概率論部分復(fù)習(xí)稿

1、 1. 2. ; ;3. 01;1 () 1n 1AnSeASAB AB ABAB AB AB AnfAnPAPSABPABPAPBPAPA 樣 本 空 間 隨 機(jī) 事 件（）事 件 的 關(guān) 系 ：事 件 的 運 算 ：頻兩 個 特 殊 事 件兩 層 理 解當(dāng) 很 大 時率 ：（）概 率 的 定 義 （） ： 滿 足當(dāng)時 ，概， 做 概 率 的率 的 性 質(zhì)近 似 計 算三 個： 121 2 3 = 4. |, ()()(|), (nnjjjABPAPBPABPAPBPABPABPBAPABPA PBAPABBBSP AP BP ABP B 當(dāng)時（）條 件 概 率 ：（） 加 法 公 式乘 法

2、 當(dāng)為 的 一 劃 分 時 ，公 式全 概 率 公 式1()(|)|)()(|)5. 4iiinjjjP BP ABAP BP AB事 件 獨 立 性P(AB)=P(A)P(B)P(A)0,P(B)0（ 個 等 價 的 公 式 ）第一章小結(jié)第一章小結(jié))kkn-knnp (k)= c p q(k = 0,1,2, q = 1- p其中6 重復(fù)獨立概型，貝努里定理設(shè)一次試驗中事件設(shè)一次試驗中事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為p(0p1),則則n重貝努里重貝努里試驗中，事件試驗中，事件A剛好發(fā)生剛好發(fā)生k次的概率次的概率7 重點題型重點題型古典概率古典概率： 條件概率條件概率乘法公式乘法公式： 全概率公

3、式全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式 重復(fù)獨立概型重復(fù)獨立概型 典型例題例例1 1：設(shè)：設(shè)A= 甲來聽課甲來聽課 ，B= 乙來聽課乙來聽課 ，則：，則： 甲、乙至少有一人來甲、乙至少有一人來 甲、乙都來甲、乙都來 甲、乙都不來甲、乙都不來 甲、乙至少有一人不來甲、乙至少有一人不來AB AB ABABABAB例例2 2：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A A、B B、C C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A A、B B、C C的運算關(guān)系表示下列事件：的運算關(guān)系表示下列事件：:654321“三人均未命中目標(biāo)”“三人均命中目標(biāo)”

4、“最多有一人命中目標(biāo)“恰有兩人命中目標(biāo)”“恰有一人命中目標(biāo)”“至少有一人命中目標(biāo)AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA例例3 3 （摸求問題）設(shè)合中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從合中任抽2個球，求取到一紅一白的概率。解:設(shè)A-取到一紅一白25)(CSN1213)(CCAN53)(251213CCCAP答:取到一紅一白的概率為3/5一般地，設(shè)合中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是nNknMNkMCCCp()(|)()PA BPBAPA()0PA()( )(|)( )(|)P ABP AP B AP BP A B()(

5、) (|) (|)P ABCP A P B A P C AB1212131211()() (|) (|)(|)nnnP A AAP A P AA P AA AP AAA相關(guān)公式相關(guān)公式 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 例例 在在1 1 1010這這1010個自然數(shù)中任取一數(shù)，求個自然數(shù)中任取一數(shù)，求（1 1）取到的數(shù)能被）取到的數(shù)能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率，（2 2）取到的數(shù)即不能被）取到的數(shù)即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）取到的數(shù)能被）取到的數(shù)能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。解解:設(shè)設(shè)AA取到的數(shù)能被

6、取到的數(shù)能被2 2整除整除; ;取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被3 3整除整除21)(AP103)(BP故故)()()()() 1 (ABPBPAPBAP101)(ABP107)(1)()2(BAPBAP103)()()()3(ABPAPBAP52例例4 4 某市有甲某市有甲, ,乙乙, ,丙三種報紙丙三種報紙, ,訂每種報紙的人數(shù)訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的分別占全體市民人數(shù)的30%,30%,其中有其中有10%10%的人同時定的人同時定甲甲, ,乙兩種報紙乙兩種報紙. .沒有人同時訂甲乙或乙丙報紙沒有人同時訂甲乙或乙丙報紙. .求求從該市任選一人從該市任選一人, ,他至少訂有一種報紙的概率他

