金融數(shù)學(xué)—均值方差分析與資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM)

1、數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院申請(qǐng)人：代金輝 在2013-2014年度我承擔(dān)的教學(xué)任務(wù)是應(yīng)用時(shí)間序列分析和概率統(tǒng)計(jì)公共課。在進(jìn)一步總結(jié)上一年經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)的基礎(chǔ)上，在這一學(xué)年的教學(xué)中，我更加盡心盡力，并注意細(xì)節(jié)和改革。 這一年下來(lái)，說(shuō)實(shí)話(huà)感覺(jué)很累。應(yīng)用時(shí)間序列分析這門(mén)課上學(xué)的時(shí)候?qū)W過(guò)，但當(dāng)時(shí)的教材是北大編的研究生教材，理論性很強(qiáng)，又缺乏實(shí)際的操作。于是我從圖書(shū)館借了所有的時(shí)間序列教材，經(jīng)過(guò)精心挑選，比較，最終選擇了中國(guó)人民大學(xué)出版社出版的經(jīng)典教材。之所以選擇它，是因?yàn)檫@本書(shū)能夠很好的融合理論與實(shí)踐。應(yīng)用時(shí)間序列分析是一門(mén)理論性和應(yīng)用性都很強(qiáng)的課程，不能把理論和應(yīng)用割裂開(kāi)來(lái)，而要注重二者的結(jié)合。只講理論，則失去了

2、應(yīng)用價(jià)值；只講應(yīng)用，學(xué)生會(huì)缺乏基本的理論素養(yǎng)和科研創(chuàng)新基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)要避免只重?cái)?shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)要避免只重視定性分析的理論推導(dǎo)而忽視進(jìn)行定量分析的實(shí)際操作視定性分析的理論推導(dǎo)而忽視進(jìn)行定量分析的實(shí)際操作，因此，選擇一套適合專(zhuān)業(yè)需求的教材，靈活把握好理論和實(shí)踐的“度”，恰當(dāng)?shù)靥幚砗没A(chǔ)知識(shí)和應(yīng)用的銜接與搭配，是做好時(shí)間序列分析課教學(xué)改革的關(guān)鍵所在。 從定下這本書(shū)開(kāi)始，到最終講課，看了足有從定下這本書(shū)開(kāi)始，到最終講課，看了足有10遍遍。 對(duì)這門(mén)課的準(zhǔn)備還得從蔣翠霞老師在說(shuō)起，那時(shí)就準(zhǔn)備接手這門(mén)課，所以已經(jīng)把這本書(shū)的第一版利用寒暑假看了兩三遍，課后題也做了一遍。后來(lái)在準(zhǔn)備考試時(shí)，又看了一本金融計(jì)量學(xué)-時(shí)間序列

3、分析視角。所以后來(lái)張學(xué)清主任找我講這門(mén)課的時(shí)候我很爽快的答應(yīng)了。并且利用暑假時(shí)間看了課件。但當(dāng)我真正開(kāi)始上課，我感覺(jué)后悔了。這門(mén)專(zhuān)業(yè)課要想給同學(xué)們講好，要求對(duì)內(nèi)容的熟悉與貫通遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是能夠看懂這么簡(jiǎn)單。一周只有兩次課，但除了上課的時(shí)間，基本上就是在備課，很耗心血，有時(shí)晚上孩子說(shuō)想讓媽媽陪睡覺(jué)，但課還沒(méi)背完，也沒(méi)辦法，有時(shí)想來(lái)真的是不易。 從教學(xué)計(jì)劃，實(shí)驗(yàn)計(jì)劃，實(shí)驗(yàn)大綱，實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)的制定，到最終多媒體教學(xué)的完成，每一步都傾注了大量的心血，學(xué)生的實(shí)驗(yàn)報(bào)告一次就70份，每次都要評(píng)閱。除了實(shí)驗(yàn)報(bào)告，還有純數(shù)學(xué)的理論推導(dǎo)和計(jì)算題作業(yè)需要批改，任務(wù)量很大。除了上課，同學(xué)們?cè)谕瓿蓪?shí)驗(yàn)或論文時(shí)也總會(huì)遇到問(wèn)題，所

