改2.2.1 雙曲線及其標準方程

1、2.2 雙曲線2.2.1 雙曲線及其標準方程 生活中的雙曲線生活中的雙曲線法拉利主題公園法拉利主題公園巴西利亞大教堂巴西利亞大教堂麥克唐奈天文館麥克唐奈天文館1.1.記住雙曲線的定義，會推導雙曲線的標準記住雙曲線的定義，會推導雙曲線的標準 方程方程. .（重點）（重點）2.2.會用待定系數(shù)法確定雙曲線的方程會用待定系數(shù)法確定雙曲線的方程. .（難點）（難點）探究點探究點1 1 雙曲線的定義雙曲線的定義問題問題1 1：橢圓的定義？橢圓的定義？1F2F 0, c 0, cXYO yxM, 平面內與兩個定點平面內與兩個定點F F1 1，F(xiàn) F2 2的距的距離的和等于常數(shù)（大于離的和等于常數(shù)（大于F

2、F1 1F F2 2）的點的軌跡叫做橢圓）的點的軌跡叫做橢圓. .問題問題2 2：如果把橢圓定義中的如果把橢圓定義中的“距離之和距離之和”改為改為“距距離之差離之差”，那么點的軌跡是怎樣的曲線？，那么點的軌跡是怎樣的曲線？即即“平面內與兩個定點平面內與兩個定點F F1 1，F(xiàn) F2 2的距離的差等于常數(shù)的的距離的差等于常數(shù)的點的軌跡點的軌跡 ” ”是什么？是什么？如圖如圖(A)(A)， |MF |MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=|F|=|F2 2F|F|如圖如圖(B)(B)，|MF|MF2 2|-|MF|-|MF1 1|=2|=2a a，由可得：由可得： |MF |MF1 1|-|MF

3、|-|MF2 2|=2|=2a a（常數(shù)）（常數(shù)）. . 上面兩條曲線合起來叫做上面兩條曲線合起來叫做雙曲線雙曲線, ,每一條叫做雙曲線每一條叫做雙曲線的一支的一支. .看圖分析動點看圖分析動點M M滿足的條件：滿足的條件：=2a.=2a.即即|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=-2|=-2a.a.圖圖圖圖 兩個定點兩個定點F F1 1，F(xiàn) F2 2雙曲線的焦點雙曲線的焦點; ;|F|F1 1F F2 2|=2c|=2c雙曲線的焦距雙曲線的焦距. .（1 1）2a2c2a0.2a0.雙曲線定義雙曲線定義|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a ( 2a2c) |=2a

4、( 2a2c2a=2c,2a2c？不能不能. .若為若為0 0，曲線就是，曲線就是F F1 1F F2 2的垂直平分線了；的垂直平分線了；若若為為2a=2c,2a=2c,曲線應為兩條射線；曲線應為兩條射線；若為若為2a2c,2a2c,這樣的曲線不存在這樣的曲線不存在. .探究點探究點2 2 雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程1. 1. 建系建系. . 如圖建立直角坐標系如圖建立直角坐標系xOyxOy，使，使x x軸經過兩焦點軸經過兩焦點F F1 1，F(xiàn) F2 2，y y軸為線軸為線段段F F1 1F F2 2的垂直平分線的垂直平分線. .F2 2F1 1MxOy 設設M(xM(x , y) ,

5、y)為雙曲線上任意一點為雙曲線上任意一點, ,雙曲線的焦距雙曲線的焦距為為2c(c0),2c(c0),則則F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0)(c,0)，又設點，又設點M M與與F F1 1，F(xiàn) F2 2的距離的差的絕對值等于常數(shù)的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a.2a.2. 2. 設點設點. .3.3.列式列式由定義可知，雙曲線就是集合：由定義可知，雙曲線就是集合： P= P= M M | |MFMF1 1 | | - - | | MF MF2 2| | | = 2a = 2a , 22222()() .xcyxcya 即即4.4.化簡化簡代數(shù)式化簡得：代數(shù)式化簡得：22