7、至少訂有一種報紙的概率. .%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解解: 設(shè)設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲分別表示選到的人訂了甲,乙乙,丙報丙報例例5 5 盒中有盒中有3 3個紅球，個紅球，2 2個白球，每次從袋中任個白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從合中連續(xù)取球取之球顏色相同的球，若從合中連續(xù)取球4 4次次, ,試試求第求第1 1、2 2次取得白球、第次取得白球、第3 3、4 4次取得紅球的概率次取得紅球的概率。解：設(shè)解：設(shè)A Ai

8、 i為第為第i i次取球時取到白球，則次取球時取到白球，則)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP 例例6 6：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為70%70%，余，余下下 的的30%30%的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有80%80% 的產(chǎn)品可以出廠，的產(chǎn)品可以出廠，20%20%的產(chǎn)品要報廢。求的產(chǎn)品要報廢。求該廠產(chǎn)該廠產(chǎn) 品的報廢率。品的報廢率。 解：解： 設(shè)設(shè) A=A=生產(chǎn)的產(chǎn)品要報廢生產(chǎn)的產(chǎn)

9、品要報廢 B= B=生產(chǎn)的產(chǎn)品要調(diào)試生產(chǎn)的產(chǎn)品要調(diào)試 已知已知P(B)=0.3P(B)=0.3，P(A|B)=0.2P(A|B)=0.2，(|)0P A B ( )()P AP ABAB( )(|)( )(|)P BP A BP BP A B0.3 0.20.7 06%ABABAB與不相容利用乘法公式()()P ABP AB 全概率用法：全概率用法：找找事件組事件組A A1 1，A A2 2，A An n (n(n可為可為 ）滿足滿足：.,.,2 , 1,),(,)(;)(1njijiAAiiSAijinii則對任何事件則對任何事件B S，在，在A1，A2，An上分解上分解1( )() ( |

10、)niiiP BP A P B A1() (|)(|),(1,., )() (|)jjjniiiP A P B AP ABjnP A P B A* 全概率公式可由以下框圖表示：全概率公式可由以下框圖表示：設(shè)設(shè) P(BP(Bj j)=p)=pj j, P(A|B, P(A|Bj j)=q)=qj j, j=1,2,n, j=1,2,n易知：易知：11njjpSP1P2Pn.B2B1Bn.q2q1qnA 1|njjjP AP BP A B例7 有三個箱子，分別編號為有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝號箱裝有有1個紅球個紅球4個白球，個白球，2號箱裝有號箱裝有2紅紅3白球，白球，3號箱裝有號

11、箱裝有3紅球紅球. 某人從三箱中任取一箱，從某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率中任意摸出一球，求取得紅球的概率.解：記解：記 Ai=球取自球取自i號箱號箱, i=1,2,3; B =取得紅球取得紅球即即 B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥兩兩互斥B發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時發(fā)生，之一同時發(fā)生，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)運用加法公式得1239.車間有甲、乙、丙車間有甲、乙、丙3 3臺機(jī)床生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，且臺機(jī)床生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，且知它們的次品率依次是知它們的次品率依次是0.20.2，0.3

