2016屆高考數(shù)學大一輪復習-第五章-數(shù)列同步練習-文

1、PAGE 12016屆高考數(shù)學大一輪復習 第五章 數(shù)列同步練習 文第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法1了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)2了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)1數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項2數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關系分類遞增數(shù)列an1an其中nN*遞減數(shù)列an11，兩式相減可得：eq f(an,2n)2n52(n1)52，an2n1，n1，nN*.當n1時，eq f(a1,2)7，a114，綜上可知，數(shù)列an的通項公式為：aneq blcrc (

2、avs4alco1(14n1，,2n1n2.)故選B答案：B4數(shù)列an的前n項和記為Sn，a11，an12Sn1(n1，nN)，則數(shù)列an的通項公式是_解析：由an12Sn1，可得an2Sn11(n2)，兩式相減，得an1an2an，an13an(n2)a22S113，a23a1，故數(shù)列an是首項為1，公比為3的等比數(shù)列an3n1.故填an3n1(n1，且nN)答案：an3n1(n1，且nN)已知數(shù)列an的前n項和Sn，求數(shù)列的通項公式，其求解過程分為三步：(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用anSnSn1(n2)便可求出當n2時an的表達式；(3)對

3、n1時的結果進行檢驗，看是否符合n2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n1與n2兩段來寫由遞推關系式求數(shù)列的通項公式eq x(互動講練型)根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項公式：(1)a12，an1ann1；(2)a11，aneq f(n1,n)an1(n2)；(3)a11，an13an2.解析：(1)由題意得，當n2時，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)2eq f(n12n,2)eq f(nn1,2)1.又a12eq f(111,2)1，符合上式，因此aneq f(nn1,2)1.(2)aneq f(n1,n)an1(n2)，an

4、1eq f(n2,n1)an2，a2eq f(1,2)a1.以上(n1)個式子相乘得ana1eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(n1,n)eq f(a1,n)eq f(1,n).當n1時，a11，上式也成立aneq f(1,n).(3)an13an2，an113(an1)，eq f(an11,an1)3，數(shù)列an1 為等比數(shù)列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an 的通項公式：(1)a11，an1an2n.(2)a11，an12nan.解析：(1)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n221eq f(12n,12)2n

5、1.(2)由于eq f(an1,an)2n，故eq f(a2,a1)21，eq f(a3,a2)22，eq f(an,an1)2n1，將這n1個等式疊乘，得eq f(an,a1)212(n1)2eq f(nn1,2)，故an2eq f(nn1,2).由數(shù)列遞推式求通項公式常用方法有：累加法、累積法、構造法形如anpan1m(p、m為常數(shù)，p1，m0)時，構造等比數(shù)列；形如anan1f(n)(f(n)可求和)時，用累加法求解；形如eq f(an,an1)f(n)(f(n)可求積)時，用累積法求解A級基礎訓練1下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是()A1，eq f(1,2)，eq f(1,3)

6、，eq f(1,4)，B1，2，3，4，C1，eq f(1,2)，eq f(1,4)，eq f(1,8)，D1，eq r(2)，eq r(3)，eq r(n)解析：根據(jù)定義，屬于無窮數(shù)列的是選項A、B、C(用省略號)，屬于遞增數(shù)列的是選項C、D，故同時滿足要求的是選項C答案：C2數(shù)列an的前n項積為n2，那么當n2時，an()A2n1Bn2Ceq f(n12,n2)Deq f(n2,n12)解析：設數(shù)列an的前n項積為Tn，則Tnn2，當n2時，aneq f(Tn,Tn1)eq f(n2,n12).答案：D3數(shù)列an滿足anan1eq f(1,2)(nN*)，a22，Sn是數(shù)列an的前n項和，

7、則S21為()A5Beq f(7,2)Ceq f(9,2)Deq f(13,2)解析：anan1eq f(1,2)，a22，aneq blcrc (avs4alco1(f(3,2)，n為奇數(shù)，,2，n為偶數(shù).)S2111eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)102eq f(7,2).故選B答案：B4(2014吉林普通中學摸底)已知數(shù)列an，an2n2n，若該數(shù)列是遞減數(shù)列， 則實數(shù)的取值范圍是()A(，6B(，4C(，5D(，3解析：數(shù)列an的通項公式是關于n(nN*)的二次函數(shù)，若數(shù)列是遞減數(shù)列， 則eq f(,22)eq f(3,2)，即6.答案：A5(2014安徽合肥二檢

