第4章 機(jī)電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程及其解法

1、第四章機(jī)電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程及其解法 研究機(jī)電系統(tǒng)（包含機(jī)電裝置）的特性，通常包含三個(gè)論題(l)對(duì)系統(tǒng)的物理分析：(2)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程（以F簡(jiǎn)稱運(yùn)動(dòng)方程）的建立；(3)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程的求解第一、二章針對(duì)機(jī)電裝置論述了第一個(gè)論題。本章將論述后兩個(gè)論題，重點(diǎn)闡明能導(dǎo)出機(jī)電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的拉格朗日方程，運(yùn)動(dòng)方程求解的概貌，以及部分常用的求解方法41建立機(jī)電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的兩種方法機(jī)電系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程包括若干個(gè)電路的電壓平瘴方程和機(jī)械系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩（或力）平衡方程。 參見(jiàn)式（2-1）式(2-4)，應(yīng)甩電學(xué)、力學(xué)的基本定律寫(xiě)出機(jī)電系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的電壓平衡方程和轉(zhuǎn)矩（力）平衡方程，前者比靜止電路多一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)電動(dòng)勢(shì)，后者比純機(jī)

2、械系統(tǒng)多一項(xiàng)電磁轉(zhuǎn)矩（力），合在一起多出一對(duì)機(jī)電耦臺(tái)項(xiàng)。因而，加以按電磁感應(yīng)定律導(dǎo)出的運(yùn)動(dòng)電動(dòng)勢(shì)表達(dá)式，以及應(yīng)用虛位移原理導(dǎo)出的電磁轉(zhuǎn)矩（力）表達(dá)式，把電與機(jī)械兩方的量及其方程聯(lián)系在一起，就構(gòu)成完整的機(jī)電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。這種建立運(yùn)動(dòng)方程的方法是把處在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的機(jī)電系統(tǒng)作為動(dòng)態(tài)耦合電路來(lái)看待，故稱為動(dòng)態(tài)耦合電路法。這也是電機(jī)學(xué)中常用的方法。 在學(xué)過(guò)機(jī)電類比以后，我們有可能設(shè)想：可以不去區(qū)別機(jī)、電對(duì)量的物理含義和和符號(hào)，而統(tǒng)一用任一方（如電系統(tǒng)物理量的符號(hào)來(lái)表示另一方的對(duì)應(yīng)量；同時(shí)考慮到，保守系統(tǒng)中的力與電壓都可以表示為儲(chǔ)能的函數(shù)，因而使用某個(gè)特定的能量函數(shù)來(lái)建立一個(gè)普遍的方程-拉格朗日方程，即通過(guò)

3、機(jī)電系統(tǒng)的某個(gè)特定的能量函數(shù)的積分求極值來(lái)導(dǎo)出它的運(yùn)動(dòng)方程。這種方法稱為變分原理法。一般說(shuō)來(lái)，建立機(jī)電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的方法就是上述兩種。動(dòng)態(tài)耦合電路法列的運(yùn)動(dòng)方程是一組關(guān)于系統(tǒng)微增變化的方程，是以“微分原理”作為出發(fā)點(diǎn)，而變分原理法是以聯(lián)系機(jī)電系統(tǒng)總體運(yùn)動(dòng)的“積分原理”作為出發(fā)點(diǎn)。普遍認(rèn)為動(dòng)態(tài)耦合電路法的物理意義比較清楚，易于理解，但對(duì)多變量的機(jī)電系統(tǒng)，需要有較高的見(jiàn)解和判斷力才能寫(xiě)出它的運(yùn)動(dòng)方程；變分愿理法應(yīng)用拉格朗日方程可以機(jī)械地導(dǎo)出機(jī)電系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，并能自動(dòng)導(dǎo)出機(jī)電耦合項(xiàng)，步驟比較單一和系統(tǒng)化，在解決較復(fù)雜系統(tǒng)的難題時(shí)發(fā)揮了明顯作用，已成為動(dòng)力學(xué)中一種很有效的技術(shù)。它的缺點(diǎn)是應(yīng)用較多數(shù)學(xué)

4、，較難洞察物理過(guò)程，而機(jī)械處理問(wèn)題的方法又往往使人忽視問(wèn)題的物理意義。42拉格朗日方程 同一個(gè)機(jī)電系統(tǒng)，應(yīng)用動(dòng)態(tài)耦臺(tái)電路法和變分原理法導(dǎo)出的運(yùn)動(dòng)方程完全一樣。當(dāng)某一機(jī)電系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程用一種方法導(dǎo)出后，便能由此推導(dǎo)出另一種方法。因此我們?nèi)蓚€(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例，用動(dòng)態(tài)耦合電路法列出運(yùn)動(dòng)方程來(lái)導(dǎo)出拉格朗日方程，使我們一開(kāi)始就能從物理概念上理解拉格朗日方程，然后才對(duì)它作普遍性的解釋。一、保守彈簧振子系統(tǒng)的拉格朗日方程設(shè)一理想的沒(méi)有外力和損耗的彈簧振子系統(tǒng)如圖4-1所示。振子的質(zhì)量為m，彈簧的剛性系數(shù)為K。以系統(tǒng)靜止時(shí)振子的中心為水平位移x的原點(diǎn)。若加外力使振子沿x方向到某一位移后外力消失，則振子在彈簧力的作

5、用下將在x方向作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。其運(yùn)動(dòng)方程是彈簧彈力fx=kx與振子慣性力的平衡式，即 （4-1） 這保守系統(tǒng)包含的動(dòng)能T和位能V分別為 （4-2） （4-3） 圖4-1 彈簧振子系統(tǒng)設(shè)想用能量的函數(shù)來(lái)表示運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的力，則 （4-4） （4-5） 上兩式表明慣性力僅與系統(tǒng)的動(dòng)能有關(guān)，而彈力僅與系統(tǒng)的位能有關(guān)。把這兩式代入式（4-1），得 令特定的能量函數(shù)=系統(tǒng)動(dòng)能T系統(tǒng)位能V則上式可化為 (4-6)這式就是一個(gè)保守系統(tǒng)的拉格朗日方程，其中掣稱為拉格朗日函數(shù)，是系統(tǒng)的一個(gè)能量函數(shù)，也是系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)函數(shù)，故又稱拉格朗日狀態(tài)函數(shù)。二、單邊激勵(lì)機(jī)電裝置的拉格朗日方程非保守的機(jī)電系統(tǒng)以單邊激勵(lì)機(jī)電裝置圖1

6、-4所示電磁鐵為例，重畫(huà)如圖4-2參照式（1-6），其電路的電壓平衡方程為 (4-7) 圖4-2電磁鐵設(shè)通電的銜鐵位移x =0，則通電后具有質(zhì)量m，剛性系數(shù)K和阻力系數(shù)Rv的銜鐵系統(tǒng)，在電磁力作用下力的平衡方程為 (4-8)整個(gè)裝置的能量除電源輸入電能外，有： (4-9)采用f-e類比，磁能為電磁系統(tǒng)的廣義功能，對(duì)應(yīng)的磁共能為廣義動(dòng)共能。此外，裝置還有機(jī)械損耗和電阻損耗，損耗通常引用損耗函數(shù)F來(lái)反映，各項(xiàng)F的大小等于所對(duì)應(yīng)損耗的一半，參看表33第二橫欄，可得 (4-10)根據(jù)以上兩組式子，運(yùn)動(dòng)方程中各項(xiàng)力和電壓可用能量的函數(shù)表達(dá)如下：用以上各分式的關(guān)系代換運(yùn)動(dòng)方程式(47) 和式(48)中的各