4、以課下也經(jīng)常與同學(xué)們用短信，qq，email等多種方式溝通討論?？傮w感覺(jué)，老師教的累，學(xué)生學(xué)得累，原因就是任務(wù)量大，但付出總會(huì)有回報(bào)，期末考試，同學(xué)們理論基礎(chǔ)扎實(shí)熟練，平均分80分以上，并且動(dòng)手實(shí)踐能力強(qiáng)，熟練掌握EVIEWS軟件，所寫(xiě)論文水平高，有些同學(xué)的論文經(jīng)過(guò)修改已經(jīng)能夠發(fā)表。同學(xué)們也對(duì)我的工作給予了肯定，單這門(mén)課的評(píng)教成績(jī)給出了94.93分，并且在各級(jí)領(lǐng)導(dǎo)的支持下我還成功獲批教改項(xiàng)目一項(xiàng)。下面我將課程設(shè)計(jì)和改革方面做簡(jiǎn)單的介紹。1. 注重教學(xué)理念的創(chuàng)新和教學(xué)方法的多樣化注重教學(xué)理念的創(chuàng)新和教學(xué)方法的多樣化. 時(shí)間序列分析課兼具理論性、實(shí)用性和可操作性，單一的教學(xué)模式根本無(wú)法體現(xiàn)該課程的

5、多重特點(diǎn)，所以在講授過(guò)程中我會(huì)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，靈活采取多種教學(xué)手段和教學(xué)方式。 比如，在講解AR模型的方差時(shí)，必須要給出AR模型的傳遞形式，而對(duì)于Green函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程，僅通過(guò)學(xué)生自己看書(shū)推導(dǎo)是很難完成的，我就會(huì)通過(guò)多媒體給出主要思路，盡可能采取啟發(fā)式，大家共同討論給出詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程，然后在黑板上寫(xiě)出來(lái)。 像這樣的大篇幅的理論推導(dǎo)在時(shí)間序列分析這門(mén)課中并不少，它的理論類(lèi)似于隨機(jī)過(guò)程，但討論的是時(shí)間序列。而對(duì)于模型的創(chuàng)建和預(yù)測(cè)，可以結(jié)合案例，通過(guò)講解，再讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)室通過(guò)上機(jī)操作研究和處理。通過(guò)自主探究和團(tuán)隊(duì)合作綜合解決問(wèn)題。2.以實(shí)驗(yàn)室建設(shè)為依托，大力發(fā)展統(tǒng)計(jì)軟件的學(xué)以實(shí)驗(yàn)室建設(shè)為依托，大力發(fā)展

6、統(tǒng)計(jì)軟件的學(xué)習(xí)和使用，增強(qiáng)時(shí)間序列分析課的實(shí)用性習(xí)和使用，增強(qiáng)時(shí)間序列分析課的實(shí)用性. 時(shí)間序列分析的應(yīng)用離不開(kāi)統(tǒng)計(jì)軟件，要想有效地分析數(shù)據(jù)、解決實(shí)踐問(wèn)題，必須掌握一兩門(mén)統(tǒng)計(jì)軟件。對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，主要掌握eviews以及spss軟件，不僅是因?yàn)樗悄壳白顧?quán)威的計(jì)量分析領(lǐng)域的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)軟件， 而且具有操作簡(jiǎn)單，輸出結(jié)果清晰容易理解，軟件所占空間小等優(yōu)勢(shì)。 我給同學(xué)們建了公共郵箱，每次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，包括例題和習(xí)題，都整理好發(fā)到公共郵箱里，并自編了實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)，作為每次實(shí)驗(yàn)的參考。為了給同學(xué)們實(shí)踐的機(jī)會(huì)，還特意布置了課程論文，光是課程論文的題目我就準(zhǔn)備了2個(gè)星期，要選擇同學(xué)們通過(guò)努力能完成的，又要選

7、擇能夠找到數(shù)據(jù)的，在寫(xiě)論文之前又要講解論文的寫(xiě)作發(fā)法，不過(guò)最終同學(xué)們都很努力，一共11小組，都順利的提交了論文，而且完成的都很出色。3.精心選擇有實(shí)際意義的案例研究，融入時(shí)間序列精心選擇有實(shí)際意義的案例研究，融入時(shí)間序列分析課堂教學(xué)分析課堂教學(xué). 根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要，精心選擇有代表性、有針對(duì)性和客觀性強(qiáng)的數(shù)據(jù)資料作為案例，在講授這門(mén)課時(shí)我手里的參考書(shū)就10多本，然后對(duì)案例進(jìn)行細(xì)致的剖析和廣泛的討論，一方面致力于解決實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)也讓學(xué)生直接體會(huì)到理論知識(shí)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，這種教學(xué)方式能夠極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。 以平穩(wěn)時(shí)間序列模型為例：設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題情景：選擇合適的ARMA模型擬合18