8、)數(shù)列an滿足a12，aneq f(an11,an11)，其前n項積為Tn，則T2 014()Aeq f(1,6)Beq f(1,6)C6D6解析：由aneq f(an11,an11)，得an1eq f(1an,1an)，而a12，則有a23，a3eq f(1,2)，a4eq f(1,3)，a52，故數(shù)列an是以4為周期的周期數(shù)列，且a1a2a3a41，所以T2 014(a1a2a3a4)503a1a215032(3)6.故選D答案：D6(2014海南三亞一模)在數(shù)列1,2，eq r(7)，eq r(10)，eq r(13)，中，2eq r(19)是這個數(shù)列的第_項解析：因為a11eq r(1

9、)，a22eq r(4)，a3eq r(7)，a4eq r(10)，a5eq r(13)，所以aneq r(3n2).令aneq r(3n2)2eq r(19)eq r(76)，得n26.答案：267(2014天津六校第三次聯(lián)考)數(shù)列an中， 已知a11，a22，an1anan2(nN*)，則a7_.解析：由已知an1anan2，a11，a22，能夠計算出a31，a41，a52，a61，a71.答案：18數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，Snnan，則an_.解析：當n2時，anSnSn1nan(n1)an1，anan1(n2)又a11，an1.答案：19數(shù)列an的通項公式是ann27n6.

10、(1)這個數(shù)列的第4項是多少？(2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？(3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？解析：(1)當n4時，a4424766.(2)令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是這個數(shù)列的第16項(3)令ann27n60，解得n6或n1(舍)從第7項起各項都是正數(shù)10已知數(shù)列an的前n項和Sn2n22n，數(shù)列bn的前n項和Tn2bn.求數(shù)列an與bn的通項公式解析：當n2時，anSnSn1(2n22n)2(n1)22(n1)4n，當n1時，a1S14也適合，an的通項公式是an4n(nN*)Tn2bn，當n1時，b12b1，b

11、11.當n2時，bnTnTn1(2bn)(2bn1)，2bnbn1.數(shù)列bn是公比為eq f(1,2)，首項為1的等比數(shù)列bneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1.B級能力提升1定義：稱eq f(n,P1P2Pn)為n個正數(shù)P1，P2，Pn的“均倒數(shù)”若數(shù)列an的前n項的“均倒數(shù)”為eq f(1,2n1)，則數(shù)列an的通項公式為()Aan2n1Ban4n1Can4n3Dan4n5解析：eq f(n,a1a2an)eq f(1,2n1)，eq f(a1a2an,n)2n1，a1a2an(2n1)n；a1a2an1(2n3)(n1)(n2)，當n2時，an(2n1)n(2n3

12、)(n1)4n3；a11也適合此等式，an4n3.答案：C2下列關于星星的圖案構成一個數(shù)列，該數(shù)列的一個通項公式是_解析：從題圖中可觀察星星的構成規(guī)律，n1時，有1個；n2時，有3個；n3時，有6個；n4時，有10個；an1234neq f(nn1,2).答案：aneq f(nn1,2)3已知數(shù)列an滿足前n項和Snn21，數(shù)列bn滿足bneq f(2,an1)，且前n項和為Tn，設cnT2n1Tn.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)判斷數(shù)列cn的增減性解析：(1)a12，anSnSn12n1(n2)aneq blcrc (avs4alco1(2n1n2,2n1)bneq blcrc (avs

13、4alco1(f(1,n)n2,f(2,3)n1).(2)cnbn1bn2b2n1eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,2n1)，cn1cneq f(1,2n2)eq f(1,2n3)eq f(1,n1)eq f(1,2n3)eq f(1,2n2)eq f(1,2n32n2)0，cn是遞減數(shù)列4已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sneq f(3,2)an1(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)在數(shù)列bn中，b15，bn1bnan，求數(shù)列bn的通項公式解析：(1)當n1時，S1a1eq f(3,2)a11，所以a12.由Sneq f(3,2)an1，可知當n2時，Sn1eq

14、f(3,2)an11，得aneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)an1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)an11)，所以an3an1，又a10，故an10，所以eq f(an,an1)3，故數(shù)列an是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以an23n1.(2)由(1)知bn1bn23n1.當n2時，bnbn123n2，b3b2231，b2b1230，將以上n1個式子相加并整理，得bnb12(3n23130)52eq f(13n1,13)3n14.當n1時，31145b1，所以bn3n14(nN*)第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和1理解等差數(shù)列的概念2掌握等差數(shù)列的通