7、項(xiàng)，可得 再對(duì)機(jī)械系統(tǒng)也引用動(dòng)共能，它與動(dòng)能相等。由此得裝置的總動(dòng)能T=Wm+Tme,總動(dòng)共能T+Tme而本例的總位能V=Vmec。將上式中損耗函數(shù)統(tǒng)一用總損耗函數(shù)取代，其它的能量函數(shù)統(tǒng)一用拉格朗日函數(shù)=總動(dòng)共能T總位能V取代。并且q、x等都用廣義坐標(biāo)q代表； 等都用廣義速度代表；外加的u，f等都用外來(lái)廣義驅(qū)動(dòng)力Q代表。至此，式(4-12)的兩個(gè)分式就可用統(tǒng)一形式的方程表示如下：擴(kuò)展k =1，2，N，則這式就是一般的非保守系統(tǒng)拉格朗日方程，它對(duì)機(jī)電以外的其它很多物理系統(tǒng)也普遍適用。 對(duì)線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的總動(dòng)共能與總動(dòng)能相等，則拉格朗日函數(shù)=T- V=T-V。 對(duì)保守系統(tǒng)，總損耗函數(shù)F=0和外來(lái)廣

8、義驅(qū)動(dòng)力Qk=0，則拉格朗日方程簡(jiǎn)化到與實(shí)例一的式( 4-6)一致，即 三、關(guān)于拉格朗日方程的普遍性解釋 一般的非保守系統(tǒng)拉格朗日方程為式中，廣義坐標(biāo)qk=qk(t)是時(shí)間的函數(shù)；N為廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)，也即運(yùn)動(dòng)方程式的個(gè)數(shù)。方程前兩項(xiàng)是保守力： 為廣義慣性力；為廣義慣性力以外的保守力，包含廣義彈力和電磁力等。后兩項(xiàng)是非保守力： 是對(duì)應(yīng)損耗的廣義阻力，又稱損耗力，其中Rk是代表電阻R、機(jī)械阻力系數(shù)Rv等的廣義損耗系數(shù)；Qk=Qk(t)為外來(lái)廣義驅(qū)功力。方程的實(shí)際含義是系統(tǒng)在動(dòng)力平衡時(shí)，作用在每一廣義坐標(biāo)上的廣義力總和等于零。 由于應(yīng)用拉格朗日方程來(lái)導(dǎo)出機(jī)電系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，其關(guān)鍵在于選擇廣義坐標(biāo)，明確

9、拉格朗日函數(shù)，因而進(jìn)一步闡明如下。 1廣義坐標(biāo)時(shí)選擇 一般地說(shuō)，描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間的位置需要三個(gè)坐標(biāo)，描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間中運(yùn)動(dòng)的即時(shí)狀態(tài)需要三個(gè)坐標(biāo)及其三個(gè)速度。但實(shí)際上，各質(zhì)點(diǎn)（或元件）的位置和速度常受到幾何的或運(yùn)動(dòng)的約束，使每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的自由度和獨(dú)立坐標(biāo)都小于三個(gè)如圖4-3所示的單擺，擺長(zhǎng)l定，即擺錘空間位置的約束條件為z=0和x2+y2=l2因此描述單擺即時(shí)狀態(tài)的獨(dú)立變量只需要一個(gè)坐標(biāo)和一個(gè)速度，如和就夠了。同理，描述動(dòng)力系統(tǒng)的即時(shí)狀態(tài)需要若干對(duì)坐標(biāo)和它對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)速度。對(duì)一個(gè)有約束的s個(gè)質(zhì)點(diǎn)（或元件）所組成的系統(tǒng)，它的自由度或獨(dú)立坐標(biāo)一定小于3s個(gè)因而分析系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)（或元件）的個(gè)數(shù)和約束條

10、件，判定系統(tǒng)的自由度，選擇出不多不少的能獨(dú)立變化的坐標(biāo)，才是拉格朗日方程中的廣義坐標(biāo)（在完整約束系統(tǒng)中，廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)就是系統(tǒng)的自由度數(shù)）。設(shè)一個(gè)機(jī)電系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)有電的n個(gè)，機(jī)械的m個(gè)，共n+m=N個(gè)，表示為qk，其中k=1，2，N（以下對(duì)k值常省去此說(shuō)明）。則相應(yīng)的廣義速度 也有N個(gè)。系統(tǒng)的即時(shí)狀態(tài)就取決于N對(duì)qk和 的即時(shí)值。因而廣義坐標(biāo)qk和廣義速兩者就是系統(tǒng)的動(dòng)力變量。有時(shí)還使用廣義動(dòng)量pk來(lái)取代廣義速度，即由廣義坐標(biāo)qk和廣義動(dòng)量pk組成系統(tǒng)的動(dòng)力變量，來(lái)描述動(dòng)力系統(tǒng)的即時(shí)狀態(tài)。表4-1列出了機(jī)電系統(tǒng)中通常選用的動(dòng)力變量。其機(jī)電對(duì)應(yīng)關(guān)系采用f-e類比。表4-1 機(jī)電系統(tǒng)的動(dòng)力變量動(dòng)

11、力變量機(jī)械系統(tǒng)電系統(tǒng)平移運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)廣義坐標(biāo)qk位移xk角位移電荷qk廣義速度 速度 角速度電流ik廣義動(dòng)量pk動(dòng)量pk角動(dòng)量pk磁鏈k 2拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)定義表達(dá)式為 =T V (4-6) 按表4l選用動(dòng)力變量，機(jī)電系統(tǒng)的總動(dòng)共能包含機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)能Tme。和電磁系統(tǒng)的磁共能Wm，即 其中 當(dāng)系統(tǒng)為線性時(shí)，磋共能與磁能相等，從而總動(dòng)共能與總動(dòng)能相等，得 T T=Tme+Wm (4-20)機(jī)電系統(tǒng)的總位能V=V(qk，t)包含機(jī)械系統(tǒng)的彈簧位能Vmec和電磁系統(tǒng)的電場(chǎng)能We，即 V=Vmec+We (4-22) 當(dāng)系統(tǒng)為線性時(shí)，電場(chǎng)能可簡(jiǎn)化為 可見(jiàn)，拉格朗日函數(shù)是廣義坐標(biāo)、廣義速度、時(shí)間