12、0.3，0.10.1，而生產(chǎn)，而生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量比為：甲：乙：丙的產(chǎn)品數(shù)量比為：甲：乙：丙=2=2：3 3：5 5，現(xiàn)從，現(xiàn)從產(chǎn)品中任取一個，（產(chǎn)品中任取一個，（1 1）求它是次品的概率？）求它是次品的概率？（2 2）若發(fā)現(xiàn)取出的產(chǎn)品是次品，求次品是來自）若發(fā)現(xiàn)取出的產(chǎn)品是次品，求次品是來自機(jī)床乙的概率？機(jī)床乙的概率？10.10.三個箱子中，第一箱裝有三個箱子中，第一箱裝有4 4個黑球個黑球1 1個白球，第個白球，第二箱裝有二箱裝有3 3個黑球個黑球3 3個白球，第三箱裝有個白球，第三箱裝有3 3個黑球個黑球5 5個白球。現(xiàn)先任取一箱，再從該箱中任取一球個白球。現(xiàn)先任取一箱，再從該箱中任取一球。

13、問（。問（1 1）取出球是白球的概率？（）取出球是白球的概率？（2 2）若取出）若取出的球為白球，則該球?qū)儆诘诙涞母怕剩康那驗榘浊?，則該球?qū)儆诘诙涞母怕剩?1.11.若已知事件若已知事件A A與與B B相互獨立，證明事件相互獨立，證明事件A A與與事件事件與相互獨立與相互獨立B 例例 8 甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的概率分別為三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛飛 機(jī)被一機(jī)被一人擊中而擊落的概率為人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的被兩人擊中而擊落的概率為概率為0.6, 若三人都擊中若三人都擊中, 飛機(jī)必定被擊落飛機(jī)必

14、定被擊落, 求求飛機(jī)被擊落的概率飛機(jī)被擊落的概率. 設(shè)設(shè)B=飛機(jī)被擊落飛機(jī)被擊落 Ai=飛機(jī)被飛機(jī)被i人擊中人擊中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)則則 B=A1B+A2B+A3B求解如下求解如下:依題意，依題意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 例例9 9：有：有4 4個獨立元件構(gòu)成的系統(tǒng)個獨立元件構(gòu)成的系統(tǒng)( (如圖如圖) )，設(shè)每個元，設(shè)每個元件能正常運行的概率為件能正常運行的概率為p p，求系統(tǒng)正常運行的概率，求系統(tǒng)正常運行的概率。 ,1,2

15、,3,4 iAiiA解：設(shè)第 個元件運行正常系統(tǒng)運行正常1432注意：這里系統(tǒng)的概念與電路注意：這里系統(tǒng)的概念與電路 中的系統(tǒng)概念不同中的系統(tǒng)概念不同1234AAA AA則：1234,A A A A由題意知，相互獨立231234( )()()()P AP AP A AAp ppp32512314( )()P AP A A AA Appp另解，對嗎？第二章小結(jié)之一維隨機(jī)變量0 -1 分 布二 項 分 布 B （ n ,p )泊 松 分 布 P ( )離離 散散 型型 分分 布布 律律歸 一 性分 布 函 數(shù) 與 分 布 律 的 互 變概概 率率 計計 算算分分 布布 函函 數(shù)數(shù)歸 一 性概概 率

16、率 計計 算算單單 調(diào)調(diào) 性性正 態(tài) 分 布 的 概 率 計 算均 勻 分 布 U (a ,b )正 態(tài) 分 布 N (a , )指 數(shù) 分 布 E （ )連連 續(xù)續(xù) 型型 概概 率率 密密 度度歸歸 一一 性性概概 率率 計計 算算分 布 函 數(shù) 與 概 率 密 度 的 互 變隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 分 布2第三章二維隨機(jī)變量邊 緣 分 布 律離 散 型 分 布 律歸 一 性概 率 計 算分 布 函 數(shù) 與 分 布 立 場 律 的 互 變獨 立 性邊 緣 分 布 函 數(shù)分 布 函 數(shù)歸 一 性概 率 計 算邊 緣 概 率 密 度均 勻 分 布正 態(tài) 分 布連 續(xù) 型

