數(shù)學(xué)建模進(jìn)行投資最優(yōu)化

1、資產(chǎn)最優(yōu)組合摘要本文在充分分析數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用了模糊評價(jià)評估產(chǎn)品近期表現(xiàn)的優(yōu)劣性，利用線性規(guī)劃模型對多種金融產(chǎn)品進(jìn)行組合，得到最優(yōu)解，最后對模型進(jìn)行評價(jià)。問題一：基于模糊評價(jià)模型。本文使用累計(jì)收益率、本月平均漲幅、系數(shù)（風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)）3個(gè)指標(biāo)，建立評估模型，來評估金融產(chǎn)品近期的優(yōu)劣性表現(xiàn)。首先用層次分析法給出各項(xiàng)評估指標(biāo)的權(quán)重并進(jìn)行對指標(biāo)一致性檢驗(yàn)，再用熵權(quán)法對權(quán)重值進(jìn)行修正；然后建立評估模型，利用模糊評價(jià)法得出景順長城內(nèi)需增長、中郵戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)、華夏現(xiàn)金增利貨幣、工銀貨幣、華能國際（穩(wěn)健型）、萬向錢潮（波動型）、*ST中華A（ST型）、國債、萬業(yè)債的模糊評估指標(biāo)分別為通過以上數(shù)據(jù)比較可知，股票

2、的表現(xiàn)明顯優(yōu)于債券和基金。問題二：首先構(gòu)建線性規(guī)劃模型，通過收益最大目標(biāo)函數(shù)和約束條件，求解出最優(yōu)產(chǎn)品組合。其次求解收益對應(yīng)的系數(shù)，繪出收益和風(fēng)險(xiǎn)的折線圖。根據(jù)圖示，找到風(fēng)險(xiǎn)變化一單位得到最大收益處的值，得到最優(yōu)解：選擇華能國際（穩(wěn)健型）、萬向錢潮（波動型）、國債、萬業(yè)債、中郵戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)、華夏現(xiàn)金增利貨幣的投資量為：3716.556、3752.874、3819.063、52.10025、109.8907、541.8917、41.32636問題三：本文在對選取的指標(biāo)運(yùn)用層次分析法賦予權(quán)重后，用熵權(quán)法對權(quán)值進(jìn)行修正，使權(quán)值更為準(zhǔn)確。同時(shí)，利用綜合評價(jià)得出產(chǎn)品的近期優(yōu)劣性表現(xiàn)。但是，本文系數(shù)求解考

3、慮較為單一，系數(shù)的計(jì)算公式可以根據(jù)產(chǎn)品公司進(jìn)行修改。本文運(yùn)用EXCEL統(tǒng)計(jì)了大量數(shù)據(jù)，利用SPSS軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，使用MATLAB進(jìn)行模型求解，使得模型更具合理性，可行性和科學(xué)性。關(guān)鍵詞：層次分析，一致性檢驗(yàn)，熵值取權(quán)，模糊評價(jià)， 線性規(guī)劃 一、問題重述我國現(xiàn)有多種多樣投資產(chǎn)品，例如銀行理財(cái)產(chǎn)品，國債，基金，房產(chǎn)，實(shí)物黃金，股票，外匯，期貨等等。對于投資者，其投資的主要目的在于獲得較高的收益，但投資的收益受許多不確定因素的影響，均會影響投資的收益情況。這種收益的不確定性使得投資具有風(fēng)險(xiǎn)性，風(fēng)險(xiǎn)與收益是相伴而生的。投資者通過資產(chǎn)組合，可以一定程度上，減少單一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中與市場總體變化無關(guān)的那些風(fēng)