6、222222()()yca xaa ca，222(),aca 兩兩邊邊同同除除以以得得222221.xyaca 由雙曲線的定義知，由雙曲線的定義知，2c2a0,2c2a0,即即ca,ca,故故c c2 2-a-a2 20,0,令令c c2 2-a-a2 2=b=b2 2, ,其中其中b0,b0,代入上式，得：代入上式，得：2222100(,).xyabab 上面方程是雙曲線的方程上面方程是雙曲線的方程, ,我們把它叫做雙曲我們把它叫做雙曲線的標準方程線的標準方程. .它表示焦點在它表示焦點在x x軸上，焦點分別是軸上，焦點分別是F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0)(c,

7、0)的雙曲線，這里的雙曲線，這里c c2 2=a=a2 2+b+b2 2. .想一想：想一想：焦點在焦點在y y軸上的雙曲線的標準方程應該是軸上的雙曲線的標準方程應該是什么？我們應該如何求解？什么？我們應該如何求解？2222100,).yxabab（12222byax12222bxayF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy)00(ba，雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程)0, 0( 12222babxay)0, 0( 12222babyax3.兩種標準方程的比較 方程用方程用“”號連接。號連接。 分母是分母是 但但 大小不定。大小不定。0, 0,22 bababa, 。 222bac如果如果

8、的系數(shù)是正的，則焦點在的系數(shù)是正的，則焦點在 軸上；如軸上；如果果 的系數(shù)是正的，則焦點在的系數(shù)是正的，則焦點在 軸上。軸上。2xx2yy1916. 122yx1916. 322xy1169. 222yx1169. 422xyF ( c, 0)12222 byax12222 bxayyxoF2F1MxyF2F1MF(0, c) 1212213,4,25,3,30,6 ,3(4)5 0 ,(5,0),abxcbxaFFPF F練習 ：寫出符合下列條件的雙曲線的標準方程（）焦點在 軸上（ ）焦點在 軸上（ ）焦點為 0,-6 、焦點 （， ）雙曲線上一點 到的距離的差的絕對值等于8221916xy

9、221169xy221927yx221169xy2222(1)|(5)(5)| 6xyxy方程表示什么曲線?2222(2)(4)(4)6xyxy方程表示什么曲線?雙曲線2116y2x9雙曲線右支以點(0,4)為端點,沿y軸正方向的一條射線2222(3)(4)(4)8yxyx方程表示什么曲線?21,(3)7yx2x9222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0a0，b0b0，但，但a a不一不一定大于定大于b b，c c2 2=a=a2 2+b+b2 2ab0ab0，a a2 2=b=b2 2+c+c2 2|MF|MF1 1| |MF|MF2 2|=2a,2a|F|=2a,

10、2a|F2a|F1 1F F2 2| | 橢橢 圓圓雙曲線雙曲線F F（0 0，c c）F F（0 0，c c）222210()xyabab222210()yxabab2222100(,)xyabab2222100(,)yxabab【提升總結提升總結】練習一練習一1、雙曲線、雙曲線 的焦點坐標是的焦點坐標是14522yx191622xy2、雙曲線、雙曲線 的焦點坐標是的焦點坐標是提交重選提交重選例例1:1:求適合下列條件的雙曲線的標準方程。求適合下列條件的雙曲線的標準方程。例題分析例題分析（1 1）a=4,c=5,a=4,c=5,焦點在焦點在y y軸上軸上（2 2）焦點為）焦點為(-5,0),

11、(5,0),(-5,0),(5,0),且且b=4b=4例例 1 1 已已知雙曲線兩個焦點知雙曲線兩個焦點1( 5,0)F , ,2(5,0)F, ,雙曲線雙曲線上一上一點點P到到 ， 距離差的絕對值等于距離差的絕對值等于 6 6, , 求求雙曲線雙曲線的的標準標準方程方程. . 1F2F解：解：因為雙曲線的焦點在因為雙曲線的焦點在x x軸上，所以設它的標準軸上，所以設它的標準方程為方程為2222100(,).xyabab因為因為2a=6,2c=10,2a=6,2c=10,所以所以a=3,c=5,a=3,c=5,所以所以2225316.b 因此，雙曲線的標準方程為因此，雙曲線的標準方程為2219