17、 概 率 密 度歸 一 性概 率 計 算分 布 函 數(shù) 與 概 率 密 度 的 互 變多 維 隨 機(jī) 變 量二 維 隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 分 布 基本題型基本題型 1、實際問題求分布率。、實際問題求分布率。 2、實際問題求分布函數(shù)。、實際問題求分布函數(shù)。 3、已知概率密度，求系數(shù)、分布函數(shù)，隨機(jī)、已知概率密度，求系數(shù)、分布函數(shù)，隨機(jī)變量落在某個區(qū)間的概率。變量落在某個區(qū)間的概率。 4、實際問題利用均勻分布計算事件概率。、實際問題利用均勻分布計算事件概率。 5、正態(tài)分布化標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求值。、正態(tài)分布化標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求值。 6、已知概率密度，求隨機(jī)變量函數(shù)的分布、已知概率密度，求隨機(jī)變量函數(shù)的

18、分布 7.已知聯(lián)合分布，求邊緣分布并驗證獨立性。已知聯(lián)合分布，求邊緣分布并驗證獨立性。2. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為000)(2xxkexfx 則則 ),(),(_,)2(_,)21 (_,DEPPk習(xí)題習(xí)題1. 盒內(nèi)有盒內(nèi)有5個零件，其中個零件，其中2件次品，從中任取件次品，從中任取3件，件，用用 表示取出的次品數(shù)，則表示取出的次品數(shù)，則 的概率分布的概率分布為為 。例1. 某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求，求所需射擊所需射擊發(fā)數(shù)發(fā)數(shù)X 的概率函數(shù)的概率函數(shù).解解:

19、顯然，顯然，X 可能取的值是可能取的值是1,2, ， P(X=1)=P(A1)=p, 為計算為計算 P(X =k )， k = 1,2, ，Ak = 第第k發(fā)命中發(fā)命中，k =1, 2, ，設(shè)設(shè)于是于是pp )1 ()() 2(21AAPXP)() 3(321AAAPXPpp 2)1 (例例3 3 向向0,10,1區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點，以區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點，以X X表示質(zhì)點表示質(zhì)點坐標(biāo)坐標(biāo). .假定質(zhì)點落在假定質(zhì)點落在0,10,1區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求概率與區(qū)間長成正比，求X X的分布函數(shù)的分布函數(shù)解：解： F(x)=PXF(x)=PXx x 1, 110,0

20、, 0)()(xxxxxXPxF)(xFx101當(dāng)當(dāng)x1時時,F(x)=1當(dāng)0 x1時,kxxXPxF0)(特別特別,F(1)=P0 x1=k=1例例5 5 長途汽車起點站于每時的長途汽車起點站于每時的1010分、分、2525分、分、5555分發(fā)車分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機(jī)地，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時間超過到達(dá)車站，求乘客候車時間超過1010分鐘的概率分鐘的概率60554525(1510)(XPXPXPAP15154545解：設(shè)解：設(shè)AA乘客候車時間超過乘客候車時間超過1010分鐘分鐘XX乘客于某時乘客于某時X X分鐘到達(dá)，分鐘

21、到達(dá)，則X X U(0,60)U(0,60)216052055.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為的概率密度為 求（求（1）系數(shù)）系數(shù) （2） 的分布函數(shù)的分布函數(shù) (3) 01( )02402xkexf xxxk1 ,1 ,12PPP6.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 求（求（1）系數(shù)）系數(shù)A；（；（2）P P ，P 300( )0212xF xAxxx011.52237.某種型號的電燈泡使用時間（單位：小時）某種型號的電燈泡使用時間（單位：小時） 為一隨機(jī)變量為一隨機(jī)變量 ，其概率密度為，其概率密度為 求求3個這種型號的電燈泡使用了個這種型號的電燈泡

