Chap4-3協(xié)方差等

1、第 四 章 第三節(jié)協(xié) 方 差 與 相 關 系 數(shù) 前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望和方差，對于多維隨機變量，反映分量之和方差，對于多維隨機變量，反映分量之間關系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本間關系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本講要討論的講要討論的協(xié)方差和相關系數(shù)協(xié)方差和相關系數(shù) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)，一、協(xié)方差一、協(xié)方差2.簡單性質簡單性質 Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常數(shù)是常數(shù)Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) (, )()( )X

2、 YEXE XYE YXYX Y設為二維隨機向量，若存在，則稱此期望為 與 的協(xié)方差,記為Cov( , ),Cov(X,X)= Var(X)(4) Cov(a, X) = 0, a是常數(shù)是常數(shù) Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可見，若可見，若X與與Y獨立，獨立， Cov(X,Y)= 0 .3. 計算協(xié)方差的一個簡單公式計算協(xié)方差的一個簡單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質，可得由協(xié)方差的定義及期望的性質，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)即即但反過來不成立但反過來不

3、成立若若X1,X2, ,Xn兩兩獨立兩兩獨立,，上式化為，上式化為4. 隨機變量隨機變量和的方差與協(xié)方差的關系和的方差與協(xié)方差的關系niniiiXX11)Var()Var(Var(X Y)= Var(X)+Var(Y) 2Cov(X,Y)例1 設二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合密度為8 , 01,( , )0,xyxyf x y 其他Cov(, )Var().X YXY計算和解：1101101108()( , )d d8d d154( )( , )d d8d d54()( , )d d8d d9xxxE Xxf x yxyx xyyxE Yyf x yxyy xyyxE XYxyf x yx

4、yxy xyyx 4Cov(,)()() ( ).225X YE XYE X E Y所以1122201122201()( , )d d8d d32()( , )d d8d d3xxE Xx f x yxyxxyyxE Yy f x yxyyxyyx 2222221811Var()()(),315225242Var( )()( ),3575XE XE XYE YE Y1Var()Var()Var( )2Cov(, ).25XYXYX Y二二、相關系數(shù)、相關系數(shù)在不致引起混淆時，記在不致引起混淆時，記 為為 .XY 為隨機變量為隨機變量X和和Y的相關系數(shù)的相關系數(shù) .定義定義: （X，Y）為二維隨

5、機向量，）為二維隨機向量，)Var()Var(),Cov(YXYXXY 稱稱Var(X)0，Var(Y)0, Cov(X,Y)2Var(X)Var(Y)“=”成立 X與Y之間有線性關系,即 a和b,使Y=aX+b證明證明:l定理定理 4.3.14.3.112,()( )0tREt XE XYE Y 有（）（）0)Var(),Cov(2)Var(:2YtYXtX即 0 0即: Cov(X,Y)2Var(X)Var(Y)若若 =0， Y與與X無線性關系無線性關系;稱稱X,Y不相關不相關。 Y與與X有嚴格線性關系有嚴格線性關系;, 1 若若| |的值越接近于的值越接近于1, Y與與X的線性相關程度越

6、高的線性相關程度越高; | |的值越接近于的值越接近于0, Y與與X的線性相關程度越弱的線性相關程度越弱. 相關系數(shù)的性質：相關系數(shù)的性質：11 | . 1X與與Y之間有線性關系之間有線性關系X與與Y之間有線性關系之間有線性關系111 | . 1111 | . 1X與與Y之間有線性關系之間有線性關系Cov(X,Y)2Var(X)Var(Y) “ =”成立 X與Y之間有 線性關系,即 a和b,使Y=aX+bp=0-2-1012-2-1012p=0.2-303-303p=0.5-303-3-2-10123p=0.9-303-3-2-10123p=1-303-303對應對應的的(X,Y).1, 9

7、. 0, 5 . 0, 2 . 0, 0定理：對二維隨機向量定理：對二維隨機向量(X,Y),下列結論等價：下列結論等價：(1)Cov(, )0;(2)(0);(3)()() ( );(4)Var()Var()Var( ).XYX YXYE XYE X E YXYXY與 不相關由于當由于當X和和Y獨立時，獨立時，Cov(X,Y)= 0.故故)Var()Var(),Cov(YXYX = 00但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 獨立獨立.請看下例請看下例.2. X和和Y獨立時，獨立時， =0，即，即X，Y必不相關，必不相關，但其逆不真但其逆不真.例例1 設設X服從服從(-1/2, 1/2)

8、內的均勻分布內的均勻分布,而而Y=cos X,（請課下自行驗證）（請課下自行驗證）因而因而 =0， 即即X和和Y不相關不相關 .但但Y與與X有嚴格的函數(shù)關系，有嚴格的函數(shù)關系，即即X和和Y不獨立不獨立 .不難求得，不難求得，Cov(X,Y)=0，但對下述情形，獨立與不相關等價但對下述情形，獨立與不相關等價若若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布，則X與與Y獨立獨立X與與Y不相關不相關前面，我們已經看到：前面，我們已經看到：若若X與與Y獨立，則獨立，則X與與Y不相關，不相關，但由但由X與與Y不相關，不一定能推出不相關，不一定能推出X與與Y獨立獨立.0,),(),(222121的充要條件