4、險(xiǎn)。因此，進(jìn)行合理的資產(chǎn)組合以達(dá)到“低風(fēng)險(xiǎn)，高收益”目的對投資者是有其積極意義的。在這樣的背景下，我們提出問題：問題一： 對不同商業(yè)銀行推出的基金，對穩(wěn)健型、波動性、ST等不同類型股票以及公司債券、國庫券的近期的表現(xiàn)進(jìn)行分析評價(jià)。問題二：按照10萬元的投資額構(gòu)建資產(chǎn)組合。，構(gòu)造有效資產(chǎn)組合，力求形成投資組合的多元化效應(yīng)，需建立怎樣數(shù)學(xué)模型對資產(chǎn)組合進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)收益的定量分析，由此得到怎樣的組合方式？問題三：為更好地研究真實(shí)金融市場，還需要哪些信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？二、問題的分析對于問題一：對于問題二：我們通過構(gòu)建線性規(guī)劃模型，通過收益最大目標(biāo)函數(shù)和約束條件，求解出最優(yōu)產(chǎn)品組合。

5、其次求解收益對應(yīng)的系數(shù)，繪出收益和風(fēng)險(xiǎn)的折線圖。根據(jù)圖示，找到風(fēng)險(xiǎn)變化一單位得到最大收益處的值，得到最優(yōu)解：三、基本假設(shè)1. 建模收集數(shù)據(jù)真實(shí)可靠；。2. 建模中涉及主觀分析的結(jié)論基本與事實(shí)相符。3.假設(shè)產(chǎn)品表現(xiàn)主要受累計(jì)收益率、本月平均漲幅、系數(shù)的影響。4.假設(shè)路段交通需求穩(wěn)定，沒有什么特殊情況。若還有其他特殊的假設(shè),會在后面的建模中聲明.四、主要變量符號說明 為了便于描述問題，我們用一些符號來代替問題中涉及的一些基本變量，如表1所示。表1 主要變量符號說明一覽表系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)權(quán)重矩陣模糊關(guān)系矩陣E(x)期望值（均值）投資量指標(biāo)矩陣權(quán)重矩陣【注】其余沒有列出的符號，我們將在文章第一次出現(xiàn)時(shí)給出

6、具體說明五、問題模型的建立和求解5.1圖表評估本文選取了景順長城內(nèi)需增長、中郵戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)、華夏現(xiàn)金增利貨幣、工銀貨幣這四個(gè)基金，華能國際（穩(wěn)健型）、萬向錢潮（波動型）、*ST中華A（ST型）這三種股票，國債、萬業(yè)債這兩種債券，根據(jù)上海證券公司，搜集到基金、股票、國債的收益及其漲幅數(shù)據(jù)。（基金收益數(shù)據(jù)見表1，其余數(shù)據(jù)見附錄一）表 1 基金收益狀況基金名稱景順長城內(nèi)需增長中郵戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)華夏現(xiàn)金增利貨幣工銀貨幣日期累計(jì)收益當(dāng)日收益率累計(jì)收益當(dāng)日收益率年化收益年化收益4/1-7.870%0.760%21.630%3.110%5.142%5.414%4/2-8.600%-0.730%20.840%-

7、0.790%5.120%5.481%4/3-8.650%-0.050%20.550%-0.290%5.112%5.523%4/4-7.620%1.030%23.150%2.600%5.119%5.553%4/8-6.780%0.840%22.590%-0.560%5.096%5.474%4/9-5.880%0.900%23.430%0.840%5.138%5.475%4/10-5.230%0.650%22.920%-0.510%5.153%5.519%4/11-5.640%-0.410%21.010%-1.910%5.141%5.491%4/14-5.020%0.620%20.500%-0.5

8、10%5.094%5.394%4/15-5.710%-0.690%20.550%0.050%5.069%5.358%4/16-6.460%-0.750%19.820%-0.730%5.050%5.331%4/17-6.290%0.170%20.840%1.020%5.040%5.336%4/18-5.920%0.370%22.020%1.180%5.032%5.423%4/21-6.990%-1.070%23.770%1.750%5.006%5.334%4/22-9.100%-2.110%22.470%-1.300%4.996%5.284%4/23-10.170%-1.070%22.980%0