22、使用了1000小時后至少有小時后至少有2個仍可繼續(xù)使用的概率個仍可繼續(xù)使用的概率500010()500000 xexfxx例例 2：設(shè)隨機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（在區(qū)間（0，10）上服從均）上服從均勻分布，現(xiàn)對勻分布，現(xiàn)對X進(jìn)行進(jìn)行4次獨立觀察，試求至少有次獨立觀察，試求至少有3次觀察值大于次觀察值大于5的概率。的概率。例例 設(shè)X X U(-1,1),U(-1,1),求求Y=XY=X2 2的分布函數(shù)與概率密度。的分布函數(shù)與概率密度。 dxxfyFxxgyxxfyxXYX22)(01121其它ydxFyyY21其它01021)( )(yyyFyfYY當(dāng)y0時0)(yFY當(dāng)0y1時當(dāng)y1時1)(

23、yFYyy8. 已知離散型隨機(jī)變量已知離散型隨機(jī)變量 的分布律為的分布律為 求：（求：（1） 的分布律；的分布律； （2） 的分布律。的分布律。 (3) P12161311219291 -3 -1 0 1 3 5 12122XY),(YX),(YX9. 將一枚硬幣擲將一枚硬幣擲3次，以次，以 表示前表示前2次中出現(xiàn)次中出現(xiàn)H的次數(shù)，的次數(shù)，以以 表示表示3次中出現(xiàn)次中出現(xiàn)H的次數(shù)，求的次數(shù)，求 的聯(lián)合分布律以及的聯(lián)合分布律以及 的邊緣分布律。的邊緣分布律。2()E ),(YX10.二維隨機(jī)變二維隨機(jī)變量量 共有六個取正概率的點，共有六個取正概率的點，它們是：（它們是：（1，-1）,(2,-1)

24、 , (2,0) ,(2,2) , (3,1) , (3,2) , 并且并且 取得它們的概率相同，取得它們的概率相同，),(YXXY布律以及關(guān)于布律以及關(guān)于的邊緣分布律的邊緣分布律,和和),(YX的分的分求求并判斷并判斷XY的相互獨立性的相互獨立性.和和12. 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 的分布密度的分布密度 求（求（1） 與與 的邊緣分布密度；的邊緣分布密度； （2）問）問 與與 是否獨立。是否獨立。),(YX),(YX3 ,01 ,0( , )0,xxy xf x y 其 它XXXYYY13.二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 在單位圓上服從均勻分布，在單位圓上服從均勻分布，證明：隨機(jī)變量證明：隨機(jī)變量 ，

25、不相互獨立。不相互獨立。(, )X Y(),0,0( , )0,x yCexyf x y其它(01 ,01 )PXY 11.設(shè)設(shè) 的聯(lián)合分布密度為的聯(lián)合分布密度為試求：（試求：（1）常數(shù)；（）常數(shù)；（2）第四章習(xí)題課內(nèi)容第四章習(xí)題課內(nèi)容E(C)E(cX)E(X+Y)E（XY）定義式函數(shù)的期望E（X)D(C)D(cX)D(X+Y)定義式計算式D（X)COV(X,X)COV(aX,bY)COV(X+Y,Z)定 義 式計 算 式COV（ X,Y)不 相 關(guān)與獨 立相 關(guān) 系 數(shù)幾種重要的幾種重要的分布分布二項分布二項分布分布率分布率期望和方差期望和方差最可能分布最可能分布超幾何分布超幾何分布分布率分

26、布率當(dāng)當(dāng)N很大時很大時的結(jié)論的結(jié)論普哇松分布普哇松分布分布率分布率期望和方差期望和方差一個結(jié)論一個結(jié)論指數(shù)分布指數(shù)分布分布率分布率期望和方差期望和方差正態(tài)分布正態(tài)分布概率密度概率密度期望和方差期望和方差計算計算 1、 擲擲10顆骰子，假定每顆骰子出現(xiàn)顆骰子，假定每顆骰子出現(xiàn)1至至6點都是等點都是等可能的，則可能的，則10顆骰子的點數(shù)和的數(shù)學(xué)期望為顆骰子的點數(shù)和的數(shù)學(xué)期望為 ，方差為方差為 。 2、盒中有盒中有2個白球，個白球，3個黑球，從中任取個黑球，從中任取3個，個，表示取到的白球個數(shù)，表示取到的白球個數(shù)， 表示取到的黑球個數(shù)，表示取到的黑球個數(shù)， )(E)(D)(E)(D ， ， ， 3、

