時(shí)間最優(yōu)控制

1、目錄u一.Bang-Bang控制原理u二.線性定常系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制u三.燃料最優(yōu)控制u四.時(shí)間-燃料最優(yōu)控制u五.習(xí)題u六.總結(jié) 時(shí)間最優(yōu)控制 時(shí)間最優(yōu)控制問題，是可以運(yùn)用極小值求解的一個(gè)常見的工程實(shí)際問題。如果把系統(tǒng)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集的時(shí)間作為性能指標(biāo)，則使轉(zhuǎn)移時(shí)間為最短的控制稱為最短時(shí)間控制，亦稱最速控制。一、Bang-Bang控制原理1.移動(dòng)目標(biāo)集的時(shí)間最優(yōu)控制問題 已知受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 尋找滿足不等式約束的 r 維容許控制向量 u(t), 使系統(tǒng)從初始狀態(tài) 出發(fā)， 在末態(tài)時(shí)刻 ，首次達(dá)到目標(biāo)集 其中g(shù)是p維向量函數(shù), 且使 最小值的最優(yōu)控制u(t). )(),(),()(t

2、uttxBttxftxrjtuj,.2 ,1,1)(00)(xtx)0(jt0),(ffttxg00ttdtJfttf上述問題用極小值原理求解，構(gòu)造哈密頓函數(shù)為： 規(guī)范方程、邊界及橫截條件分別為:極值條件為：)(),(),()(1),(),(),(tuttxBttxAttttutxHT)()(0),(,)()()()(),()()(),()()(),(),()(00.TxgTTTxgxtxttxtuttxBttxttxfxHttuttxBttxfHtxTT)(),()(),()(1min)(),()(),()(1*1*tuttxBtttxfttuttxBtttxftTTuTTj可得式中 sgn

3、(*) 為符號(hào)函數(shù)，令則最優(yōu)控制分量應(yīng)取在最優(yōu)軌線末端，哈密頓函數(shù)應(yīng)滿足)(),(sgn)(*ttxBtuTmjttxTjbtjgmjtxmbtxbtxbtxB,.2 ,1),(),()(.2.1),().,(2),(1),(0)(,10)(.1)(sgn)(*tgtgtgjtujjjfTftggtH)(*由以上條件知：若 , 則可以運(yùn)用極小值原理確定 ，此時(shí)稱為正常情況。若 不確定，可取滿足約束條件的 任意值，此時(shí)稱為奇異情況。2.正常和奇異控制問題設(shè)在區(qū)間 內(nèi)，存在時(shí)間可數(shù)集合，使有在時(shí)間最優(yōu)控制是正常的,0)(tgj)(*tuj,0)(tgj)(*tuj1)(tuj,0fttmjtttt

4、tfjjj,.2 ,1,.021,.,2 ,1,t非零，t,0)(),()(g*jttttxbtjjTjj在區(qū)間 ，至少存在一個(gè)子區(qū)間，使得對(duì)所有 ，至少有一個(gè)函數(shù)則時(shí)間最優(yōu)控制是奇異的，稱 為奇異區(qū)間。3.Bang-Bang控制原理設(shè)u*(t) 是上述問題的時(shí)間最優(yōu)控制，x*(t)和 是相應(yīng)的狀態(tài)向量和協(xié)態(tài)向量。若問題正常，則最優(yōu)控制為：0)(),()(*ttxbtgTjj,021ftttt,0ftt,21ttt,21tt)(*),(*sgn)(*tttxTBtu)(t定理表明，每個(gè)控制分量 恰好在自己的兩個(gè)邊界值之間來(lái)回切換，滿足 的各個(gè)點(diǎn)正好是切換點(diǎn)。這是一種繼電型控制或開關(guān)控制，故有邦