9、.510%4.969%5.227%4/24-10.430%-0.260%24.620%1.640%4.951%5.103%4/25-11.390%-0.960%21.570%-3.050%4.932%4.947%根據(jù)以上數(shù)據(jù)，作出基金收益率折線圖（表2），大致觀察收益情況以及波動情況。（股票和債券收益折線圖見附錄一）圖 1 基金收益率折線圖通過計(jì)算得到各類產(chǎn)品的平均收益率和波動系數(shù)（表2）。波動系數(shù)用方差來衡量。表 2 類型名稱平均收益率波動系數(shù)基金景順長城內(nèi)需增長-.1733315.984中郵戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)-.5755543.315華夏現(xiàn)金增利貨幣4.2291043.702工銀貨幣4.1969

10、085.206股票華能國際1.84960540.405萬向錢潮1.40275112.862*ST中華A-.91818830.334債券21國債0.07920696.15509萬業(yè)債0.04166962.015從上面的圖表可以得出，在近期，基金的平均收益最高，波動遠(yuǎn)小于股票，但大于債券。債券的收益率和年利率較為接近，波動較小。股票雖然平均收益不高，波動系數(shù)較大。投資者常常利用它的不穩(wěn)定性，賺取其中的入股與投出時(shí)的差價(jià)。5.2指標(biāo)評估表現(xiàn)優(yōu)劣5.1.2層次分析法求權(quán)重在定量評估各類投資產(chǎn)品優(yōu)劣的過程中我們考慮到投資產(chǎn)品涉及的直接影響因素，例如產(chǎn)品類型、本月累計(jì)收益率、本月平均漲幅、系數(shù)、預(yù)期收益率

11、等。此處我們考慮到分析實(shí)際問題的基本準(zhǔn)則是對于最重要因素進(jìn)行分析，我們可以根據(jù)體現(xiàn)產(chǎn)品收益風(fēng)險(xiǎn)的變化性，進(jìn)一步將其簡化歸類為四個(gè)主要因子產(chǎn)品類型、本月累計(jì)收益率、本月平均漲幅、系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)。系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)：單項(xiàng)資產(chǎn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)用系數(shù)來計(jì)量，通過以整個(gè)市場作為參照物，用單項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)收益率與整個(gè)市場的平均風(fēng)險(xiǎn)收益率作比較。系數(shù)可以衡量股票收益相對于業(yè)績評價(jià)基準(zhǔn)收益的總體波動性。 越高，意味著股票相對于業(yè)績評價(jià)基準(zhǔn)的波動性越大。其中無風(fēng)險(xiǎn)收益率為中國銀行一年定期利率。若 =1，表示該單項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)收益率與市場組合平均風(fēng)險(xiǎn)收益率呈同比例變化，其風(fēng)險(xiǎn)情況與市場投資組合的風(fēng)險(xiǎn)情況一致;若 >1，說明該單

12、項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)收益率高于市場組合平均風(fēng)險(xiǎn)收益率，則該單項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)大于整個(gè)市場投資組合的風(fēng)險(xiǎn);若 <1，說明該單項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)收益率小于市場組合平均風(fēng)險(xiǎn)收益率，則該單項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)程度小于整個(gè)市場投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。此處我們利用層次分析法對上述4個(gè)因子進(jìn)行權(quán)重分析，基本的層次結(jié)構(gòu)如圖2所示：圖 2 層次分析法示意圖層次分析法是一種定性分析和定量計(jì)算相結(jié)合的方法，根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)資料，構(gòu)造因素間的成對比較矩陣本月累計(jì)收益率、本月平均漲幅、系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)比較矩陣首先將矩陣做歸一化處理，然后做按行求和最后將求和結(jié)果進(jìn)行歸一化處理得權(quán)重向量又由 可得一致性指標(biāo)：該結(jié)果滿足一致性要求。5.1.3熵值取權(quán)法對權(quán)重的

13、校正由于層次分析法成對比較矩陣的給出存在一定的主觀因素，于是我們想到了利用熵值取權(quán)法進(jìn)行校正。熵值取權(quán)法的優(yōu)勢在于，它是通過判斷各個(gè)因素的變化劇烈程度來決定該因素在最終目標(biāo)中所占的權(quán)重。比如累計(jì)收益率對于產(chǎn)品的表現(xiàn)影響很大，但是如果在一個(gè)時(shí)間段里產(chǎn)品累計(jì)收益率保持基本不變，但是風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)卻因市場導(dǎo)致不斷的變化，這樣從熵值取權(quán)法的角度來看這對產(chǎn)品表現(xiàn)的影響就比累計(jì)收益率大，這與人們的想法也是一樣，同時(shí)它和層次分析法得出的結(jié)論是互補(bǔ)的且是客觀的。據(jù)此，我們利用熵值取權(quán)法客觀地給出一個(gè)3個(gè)因素的1×3的權(quán)重矩陣，對層次分析法給出的1×3的權(quán)重矩陣，以0.3:0.7的比例進(jìn)行校正，從