8、801985年全球氣表平均溫度改變值差分序列。面對(duì)這樣的問(wèn)題，學(xué)生先小組討論。然后是給出序列自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖；最后選擇模型，進(jìn)行模型估計(jì)，模型檢驗(yàn)。每個(gè)小組根據(jù)小組討論的結(jié)果，根據(jù)AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則給出最終的優(yōu)化模型。教師針對(duì)每個(gè)小組給出的解決方案，給予點(diǎn)評(píng)，并進(jìn)一步總結(jié)平穩(wěn)序列建模的方法。4.轉(zhuǎn)變考核方式，從橫、縱兩個(gè)方向拓寬時(shí)間序轉(zhuǎn)變考核方式，從橫、縱兩個(gè)方向拓寬時(shí)間序列分析課程考核方式，提升學(xué)生的綜合實(shí)踐能力。列分析課程考核方式，提升學(xué)生的綜合實(shí)踐能力。 結(jié)合這門(mén)課的特點(diǎn)，考核方式做了很大變動(dòng)，體現(xiàn)了過(guò)程性評(píng)價(jià)的內(nèi)容：包括學(xué)生的課堂表現(xiàn)、實(shí)驗(yàn)報(bào)告、課外作業(yè)、課程論文設(shè)計(jì)以及期末考

9、試等1、課堂表現(xiàn)課堂表現(xiàn)考核考核評(píng)價(jià)（評(píng)價(jià)（10%）：包括出勤率、小組合作、小組過(guò)程設(shè)計(jì)、回答問(wèn)題等以及課堂參與的積極性，以及每名同學(xué)的上課表現(xiàn)。2、作業(yè)情況、作業(yè)情況考核考核評(píng)價(jià)（評(píng)價(jià)（10%）：包括課后作業(yè)的完成數(shù)量和質(zhì)量。3 實(shí)驗(yàn)報(bào)告考核（實(shí)驗(yàn)報(bào)告考核（20%）：）：每次實(shí)驗(yàn)的例題習(xí)題的完成情況，以及所采用的方法和命令是否正確，以及格式步驟是否得當(dāng)。4 課程論文課程論文(項(xiàng)目項(xiàng)目)考核（考核（20%）：）：綜合考核學(xué)生的實(shí)踐能力，以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，以及小組合作情況。5、考試、考試考核考核評(píng)價(jià)（評(píng)價(jià)（40%）：對(duì)學(xué)生期末考試等大型檢測(cè)的成績(jī)，主要考核學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的掌握情況。對(duì)公

10、共課的教學(xué)，我仍然堅(jiān)持，提綱挈領(lǐng)，對(duì)公共課的教學(xué)，我仍然堅(jiān)持，提綱挈領(lǐng)， 融會(huì)融會(huì)貫通，貫通， 化繁為簡(jiǎn)化繁為簡(jiǎn) ，輕松掌握的原則。，輕松掌握的原則。 用最通俗易懂的語(yǔ)言，言簡(jiǎn)意賅的去表達(dá)用最通俗易懂的語(yǔ)言，言簡(jiǎn)意賅的去表達(dá)，用生活中的例子做類(lèi)比，讓同學(xué)們能輕松的理解與掌握要學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，并且不容易忘記。每堂課復(fù)習(xí)上節(jié)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而引出要學(xué)的新知識(shí)，做到溫故知新。對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解是：概念-例題-習(xí)題-概念的過(guò)程來(lái)完成，通過(guò)習(xí)題理解定義，掌握方法，探討數(shù)學(xué)中的哲理，從書(shū)本中來(lái)，到生活中去，再體會(huì)書(shū)中知識(shí)。力求學(xué)以致用。 第2章 均值方差分析第2章 均值方差分析1.1.兩種證券投資組合的均值兩種證券

11、投資組合的均值- -方差方差2.2.均值均值- -方差分析及兩基金分離定理方差分析及兩基金分離定理本章內(nèi)容概覽本章內(nèi)容概覽3.3.具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均值具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均值- -方差分析方差分析0.0.證券投資組合理論概述證券投資組合理論概述n 投資組合理論形成 馬柯維茲(Harry Markowitz)1952年在 Journal of Finance發(fā)表了論文資產(chǎn)組合的選擇，標(biāo)志著現(xiàn)代投資理論發(fā)展的開(kāi)端。第第0節(jié)證券投資組合理論概述節(jié)證券投資組合理論概述 馬科維茨1927年8月出生，在芝加哥大學(xué)讀經(jīng)濟(jì)系。在研究生期間參加了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)會(huì)的證券市場(chǎng)研究工作。馬科維茨認(rèn)為投資者并不簡(jiǎn)單地選內(nèi)在價(jià)值