15、項公式與前n項和公式3能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題4了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關系1等差數(shù)列的有關概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號表示為an1and(nN*，d為常數(shù))(2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是Aeq f(ab,2)，其中A叫做a，b的等差中項2等差數(shù)列的有關公式(1)通項公式：ana1(n1)d.(2)前n項和公式：Snna1eq f(nn1,2)deq f(a1ann,2).1等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是其前n項和(1)通項

16、公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an的公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，構成等差數(shù)列2等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：an1and(d是常數(shù))an是等差數(shù)列(2)等差中項法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列(3)通項公式：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列(4)前n項和公式：SnAn2Bn(A、B為常數(shù))an是等差數(shù)列1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)若一個數(shù)列從第2項起每一

17、項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列()(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)()(5)數(shù)列an滿足an1ann，則數(shù)列an是等差數(shù)列()(6)已知數(shù)列an的通項公式是anpnq(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列an一定是等差數(shù)列()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2已知在等差數(shù)列an中，a27，a415，則前10項和S10()A100B210C380D400解析：因為a27，a415，所以d4，a13，故S10103eq f(1,2

18、)1094210.答案：B3(2014北京海淀區(qū)期末)若數(shù)列an滿足：a119，an1an3(nN*)，則數(shù)列an的前n項和數(shù)值最大時，n的值為()A6B7C8D9解析：a119，an1an3，數(shù)列an是以19為首項，3為公差的等差數(shù)列，an19(n1)(3)223n.答案：B4(2013重慶卷)若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則ca_.解析：設公差為d，2，a，b，c,9成等差數(shù)列，924d，deq f(7,4).又ca2d，ca2eq f(7,4)eq f(7,2).答案：eq f(7,2)5在等差數(shù)列40,37,34，中，第一個負數(shù)項是_解析：a140，d37403，an40(n1)(3

19、)3n43，令an0，即3n430，解得neq f(43,3)，故第一個負數(shù)項是第15項，即a15315432.答案：2等差數(shù)列的基本運算eq x(自主練透型)1(2014福建卷)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a12，S312，則a6等于()A8B10C12D14解析：因為S33a1eq f(331,2)d32eq f(32,2)d12，所以d2.所以a6a1(61)d25212.故選C答案：C2(2014天津卷)設an是首項為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值為_解析：由已知得S1a1，S2a1a22a11，S44a1eq f(43,2)(1

20、)4a16，而S1，S2，S4成等比數(shù)列，所以(2a11)2a1(4a16)，整理得2a110，解得a1eq f(1,2).答案：eq f(1,2)3(2014福建福州一模)已知等差數(shù)列an，其中a1eq f(1,3)，a2a54，an33，則n的值為_解析：在等差數(shù)列an中，a2a52a15deq f(2,3)5d4，所以deq f(2,3)，又aneq f(1,3)eq f(2,3)(n1)33，解得n50.答案：504已知an2n27，則a1a4a7a3n2_.解析：由an2n27，知a3n26n31，故a3n2是首項為25，公差為6的等差數(shù)列從而a1a4a7a3n2eq f(n,2)(

21、a1a3n2)eq f(n,2)(6n56)3n228n.答案：3n228n等差數(shù)列基本運算的通性通法(1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解(2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程的思想等差數(shù)列的判定與證明eq x(分層深化型)已知數(shù)列an滿足：a12，an13an3n12n.設bneq f(an2n,3n).證明：數(shù)列bn為等差數(shù)列，并求an的通項公式證明：bn1bneq f(an12n1,3n1)eq f(an2n,3n)eq f(3an3n12n2n

22、1,3n1)eq f(3an32n,3n1)1，bn為等差數(shù)列，又b1eq f(a12,3)0.bnn1，an(n1)3n2n.1已知數(shù)列an中，a12，an2eq f(1,an1)(n2，nN*)設bneq f(1,an1)(nN*)，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列證明：an2eq f(1,an1)，an12eq f(1,an).bn1bneq f(1,an11)eq f(1,an1)eq f(1,2f(1,an)1)eq f(1,an1)eq f(an1,an1)1，bn是首項為b1eq f(1,21)1，公差為1的等差數(shù)列2在數(shù)列an中，a11,3anan1anan10(n2)(1)證明數(shù)列e

23、q blcrc(avs4alco1(f(1,an)是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式解析：(1)證明：將 3anan1anan10(n2)整理得eq f(1,an)eq f(1,an1)3(n2)所以數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列(2)由(1)可得eq f(1,an)13(n1)3n2，所以aneq f(1,3n2).3(2014新課標全國卷)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由解析：(1)證明：由題設知anan1Sn1，an