12、三者的函數(shù)，即 當(dāng)系統(tǒng)為線性時(shí)，拉格朗日函數(shù)就等于總動(dòng)能與總位能之差即最后還應(yīng)指出，動(dòng)力變量可有不同的選擇方案，相應(yīng)的系統(tǒng)的特定能量函數(shù)也可有不同的選擇方案，例如還有漢密爾登函數(shù)H，在穩(wěn)定的保守系統(tǒng)中它定義為系統(tǒng)的總動(dòng)能與總位能之和但對(duì)機(jī)電系統(tǒng)，通常都用拉格朗日函數(shù)。*4-3變分原理和拉格朗日方程的應(yīng)用條件一、由漢密爾登原理推導(dǎo)拉格朗日方程漢密爾登原理是一種積分形式的變分原理，是在一定時(shí)間內(nèi)從約束許可的一切可能運(yùn)動(dòng)中提供一條判斷真實(shí)運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)則具體可表述為：對(duì)完整約束的保守動(dòng)力系統(tǒng)，作拉格朗日函數(shù)在時(shí)間t1和t2之間的積分函數(shù)泛函I，即則系統(tǒng)從t1狀態(tài)到t2狀態(tài)的一切可能運(yùn)動(dòng)中，只有真實(shí)運(yùn)動(dòng)的泛

13、函I具有極值。 在數(shù)學(xué)上，泛函取得極值的必要條件是泛函的變分為零。所讎漢密爾登原理還可表述為：對(duì)完整約束的保守系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)而言，泛函I的變分為零，于是，動(dòng)力學(xué)的基本方程概括為最簡(jiǎn)潔的形式，即 函數(shù)的變分是假定自變量不變，僅由于函數(shù)本身形式的改變而得到的函數(shù)的任意改變量。對(duì)于，自變量是t，則設(shè)t不變，使N個(gè)廣義坐標(biāo)分別有變分，并在始點(diǎn)( t =t1)和終點(diǎn)(t=t2)上都有零值，即 這種不依賴于t的變分稱為不含時(shí)變分，變分運(yùn)算可以與對(duì)t的微分或積分變換運(yùn)算順序。因而，廣義速度的變分。由和引起的拉格期日函數(shù)改變量為 式中是的主要部分，它和是同階的微增量，稱為的一次變分，簡(jiǎn)稱為變分對(duì)泛函I的變分，

14、把變分號(hào)移到積分號(hào)內(nèi)，可得 將上式代入式( 4-34)，并考慮式(4-29)和式(4-30)，則得 因?yàn)?，是任意的，它們互不依賴，所以滿足上式的充分必要條件為 上式稱為N歐拉拉格朗日方程用在動(dòng)力系統(tǒng)中就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程如系統(tǒng)的被確定，該方程可給出系統(tǒng)真實(shí)運(yùn)動(dòng)的路線，即可導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。二、應(yīng)用拉格明日方程的鏨要條件系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)（或元件，下同）的位置和速度常受到幾何的和運(yùn)動(dòng)的約束幾何約束只限制質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，表現(xiàn)為坐標(biāo)的函數(shù)方程，如 f (x，y，z)=0和f (x，y，z，t)=0運(yùn)動(dòng)約束則不僅限制質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，而且還限制質(zhì)點(diǎn)速度的投影，運(yùn)動(dòng)約束方程中含有坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，如運(yùn)動(dòng)約束又分兩種

15、，一種可以通過(guò)積分轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀渭s束；另一種不能積分為幾何約束幾何約束和可積分的運(yùn)動(dòng)約束統(tǒng)稱為完整約束。凡是僅受完整約束的系統(tǒng)稱為完整約束系統(tǒng)，不可積分的運(yùn)動(dòng)約束稱為非完整約束。含有非完整約束的系統(tǒng)稱為非完整約束系統(tǒng)。由s個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的完整約束系統(tǒng)，假定受K個(gè)方程的約束。由于它的運(yùn)動(dòng)約束通過(guò)積分可轉(zhuǎn)化為幾何約束，K個(gè)約束都可表達(dá)成幾何約束方程，于是全部3s個(gè)坐標(biāo)中只有( 3sK)個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，其余K個(gè)坐標(biāo)可表達(dá)為(3S-K)個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)的函數(shù)。這( 3S-K)既是系統(tǒng)的自由度數(shù)，又是廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)，因?yàn)閯?dòng)力系統(tǒng)獨(dú)立的廣義坐標(biāo)變分的個(gè)數(shù)就是系統(tǒng)的自由度數(shù)，所以廣義坐標(biāo)的變分都互相獨(dú)立。在非完整約束系統(tǒng)內(nèi)，

16、至少有一個(gè)非完整約束方程不能轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀渭s束，對(duì)系統(tǒng)的坐標(biāo)沒(méi)有約束，于是只減少系統(tǒng)的自由度數(shù)，而不減少系統(tǒng)的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。所以非完整約束系統(tǒng)的自由度數(shù)小于廣義坐標(biāo)數(shù)，廣義坐標(biāo)的變分不是都獨(dú)立的。 由式( 4-36)得出式(4-37)的條件是廣義坐標(biāo)的變分全部互相獨(dú)立因而一般的拉格朗日方程只適用于完整約束系統(tǒng)，而不適用于非完整約束系統(tǒng)。 通常的電磁鐵、維電器、交流電機(jī)等都是完整約束系統(tǒng)，都可用拉格朗日方程導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程；但必須指出，換向器電機(jī)是非完整約束系統(tǒng)，因?yàn)閾Q向器繞組的軸線取決于電刷的位置，在空間是固定的，與繞組轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)。換向器繞組軸線的坐標(biāo)不反映其旋轉(zhuǎn)的真實(shí)情況，通常稱為準(zhǔn)坐標(biāo)，以區(qū)別于敏捷于

17、繞組本身的軸線的真坐標(biāo)。如用準(zhǔn)坐標(biāo)來(lái)表達(dá)拉格朗日函數(shù)和套用一般的拉格朗日方程，將產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果。4-4應(yīng)用拉格朗日方程建立機(jī)電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)用拉格朗日方程建立完整約束的機(jī)電系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，不僅是用能量觀點(diǎn)統(tǒng)一處理了機(jī)電雙方相互作用的運(yùn)動(dòng)規(guī)律問(wèn)題，而且方法單一，可以機(jī)械地求得運(yùn)動(dòng)方程并自動(dòng)導(dǎo)出機(jī)電耦合項(xiàng)，這一優(yōu)點(diǎn)是很可貴的。其推導(dǎo)步驟如下：(1)根據(jù)系統(tǒng)的約束條件，選擇廣義坐標(biāo)qk和廣義速度； (2)確定總損耗函數(shù)F或廣義損耗系數(shù)Rk：列出外來(lái)廣義驅(qū)動(dòng)力Qk； (3)用qk和表示系統(tǒng)的總動(dòng)共能T 和總位能V，并寫(xiě)出拉格朗日函數(shù)； (4)將以上結(jié)果代入拉格朗日方程式(4-15)；或代入方程的另一寫(xiě)