12、最大的股票，而不僅要考慮收益，還擔(dān)心風(fēng)險(xiǎn)，分散投資是為了分散風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)時(shí)主流意見(jiàn)是集中投資。 馬克維茨運(yùn)用線性規(guī)劃來(lái)處理收益與風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)衡問(wèn)題，給出了選擇最佳資產(chǎn)組合的方法，完成了論文，1959年出版了專(zhuān)著，不僅分析了分散投資的重要性，還給出了如何進(jìn)行正確的分散方法。 馬的貢獻(xiàn)是開(kāi)創(chuàng)了在不確定性條件下理性投資者進(jìn)行資產(chǎn)組合投資的理論和方法，第一次采用定量的方法證明了分散投資的優(yōu)點(diǎn)。他用數(shù)學(xué)中的均值方差，使人們按照自己的偏好，精確地選擇一個(gè)確定風(fēng)險(xiǎn)下能提供最大收益的資產(chǎn)組合。獲1990年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。投資過(guò)程n投資過(guò)程的兩個(gè)重要任務(wù)： 進(jìn)行證券分析和市場(chǎng)分析：評(píng)估所有可能投資工具的風(fēng)險(xiǎn)和期望回報(bào)率

13、特性 在對(duì)證券市場(chǎng)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，投資者確定最優(yōu)的證券組合：從可行的投資組合中確定最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)-回報(bào)機(jī)會(huì)，然后決定最優(yōu)的證券組合最優(yōu)投資組合理論n選擇的目標(biāo)：使得均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上無(wú)差異曲線的效用盡可能的大n選擇的對(duì)象：均值 -標(biāo)準(zhǔn)差平面上的可行集n 投資組合理論的假設(shè)條件投資者遵循效用最大化原則；投資期為1期；投資者是風(fēng)險(xiǎn)回避者；投資者根據(jù)均值、方差及協(xié)方差來(lái)選擇最佳投資組合；市場(chǎng)是完善的； 投資組合的過(guò)程 資本配置 整個(gè)資產(chǎn)中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的配置比例 資產(chǎn)配置 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的投資決策，兩種和更多風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)如何組合 找到證券組合的有效前沿，與投資者效用函數(shù)相切獲得最優(yōu)投資組合投資組合

14、理論的基本思想投資組合是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)與收益的 權(quán)衡問(wèn)題，此外投資組合通過(guò)分散化的投資來(lái)對(duì)沖掉一部分風(fēng)險(xiǎn)?！皀othing ventured, nothing gained”for a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk level to maximize the return“Dont put all eggs into one basket”實(shí)現(xiàn)方法q收益證券組合的期望報(bào)酬q風(fēng)險(xiǎn)證券組合的方差q風(fēng)險(xiǎn)和收益的權(quán)衡求解二次規(guī)劃第第1節(jié)節(jié) 兩種證券投資組合的均值兩種證券投資組合的均值-方差方

15、差1.1 投資組合投資組合設(shè)有兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)證券，設(shè)有兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)證券， 記為記為A和和B， AAw=購(gòu)買(mǎi)（或賣(mài)空）證券 金額投資于兩種證券自有金額1ABww+=滿(mǎn)足注：權(quán)重為正數(shù)，意味著投資者買(mǎi)入該資產(chǎn)。注：權(quán)重為正數(shù)，意味著投資者買(mǎi)入該資產(chǎn)。如果是賣(mài)空，投資于資產(chǎn)的權(quán)重是負(fù)數(shù)。如果是賣(mài)空，投資于資產(chǎn)的權(quán)重是負(fù)數(shù)。 例如：假設(shè)你借例如：假設(shè)你借100股某公司的股票，市場(chǎng)價(jià)格為股某公司的股票，市場(chǎng)價(jià)格為10元，元，那么將股票賣(mài)出，可獲得那么將股票賣(mài)出，可獲得1000元現(xiàn)金。一段時(shí)間元現(xiàn)金。一段時(shí)間之后，該股票的價(jià)格之后，該股票的價(jià)格5元，你在市場(chǎng)上購(gòu)買(mǎi)元，你在市場(chǎng)上購(gòu)買(mǎi)100股，股，支付現(xiàn)金支付