24、1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由題設知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列等差數(shù)列的判定方法大全(1)等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：第一種是定義法，anan1d(常數(shù))(n2)；第二種方法是利用等差中項，即2anan1an1(n2)(2)解答選擇題和填空題時也可以用通項公式與前n項和公式直接判定

25、(3)若判定一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需要說明某連續(xù)3項(如前三項)不是等差數(shù)列即可等差數(shù)列的性質(zhì)eq x(互動講練型)(1)設數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，且a125，b175，a2b2100，則a37b37等于()A0B37C100D37(2)(2014北京卷)若等差數(shù)列an滿足a7a8a90，a7a100，即a80；而a7a10a8a90，故a9aeq oal(2,2)aeq oal(2,3)aeq oal(2,4)aeq oal(2,5)aeq oal(2,6)6)，則數(shù)列an的項數(shù)n_.解析：由題意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an

26、5)6(a1an)216，a1an36，又Sneq f(na1an,2)324，18n324，n18.答案：184在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項和為Sn，且S10S15，求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值解析：法一：a120，S10S15，1020eq f(109,2)d1520eq f(1514,2)d，deq f(5,3).an20(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)eq f(5,3)neq f(65,3).a130.即當n12時，an0，n14時，an0.當n12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S12S131220eq f(1211,2

27、)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)130.法二：同方法一求得deq f(5,3).Sn20neq f(nn1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)eq f(5,6)n2eq f(125,6)neq f(5,6)eq blc(rc)(avs4alco1(nf(25,2)2eq f(3 125,24).nN*，當n12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.等差數(shù)列的最值的處理方法：(1)利用Snan2bn轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值時要注意n的取值(2)若an是等差數(shù)列，求其前n項和的最值時，若a10，d0，且滿足eq blcrc (avs4al

28、co1(an0，,an10)，前n項和Sn最小A級基礎訓練1(2014海淀質(zhì)檢)等差數(shù)列an中，a23，a3a49，則a1a6的值為()A14B18C21D27解析：依題意得eq blcrc (avs4alco1(a1d3，,2a15d9，)由此解得d1，a12，a6a15d7，a1a614.答案：A2(2014陜西五校三模)等差數(shù)列an中，如果a1a4a739，a3a6a927，則數(shù)列an前9項的和為()A297B144C99D66解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，2(a2a5a8)(a1a4a7)(a3a6a9)392766，a2a5a833，則數(shù)列an前9項的和為663399.答案：C3(20

29、14河北唐山一中調(diào)研)已知等差數(shù)列an中，a7a916，S11eq f(99,2)，則a12的值是()A15B30C31D64解析：由題意可知2a8a7a916a88，S11eq f(11a1a11,2)eq f(112a6,2)11a6eq f(99,2)，a6eq f(9,2)，則deq f(a8a6,2)eq f(7,4)，所以a12a84d15，故選A答案：A4(2014安徽六校聯(lián)考)數(shù)列an的首項為3，bn為等差數(shù)列， 且bnan1an(nN*)，若b32，b1012，則a8()A0B3C8D11解析：設bn的公差為d，b10b37d12(2)14，d2.b32，b1b32d246.

30、b1b2b77b1eq f(76,2)d7(6)2120.又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a830，a83.故選B答案：B5(2014遼寧鞍山檢測)已知Sn表示數(shù)列an的前n項和，若對任意的nN*滿足an1ana2，且a32，則S2 014()A1 0062 013B1 0062 014C1 0072 013D1 0072 014解析：在an1ana2中，令n1，則a2a1a2，a10，令n2，則a322a2，a21，于是an1an1，故數(shù)列an是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，S2 014eq f(2 0142 013,2)1 0072 013.故選C答案：C6(20

31、14江蘇連云港二調(diào))設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a13，ak1eq f(3,2)，Sk12，則正整數(shù)k_.解析：由Sk1Skak112eq f(3,2)eq f(21,2)，又Sk1eq f(k1a1ak1,2)eq f(k1blc(rc)(avs4alco1(3f(3,2),2)eq f(21,2)，解得k13.答案：137設數(shù)列an的通項公式為an2n10(nN*)，則|a1|a2|a15|_.解析：由an2n10(nN*)知an是以8為首項，2為公差的等差數(shù)列，又由an2n100得n5，當n5時，an0，當n5時，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)