18、法如下：經(jīng)求導(dǎo)后即可得到N個(gè)運(yùn)動(dòng)方程式。 【例4-1】一電磁鐵如圖4-4所示。已知電壓為u，電阻為R線圈電感是L（x），正在提升質(zhì)量為m的動(dòng)鐵。不計(jì)動(dòng)鐵的運(yùn)動(dòng)阻力。試用拉格期日方程導(dǎo)出電磁鐵的運(yùn)動(dòng)方程?！窘狻侩姺矫媸菃芜吋?lì)，機(jī)械方面的動(dòng)鐵只在垂直方向運(yùn)動(dòng)，因此選擇電荷q和動(dòng)鐵的垂直位移x為廣義坐標(biāo)。設(shè)動(dòng)鐵通電前位移x=0，電磁鐵的動(dòng)力變量和外來(lái)廣義驅(qū)動(dòng)力列于表4-2（若不把重力mg作為外力處理，令Q2 =0，則考慮動(dòng)鐵有位能為mgx也可，讀者可自行驗(yàn)證）。表4-2點(diǎn)的k=1機(jī)械的k=2qkqxiQkumg總損耗函數(shù) F = 因L（x）僅是x的函數(shù)，磁路是線性的。因而總動(dòng)能 T=+總位能 V=

19、0抗拉格朗日函數(shù) = TV=+逐項(xiàng)帶入式（4-5）后求導(dǎo)，就可得電磁鐵的運(yùn)動(dòng)方程。先取k=1求激勵(lì)回路的電壓方程： 得 再取k = 2，求動(dòng)鐵的力平衡方程： 得 式（4-39）和式(4-40)即為本題所求。可見(jiàn)運(yùn)動(dòng)電動(dòng)勢(shì)和電磁力 這一對(duì)機(jī)電耦合項(xiàng)都自動(dòng)正確地從上述步驟導(dǎo)出。 圖4-5 例4-1的電機(jī)示意圖【例4-2】 一臺(tái)p對(duì)極隱極電動(dòng)機(jī)如圖4-5所示。i設(shè)罐路是線性的；定子單相繞組a，電阻為Rs，電感為L(zhǎng)s，電源電壓為ua（t），轉(zhuǎn)子兩相正交繞組b和c，各自短路，電阻Rb= Rc=Rr，電感Lb=Lc=Lr；定、轉(zhuǎn)子繞組的互感是a、b兩繞組軸線之間的機(jī)械角位移的函數(shù)，Lab=Lba=Mcos

20、 p；Lac=Lca=Msin p；轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，旋轉(zhuǎn)阻力系數(shù)為，轉(zhuǎn)軸上負(fù)載轉(zhuǎn)矩為T(mén)mec，不計(jì)軸的扭轉(zhuǎn)變形。試用拉格朗日方程導(dǎo)出電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程?！窘狻看_定電機(jī)的動(dòng)力變量，廣義損耗系數(shù)，以應(yīng)外來(lái)廣義驅(qū)動(dòng)力。列表如喪4-3所示。表4-3定子繞組aK=1轉(zhuǎn)子繞組bK=2轉(zhuǎn)子繞組cK=3機(jī)械轉(zhuǎn)子K=4qkqaqbqciaibicRkRaRrRcQkua(t)00Tmec 遙項(xiàng)代入式( 4-38)：k=l時(shí)，可導(dǎo)出定子繞組a的電壓方程，K=2時(shí)，可導(dǎo)出轉(zhuǎn)子繞組b的電壓方程，K=3時(shí)，可導(dǎo)出轉(zhuǎn)子繞組c的電壓方程，顯然，式( 4-41)、(4-42)(4-43)和(4-44)合起來(lái)就是電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)

21、方程。前三式中含有的項(xiàng)都是運(yùn)動(dòng)電動(dòng)勢(shì)，是后一式右邊那項(xiàng)就是電磁轉(zhuǎn)矩。4-5 機(jī)電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程解法概述要確定機(jī)電系統(tǒng)對(duì)給定激勵(lì)的響應(yīng)，分析其運(yùn)行特性，就要求其運(yùn)動(dòng)方程的解，至少要化解和判別出方程的特性。 機(jī)電系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，一般可分為以下三類：(l)常系數(shù)線性微分方程；(2)變系數(shù)線性微分方程；(3)非線性微分方程。一個(gè)微分方程為線性的充分必要條件是適用疊加原理和有均勻性。如式中t為自變量，f（t）為激勵(lì)函數(shù)，因變量x為響應(yīng)函數(shù)。若系數(shù)a1、a0為常量或t的函數(shù)，由于方程中x與其導(dǎo)數(shù)都不高于一次，可以證明方程適用疊加原理和有均勻性，這是一個(gè)兩階線性微分方程，其中a1、a0為常量的，叫常系數(shù)線性微

22、分方程；若a1、a0或其一為t的函數(shù)，叫變系數(shù)線性微分方程。 若方程中的因變量或其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)高于一次，或出現(xiàn)因變量與其導(dǎo)數(shù)的乘積項(xiàng)，則方程將不適用疊加原理，就是非線性微分方程。疊加原理不僅用來(lái)辨別方程是否線性，而且是線性微分方程求解的主要依據(jù)。如多個(gè)激勵(lì)時(shí)，可逐個(gè)解出單一激勵(lì)的響應(yīng)，然后把這些響應(yīng)疊加得總響應(yīng)。 機(jī)電系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程多數(shù)是非線性微分方程，其中除少數(shù)特殊情況外，現(xiàn)在還無(wú)通用的解析求解法。過(guò)去用的圖解法或手算數(shù)值解法，不但是近似的，而且相當(dāng)麻煩，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，使非線性微分方程可以采用模擬計(jì)算機(jī)仿真或狀態(tài)變量分析法用數(shù)字計(jì)算機(jī)求解，后者將在第八章內(nèi)介紹。當(dāng)然，電子計(jì)算機(jī)也可用來(lái)解線性微

23、分方程。 應(yīng)用計(jì)算機(jī)求解非線性微分方程的重要性是不言而喻的，但它需要有實(shí)際數(shù)值才能計(jì)算。若僅要求定性地知道系統(tǒng)的變化趨向和各種因素的作用，則用計(jì)算機(jī)求解未必最好。因此在某些允許條件下，將非線性微分方程線性化，然后進(jìn)行求解，這在工程上也是個(gè)重要的解題手段。 對(duì)變系數(shù)線性微分方程，除了一階方程有一定解以外，一般的高階變系數(shù)線性微分方程無(wú)一定的求斛方法。常用的方法有兩種：一種是方程解用冪級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)；另一種是換元法，即旋轉(zhuǎn)電機(jī)中的坐標(biāo)變換法，在旋轉(zhuǎn)電機(jī)不考慮磁路飽和影響時(shí)，繞組電感僅是角位移口的周期函數(shù)，其運(yùn)動(dòng)方程的系數(shù)為周期性變化，在恒轉(zhuǎn)速下應(yīng)用坐標(biāo)變換法可變換成常系數(shù)線性微分方程，這將在下一章詳細(xì)