16、現(xiàn)金500，兩者之間的差額為，兩者之間的差額為500元，你可以獲利。元，你可以獲利。舉例說(shuō)明舉例說(shuō)明 1.如果你有資金如果你有資金1000元，投資于證券的金額元，投資于證券的金額為為400元，投資于證券的金額為元，投資于證券的金額為600元，元， 4006000.4,0.610001000ABww=則有則有1ABw滿(mǎn)足w +=舉例說(shuō)明舉例說(shuō)明2.假設(shè)你有資金假設(shè)你有資金1000元，賣(mài)空證券獲現(xiàn)金元，賣(mài)空證券獲現(xiàn)金600元，共有元，共有1600元，投資于證券，于是元，投資于證券，于是16001.61000Aw=對(duì)于資產(chǎn)對(duì)于資產(chǎn) 6000.61000Bw-= -1ABww+=則有則有投資組合的期望

17、收益與方差投資組合的期望收益與方差 設(shè)證券設(shè)證券A的收益率為的收益率為RA，證券，證券B的收益率的收益率RB是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量， 假設(shè)我們已知假設(shè)我們已知RA和和RB的概率分布，的概率分布， 稱(chēng)稱(chēng)(ABE RE RA)和)分別為證券 和證券B的期望收益。投資組合的期望收益與方差投資組合的期望收益與方差(),TABww設(shè)w是一投資組合，=AABBRw Rw R投資組合的收益率為w=+則期望收益()()()(1)AABBE Rw E Rw E Rw=+投資組合的期望收益與方差投資組合的期望收益與方差( )2BBRRs證券B收益率的方差記為，( )2AAARRs證券 收益率的方差記為，w則投資組

18、合 的方差( )( )()( )( )()222222222()2cov, =2cov, (2) wAABBABABAABBABABRwRwRw wRRwRwRRRsssssr=+例2.1例2.1（續(xù)）例2.2例2.2（續(xù)）例2.31.2 聯(lián)合線聯(lián)合線假設(shè)假設(shè)0.10,0.050.040.10AABBE RRE RR，由式（由式（1）0.1010.04(3)wAAERww（1）假設(shè)）假設(shè) AR和和BR不相關(guān)，不相關(guān)， 0AB由式（由式（2）1222220.0510.10(4)wAARww設(shè)自有資金設(shè)自有資金1000元，元， 賣(mài)空證券收入為賣(mài)空證券收入為500元，元， 將這兩種資金將這兩種資金(

19、共共1500元元)投資于證券投資于證券， 計(jì)算得計(jì)算得1.50,0.50ABww 代入式（代入式（3）和式（）和式（4）得）得1222221.50 0.100.5 0.050.500.100.09wwE RR 表表2.1 不同投資組合的期望收益和收益標(biāo)準(zhǔn)差不同投資組合的期望收益和收益標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)wwE RwR1.500.1300.0900.750.0850.0450.500.0700.0560.250.0550.076-0.50.0100.152利用上述表格中的數(shù)據(jù)在利用上述表格中的數(shù)據(jù)在 ,wwRE R的坐標(biāo)系之下畫(huà)出一條曲線的坐標(biāo)系之下畫(huà)出一條曲線稱(chēng)為證券稱(chēng)為證券A和證券

20、和證券B的聯(lián)合線（結(jié)合線）。的聯(lián)合線（結(jié)合線）。聯(lián)合線聯(lián)合線024681012141618()wR24681012141.00AAw 0.75Aw 0.50Aw 0.25Aw 0Aw 0.5Aw ()AR()BR()AE R()BE R圖圖2.1 證券證券A和和B的收益率完全不相關(guān)時(shí)的聯(lián)合線的收益率完全不相關(guān)時(shí)的聯(lián)合線賣(mài)空B投資于A同時(shí)投資于A和B 賣(mài)空A投資于BB假設(shè)相關(guān)系數(shù)不為零，假設(shè)相關(guān)系數(shù)不為零，（2） 假設(shè)假設(shè)RA和和RB完全正相關(guān)完全正相關(guān),在（在（RA，RB）坐標(biāo)系內(nèi)，）坐標(biāo)系內(nèi)，是一條斜率為正的一條直線，即是一條斜率為正的一條直線，即01101.5BARaa Ra（）如果如果2

21、BARR是（）的 倍，12a 即。0102BAAE Raa E RaE R（）（）（）1AB ，0.10,0.04ABE RE R將代入，00.16a 得。10%20%30%40%ARBR10%20%30%010%20%圖圖2.2 證券證券A和證券和證券B收益率完全正相關(guān)時(shí)的示意圖收益率完全正相關(guān)時(shí)的示意圖當(dāng)當(dāng)RA和和RB完全正相關(guān)時(shí)，相關(guān)系數(shù)完全正相關(guān)時(shí)，相關(guān)系數(shù)1AB ，由式由式(3.1.2)， 1 0.0510.1 0.1 0.05wAAABAAARwRwRwww()()()()(1) ()wAABBAAABE RwERw E Rw E RwE R表表2.2 不同不同wA值的期望收益率和