32、20110130.答案：1308設等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意自然數(shù)n都有eq f(Sn,Tn)eq f(2n3,4n3)，則eq f(a9,b5b7)eq f(a3,b8b4)的值為_解析：an，bn為等差數(shù)列，eq f(a9,b5b7)eq f(a3,b8b4)eq f(a9,2b6)eq f(a3,2b6)eq f(a9a3,2b6)eq f(a6,b6).eq f(S11,T11)eq f(a1a11,b1b11)eq f(2a6,2b6)eq f(2113,4113)eq f(19,41)，eq f(a6,b6)eq f(19,41).答案：eq f(19,

33、41)9各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足aeq oal(2,n)4Sn2an1(nN*)，其中Sn為an的前n項和(1)求a1，a2的值；(2)求數(shù)列an的通項公式解析：(1)當n1時，aeq oal(2,1)4S12a11，即(a11)20，解得a11.當n2時，aeq oal(2,2)4S22a214a12a2132a2，解得a23或a21(舍去)(2)aeq oal(2,n)4Sn2an1，aeq oal(2,n1)4Sn12an11.得aeq oal(2,n1)aeq oal(2,n)4an12an12an2(an1an)，即(an1an)(an1an)2(an1an)數(shù)列an各項均為正數(shù)，

34、an1an0，an1an2，數(shù)列an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列an2n1.10(2014湖北卷)已知等差數(shù)列an滿足：a12，且a1，a2，a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由解析：(1)設等差數(shù)列an的公差為d.a1，a2，a5成等比數(shù)列，aeq oal(2,2)a1a5，即(a1d)2a1(a14d)，解得d0或d4.an2或an4n2.(2)當an2時，Sn2n.由2n60n800及nN*得n無解；當an4n2時，Sneq f(na1an,2)2n2，由2n260n

35、800得n40.nN*，n的最小值為41.B級能力提升1數(shù)列an滿足a11，an1ranr(nN*，rR且r0)，則“r1”是“數(shù)列an為等差數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：當r1時，易知數(shù)列an為等差數(shù)列；由題意易知a22r，a32r2r，當數(shù)列an是等差數(shù)列時，a2a1a3a2，即2r12r2r，解得req f(1,2)或r1，當req f(1,2)時，an1，故“r1”是“數(shù)列an為等差數(shù)列”的充分不必要條件，選A答案：A2已知數(shù)列an是首項為a，公差為1的等差數(shù)列，bneq f(1an,an)，若對任意的nN*，都有bnb8成立，則

36、實數(shù)a的取值范圍為_解析：依題意得bn1eq f(1,an)，對任意的nN*，都有bnb8，即數(shù)列bn的最小項是第8項，于是有eq f(1,an)eq f(1,a8).又數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，因此有eq blcrc (avs4alco1(a80)，即eq blcrc (avs4alco1(a70)，由此解得8a0)，q2，S7eq f(a11q7,1q)127.答案：C3(2014重慶卷)對任意等比數(shù)列an，下列說法一定正確的是()Aa1，a3，a9成等比數(shù)列Ba2，a3，a6成等比數(shù)列Ca2，a4，a8成等比數(shù)列Da3，a6，a9成等比數(shù)列解析：設等比數(shù)列的公比為q，因為eq f(a

37、6,a3)eq f(a9,a6)q3，即aeq oal(2,6)a3a9，所以a3，a6，a9成等比數(shù)列故選D答案：D4在等比數(shù)列an中，已知a7a125，則a8a9a10a11_.解析：a7a125，a8a9a10a11(a8a11)(a9a10)(a7a12)225.答案：255設Sn為等比數(shù)列an的前n項和，8a2a50，則eq f(S5,S2)_.解析：8a2a50，8a2a5，即eq f(a5,a2)8.q38，q2.eq f(S5,S2)eq f(f(a11q5,1q),f(a11q2,1q)eq f(1q5,1q2)eq f(125,122)11.答案：11等比數(shù)列的基本運算eq

38、 x(自主練透型)1(2014北京朝陽一模)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a12，a2a312，則該數(shù)列的前4項和為_解析：設等比數(shù)列an的公比為q，由a12，a2a312，則a1qa1q212，解得q2，故S4eq f(2124,12)30.答案：302(2014揚州中學期中測試)設等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，若a11，a34，Sk63，則k_.解析：設等比數(shù)列an公比為q，由已知a11，a34，得q2eq f(a3,a1)4.又an的各項均為正數(shù)，q2.而Skeq f(12k,12)63，2k163，解得k6.答案：63已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aeq oal(2,