24、介紹。 對(duì)常系數(shù)線性微分方程，則不論什么激勵(lì)總可用解析法求出響應(yīng)。著名的解析法有經(jīng)典解法、傅氏變換法和拉氏變換法，并以拉氏變換法用得最多。有些工程問(wèn)題如系統(tǒng)穩(wěn)定性、諧波成分等的研究，我們感興趣的不是解的數(shù)值結(jié)果，而是方程的特性和系統(tǒng)的行為，這時(shí)常應(yīng)用傳遞函數(shù)，頻率響應(yīng)，框圖法或信號(hào)流圖法來(lái)分析。此外，有些用常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)，對(duì)于正弦激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)引用阻抗參數(shù)概念，既有明確的物理意義又易于求解，這時(shí)應(yīng)用一個(gè)等效電路來(lái)表達(dá)一組常系數(shù)線性微分方程，這一方法也得到廣泛使用。 總之，機(jī)電系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程按其不同的類別、特定條件、研究范圍和目的，可有不同的求解方法，掌握運(yùn)動(dòng)方程的多種基本解法是解

25、決工程問(wèn)題的基礎(chǔ)和重要手段，應(yīng)認(rèn)真學(xué)習(xí)。4-6傳遞函數(shù)、框圖和流圖法一，傳遞函數(shù)和頻率響應(yīng)系統(tǒng)的特性可用給定激勵(lì)下具有的輸出響應(yīng)表示。在機(jī)電系統(tǒng)中，常用的給定激勵(lì)有脈沖函數(shù)、階躍函數(shù)和正弦函數(shù)。 對(duì)線性系統(tǒng)應(yīng)用疊加原理，任何激勵(lì)的響應(yīng)可分解為許多具有不同幅值的脈沖響應(yīng)的疊加，由于脈沖函數(shù)具有突變性質(zhì)，單位脈沖響應(yīng)可用來(lái)有效地描述系統(tǒng)的暫態(tài)特性，并在分解線性系統(tǒng)時(shí)廣泛應(yīng)用拉氏變換法，因而定義系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換式，也就是在復(fù)頻域內(nèi)系統(tǒng)對(duì)F(p)=1的響應(yīng)為復(fù)頻域內(nèi)的傳遞函數(shù)，記作G( p)。下面用兩階常系數(shù)線性微分方程為例，進(jìn)一步說(shuō)明傳遞函數(shù)。設(shè)某一系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為 (4-45)式中a1、

26、a0為常數(shù)，對(duì)方程取拉氏變換，得 即 （4-46）根據(jù)上述傳遞函數(shù)G(p)的定義，F(xiàn)(p)=1，x(0+)=x (0+)=0，代人上式得 （4-47）則 X(p)=G(p)F(p)+(p+ a1) x(0+)+ x (0+) ( 4-48)由上兩式可見(jiàn)：(l)改變激勵(lì)函數(shù)只改變F(p)，不同的初始條件只使x(0+)和x (0+)不同，而傳遞函數(shù)G(p)保持不變G(p)僅與系統(tǒng)的參數(shù)有關(guān)，并包含了運(yùn)動(dòng)方程中有關(guān)系統(tǒng)本身的一切資料，因此可用來(lái)描述系統(tǒng)的自然特性，替代運(yùn)動(dòng)方程來(lái)分析系統(tǒng)；(2)復(fù)頻域內(nèi)傳遞函數(shù)也可定義為：在零初始條件下，系統(tǒng)的輸出對(duì)輸入的拉氏變換之比，即 G(p)= ( 4-49)G

27、(p)還是以p代替系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程中 所得特征函數(shù)的倒數(shù)。 根據(jù)傅氏分析的重要性質(zhì)，任何一個(gè)周期函數(shù)都可以展開(kāi)為含有許多正弦分量的傅氏級(jí)數(shù)，任何一個(gè)非周期函數(shù)可以表達(dá)為傅氏積分。故對(duì)于線性系統(tǒng)的任何激勵(lì)的響應(yīng)，還可用系統(tǒng)對(duì)各種頻率正弦波的響應(yīng)的疊加來(lái)研究。于是，向系統(tǒng)輸入隨時(shí)間正弦變化、單位幅值、頻率可以從零連續(xù)增大到無(wú)窮大的激勵(lì)函數(shù)，在系統(tǒng)輸出端獲得的響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。它只取決于系統(tǒng)的參數(shù)，反映了在不同頻率的正弦激勵(lì)下輸入與輸出之間的大小和相位關(guān)系，常用來(lái)描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。 因?yàn)檎液瘮?shù)可表達(dá)成相應(yīng)復(fù)數(shù)相量的虛部，在相量運(yùn)算中,則微分方程中j；又穩(wěn)態(tài)時(shí)方程解中暫態(tài)分量為零。所以，頻率響應(yīng)也可定

28、義為：正弦激勵(lì)下，系統(tǒng)輸出對(duì)輸人之比，記作G（j）。若把傳遞函數(shù)G(p)中的p都換成j，即得頻率響應(yīng)G（j）。故頻率響應(yīng)是傳遞函數(shù)G(p)的一個(gè)特例，是復(fù)數(shù)p為純虛數(shù)j的特殊情況。 此外，令微分算子D=，,從運(yùn)動(dòng)方程直接求得系統(tǒng)輸出對(duì)輸入之比，稱為實(shí)時(shí)域內(nèi)的傳遞函數(shù)，記作g(D)在模擬計(jì)算機(jī)模擬系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程時(shí)常用到g(D)。對(duì)線性系統(tǒng)，g(D)與G(p)在形式上完全相同，只要把復(fù)頻率p替換為微分算子D，就能由G(p)求得g(D)，或反之。但是，g( D)與G(p)的含義是截然不同的，G(p)須經(jīng)拉氏反變換才能從復(fù)頻城內(nèi)回到實(shí)時(shí)城內(nèi)。用方框和傳遞函數(shù)表示線性系統(tǒng)如圖4-6所示。 圖4-6 用方程

29、表示線性系統(tǒng)【例4-3】在圈4-7所示RLC電路中，設(shè)u1(t)為輸入量，u2(t)為輸出量。求這電路的傳遞函數(shù)。圖4-7 例4-3的RLC電路【解】電路的微分方程為 u1(t)= +Ri+ u2(t)= 在零初始條件下F，上兩式取拉氏變換，得 復(fù)頻域內(nèi)和實(shí)時(shí)域內(nèi)傳遞函數(shù)G(p)和g(D)分別為G(p) = = g(D) = = = 把G(p)中的p換為j，得頻率響應(yīng)為 G(j)= = =式中，= 為系統(tǒng)的自然頻率，=為阻尼比。引用這兩個(gè)參數(shù)可間接反映系統(tǒng)的暫態(tài)特性。G(j)還可用其幅值、相位或幅值與相位一起隨頻率變化的曲線圖來(lái)描述。 對(duì)復(fù)雜的線性系統(tǒng)，應(yīng)用微分方程組來(lái)求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)并不容