22、收益率標(biāo)準(zhǔn)差值的期望收益率和收益率標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)wwE RwR3.000.2200.05002.000.1600.00001.500.1300.02500.750.0850.06250.500.0700.07500.250.0550.0875-0.50.0100.12501612142.00Aw 1.50Aw ()wE R()wR正相關(guān)時(shí)的聯(lián)合線正相關(guān)時(shí)的聯(lián)合線（3） 假設(shè)假設(shè)RA和和RB完全負(fù)相關(guān)完全負(fù)相關(guān),在（在（RB，RA）坐標(biāo)系內(nèi)，）坐標(biāo)系內(nèi)，是一條斜率為負(fù)的一條直線，即是一條斜率為負(fù)的一條直線，即0110BARaa Ra0.050.04ABRR由和（），00.042.00 0.10a得得解

23、得解得00.24a 1AB ，于是得此直線的方程為于是得此直線的方程為 0.2427BARR（ ）30%20%10%10%20%30%40%ARBR圖圖2.3 證券證券A和證券和證券B收益率完全負(fù)相關(guān)情況下的示意圖收益率完全負(fù)相關(guān)情況下的示意圖當(dāng)當(dāng)RA和和RB完全負(fù)相關(guān)時(shí)，完全負(fù)相關(guān)時(shí)， 相關(guān)系數(shù)為相關(guān)系數(shù)為-1， 此時(shí)此時(shí)( )( ) () ( )1wAAABRwRwRsss=-Aw( )wE R( )wRs 3.000.2200.35002.000.1600.20001.500.1300.12500.6670.0800.00000.2500.0550.0850-0.500.0100.175

24、0表表2.3 不同不同wA值的收益率期望和標(biāo)準(zhǔn)差值的收益率期望和標(biāo)準(zhǔn)差62481012141602468101214()wE R()wRs18完全負(fù)相關(guān)的情況完全負(fù)相關(guān)的情況62481012141602468101214()wE R()wRs181ABr=0ABr=1ABr= -圖圖2.4 3種不同情況下的聯(lián)合線種不同情況下的聯(lián)合線1.3 兩種投資組合均值兩種投資組合均值-方差分析方差分析設(shè)有兩種證券設(shè)有兩種證券A和和B， 證券證券A的期望收益記為的期望收益記為 ,Am證券證券B的期望收益記為的期望收益記為 ,Bm設(shè)設(shè)ABmm。設(shè)投資于證券設(shè)投資于證券A的資金權(quán)重為的資金權(quán)重為 Aw ，投資于

25、證券投資于證券B的權(quán)重記為的權(quán)重記為 Bw滿(mǎn)足滿(mǎn)足19ABww（ ）+=投資組合投資組合 (),TABwww=的期望收益記為的期望收益記為 wm，則有則有10AABBwww（ ）mmm+=投資組合的收益率投資組合的收益率 wAABBRw Rw R=+的方差的方差 22222211wAAABABBBww ww（ ）ssss=+,wBwAABABBAwwmmmmmmmm-=-由式由式(9)和式和式(10)解得解得代入式代入式(10)，得，得()()()2222222+wAwBwBwAwAABBABABABmmmmmmmmssssmmmmmm驏驏-鼢瓏鼢=-瓏鼢瓏鼢瓏-桫桫-整理后，可得整理后，可得

26、()()()()()2222222222212AwBABwAABABwAwAAB（ ）smmsmms ssmmssmm輊-+-犏臌=-1.3 兩種投資組合均值兩種投資組合均值-方差分析方差分析若若RA和和RB不完全相關(guān)，不完全相關(guān)， 則則2220,ABABs ss-于是式于是式(12) 的右端作為的右端作為 wm的二次函數(shù)恒大于零，的二次函數(shù)恒大于零， 可以寫(xiě)成可以寫(xiě)成 ()2wabcm-+的形式。的形式。 代入式（代入式（12），得），得()22 0(13)wwabcac，sm-=易見(jiàn)方程易見(jiàn)方程(13)在在 (),wwsm平面上的圖形是雙曲線，平面上的圖形是雙曲線， 由于由于 0,wm它只