39、5)a10,2(anan2)5an1，則數(shù)列an的通項公式an_.解析：設數(shù)列an的首項為a1，公比為q，aeq oal(2,5)a10,2(anan2)5an1，eq blcrc (avs4alco1(aoal(2,1)q8a1q9，,21q25q，)由得a1q，由知q2或qeq f(1,2)，又數(shù)列an為遞增數(shù)列，a1q2，從而an2n.答案：2n4設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a26,6a1a330，求an和Sn.解析：設an的公比為q，由題意得eq blcrc (avs4alco1(a1q6，,6a1a1q230，)解得eq blcrc (avs4alco1(a13,q2)或eq

40、 blcrc (avs4alco1(a12,q3)，當a13，q2時，an32n1，Sn3(2n1)；當a12，q3時，an23n1，Sn3n1.1.等比數(shù)列基本運算方法(1)使用兩個公式，即通項公式和前n項和公式(2)使用通項公式的變形：anamqnm(m，nN*)2等比數(shù)列前n項和公式的應用在使用等比數(shù)列前n項和公式時，應首先判斷公比q能否為1，若能，應分q1與q1兩種情況求解等比數(shù)列的判定與證明eq x(分層深化型)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且anSnn.(1)設cnan1，求證：cn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式解析：(1)證明：anSnn，an1Sn1n1.得an1ana

41、n11，2an1an1，2(an11)an1，eq f(an11,an1)eq f(1,2).首項c1a11，又a1a11，a1eq f(1,2)，c1eq f(1,2).又cnan1，故cn是以eq f(1,2)為首項，eq f(1,2)為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知cneq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)nan1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n.1已知數(shù)列an的首項a15，前n項和為Sn，且Sn12Snn5(nN*)證明數(shù)列an1是等比數(shù)列證明：由已知Sn12Snn5(n

42、N*)可得當n2時，Sn2Sn1n4，兩式相減得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，從而an112(an1)，當n1時，S22S115，即a2a12a16，又a15，所以a211，從而a212(a11)故an112(an1)，對nN*恒成立，又a15，a110，從而eq f(an11,an1)2.所以數(shù)列an1是等比數(shù)列2已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a21，S1133.(1)求an的通項公式；(2)設bneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)an，求證：bn是等比數(shù)列，并求其前n項和Tn.解析：(1)依題意有eq blcrc (avs4alco1(a1d1,

43、11a1f(1110,2)d33，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1f(1,2),df(1,2)，aneq f(n,2).(2)證明：bneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq f(n,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n，eq f(bn1,bn)eq f(1,2)為常數(shù)bn是以eq f(1,2)為首項，eq f(1,2)為公比的等比數(shù)列，Tneq f(f(1,2)blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n),1f(1,2)1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n.3已知數(shù)列

44、an和bn滿足a1，an1eq f(2,3)ann4，bn(1)n(an3n21)，其中為實數(shù)，n為正整數(shù)(1)證明：對任意實數(shù)，數(shù)列an不是等比數(shù)列；(2)證明：當18時，數(shù)列bn是等比數(shù)列證明：(1)假設存在一個實數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有aeq oal(2,2)a1a3，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)3)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,9)4)eq f(4,9)249eq f(4,9)2490，矛盾所以an不是等比數(shù)列(2)bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)an2n14)eq

45、f(2,3)(1)n(an3n21)eq f(2,3)bn.又18，所以b1(18)0.由上式知bn0，所以eq f(bn1,bn)eq f(2,3)(nN*)故當18時，數(shù)列bn是以(18)為首項，eq f(2,3)為公比的等比數(shù)列等比數(shù)列的判斷與證明的常用方法(1)定義法：若eq f(an1,an)q(q為非零常數(shù)，nN*)或eq f(an,an1)q(q為非零常數(shù)，且n2，nN*)，則an是等比數(shù)列；(2)中項公式法：若數(shù)列an中，an0，且aeq oal(2,n1)anan2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列；(3)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定某連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可等比數(shù)

46、列的性質(zhì)eq x(互動講練型)(1)(2014山東淄博期末)已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且a3a92aeq oal(2,5)，a22，則a1()Aeq f(1,2)Beq f(r(2),2)Ceq r(2)D2(2)(2014廣東珠海質(zhì)量監(jiān)測)等比數(shù)列an共有奇數(shù)項，所有奇數(shù)項和S奇255，所有偶數(shù)項和S偶126，末項是192，則首項a1()A1B2C3D4解析：(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)得a3a9aeq oal(2,6)2aeq oal(2,5)，q0，a6eq r(2)a5，qeq f(a6,a5)eq r(2)，a1eq f(a2,q)eq r(2)，故選C(2)設等比數(shù)列an共有2k1(