27、已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量的概率密度為的概率密度為 1221)(xxexx（ 則則 )(E)(D ， 4.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為的概率密度為 其他010)(xbaxxf且且 181)(D則則 _,ab)(E ， 5. 設(shè)兩隨機(jī)變量設(shè)兩隨機(jī)變量與與 的方差分別為的方差分別為25與與16， 與與相互獨立相互獨立 （1） )2 (D )2(D則則 ，（2）相關(guān)系數(shù)為）相關(guān)系數(shù)為0.4，則，則 )2 (D )2(D ， 8.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 的聯(lián)的聯(lián)合概率密度為合概率密度為),(其他00 , 10),(xyxkyxfk)()(DE與試確定常數(shù)試確定常數(shù)，并

28、計算并計算9.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量( , ) 的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 -1 0 1-1 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/8 試證試證與與既不相關(guān)也不獨立既不相關(guān)也不獨立 例例2 2 從某大學(xué)到火車站途中有從某大學(xué)到火車站途中有6 6個交通崗個交通崗, ,假設(shè)在各假設(shè)在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立個交通崗是否遇到紅燈相互獨立, ,并且遇到紅燈的概并且遇到紅燈的概率都是率都是1/3.1/3.(1)(1)設(shè)設(shè)X X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù)為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù), ,求求X X的分布律的分布律. .(2)(2)求汽車行駛途中至少遇到求汽車行駛途中至少遇

29、到5 5次紅燈的概率次紅燈的概率. .解解: :(1)(1)由題意由題意,XB(6,1/3),XB(6,1/3),于是于是,X,X的分布的分布律為律為: :66120,1,.,633kkkP XkCk 655)2(XPXPXP729133132316556 C例例 設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分的泊松分布布, ,且知一對夫婦有不超過且知一對夫婦有不超過1 1個孩子的概率為個孩子的概率為3e3e-2-2. .求求任選一對夫婦任選一對夫婦, ,至少有至少有3 3個孩子的概率。個孩子的概率。解解:由題意由題意,23 101),(eXPXPXPpX且2

30、1013XPXPXPXP323. 051! 22! 121222212eeee232eee例例 . .電子元件的壽命電子元件的壽命X(X(年）服從參數(shù)為年）服從參數(shù)為3 3的指數(shù)分布的指數(shù)分布(1)(1)求該電子元件壽命超過求該電子元件壽命超過2 2年的概率。年的概率。(2)(2)已知該電子元件已使用了已知該電子元件已使用了1.51.5年，求它還能使用年，求它還能使用兩年的概率為多少？兩年的概率為多少？解, 000)(3xxexfx362(1) 23,.xp Xedx e65 . 135 . 33335 . 15 . 1, 5 . 35 . 1|5 . 3)2(edxedxeXXXpXXpxx

31、例例 一種電子元件的使用壽命（小時）服從正態(tài)分一種電子元件的使用壽命（小時）服從正態(tài)分布布(100,15(100,152 2),),某儀器上裝有某儀器上裝有3 3個這種元件，三個元個這種元件，三個元件損壞與否是相互獨立的件損壞與否是相互獨立的. .求：使用的最初求：使用的最初9090小時內(nèi)小時內(nèi)無一元件損壞的概率無一元件損壞的概率. .解解: :設(shè)設(shè)Y Y為使用的最初為使用的最初9090小時內(nèi)損壞的元件數(shù)小時內(nèi)損壞的元件數(shù), ,2514. 0)67. 0()1510090(90XPp故4195. 0)1 (03pYP則 YB(3,p)其中第五章第五章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理1。切貝謝夫。切貝謝夫(Chebyshev)不等式不等式2DPE21DPE 2.三