30、易。此時(shí)可將系統(tǒng)分解為若干基礎(chǔ)單元，求出各單元的傳遞函數(shù)，應(yīng)用下述圖解法求解。二、框圖法 框圖是系統(tǒng)的一種圖解，是一些指明系統(tǒng)變量流動(dòng)方向的單向運(yùn)算方框的相互連接圖。每個(gè)方框表示單個(gè)元件或一組元件組成的基礎(chǔ)單元，并且一個(gè)方框只用一個(gè)傳遞函數(shù)加以說(shuō)明。然后根據(jù)整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)的因果關(guān)系，應(yīng)用規(guī)定的符號(hào)把每個(gè)輸入、輸出連接起來(lái)構(gòu)成系統(tǒng)的框圖，在許多情況下，不必建立和求解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，只要應(yīng)用一套變換規(guī)則，經(jīng)過(guò)歸并和簡(jiǎn)單的運(yùn)算處理就可把系統(tǒng)框圖簡(jiǎn)化成一個(gè)等效框圖，很快寫(xiě)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這種用框圖把運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)分解和合成的分析方法稱為框圖法因?yàn)榭驁D能清楚地把系統(tǒng)中輸入、輸出、擾動(dòng)處和信號(hào)流動(dòng)方向表示出來(lái)，比

31、用微分方程容易看出更改單個(gè)元件或環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的影響，以及各元件或環(huán)節(jié)在系統(tǒng)總響應(yīng)中的相互聯(lián)系。所以，框圖在很多工程學(xué)中已被廣泛使用。 與傳遞函數(shù)相對(duì)應(yīng)，框圖也有復(fù)頻域內(nèi)框圖和實(shí)時(shí)域內(nèi)框圖之分。本小節(jié)主要講前者，它常用來(lái)研究線性系統(tǒng)在零初始條件下的一般性能（如穩(wěn)定度，響應(yīng)速度等）；當(dāng)初始條件不為零時(shí)，則通常要把初始條件作為一種輸入單獨(dú)表示出來(lái)。實(shí)時(shí)域內(nèi)的框圖不需另行考慮初始條件，又可用來(lái)描述非線性系統(tǒng)，這將在下節(jié)中結(jié)臺(tái)模擬計(jì)算機(jī)仿真加以介紹。 表4-4和表4-5分別列出框圖的基本符號(hào)及其等效變換。表4-4 框圖的基本符號(hào)表4-5的前7項(xiàng)不難理解。第8項(xiàng)原來(lái)框圖是一個(gè)含有反饋回路的系統(tǒng)典型框圖。X是

32、被控制的輸出量，F(xiàn)是基準(zhǔn)輸入量R是與輸出量成正比的反饋?zhàn)兞浚谪?fù)反饋（圖中號(hào)取號(hào)）時(shí)，F(xiàn)與R之差為誤差變量E它通過(guò)相當(dāng)于放大器的方框G產(chǎn)生和控制輸出量X其中G稱為前向傳遞函數(shù)，H稱為反向傳遞函數(shù)，稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，當(dāng)H=1時(shí)稱為直接反饋。這個(gè)等效變換可按原來(lái)框圖的變量關(guān)系證明如下： (FHX)G=X （4-50）即 FG=XGHX (4-51)【例4-4】試將圖4-8所示的兩節(jié)RC電路用框圖表示，并加以簡(jiǎn)化。 圖4 8 例4 4的電路【解】先引入三個(gè)中間變量u2，i1，i2 如圖所示，使四個(gè)元件各用一框圖表示。各元件的電壓與電流關(guān)系為R1 ： i1 = C1 ： u2 = R21： i2 =

33、C2 ： u3= 取拉氏變換后的方程為R1： I1(p) = C1: U2(p) = R2： I2 (p) = C21: U3(p) = 據(jù)此可畫(huà)出四個(gè)元件框圖如圖4-9的四個(gè)分圖所示（當(dāng)熟練后，可直接按照電路中各元件的電壓與電流關(guān)系畫(huà)出元件框圖）。 （a） （b） （c） （d） 圖4-9 圖4-8電路的元件框圖（a）R1;（b）C1;（c）R2;（d）C2把四個(gè)元件的框圖順著各變量的流向從輸入到輸出全部連接起 來(lái)，得圖4-10（a）所示的電路框圖。按照等效變按規(guī)則逐步簡(jiǎn)化框圖，依次得到圖4-10(b)，(c)，(d)，(e)，(f)。最后可寫(xiě)出電路的傳遞函數(shù)為G(p)= (4-52) （a

34、） （b） （c） （d） （e） （f） 圖4-10 圖4-8電路框圖及其簡(jiǎn)化(a)圖4-8電路的框圖；(b)第一個(gè)求和點(diǎn)移到方框后面，量后一個(gè)分裂點(diǎn)移到方框前面；（c）第一、二個(gè)求和點(diǎn)交換位置，并消去兩個(gè)反饋回路；（d）中間兩個(gè)方框串聯(lián)合并；(e)消去反饋回路；（f）三個(gè)方框串聯(lián)合并。三、信號(hào)流圖法 信號(hào)流圖是系統(tǒng)的又一種圖解，相應(yīng)的信號(hào)流圖法比框圖法更加簡(jiǎn)便，現(xiàn)在已出現(xiàn)一門(mén)普通信號(hào)流圖代數(shù)學(xué)，導(dǎo)出了許多可寫(xiě)出系統(tǒng)任兩個(gè)變量間函數(shù)關(guān)系的公式，使用范圍日益擴(kuò)大。 信號(hào)流圖簡(jiǎn)稱流圖，是由一些稱為支路的定向直通線段和稱為節(jié)點(diǎn)的小圓點(diǎn)連接起來(lái)的網(wǎng)絡(luò)圖。每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)稱為點(diǎn)信號(hào)的系統(tǒng)變量或常量，信

35、號(hào)只沿著支路上標(biāo)出的箭頭方向流動(dòng)，每條支路旁還標(biāo)有支路傳遞函數(shù)，單向地把一端節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)信號(hào)乘上支路傳遞函數(shù)流給另一端節(jié)點(diǎn)多支路節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)信號(hào)，等于所有輸入支路流給它的信號(hào)的總和。僅有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為源節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn)，僅有輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為匯節(jié)點(diǎn)或溝點(diǎn)，除了源點(diǎn)（信號(hào)就是它本身）以外，流圖上每個(gè)節(jié)點(diǎn)流圖（包括該節(jié)點(diǎn)及其全部輸入支路）都對(duì)應(yīng)一個(gè)說(shuō)明該節(jié)點(diǎn)信號(hào)成因的方程，由不包括源點(diǎn)在內(nèi)的全部節(jié)點(diǎn)方程構(gòu)成的方程組就是系統(tǒng)微分方程的變換式。例如圖4-11所示有四個(gè)節(jié)點(diǎn)和六條支路的流圖。X1是源點(diǎn)，X1=X1，其它三個(gè)節(jié)點(diǎn)X2、X3、X4的方程構(gòu)成線性方程組，如下 圖4-11 一個(gè)典型的流圖 (4-53)信號(hào)