12、16.xy 已知雙曲線已知雙曲線 上一點上一點P到到雙曲線的一個焦點的距離為雙曲線的一個焦點的距離為9，則它到另一，則它到另一個焦點的距離為個焦點的距離為 或或221916xy練習二練習二練習二練習二1、雙曲線、雙曲線 的焦距是的焦距是14522yx2、雙曲線、雙曲線 上的點到兩個焦點的距上的點到兩個焦點的距離之差的絕對值等于離之差的絕對值等于15922yx3、雙曲線、雙曲線 , b的值等于的值等于191622xy6354246865433練習二練習二4、雙曲線、雙曲線 焦距是焦距是6,則則m的值為的值為1422myx1722ymx5、雙曲線、雙曲線 上的點到兩個焦點的距上的點到兩個焦點的距離

13、之差的絕對值等于離之差的絕對值等于8,則則m的值為的值為257481016例例2 2 已知已知A,BA,B兩地相距兩地相距800 m,800 m,在在A A地聽到炮彈爆炸聲比地聽到炮彈爆炸聲比在在B B地晚地晚2 s,2 s,且聲速為且聲速為340 m/s,340 m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方求炮彈爆炸點的軌跡方程程. .分析分析: :首先根據(jù)題意首先根據(jù)題意, ,判斷軌跡的形狀判斷軌跡的形狀. .由聲速及由聲速及A A，B B兩處聽到爆炸聲的時間差兩處聽到爆炸聲的時間差, ,可知可知A A，B B兩處與爆炸點的兩處與爆炸點的距離的差為定值距離的差為定值. . 這樣，爆炸點在以這樣，爆炸點在以

14、A A，B B為焦點的為焦點的雙曲線上雙曲線上. .因為爆炸點離因為爆炸點離A A處比離處比離B B處遠，所以爆炸點處遠，所以爆炸點應在靠近應在靠近B B處的雙曲線的一支上處的雙曲線的一支上. .解解: : 如圖所示，建立直角坐標系如圖所示，建立直角坐標系xOy,xOy,使使A A，B B兩點在兩點在x x軸上，并且坐標原點軸上，并且坐標原點O O與線段與線段ABAB的中點重合的中點重合. .xyoPBA設爆炸點設爆炸點P P的坐標為的坐標為(x,y)(x,y)，則，則3402680PAPB ，即即 2 2a a=680=680，a a=340.=340.AB800，又又所以所以 2c=800

15、,c=400,2c=800,c=400,44 400bca ，2 22 22 2340268000,.PAPBx因因為為所所以以1(0).115 60044 400 xyx2222因此炮彈爆炸點的軌跡（雙曲線）的方程為因此炮彈爆炸點的軌跡（雙曲線）的方程為【舉一反三舉一反三】1.1.若在若在A,BA,B兩地同時聽到炮彈爆炸聲兩地同時聽到炮彈爆炸聲, ,則炮彈爆炸點則炮彈爆炸點的軌跡是什么的軌跡是什么? ?解解: : 爆炸點的軌跡是線段爆炸點的軌跡是線段ABAB的垂直平分線的垂直平分線. .1 1已知兩定點已知兩定點F F1 1( (5,0)5,0)，F(xiàn) F2 2(5,0)(5,0)，動點，動點P P滿足滿足| |PFPF1 1| | |PFPF2 2| |2 2a a，則當，則當a a3 3和和5 5時，時，P P點的軌跡點的軌跡為為( () )A A雙曲線和一直線雙曲線和一直線B B雙曲線和一條射線雙曲線和一條射線C C雙曲線的一支和一條射線雙曲線的一支和一條射線D D雙曲線的一支和一條直線雙曲線的一支和一條直線C 4m454n11697m16n1解得解得 m116n19 ， ， ， ， 小結數(shù)量特征：數(shù)量特征：定義：定義：方程形式：方程形式：位置特征：位置特征：焦點坐標焦點坐標 圖象：圖象：222, ,0)cab a b c（22221(0