14、而給出最終4個(gè)因素對合理化指標(biāo)的組合權(quán)重值矩陣，然后對矩陣進(jìn)行歸一化處理得到最終的組合權(quán)重值矩陣此處我們選取華夏現(xiàn)金增利貨幣、華能國際、國債的基本分析數(shù)據(jù)建立的指標(biāo)矩陣：現(xiàn)在對每一個(gè)指標(biāo)的列向量做歸一化處理，其中，于是歸一化后的指標(biāo)矩陣：計(jì)算出中每一個(gè)元素的熵值，利用公式，算得一個(gè)未加工的權(quán)重矩陣，現(xiàn)在利用公式求出權(quán)重矩陣：我們利用基本分析數(shù)據(jù)求解得到：則最終4個(gè)因素對合理化指標(biāo)的組合權(quán)重值矩陣：5.1.4建立模糊評價(jià)模型在模糊評價(jià)模型中我們選取9個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行分析對比，具體的分析數(shù)據(jù)如表3所示：表 3類型產(chǎn)品名稱本月累計(jì)收益率本月平均漲幅系數(shù)基金景順長城內(nèi)需增長0.0352 -0.0010 1.

15、3948 中郵戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)-0.0006 -0.0041 0.1133 華夏現(xiàn)金增利貨幣0.0033 -0.0001 0.0258 工銀貨幣0.0035 -0.0002 0.0343 股票華能國際0.1500 0.3333 9.5384 萬象錢潮0.1144 -0.3650 9.6481 *ST中華A0.0637 -0.1239 9.8039 債券21國債0.079207 0.0094 0.4486 09萬業(yè)債0.041670 0.0167 1.0583 由上面權(quán)重分析我們已經(jīng)得到了3個(gè)的直接影響因素的權(quán)重，此處我們利用模糊數(shù)學(xué)公式將3個(gè)評價(jià)指標(biāo)的數(shù)字進(jìn)行模糊處理，建立模糊關(guān)系矩陣：由權(quán)重分析

16、可知4個(gè)影響指標(biāo)的權(quán)重為：把W與模糊關(guān)系矩陣相乘得模糊綜合評價(jià)結(jié)果:對矩陣進(jìn)行歸一化處理得到最終的模糊綜合評價(jià)結(jié)果矩陣，即5.1.4結(jié)果分析及說明將上述結(jié)果整理成表見表4表 4 模糊綜合評價(jià)結(jié)果產(chǎn)品景順長城內(nèi)需增長中郵戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)華夏現(xiàn)金增利貨幣工銀貨幣華能國際權(quán)重0.009710.004840.000720.000900.34040產(chǎn)品萬象錢潮*ST中華A21國債09萬業(yè)債權(quán)重0.457850.172050.003320.01022此處將上表模糊結(jié)果用餅狀圖表示：從上示餅形圖我們可以清楚地看出股票在產(chǎn)品各個(gè)方面的影響優(yōu)于其他類型，從累計(jì)收益率上看股票都有著明顯的優(yōu)勢。我們最終利用累計(jì)收益率、

17、本月平均漲幅、系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)三個(gè)指標(biāo)綜合評價(jià)產(chǎn)品，得到產(chǎn)品表現(xiàn)優(yōu)劣順序（從優(yōu)到劣進(jìn)行排序）：萬象錢潮>華能國際>*ST中華A>09萬業(yè)債>景順長城內(nèi)需增長>中郵戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)>21國債>工銀貨幣>華夏現(xiàn)金增利貨幣5.2問題二的求解5.2.1數(shù)據(jù)分析一般來說，人們投資時(shí)的收益是不確定的，因此是一個(gè)隨機(jī)變量，所以除了考慮收益的期望值外，還應(yīng)當(dāng)考慮風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)用什么衡量？在投資上，常用系數(shù)用來衡量個(gè)別股票或股票基金相對于整個(gè)股市的價(jià)格波動情況。系數(shù)是一種評估證券系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的工具，用以度量一種證券或一個(gè)投資證券組合相對總體市場的波動性，在股票、基金等投資術(shù)語中