9、為相互獨立則YXNYX下面我們看一個投資風險組合方面的應用：設設X,Y分別表示在兩個不同風險項目上的投資分別表示在兩個不同風險項目上的投資回報，回報，a, b代表組合投資中這兩個項目的權重，代表組合投資中這兩個項目的權重，a X+ bY就表示了此組合投資的總收益，就表示了此組合投資的總收益，a+b=1.222222222(),Var()= Var( )+b Var( )+2Cov( , )+b+2()2 (1)()2 (1)aX bYXYaX bYXYXYXYXYXYXYXYXYXYE aX bYabaX bY aXYabX Yaababababab 注意到在實際中0,0,| 1XYabXYa

10、X bYXYabab(1)(1)1,(0,1),0(1),(1),aXa YXYaXa YXYbaaaaaa 記則對任意的有(1),0,.XYXYXYaXa YXYX Y 假設這兩個項目的投資回報滿足且即高回報伴隨著高風險。當a:1即逐步將高風險投資項目的權重加大，此時總收益的期望值從逐步增加到與此同時投資風險(用反映)也從增加到但深入的研究表明：這一變化不是單調的，即但深入的研究表明：這一變化不是單調的，即低風險能同時實現(xiàn)。減小，即增加收益與降而增加，變小時，當通常存在一個區(qū)間YaaXYaaXa)1()1(),1 , 0(),( 哈里哈里.馬克維茨馬克維茨(Harry Markowitz)9

11、0年諾貝爾經濟學獎年諾貝爾經濟學獎 第 4 節(jié) 協(xié)方差陣與矩 對二維隨機變量（對二維隨機變量（X, Y）)(211XEXEc)()(12YEYXEXEc排成矩陣的形式排成矩陣的形式:)()(21XEXYEYEc)(222YEYEc稱此矩陣為（稱此矩陣為（X, Y）的協(xié)方差矩陣）的協(xié)方差矩陣.22211211cccc這是一個這是一個對稱矩陣對稱矩陣)Var( X),Cov(YX),Cov(XY)Var(Y 類似定義類似定義n維隨機變量維隨機變量(X1,X2, ,Xn) 的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣.為為(X1,X2, ,Xn) 的的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣nnnnnncccccccccC21222211

12、1211稱矩陣稱矩陣i, j=1,2,n都存在都存在,),Cov(jijiXXc 若若)()(jjiiXEXXEXE這是一個這是一個對稱矩陣對稱矩陣 定義定義 4.4.14.4.1 對隨機變量X,若E(Xk)存在,則稱它為X的k階原點矩,若EX-E(X)k存在,則稱它為X的k階中心矩.這里k=1,2, 于是,E(X)是X的一階原點矩,Var(X)是X的二階中心矩.在數(shù)理統(tǒng)計中,高于四階的矩應用較少.矩的定義矩的定義復習復習1. 這一章的關鍵就是要掌握好期望這一章的關鍵就是要掌握好期望E(X)的求法的求法.)(.,)(vrXdxxfxvrXpxXEkkk為連續(xù)型，為離散型連續(xù)型離散型Xdxxfx

13、gXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(2. 隨機變量函數(shù)隨機變量函數(shù))( XgY 的期望的期望 ijijjipyxgYXgE),(),(dxdyyxfyxgYXgE ),(),(),(3. 二維隨機變量函數(shù)二維隨機變量函數(shù)),(YXg的期望的期望4.方差的計算方差的計算 Var(X)=E(X2)-E(X)2 5.協(xié)方差與相關系數(shù)的計算協(xié)方差與相關系數(shù)的計算 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) )Var()Var(),Cov(YXYXXY 1. 設隨機變量設隨機變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為0, 0, 0,!)(xxnexxfxn求求X的期望的期望 及方差及方差

14、)(XE)Var( XdxnexdxxxfXExn01!)()(dxexx01)( 1) 1 (),() 1( 1)!1(!1)2(!1nnnnn )21()!1()( nn)1)(2()!2(!1)3(!1!)()(0222nnnnnndxnexdxxfxXExn 1) 1() 1)(2()()()Var(222nnnnXEXEX2.設二維隨機向量設二維隨機向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為其它, 010,),(2xyAyyxf(1) 求常數(shù)求常數(shù)A (2) 判斷判斷X，Y是否相互獨立是否相互獨立(3) 求求)()(),(22YXEXYEXE及12112),(1002 AAdyA

15、ydxdxdyyxfxxy 1其它, 010),1 (1212),()(122yYyyydxydxyxfyf不相互獨立所以，時，當YXyfxfyxfyxYX,)()(),(1,0其它, 010,412),()() 2(032xXxxdyydyyxfxfxy 1dxxxfXEX)()(104544dxx其它, 010,4)(3xxxfX 100104254412),()(xdxxdyyxdxdydxyxxfXE或或 100105321312),()(xdxxdyyxdxdydxyxxyfXYE 10022222221516)(12),()()(xdyyyxdxdydxyxfyxYXExy 1想想想想的概率密度函數(shù)求YXYXP)5(?) 12()4(設隨機變量設隨機變量X有概率密度函數(shù)有概率密度函數(shù)其它, 0, 10,1, 01,1)(xxxxxf令令,2XY 求求(1) Y的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù))( yfY)Var(),() 3(96. 125. 0)2(YYEYPyydxxfyXyPyXPyYPyFyyY2)()(2 1 , 0 (y當, 0)(0yFyY時，當當y1時，時，1)(yFY其它, 0 1 , 0(, 1)()(1yyyfY 1 , 0 (2)(yyyyFY25. 0)25. 0() 1 ()()(96. 125. 0) 2(1