5、-邦控制之稱。)(*tuj,0)( tgj線性定常系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制設(shè)線性定常系統(tǒng)是完全可控的，求滿足下列約束的容許控制向量 u(t)：使系統(tǒng)從已知狀態(tài)x(0)=x0轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)x(tf)=0的時(shí)間最短，性能指標(biāo)為 在解決上述問題之前，應(yīng)該先判斷它是否正常。定理1令 式中 ，當(dāng)且僅當(dāng)m個(gè)矩陣)()()(tButAxtx),2 ,1( 1)(mjtuj ftdtJ0,.,21mbbbB.,.2 ,1,miRbni中，至少有一個(gè)是奇異矩陣時(shí)，它則是奇異的。定理2當(dāng)且僅當(dāng)式中 ，上述問題是正常的。定理3若上述系統(tǒng)是正常的，且時(shí)間最優(yōu)控制存在，則最優(yōu)控制必定唯一。mjbAbAAbbGjnjjjj

6、,2 ,1,12mjnbAbAAbbrankGjnjjjj,2 ,1,rank12,niRb定理4 有限切換（開關(guān)次數(shù)）定理設(shè)線性定常系統(tǒng)是正常的，nxn系統(tǒng)矩陣A的全部特征值均為實(shí)數(shù)，時(shí)間最優(yōu)控制 存在，其分量為 。令 表示 的切換時(shí)刻，則 在兩個(gè)邊界值之間的切換次數(shù)Nn-1.(n為系統(tǒng)的維數(shù)）)(*tu)(*tuj)(*tuj)(*tujjt定理5當(dāng)系統(tǒng)正常是，存在最優(yōu)解的必要條件為： 正則方程 式中哈密頓函數(shù)為 邊界條件 極小值條件)()()(tButAxtx)()(*tAxHtT)()()(1),(tButAxtuxHT0)(,)0(0ftxxx),.2 ,1( ,0)(,1),.2

7、,1( ,0)(,1)(sgn)(*mitTibmitTibtTibtiu若A有全部實(shí)特征值，則 的切換次數(shù)為Nn-1. H函數(shù)變化率0)(*ftH)(*tuj燃料最優(yōu)控制 在工程實(shí)際中，常常需要考慮是控制過(guò)程中所消耗的能量最小。此時(shí)控制作用表現(xiàn)為推力或力矩的大小和方向。若以非負(fù)量 表示燃料的瞬時(shí)消耗率，則控制過(guò)程中所消耗的的燃料總量為 ,僅考慮如下形式的關(guān)系：式中 是 m 維控制向量u(t)的第j個(gè)分量，CJ為比例系數(shù)，稱為比耗。為了保證控制過(guò)程中最省燃料，選擇燃料消耗總量作為性能指標(biāo)ftdttF0)( ftmjjdttucJ0)()(t0,)()(1jmjjjctuct)(*tuj二次積分

8、模型的狀態(tài)方程：求滿足約束條件的最優(yōu)控制 ，是系統(tǒng)有任意初態(tài) ，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)（0.0）且使性能指標(biāo)為最小。設(shè)末端時(shí)刻 tf 自由。)()()()(221tutxtxtx,0,1)(fjtttu)(2,1)(*tuftdttuJ0)( 正則方程，哈密頓函數(shù)則有 邊界條件,0,1221222111HHuHxxHx,0)(0)(,)0()0(212211fftxtxxx)()()()()(221tuttxttuH極小值條件函數(shù)變化律H函數(shù)的最優(yōu)控制 取極小值時(shí)，等價(jià)于函數(shù)對(duì)最優(yōu)控制 取極小值。)()()()()()(2*2*tuttututtu)()()()(*2*tuttuuR0)()()(

9、)()(*2*21*ffffftuttxttu)(*tu)()()()(*2*tuttuuR)(*tu 引入死區(qū)函數(shù)記號(hào)dez,其意義為a=dezb, 表示為 以及:如下死區(qū)函數(shù)關(guān)系的大小及符號(hào)有關(guān)，呈)(與)(2*ttu1)(當(dāng),0)(11)(當(dāng),1)(01)(當(dāng)),(sgn)(1)(當(dāng),0)(2*2*22*2*ttuttutttuttu1當(dāng),sgn1當(dāng),0bbba1當(dāng),011當(dāng),10baba由以上關(guān)系能否完全確定 ，取決于函數(shù) 的性質(zhì)。與時(shí)間最優(yōu)控制問題類似，也可以分為正常與奇異兩種情況：若在時(shí)間區(qū)間0,tf內(nèi)， 值在有限點(diǎn)成立，則屬正常情況，最優(yōu)控制 可取 -1、0、+1 三個(gè)值，隨時(shí)間