18、常見。在一定的假設(shè)下，用收益的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）來衡量風(fēng)險(xiǎn)確實(shí)是合適的。為此，我們先對表6中給出的數(shù)據(jù)計(jì)算出三種股票收益的均值和方差（包括協(xié)方差）備用，得到表7。一種股票收益的均值衡量的是這種股票的平均收益狀況，而系數(shù)衡量的是這種股票收益的波動幅度，系數(shù)越大則波動越大（收益越不穩(wěn)定）。兩種股票收益的協(xié)方差表示的則是它們之間的相關(guān)程度：（1）協(xié)方差為0時(shí)兩者不相關(guān)。（2）協(xié)方差為正數(shù)表示兩者正相關(guān)，協(xié)方差越大則正相關(guān)性越強(qiáng)（越有可能一賺皆賺，一賠俱賠）。（3）協(xié)方差為負(fù)數(shù)表示兩者負(fù)相關(guān)，絕對值越大則負(fù)相關(guān)性越強(qiáng)（越有可能一個(gè)賺，另一個(gè)賠）表 5 選取產(chǎn)品股票1股票2股票3債券1債券2基金1基金2華

19、能國際萬向錢潮*ST中華A21國債09萬業(yè)債中郵華夏表 6ABCDEFG時(shí)期股票1股票2股票3債券1債券2基金1基金215.0659.636.3399.4899.842.1542.41525.1059.76.2199.4499.882.142.29135.119.7856.1298.8999.942.1352.33345.0659.886.1399.14 99.97 2.1812.37955.1310.066.18598.8299.982.1412.38765.18510.326.1998.9100.172.1862.37475.3210.676.2698.95100.172.1772.368

20、5.44510.9056.2699.27100.151.1432.3695.39511.236.1799.38100.142.1342.343105.3611.4056.1599.55100.041.1352.341115.37510.9556.15599.48100.152.1222.34125.3611.146.0799.7100.132.142.341135.30511.4455.97599.83100.172.1612.342145.2611.355.9999.97100.232.1922.324155.2310.9356.07599.78100.192.1692.321165.325

21、10.276.23599.83100.152.1782.29175.35510.0156.3599.48100.152.2072.31185.369.656.25599.78100.162.1532.307表 7ABCDEFG時(shí)期股票1股票2股票3債券1債券2基金1基金2期望值E(x)5.26410.5206.1727799.426100.0892.0472.342方差Var(X)0.0150.4410.01070.1320.0140.1160.001標(biāo)準(zhǔn)方差S(x)0.1240.6640.1030.3630.11630.3400.033相關(guān)系數(shù)CORREL股票1與股票2股票1與股票3股票1與

22、債券1股票1與債券2股票2與股票3股票2與債券1股票2與債券20.61970.02980.39100.7405-0.61010.38500.6237股票3與債券1股票3與債券2股票1與基金1股票1與基金2股票2與基金1股票2與基金2股票3與基金1股票3與基金2-0.3197-0.2788-0.4054-0.3664-0.3495-0.3495-0.10330.1099系數(shù)股票1股票2股票3國債1國債2基金1基金29.53849.64819.80390.44861.05831.39480.1133收益率y0.15000.11440.06377.92074.16700.0352-0.00065.2

