(xù)體的虛功原理：dxdydxdydpxxyyxyxyxyxySbubvpupvS 內(nèi)力總虛功外力總虛功將連續(xù)體區(qū)域離散化為單元的集合，即 ee 對(duì)各單元，引入位移形函數(shù)N，則有 ueuNv 位移：e

41、B應(yīng)變： eDB應(yīng)力：代入虛功方程，得 TTTTdddeeeeeeBD B 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功外力虛功外力虛功 TTTTu du du du deeppeTeSSeebpSbpSQ 回顧回顧 TTTTTddeeeeeeeeBD BTBD BT 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功外力虛功外力虛功 TTTTu du dddeeeeppeSSeebpSbNpNST eeTT11,iinnuvuvuv對(duì)各單元，引入單元節(jié)點(diǎn)位移提取矩陣對(duì)各單元，引入單元節(jié)點(diǎn)位移提取矩陣Te，則有，則有引入總體節(jié)點(diǎn)位移向量： TdeeKBDB單剛： TeeeeKTKT總剛： TTTddeepeSeQbNpNST 總體外載荷向量：回顧回顧 T

42、TTddeepeSeQbNpNST 總體外載荷向量： TTTddeepeSQbNpNS 單元外載荷向量：16(12) (26)(12) (26)上式也是計(jì)算單元等效節(jié)點(diǎn)載荷的普遍公式。上式也是計(jì)算單元等效節(jié)點(diǎn)載荷的普遍公式。 TeeeQTQ TxyPPP1、集中力的等效、集中力的等效 TeiijjmmQxyxyxy eTixiyjxjymxmyQN PN PN PN PN PN P2、體力的等效、體力的等效如重力、慣性力、磁力。將體積力的微元即可以看作集中力。設(shè)體力集度 Txybbb微元體上的合力 ddbtxy 積分 Td deQNb t x y3、面力等效如均布、線性分布，作用平面內(nèi)的力單位

43、面力（面力度）微元體上面積分求和注意：1 同時(shí)作用面力、體力、集中力移置可單獨(dú)移置，最后相加（小變形、彈性體）；2 特例：線性分布的力可按靜力學(xué)平行力系的分解原理直接求出。 TPXY Pds t TeQNP tds均質(zhì)等厚的等邊三角形重力（體力）w ：1/3 w 移置到各節(jié)點(diǎn)上；如圖，i ，j 邊L 上有分布力q ，假設(shè)單元厚度為t，則合力為qtL，可將qtL/2 移置到各節(jié)點(diǎn)上； i ，j 邊L上有線性分布力，i 點(diǎn)大小為0，j 點(diǎn)大小為q ，假設(shè)單元厚度為t，則合力為qtL/2，將1/3*qtL/2移到i 點(diǎn)，2/3* qtL/2 移到j(luò) 點(diǎn)。 qijijqqtL/2qtL/21/3*qt

44、L/2 2/3* qtL/2 回顧回顧計(jì)算實(shí)例如圖為一邊長(zhǎng)為a、厚度為t的正方形薄板。其中AB邊固定，BC、CD邊自由，AD邊作用均布?jí)毫。求系統(tǒng)總。求系統(tǒng)總體剛度矩陣和總體載荷向量。體剛度矩陣和總體載荷向量。 總體節(jié)點(diǎn)位移向量：總體節(jié)點(diǎn)位移向量：總體節(jié)點(diǎn)等效外力向量：總體節(jié)點(diǎn)等效外力向量： T1122991 18,u v uvuv T1122991 18,xyxyxyQFFFFFF計(jì)算實(shí)例一、單元節(jié)點(diǎn)信息一、單元節(jié)點(diǎn)信息 單元編號(hào)節(jié)點(diǎn)編號(hào)節(jié)點(diǎn)位移位置8, 4, 715, 16; 7, 8; 13, 145, 1, 4 9,10; 1,2; 7,88, 5, 415, 16; 9, 10;

45、7, 85, 2, 19, 10; 3, 4; 1, 29, 5, 817, 18; 9, 10; 15, 166, 2, 511, 12; 1, 2; 9, 109, 6, 517, 18; 11, 12; 9, 106, 3, 211, 12; 5, 6; 3, 4計(jì)算實(shí)例二、生成各單元矩陣二、生成各單元矩陣 以1號(hào)單元為例單元節(jié)點(diǎn)位移向量：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移向量： 1T8844771 6,uv uvuv單元節(jié)點(diǎn)位移提取矩陣：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移提取矩陣： 116 118 1T 12345678910111213141516171816 181234560000000000000000000000000

46、00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111T計(jì)算實(shí)例010(, ,)2rrrrrbcri j mAcbB二、生成各單元矩陣二、生成各單元矩陣21010(1)1002ED彈性矩陣：彈性矩陣：ijmBBBB應(yīng)變矩陣：應(yīng)變矩陣：1TAtkB DB單元?jiǎng)偠染仃嚕簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕荷鲜鲞^(guò)程，對(duì)上述過(guò)程，對(duì)1 18 8號(hào)單元循環(huán)，得各單元?jiǎng)偠染仃嚕禾?hào)單元循環(huán)，得各單元?jiǎng)偠染仃嚕?8kk 1T0,0,0,0,Qqltqlt單元節(jié)點(diǎn)載荷：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)載荷： 2T0,0,0,0,Qqltqlt單元