27、有開(kāi)口向右的一支。它只有開(kāi)口向右的一支。 1.3 兩種投資組合均值兩種投資組合均值-方差分析方差分析（1）若）若RA和和RB完全正相關(guān)，完全正相關(guān)， ()()()222(14)AwBBwAwABsmmsmmsmm輊-臌=-可見(jiàn)方程可見(jiàn)方程(14)的圖形是從的圖形是從 ()0,ABBAABs ms mss驏-桫出發(fā)的兩條射線，出發(fā)的兩條射線， 其中的一條是其中的一條是 ()(),0(15)AwBBwAwwABsmmsmmssmm-=-1.3 兩種投資組合均值兩種投資組合均值-方差分析方差分析另一條是另一條是()()0(16)AwBBwAwwABsmmsmmssmm-+-=-（2）如果）如果RA和

28、和RB完全負(fù)相關(guān)，完全負(fù)相關(guān)， 此時(shí)此時(shí) ABABss s= -()()()()2222(17)AwBBwAwAABBABsmmsmmss ws wmm輊-+-臌=-=-也是兩條射線，也是兩條射線， 這兩條射線從這兩條射線從 ()0,ABBAABs ms mss驏+桫出發(fā)指向右方，出發(fā)指向右方， 1.3 兩種投資組合均值兩種投資組合均值-方差分析方差分析其中一條通過(guò)點(diǎn)其中一條通過(guò)點(diǎn) (),AAsm其方程為其方程為 ()()0(18)AwBBwAwwABsmmsmmssmm-+-=-另一條通過(guò)點(diǎn)另一條通過(guò)點(diǎn) (),BBsm其方程為其方程為 ()()0(19)BwAAwBwwBAsmmsmmssm

29、m-+-=-1.3 兩種投資組合均值兩種投資組合均值-方差分析方差分析（3）如果）如果RA和和RB無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)， 此時(shí)此時(shí)方程方程(12)變?yōu)樽優(yōu)?0ABs=()()()2222222()()(20)BwAAwBwAABBABwsmmsmmsss wmm-+-=-=-方程方程(20)是一條經(jīng)過(guò)是一條經(jīng)過(guò) (),AAsm和和(),BBsm的雙曲線的雙曲線 ，其頂點(diǎn)為其頂點(diǎn)為 ()()()22222222,ABBAABABABm sm ss sssss驏+桫。對(duì)應(yīng)于此頂點(diǎn)的投資組合，方差最小，對(duì)應(yīng)于此頂點(diǎn)的投資組合，方差最小， 其方差其方差 ()222222min,ABABABs sssss所以所以

30、()dwE R與與()swE R之差的符號(hào)取決于之差的符號(hào)取決于A的符號(hào)。的符號(hào)。 （1）如果全局最小方差的資產(chǎn)組合的收益率為正，則）如果全局最小方差的資產(chǎn)組合的收益率為正，則 0A 0,Adw在相應(yīng)的雙曲線的上半葉上。在相應(yīng)的雙曲線的上半葉上。 （2）如果）如果 0,A ，由方程(3.4.16)確定的在空間內(nèi)的一條直線稱(chēng)為資本市場(chǎng)線。3.4.8 資本市場(chǎng)線()wE Rw)()(fwwwfwRRERREMMfR0圖3.9 資本市場(chǎng)線3.4.8 資本市場(chǎng)線資本市場(chǎng)線是證券市場(chǎng)線的特例，事實(shí)上在證券市場(chǎng)線中 )(),(MwwMwRRRCovM(1)MwfwRRR將代入得22(,)(1),3.4.1

31、7MMMMMwwfwwMwwwCov RRCovRRR（）0所以我們假設(shè)時(shí)，MMwww有。此時(shí)，證券市場(chǎng)線就是資本市場(chǎng)線。3.4.9 利用CAPM定價(jià)nCAPM給出了任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的超額收益率和市場(chǎng)給出了任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的超額收益率和市場(chǎng)組合超額收益率之間的關(guān)系，如果市場(chǎng)組合為已組合超額收益率之間的關(guān)系，如果市場(chǎng)組合為已知，相應(yīng)的系數(shù)為已知，就可求出風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的超知，相應(yīng)的系數(shù)為已知，就可求出風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的超額收益率，而無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率為已知的常數(shù)，額收益率，而無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率為已知的常數(shù)，就可確定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率，如果我們可以估計(jì)就可確定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率，如果我們可以估計(jì)出投資期結(jié)束時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)