36、流圖中，連續(xù)的單向的支路組合稱為路徑。從源點(diǎn)通向溝點(diǎn)的途中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過(guò)一次的路徑稱為正向路徑。例如圖4-11中只有兩條正向路徑，即X1X2X3X4和X1X3X4 。起始和終止在同一節(jié)點(diǎn)上，其它各節(jié)點(diǎn)只通過(guò)一次的路徑稱為回路，或稱為環(huán)。只有一條支路的回路稱對(duì)自環(huán)，是環(huán)的一個(gè)特例。沒(méi)有公共節(jié)點(diǎn)時(shí)若干個(gè)回路稱為不相接回路。正向路徑中各個(gè)支路傳遞函數(shù)的乘積稱為正向路徑傳遞函數(shù)?；芈分懈鱾€(gè)支路傳遞函數(shù)的乘積稱為回路傳遞函數(shù)。從源點(diǎn)到一個(gè)指定節(jié)點(diǎn)的總傳遞函數(shù)稱為圖傳遞函數(shù)。與框圖法類似，流圖也可以簡(jiǎn)化，以便寫(xiě)出系統(tǒng)傳遞函數(shù)。流圖的簡(jiǎn)化規(guī)則如表4-6所示，其中要說(shuō)明兩點(diǎn)：(1)規(guī)則3可用于中間節(jié)點(diǎn)有多條

37、輸入支路和多條輸出支路，中間節(jié)點(diǎn)消去后，原通過(guò)該節(jié)點(diǎn)的各路徑與對(duì)應(yīng)支路的傳遞函數(shù)分別保持不變。規(guī)則4是規(guī)則3的流圖當(dāng)d =0和X2 = X3.時(shí)的特例；(2)規(guī)則5可用于X2節(jié)點(diǎn)有多條輸入支路和多條輸出支路當(dāng)消去傳遞函數(shù)為b的自環(huán)時(shí)，應(yīng)將所有輸入支路的傳遞函數(shù)分別除以（1b），或用X2替代X2，將所有輸出支路的傳遞函數(shù)分別除以(1b )。 信號(hào)流圖也可以不簡(jiǎn)化，應(yīng)用公式來(lái)計(jì)算圖傳遞函數(shù)G(p)，其中最基本的梅森公式為 （4-5）式中：N為正向路徑數(shù)；Gk為第k條正向路徑的傳遞函數(shù)；為流圖行列式，=1所有回路的傳遞函數(shù)之和 十所有不相接回路每次取兩個(gè)回路傳遞函數(shù)的乘積之和 一所有不相接回路每次取

38、三個(gè)回路傳遞函數(shù)的乘積之和 十所有不相接回路每次取四個(gè)回路傳遞函數(shù)的乘積之和為第k條正向路徑的路余因子，即 =除去第k條正向路徑及與它相接的回路，余下的流圖的值表 4-6 流圖的簡(jiǎn)化規(guī)則【例4-5】試畫(huà)出圖4-8所示兩節(jié)RC電路的流圖，并求出傳遞函數(shù)。【解】參照例4-4，引入 、 、，列出四個(gè)元件拉氏變換后的方程如下： 據(jù)以上方程，對(duì)應(yīng)分別畫(huà)出四個(gè)節(jié)點(diǎn)流圖如圖4-12的四個(gè)分圖所示。 圖4-12 圖4-8電路的節(jié)點(diǎn)流圖 （a）；（b）；（c）；（d） （a） （b） （c） （d） （e） 圖4-13 圖4-8電路的流圖及其簡(jiǎn)化（a）電路的原流圖；（b）簡(jiǎn)化前后兩條回路（規(guī)則4）；（c）消去前

39、一個(gè)自環(huán)（規(guī)則5）；（d）簡(jiǎn)化回路（規(guī)則4）后兩個(gè)自環(huán)合并（規(guī)則2）；（e）消去自環(huán)（規(guī)則5）后串聯(lián)合并（規(guī)則1）。把四個(gè)節(jié)點(diǎn)流圖從輸入到輸出連成電路的流圖如圖4-13（a）所示。下面用兩種方法求解傳遞函數(shù)：1、簡(jiǎn)化流圖求傳遞函數(shù)按照等效簡(jiǎn)化規(guī)律逐步簡(jiǎn)化流圖，依次得圖4-13（b）、（c）、（d）、（e）。由圖4-13（e）可得電路的傳遞函數(shù)為 2、應(yīng)用梅森公式求傳遞函數(shù)據(jù)圖4-13（a）的流圖可得：正向路徑數(shù)N=1，經(jīng)過(guò)所有節(jié)點(diǎn)，其傳遞函數(shù)為有3條回路：A: ， B: ， C: , 不相接回路有2個(gè)：回路A與回路C。因此行列式為 正向路徑與其他相連的回路除去后沒(méi)有流圖，則路余因子為1 =10

40、 =1代入公式，G(p)= 本例表明，用流圖的兩種方法求解G(p)，與例4-4用框圖法求解結(jié)果都完全一致。47 方程線性化和模擬計(jì)算機(jī)仿真一、非線性微分方程線性化機(jī)電能量轉(zhuǎn)換是一個(gè)非線性過(guò)程，機(jī)電系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程幾乎都是非線性微分方程。如系統(tǒng)在小信號(hào)和小振幅運(yùn)動(dòng)時(shí)，則可將非線性微分方程線性化后求解。非線性方程線性化的要點(diǎn)是：當(dāng)系統(tǒng)變量離開(kāi)穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)的偏差足夠小時(shí)，將偏差量（或稱微增變化量）的兩次或多次乘積各項(xiàng)都略去。具體如下。先設(shè)個(gè)變量為穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)的常量（以下標(biāo)為0的大寫(xiě)字母表示）與偏差量（以下標(biāo)為1的小寫(xiě)字母表示）之和。如機(jī)電裝置中 （4-55） 對(duì)方程的變量乘積項(xiàng)，用上式代入后略去偏差量的乘

41、積項(xiàng)。例如。對(duì)非線性參數(shù)則可對(duì)穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，然后略去偏差量的乘積項(xiàng)，求得偏差量的乘積項(xiàng)，求得線性比。以非線性電感為例，x2 （4-56）并 （4-57）將上述經(jīng)線性化后的變量和參數(shù)，代人非線性方程，即可求得以偏差量表示的線性微分方程。以上是對(duì)方程線性化的一般說(shuō)明。通常在線性化前，還應(yīng)證明系統(tǒng)有穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)；最后還需估算線性化近似的準(zhǔn)確度。圖4-14 例4-6的電磁鐵【例4-6】圖4-14所示的直流電磁鐵。設(shè)無(wú)電時(shí)x=0，已知u，R,，m，Re，K咀匣L(z)一嗇。為了分析這電磁鐵微小擾動(dòng)的響應(yīng)，試將它的運(yùn)動(dòng)方程線性化。 【解】 仿例4-1，寫(xiě)出這裝置的運(yùn)動(dòng)方程為 (4-58)式中是運(yùn)

42、動(dòng)電動(dòng)勢(shì)，是電磁力。由于方程中含有變量與變量的乘積項(xiàng)，兩個(gè)方程都是非線性微分方程。 首先確定裝置的穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)存在的范圍。設(shè)裝置在某一穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)工作時(shí)電壓U0、電流I 0、電感L0，位移X0 皆為常量。代入式(4-58)則得 RI0=U0 (4-59) (4-60)上式左邊是彈力，右邊是電磁力fm，都是X0的函數(shù)。在0 X0 范圍內(nèi)分別作曲線如圖4-15所示。兩曲線的交點(diǎn)才是滿足上式的運(yùn)行點(diǎn)。 圖4-15 電磁鐵的穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)當(dāng)Uo =U 01時(shí)，兩曲線無(wú)交點(diǎn)，說(shuō)明電磁力總大于彈力，磚鐵被吸合到x=的位置； 當(dāng)U0=U02時(shí)，兩曲線只有一不穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)B； 當(dāng)U0=U03時(shí)，兩曲線有兩交點(diǎn)； C為穩(wěn)