47、kN*)項，則a2k1192，則S奇a1a3a2k1a2k1eq f(1,q)(a2a4a2k)a2k1eq f(1,q)S偶a2k1eq f(126,q)192255，解得q2，而S奇eq f(a1a2k1q2,1q2)eq f(a119222,122)255，解得a13，故選C答案：(1)C(2)C1(2014北京豐臺一模)已知等比數(shù)列an中，a2a31，a4a52，則a6a7等于()A2B2eq r(2)C4D4eq r(2)解析：因為a2a3，a4a5，a6a7成等比數(shù)列，a2a31，a4a52，所以(a4a5)2(a2a3)(a6a7)，解得a6a74.答案：C2(2014鄭州模擬)

48、在正項等比數(shù)列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，則n()A12B13C14D15解析：設數(shù)列an的公比為q，由a1a2a34aeq oal(3,1)q3與a4a5a612aeq oal(3,1)q12，可得q93，an1anan1aeq oal(3,1)q3n3324，因此q3n68134q36，所以n14，故選C答案：C等比數(shù)列常見性質(zhì)的應用等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：通項公式的變形；等比中項的變形；前n項和公式的變形，根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口A級基礎訓練1(2014北京海淀一模)在數(shù)列an中，“an2an1，n2

49、,3,4，”是“an是公比為2的等比數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：當an0時，滿足an2an1，n2,3,4，但a n是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，故充分性不成立；又當an是公比為2的等比數(shù)列時，有eq f(an,an1)2，n2,3,4，即an2an1，n2,3,4，所以必要性成立，故選B答案：B2(2014河北衡水中學五調(diào))已知等比數(shù)列an的公比q2，且2a4，a6,48成等差數(shù)列，則an的前8項和為()A127B255C511D1 023解析：2a4，a6,48成等差數(shù)列，2a62a448，2a1q52a1q348，又q2，a11，S8eq

50、 f(1128,12)255.答案：B3(2014遼寧沈陽模擬)已知數(shù)列an滿足log3an1log3an1(nN*)且a2a4a69，則logeq f(1,3)(a5a7a9)的值是()A5Beq f(1,5)C5Deq f(1,5)解析：由log3an1log3an1及對數(shù)運算性質(zhì)得，log3(3an)log3an1，3anan1，eq f(an1,an)3，即數(shù)列an是公比為3的等比數(shù)列，所以a5a7a9q3(a2a4a6)33935，所以logeq f(1,3)(a5a7a9)logeq f(1,3)355.故選A答案：A4(2014浙江溫州十校聯(lián)考)設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若

51、Sm15，Sm11，Sm121，則m()A3B4C5D6解析：由已知得，SmSm1am16，Sm1Smam132，故公比qeq f(am1,am)2，又Smeq f(a1amq,1q)11，故a11，又ama1qm116，故(1)(2)m116，求得m5.答案：C5已知數(shù)列an，則有()A若aeq oal(2,n)4n，nN*，則an為等比數(shù)列B若anan2aeq oal(2,n1)，nN*，則an為等比數(shù)列C若aman2mn，m，nN*，則an為等比數(shù)列D若anan3an1an2，nN*，則an為等比數(shù)列解析：若a12，a24，a38，滿足aeq oal(2,n)4n，nN*，但an不是等比

52、數(shù)列，故A錯；若an0，滿足anan2aeq oal(2,n1)，nN*，但an不是等比數(shù)列，故B錯；若an0，滿足anan3an1an2，nN*，但an不是等比數(shù)列，故D錯；若aman2mn，m，nN*，則有eq f(aman1,aman)eq f(an1,an)eq f(2mn1,2mn)2，則an是等比數(shù)列答案：C6(2014安徽卷)數(shù)列an是等差數(shù)列，若a11，a33，a55構成公比為q的等比數(shù)列，則q_.解析：設等差數(shù)列的公差為d，則a3a12d，a5a14d，(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1.qeq f(a33,a11)eq f(a123,a11)1.答案：17(

53、2014鄭州市第二次質(zhì)量預測)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若aeq oal(2,5)2a3a6，S562，則a1的值是_解析：設an的公比為q.由aeq oal(2,5)2a3a6得(a1q4)22a1q2a1q5，q2，S5eq f(a1125,12)62，a12.答案：28已知數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足anSn1(nN*)，則通項an_.解析：anSn1，a1eq f(1,2)，an1Sn11，可得anan1an0，即得eq f(an,an1)eq f(1,2)，數(shù)列an是首項為eq f(1,2)，公比為eq f(1,2)的等比數(shù)列，則aneq f(1,2)eq blc(rc)(