10、的增長(zhǎng)， 在這三個(gè)值上轉(zhuǎn)換，稱為三位控制或開關(guān)控制。若至少存在一段時(shí)間間隔 ，在其上有 則問題屬于奇異情況。)(*tu)(2t1)(2t)(*tu)(*tu1)(2t,0,21fttt對(duì)協(xié)態(tài)方程積分可得：式中 為協(xié)態(tài)初始條件。根據(jù) 的數(shù)值情況， 為奇異控制或?yàn)檎？刂?ttconstt)0()0()()0()(12211)0(和)0(21)(*tu)0(和)0(21（1）奇異情況若 為滿足 ,應(yīng)有 。此時(shí)，只能決定 的符號(hào)，而無(wú)法確定其數(shù)值。（2）正常情況若 ，則 是時(shí)間t的線性函數(shù)。這是， 至多在兩個(gè)孤立的時(shí)刻成立，因而燃料最優(yōu)控制函數(shù) 是正常的，為三位控制，且最多有兩次切換。10)0(10

11、)(*tH1)()0(22t)(*tu0)0(1tt)0()0()(1221)(2t)(*tu對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行相平面分析，當(dāng) u=+1和u=-1時(shí)，系統(tǒng)由初態(tài)轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條軌線為,如下圖所示，點(diǎn)集表達(dá)式為： 1R2R3R4R2x1x0,21),(0,21),(221210221210 xxxxxxxxxxxxA.初始點(diǎn) 在 上,為唯一最優(yōu)控制。B.初始點(diǎn) 在 上,為唯一最優(yōu)控制。C.初始點(diǎn)在R4區(qū),u(t)有無(wú)窮多組解,但u=0 1所用時(shí)間最短.初始點(diǎn)在R2區(qū),u(t)有無(wú)窮多組解,但u=0 -1所用時(shí)間最短.D.初始點(diǎn)在R1，R3區(qū),u(t)無(wú)解,但存在一個(gè) 燃料最優(yōu)問題.,),(211)(

12、*tu,),(211)(*tu綜上所述，燃料最優(yōu)控制律：31214221021021*),(x無(wú)解，),(x,0),(x,1),(x,1)(RRxRRxxxtu時(shí)間-燃料最優(yōu)問題 單純以節(jié)省燃料為目標(biāo)的燃料最優(yōu)控制問題，往往使得系統(tǒng)的響應(yīng)太慢，不滿足實(shí)際的使用要求。若將縮短時(shí)間與節(jié)省燃料加以綜合考慮，設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)既能節(jié)約燃料又不至于響應(yīng)緩慢，因而產(chǎn)生了時(shí)間-燃料最優(yōu)控制問題。一種好的處理方法是在燃料最優(yōu)控制性能指標(biāo)中增加時(shí)間的加權(quán)項(xiàng)，得到式中 ，為時(shí)間加權(quán)系數(shù)，表示設(shè)計(jì)者對(duì)響應(yīng)時(shí)間的重視程度。若取 ，表示不計(jì)時(shí)間長(zhǎng)短，只考慮節(jié)省燃料。若取 ，表示不計(jì)燃料消耗，只求時(shí)間最短。 fftmjftm

13、jffdtudtutJ0101)(00已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程求滿足下列約束條件：的最優(yōu)控制u*(t) ，使系統(tǒng)由任意初態(tài) 轉(zhuǎn)移到空間原點(diǎn)（0,0），且使性能指標(biāo)為最小。設(shè)末端時(shí)刻tf 自由。ftdttuJ0)()()()()(221tutxtxtx,0,1)(ftttu),(21令哈密頓函數(shù)與上節(jié)類似，由極小值條件可得根據(jù)協(xié)態(tài)方程假定初始協(xié)態(tài)為 ，解得 最優(yōu)軌線應(yīng)滿足)()()()(221tuttxtH)()(0)(12211txHtxHt)0(和)0(21ttconstt)0()0()()0()(122110*2*21*uxuH)()(2*tdeztu通過(guò)分析，如下六種控制序列為候選最優(yōu)控制序列