32、格，那么我們就出投資期結(jié)束時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格，那么我們就可確定當(dāng)前風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格，這可是資本資產(chǎn)定可確定當(dāng)前風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格，這可是資本資產(chǎn)定價(jià)問(wèn)題所要解決的問(wèn)題，所以?xún)r(jià)問(wèn)題所要解決的問(wèn)題，所以CAPM可以用于未可以用于未來(lái)收益率為已知的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)格。來(lái)收益率為已知的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)格。 3.4.9 利用CAPM定價(jià)1 iiP設(shè)市場(chǎng)上第 種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在期末的價(jià)格為 ，0iP期初的價(jià)格為，100iiiiPPRP則，因此可得110()3.4.1811()iiiiiPE PPRE R（）由（3.4.6a）,我們得到fwMifiRXERREM)()(3.4.9 利用CAPM定價(jià)()iE R將代入

33、得10()3.4.191( ()iMiifMwfE PPRE RR（）2(,)()MiiwMMCov R RR這里。1 iP如果 的分布已知，市場(chǎng)組合收益率為分布已知，就可以確定出第i種資產(chǎn)當(dāng)前的價(jià)格。例3.63.5 單指數(shù)模型單指數(shù)模型的定義 ; ;jjjmjkkkkkRRRR假定所有證券的收益率都受市場(chǎng)組合的影響，每個(gè)證券的波動(dòng)都是由市場(chǎng)組合收益率的波動(dòng)引起的，即假設(shè)這樣任意兩個(gè)證券之間的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為他們各自與市場(chǎng)組合關(guān)系的合成，利用市場(chǎng)組合可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。這種方法建立的模型稱(chēng)為單指數(shù)模型。單指數(shù)模型的假定單指數(shù)模型的假定1(,)0jkCov（）0)(iE2( )0iE（ ）3(,)0j

34、mCov（ ）有關(guān)單指數(shù)模型的公式有關(guān)單指數(shù)模型的公式21)jkjkm （證明：證明：),(),(kmkkjmjjkjjkRRCovRRCov),(),(kmkkmjkmkkjRRCovRCov),(kmkkjRCov而(,)(,)(,)(,)jmkkmkjmkjmkmjmkCovRRCovRCovRRCovR有關(guān)單指數(shù)模型的公式有關(guān)單指數(shù)模型的公式k因?yàn)槭浅?shù)，所以(,)0.jmkCovR3(,)0jmkCovR由假設(shè)（ ），所以2),(),(mkjmkmjkmkkmjRRCovRRCov類(lèi)似可證(,)0jkkmkCovR (,)0jkkmkCovR 于是得到23.5.4jkjkm （）有關(guān)

35、單指數(shù)模型的公式有關(guān)單指數(shù)模型的公式222222(2()()()()jjmjjmjRR ）),(),()(2jmjjjmjjjjjRRCovRRCovR證明),(2)()()(222mjjjmjjRCovR2(,)2(,)jmjjjCovRCov根據(jù)方差和協(xié)方差的性質(zhì)以及假設(shè)（1），（2），（3），得出：有關(guān)單指數(shù)模型的公式有關(guān)單指數(shù)模型的公式0)(2j0),(mjjRCov0),(jmjRCov0),(jjCov所以)()()()(222222jmjjmjjRR證券組合收益率方差的單指數(shù)模型證券組合收益率方差的單指數(shù)模型 )()(2222wmwwR)()(2122jnjjww其中證明證明nj

36、nkjkkjwwwR112)(jkkjkjjnjjwwRw2)(212證券組合收益率方差的單指數(shù)模型證券組合收益率方差的單指數(shù)模型2222122)(mkjkjkjjmjnjjwwwnjjjmkjkjkjjnjjwwww122221)(2)(njjjmjnjjww122221)(令1nwjjjw，2221()()nwjjjw，則2222()()3.5.6wwmwR （）證券組合收益率方差的單指數(shù)模型證券組合收益率方差的單指數(shù)模型1nwjjjw由，可得),()(112kjnjnkkjwCovww因此，根據(jù)單指數(shù)模型的假定， 的協(xié)方差矩陣為)(000)(000)(22212n證券組合收益率方差的單指數(shù)模型證券組合收益率方差的單指數(shù)模型121nwwwn如果，則nijwn1222)(1)(22()j如果為常數(shù)，j=1,2, ,n,22()wn則投資組合的風(fēng)險(xiǎn)為。市場(chǎng)組合收益率方差的單指數(shù)模型市場(chǎng)組合收益率方差的單指數(shù)模型)(212222iniMimmmw2221( )nmMiiiw證明假如我們選擇的投資組合就是市場(chǎng)組合，那么該組合的 系數(shù)為nMnMMmwww221122221),