47、節(jié)點(diǎn)載荷：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)載荷：計(jì)算實(shí)例三、組裝總剛度矩陣和總體節(jié)點(diǎn)外載荷向量三、組裝總剛度矩陣和總體節(jié)點(diǎn)外載荷向量總體外載荷向量：總體外載荷向量：總體剛度矩陣：總體剛度矩陣： 8T1eeeeKTkT T8eTTee 1T0,-,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,-,0,0QQqltqltqlt二、邊界條件（約束條件）的處理二、邊界條件（約束條件）的處理1、處理意義：因?yàn)榭倓?、處理意義：因?yàn)榭倓?K 為奇異陣，要排除剛體位移。為奇異陣，要排除剛體位移。2、邊界條件類(lèi)型：、邊界條件類(lèi)型：a、已知某節(jié)點(diǎn)（物體某部分、某點(diǎn)）的位移；、已知某節(jié)點(diǎn)（物體某部分、某點(diǎn)）的位移； ui=cons

48、t vi=constb、節(jié)點(diǎn)固定（常用）、節(jié)點(diǎn)固定（常用） ui=0 vi=03、處理方法（兩種）、處理方法（兩種）改變對(duì)應(yīng)列行元素法改變對(duì)應(yīng)列行元素法例：例： 位移位移u1=c1,v2=c4展開(kāi)展開(kāi) 10 110 110 10QK111213110112122232101131323331022101102103101055kkkkuxkkkkvykkkkuxkkkkvy11 112 1132110 5121 122 1232210 51101 1102 110321010 55k uk vk ukvxk uk vk ukvykukvkukvy令令 k11=1 k12=0 k110=0 x1

49、=c1 k44=1 k41=0 k410=0 y2=c4對(duì)于非已知位移的行：對(duì)于非已知位移的行：將已知位移的元素右移將已知位移的元素右移結(jié)論：把對(duì)應(yīng)于已知位移的主對(duì)角線上的元素改為結(jié)論：把對(duì)應(yīng)于已知位移的主對(duì)角線上的元素改為1，其，其余行列改為余行列改為0；與已知位移對(duì)應(yīng)的載荷列陣元素用已知；與已知位移對(duì)應(yīng)的載荷列陣元素用已知位移代替；載荷列陣中其余各元素等于該元素減去已位移代替；載荷列陣中其余各元素等于該元素減去已知位移分量乘于知位移分量乘于K中的相應(yīng)元素。中的相應(yīng)元素。K中的其他元素中的其他元素不變。不變。22 1232121 1244k vk uyk ck c對(duì)于已知位移的行對(duì)于已知位移

50、的行2223252621032333536310525355565106263656661010210310510610101234567891010000000001002003000100000040050060070080090010kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 111121 12442231 134423351 15443361 164455101 110444ucvyk ck cuxk ck cvcuxk ck cvyk ck cvykckc修正后的矩陣形式如下：主元素充大法主元素充大法在矩陣中，將對(duì)應(yīng)已知位移的主元素乘于一個(gè)大數(shù)。在矩陣中，將對(duì)應(yīng)已知位移的主元

51、素乘于一個(gè)大數(shù)。令令近似，近似， u1=c1, v2=c4結(jié)論：把已知位移的主對(duì)角元素乘于一個(gè)很大的數(shù)（通常結(jié)論：把已知位移的主對(duì)角元素乘于一個(gè)很大的數(shù)（通常為為1010）；載荷向量中對(duì)應(yīng)元素代之以已知位移值乘于）；載荷向量中對(duì)應(yīng)元素代之以已知位移值乘于K主對(duì)角元素的主對(duì)角元素的1010倍，其余各元素不變。此即為主倍，其余各元素不變。此即為主元素充大法。元素充大法。101011 122 1232410 51111010k uk vk ukvck101041 142 1432442410 54441010k uk vk uk vkvck101122222211022232221022222231

52、010222222444102252532251022626322610101102103105123410110203041056708090100kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 101111112210244433335106101051010uckvyuxvckuxvyvkky 修正后的矩陣形式如下：修正后的矩陣形式如下：4 4、應(yīng)注意的問(wèn)題、應(yīng)注意的問(wèn)題修改后的總剛為非奇異，對(duì)應(yīng)的總體平衡方程可求解；修改后的總剛為非奇異，對(duì)應(yīng)的總體平衡方程可求解；如果已知位移不等于如果已知位移不等于0，采用第二種方法，固定約束用，采用第二種方法，固定約束用第一種方法。第一種方法。求解可以采用解方程組的任何一種方法。（高斯消去法求解可以采用解方程組的任何一種方法。（高斯消去法常用），可借用一些計(jì)算機(jī)軟件：如常用），可借用一些計(jì)算機(jī)軟件：如Matlab，Excel等。等。求得各節(jié)點(diǎn)位移后，則對(duì)于各單元，求得各節(jié)點(diǎn)位移后，則對(duì)于各單元， e、B、D已知，根據(jù)已知，根據(jù)可求出三角形中各點(diǎn)的應(yīng)力?？汕蟪鋈切沃懈鼽c(diǎn)的應(yīng)力。 eDB四、平面矩形單元(xm, ym)uivi(xi, yi)(xj, yj)ijmumvjvmuj(xk, yk)kukvkaabbx, y, 矩形單元也是常用的單元之一，由于采用了比常應(yīng)變?nèi)匦螁卧彩浅Ｓ玫膯卧?/p>