14、+1，-1，+1，0，+1，0，-1，+1,0,-1，-1,0,+1，通過(guò)相平面法討論得相軌跡圖如下：1x2xABC1H2H3H4H除 為開關(guān)曲線外, 也為開關(guān)曲線. 是u由-1切到0的開關(guān)曲線,且有整個(gè)相平面分成4個(gè)區(qū)域,且起于各區(qū)初始狀態(tài)的相應(yīng)控制為：,0,24:),(0,24:),(222121222121xxxxxxxxxx1 ,0,24,21:),(1,0 ,1,24,21:),(1,0,24,21:),(1 ,0 ,1,24,21:),(*221221214*221221213*221221212*221221211uxxxxxxxxHuxxxxxxxxHuxxxxxxxxHuxx

15、xxxxxxH可得時(shí)間-燃料最優(yōu)控制律為：1214221321*),(x,1),(x,0),(x,1)(RxRRxRxtu例題設(shè)人造衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)方程為：控制約束要求確定 ，使性能指標(biāo)極小，并求出切換時(shí)間ts 和最短時(shí)間 0)(,1)0(),()(0)(,1)0(),()(2221121fftxxtutxtxxtxtx1)(tu)(*tuftdtJ0*ft構(gòu)造哈密頓函數(shù)：最優(yōu)控制由協(xié)態(tài)方程解得)()()()(1221tuttxtH,0)(2,1,0)(2,1)(2sgn)(*ttttu)()(0)(12211txHtxHt21211)()(ctctct因?yàn)閰f(xié)態(tài)向量 為非零向量，故 不能同時(shí)為

16、零。根據(jù) 的不同組合， 的可能形狀如下圖所示。)(t21c和c)(2t21c和c因而候選控制序列為：+1， -1， +1，-1， -1，+1，令 ，由狀態(tài)方程有消去t得 軌跡方程為：1u)0()0(21)()0()(122122xtxttxxttx)0(21)0(21221221xxxx滿足末態(tài)相軌跡為：曲線 和 組合成曲線 ，表達(dá)式為曲線 將相平面分割為 兩個(gè)區(qū)域。 作為狀態(tài)集合，可表示為：0,21),1)(u當(dāng)0,21),1)(u當(dāng)222121*222121*xxxxxtxxxxxt21),(22121xxxxxRR和RR和21),(21),(2212122121xxxxxRxxxxxR相

17、軌跡圖為：相平面上的開關(guān)曲線對(duì)于一般的二次積分模型的時(shí)間最優(yōu)控制問題，其最優(yōu)控制律為：本例 ，故最優(yōu)控制律為了具體求出切換時(shí)間ts,需要求解最優(yōu)軌線方程。 ,)1 ,1()0(),0(21RxxRxxRxxtu),(,1),(,1)(2121*總結(jié)p最短時(shí)間控制系統(tǒng)，是依據(jù)所謂砰-砰原理構(gòu)成的，它只有+1和-1兩種工作狀態(tài)。p最少燃料控制問題，其哈密爾頓函數(shù)對(duì)控制u(t)及其 是一次的。它包含+1,0，-1三種工作狀態(tài)。和最短時(shí)間控制系統(tǒng)相比，最少燃料控制系統(tǒng)的最大特點(diǎn)，是多了一個(gè)u=0的控制方式，這意味著在工作過(guò)程的某些階段，可以借助于系統(tǒng)中積存的能量來(lái)維持工作，不用消耗燃料。p時(shí)間-燃料綜合最優(yōu)控制是比單純的最短時(shí)間控制)(1tu最少燃料更為廣泛的一類控制。當(dāng)時(shí)間-燃料綜合最優(yōu)控制的性能指標(biāo)