43、定運(yùn)行點(diǎn)，A為不穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)。 可見(jiàn)，電源電壓必須小于U02，才能對(duì)式（4-58）線性化。先按式（4-55），設(shè)變量為常量與偏差量之和： （4-61）然后把電感按式（4-56）和式(4-57)表達(dá)為 （4-62） 再把上兩式代入( 4-58)得 （4-63） （4-64）上兩式用式( 4-59)和式(4-60)代入化簡(jiǎn)，并略去全部變量乘積項(xiàng)，即得電磁鐵線性化后的運(yùn)動(dòng)方程為 （4-65）最后估算一下線性化近似準(zhǔn)確度。例如可從與正確的比較入手，設(shè)x1的最大擺幅引起的;則L0(1+ )=L0 ;而 L0(1)1 = L0，表明在電感上產(chǎn)生的4%誤差，等等。 二、模擬計(jì)算機(jī)仿真 當(dāng)系統(tǒng)是大擾動(dòng)情況，或方

44、程線性化后求解不能滿足要求時(shí)，可應(yīng)用模擬計(jì)算機(jī)來(lái)直接模擬系統(tǒng)或模擬它的非線性微分方程組，在顯示記錄裝置上獲得定量的解，并可研究改變?nèi)我粎?shù)對(duì)輸出響應(yīng)的影響。這對(duì)機(jī)電裝置的優(yōu)化設(shè)計(jì)及其模擬試驗(yàn)都是很有價(jià)值的。在模擬計(jì)算機(jī)中系統(tǒng)方程的變量都用電壓表示，系統(tǒng)方程的仿真模型是在一塊插孔板（稱為模擬編排板）上，用插接線把有關(guān)的模擬運(yùn)算部件互相連接起來(lái)組成的。一臺(tái)模擬計(jì)算機(jī)備有許多可選用的模擬運(yùn)算部件，每個(gè)模擬運(yùn)算部件實(shí)現(xiàn)一種（或幾種）數(shù)學(xué)運(yùn)算?；镜木€性運(yùn)算部件有乘一個(gè)常數(shù)用的常系數(shù)器，符號(hào)變換器，加法器，積分器等；非線性運(yùn)算部件有乘法器，函數(shù)發(fā)生器，典型非線性部件等。表4-7列出了這些部件的符號(hào)和功能

45、，在近代模擬計(jì)算機(jī)中還有大量的模擬存儲(chǔ)部件，數(shù)學(xué)邏輯部件，以及數(shù)?；旌线\(yùn)算部件等。本小節(jié)不作介紹。 要用模擬計(jì)算機(jī)建立系統(tǒng)的仿真模型，并進(jìn)行調(diào)試，運(yùn)行及解題，通常要先畫(huà)出該系統(tǒng)的模擬計(jì)算機(jī)運(yùn)算框圖，簡(jiǎn)稱模擬圖。它實(shí)質(zhì)是上節(jié)講過(guò)的一種實(shí)時(shí)域內(nèi)的框網(wǎng)，具有兩大特點(diǎn): 表(l)模擬圖中一般不用微分器。因?yàn)槲⒎制鲿?huì)放大高頻干擾，引起計(jì)算機(jī)電路不穩(wěn)定。所以在模擬圖中，徽分運(yùn)算總化為逆積分運(yùn)算。例如變量u的兩階導(dǎo)數(shù)，是靠?jī)蓚€(gè)積分器串聯(lián)在輸入端上獲得的，如圖4-16所示。 圖4-16 兩階導(dǎo)數(shù)模擬圖一般畫(huà)不包含微分器的模擬圈有兩條途徑：一是把系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程適當(dāng)?shù)匾祈?xiàng)，改寫(xiě)成最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)等于其它各項(xiàng)之和的形式

46、，然后應(yīng)用表4-7的符號(hào)對(duì)應(yīng)畫(huà)出多次積分的模擬圖；另一是按照框圖法，從系統(tǒng)的基礎(chǔ)單元出發(fā)，直接畫(huà)出系統(tǒng)的模擬圖。兩條途徑畫(huà)的模擬圖都要盡量簡(jiǎn)化，使應(yīng)用的模擬運(yùn)算部件減至最少。 （2）系統(tǒng)變量應(yīng)用模擬計(jì)算機(jī)的電壓表示，由于機(jī)器電壓有規(guī)定的最大值（如l00V或10V），因此先要恰當(dāng)選擇變量的幅度比例尺，使實(shí)際變量的最大值和幅度比例尺之積接近(0.91)模擬機(jī)的最大允許電壓值，它既不應(yīng)過(guò)大，又不應(yīng)過(guò)小，以免影響解題的準(zhǔn)確度；其次，考慮記錄裝置等許可響應(yīng)時(shí)間，還要恰當(dāng)選擇時(shí)間比倒尺，使模擬機(jī)上復(fù)現(xiàn)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程時(shí)間（實(shí)際時(shí)間乘以時(shí)間比例尺）在幾秒（或幾分）之內(nèi)，利于觀察研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。于是，實(shí)用的

47、模擬圖應(yīng)該是引入比例尺后的模擬圖。通常引入比例尺也有兩條途徑：一是在系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程中，引入幅度和時(shí)間比例尺，把方程轉(zhuǎn)換成數(shù)量上適合模擬計(jì)算機(jī)運(yùn)行的微分方程，然后畫(huà)出模擬圖；另一是先畫(huà)出系統(tǒng)的模擬圖，然后按比例尺修改圖中的系數(shù)，得到引入比例尺后的模擬圖。 【例4-7】RLC串聯(lián)電路如圖4-17所示。已知：R=1L=100mHC=100和u=100V。開(kāi)關(guān)閉合時(shí)定為圖t=0此時(shí)i(0+)=0，q（0+）= 1000。試畫(huà)出求解電路電流用的模擬運(yùn)算框圖。 圖4-17 例4-7的RLC電路【解】電路的微分方程為移項(xiàng)后最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)等于其它各項(xiàng)之和，即 (4-66)為使解題具有一般意義，數(shù)據(jù)暫不代入。設(shè)時(shí)間比例尺為a，電源電壓和電流的幅度比例尺分別為1和2，則得 （4-67）上式代入式( 4-66)，整理得 （4-68）據(jù)此畫(huà)得系統(tǒng)方程的模擬運(yùn)算框圖如圖4-18（a）所示。圖中三個(gè)方框當(dāng)其系數(shù)確定后要修正為實(shí)用的常系數(shù)器。假如模擬機(jī)電壓的最大值是100V，則根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定比例尺：，u=100V，取=1 (a) (b)圖4-18 例題4-17電路的模擬運(yùn)算框圖，imax= A=100A，取=1；電路的自然振蕩角頻率，