54、avs4alco1(f(1,2)n1eq f(1,2n).答案：eq f(1,2n)9已知數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足Sn4anp，其中p為非零常數(shù)(1)求證：數(shù)列an為等比數(shù)列；(2)若a2eq f(4,3)，求an的通項公式解析：(1)證明：當n1時，S14a1p，得a1eq f(p,3)0，當n2時，anSnSn1(4anp)(4an1p)4an4an1，得3an4an1，即eq f(an,an1)eq f(4,3)，因而數(shù)列an為公比為eq f(4,3)的等比數(shù)列(2)由(1)知，數(shù)列an的通項公式為aneq f(p,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)n1，又

55、a2eq f(4,3)，可知p3，于是aneq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)n1.10Sn是無窮等比數(shù)列an的前n項和，且公比q1，已知1是eq f(1,2)S2和eq f(1,3)S3的等差中項，6是2S2和3S3的等比中項(1)求S2和S3；(2)求此數(shù)列an的前n項和公式解析：(1)根據(jù)已知條件eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)S2f(1,3)S32，,2S23S336.)整理得eq blcrc (avs4alco1(3S22S312，,3S22S336.)解得3S22S36，即eq blcrc (avs4alco1(S22，,S33.)(2)q1，

56、則eq blcrc (avs4alco1(a11q2，,a11qq23.)可解得qeq f(1,2)，a14.Sneq f(4blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n),1f(1,2)eq f(8,3)eq f(8,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n.B級能力提升1已知數(shù)列an，bn滿足a1b13，an1aneq f(bn1,bn)3，nN*，若數(shù)列cn滿足cnban，則c2 013()A92 012B272 012C92 013D272 013解析：由已知條件知an是首項為3，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn是首項為3，公比為

57、3的等比數(shù)列，an3n，bn3n，又cnban33n，c2 013332 013272 013，故選D答案：D2若一個數(shù)列的第m項等于這個數(shù)列的前m項的乘積，則稱該數(shù)列為“m積數(shù)列”，若正項等比數(shù)列an是一個“2 014積數(shù)列”，且a11，則當其前n項積最大時n的值為_解析：由題意可知a1a2a3a2 014a2 014，故a1a2a3a2 0131，因為數(shù)列an是正項等比數(shù)列且a11，所以a1 0071，公比0q1且0a1 0080b17b18，b15a15a16a170，b16a16a17a180，故S14S13S1，S14S15，S15S17S18.因為a15eq f(6,5)d0，a1

58、8eq f(9,5)d0，所以a15a18eq f(6,5)deq f(9,5)deq f(3,5)d0，所以b15b16a16a17(a15a18)0，所以S16S14，故當Sn取得最大值時n16.答案：163(2014廣東卷)設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn滿足Seq oal(2,n)(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有eq f(1,a1a11)eq f(1,a2a21)eq f(1,anan1)eq f(1,3).解析：(1)令n1代入得a12(負值舍去)(2)由Seq oal(2,n)(n2

59、n3)Sn3(n2n)0，nN*得Sn(n2n)(Sn3)0.又已知各項均為正數(shù)，故Snn2n.當n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，當n1時，a12也滿足上式，所以an2n，nN*.(3)證明：kN*,4k22k(3k23k)k2kk(k1)0，4k22k3k23k，eq f(1,akak1)eq f(1,2k2k1)eq f(1,4k22k)eq f(1,3k23k)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,k)f(1,k1).eq f(1,a1a11)eq f(1,a2a21)eq f(1,anan1)eq f(1,3)eq blc(rc)(av

60、s4alco1(f(1,1)f(1,2)f(1,2)f(1,3)f(1,n)f(1,n1)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n1)eq f(1,3).不等式成立4已知數(shù)列an，如果數(shù)列bn滿足b1a1，bnanan1，n2，nN*，則稱數(shù)列bn是數(shù)列an的“生成數(shù)列”(1)若數(shù)列an的通項為ann，寫出數(shù)列an的“生成數(shù)列”bn的通項公式；(2)若數(shù)列cn的通項為cn2nb(其中b是常數(shù))，試問數(shù)列cn的“生成數(shù)列”qn是否是等差數(shù)列，請說明理由；(3)已知數(shù)列dn的通項為dn2nn，求數(shù)列dn的“生成數(shù)列”pn的前n項和Tn.解析：(1)當n2時，bnan