23、.2線性規(guī)劃模型建立本問題的決策變量是各投資項(xiàng)目的投資比例。本問題的目標(biāo)函數(shù)是投資組合的風(fēng)險(xiǎn)最小，即投資組合總回報(bào)率的方差最小。建立線性規(guī)劃模型如下：設(shè)7個(gè)理財(cái)產(chǎn)品的投資量分別為產(chǎn)品的投資價(jià)（這里視為均價(jià)）為 風(fēng)險(xiǎn)用系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，各產(chǎn)品風(fēng)險(xiǎn)為。本文設(shè)定目標(biāo)函數(shù)為：約束條件為：5.2.2模型求解模型采用excel進(jìn)行線性規(guī)劃求解：得到目標(biāo)函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)表如圖3和表8所示圖 3 單個(gè)收益與風(fēng)險(xiǎn)表表 8 收益-風(fēng)險(xiǎn)表收益值風(fēng)險(xiǎn)值收益值風(fēng)險(xiǎn)值5000197.0487505600002364.5850061000003940975009400001576.390004500001970.4875054500

24、01773.4387541000002406.8017421020002349.3855778000315.27800081080002177.13759620000788.19500191100002119.721431利用SPSS進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，畫出折現(xiàn)圖（圖4）：圖 4 收益-風(fēng)險(xiǎn)圖由圖4，可以看到在風(fēng)險(xiǎn)在1900-2100之間收益和風(fēng)險(xiǎn)所成比例大于其他位置處的比例。由此，我們可以判斷出，在此處風(fēng)險(xiǎn)改變一點(diǎn)，但是收益會有巨大改變，因此我們選擇最高點(diǎn)風(fēng)險(xiǎn)為2119.721，此處收益達(dá)到最大值。最后得到如下解目標(biāo)收益為：110000風(fēng)險(xiǎn)為2119.721比例為： 選擇華能國際（穩(wěn)健型）、萬向錢

25、潮（波動型）、國債、萬業(yè)債、中郵戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)、華夏現(xiàn)金增利貨幣的投資量為：3716.556、3752.874、3819.063、52.10025、109.8907、541.8917、41.32636六、模型評價(jià)與改進(jìn)6.1模型優(yōu)點(diǎn)評述：1）本文根據(jù)累計(jì)收益率、本月平均漲幅、系數(shù)來評價(jià)產(chǎn)品近期的優(yōu)劣性，更加直觀。2）在問題一中，對選取的指標(biāo)運(yùn)用層次分析法賦予權(quán)重后，用熵權(quán)法對權(quán)值進(jìn)行修正，使權(quán)值更為準(zhǔn)確。2）SPSS、EXCEL數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，MATLAB嚴(yán)格地對模型求解，具有科學(xué)性。6.2模型缺點(diǎn)及改進(jìn)方向：1）問題一中，系數(shù)求解考慮較為單一。系數(shù)和產(chǎn)品上市公司有直接關(guān)系。所以在系數(shù)計(jì)算公式中應(yīng)該能

26、夠體現(xiàn)出公司自身特點(diǎn)。公司成立年限，近期累計(jì)收益和近期漲幅直接影響投資風(fēng)險(xiǎn)。所以可以用上面三個(gè)因素加權(quán)替換原來的同類市場收益率。2）產(chǎn)品的收益計(jì)算欠妥。股票收益可能來源于買入和賣出的差價(jià)，而不僅僅是最終的分紅。3）未考慮投資者的心理因素變量。參考文獻(xiàn)：1 趙清斌， 劉東波， 高廣闊，股票組合投資一個(gè)優(yōu)化模型構(gòu)建研究，科技與管理，第14卷第2期，2012年3月 2 榮喜民，張喜彬，張世英.組合證券投資模型研究J. 系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，1998，13（1）：81- 88.3蘇潔，改進(jìn)熵值法問題的初探，浙江理工大學(xué)4 董小平，資產(chǎn)投資的多目標(biāo)規(guī)劃模型，甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2000，14（4）：9- 13.5

27、 馬永開，基于因素模型的組合投資決策方法研究，成都：電子科技大學(xué)，2004：4- 5.6 上海交易所， 附錄一基金國債附錄二一、熵值取權(quán)法 clccleara=0.0033  -0.0001  0.0258     0.1500  0.3333  9.5384;    0.079207  0.0094  0.4486 s=zeros(1,3);for j=1:3    for i=1:3        s(j)=s(j)+a(i,j);for m=1:3    for n=1:3        b(n,m)=a(n,