地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動

1、 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動1MULTIPLE AQUIFERSDistorted scale! Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 1. 承壓含水層中的完整井流承壓含水層中的完整井流 2. 有越流補(bǔ)給的完整井流有越流補(bǔ)給的完整井流 3. 有弱透水層彈性釋水補(bǔ)給和越流補(bǔ)給的完整井流有弱透水層彈性釋水補(bǔ)給和越流補(bǔ)給的完整井流 4. 潛水完整井流潛水完整井流 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動4-1 4-1 承壓含水層中的完整井流承壓含水層中的完整井流 當(dāng)承壓含水層側(cè)向邊界離井很遠(yuǎn)，邊界對研究區(qū)的水頭分布沒有明顯

2、當(dāng)承壓含水層側(cè)向邊界離井很遠(yuǎn)，邊界對研究區(qū)的水頭分布沒有明顯影響時(shí)，可以把它看作是無外界補(bǔ)給的無限含水層。影響時(shí)，可以把它看作是無外界補(bǔ)給的無限含水層。 1. 定流量抽水時(shí)的定流量抽水時(shí)的Theis公式公式 承壓含水層中單井定流量抽水的數(shù)學(xué)模型是在下列假設(shè)條件下建立的：承壓含水層中單井定流量抽水的數(shù)學(xué)模型是在下列假設(shè)條件下建立的： (1) 含水層均質(zhì)各向同性，等厚，側(cè)向無限延伸，產(chǎn)狀水平；含水層均質(zhì)各向同性，等厚，側(cè)向無限延伸，產(chǎn)狀水平； (2) 抽水前天然狀態(tài)下水力坡度為零；抽水前天然狀態(tài)下水力坡度為零； (3) 完整井定流量抽水，井徑無限小；完整井定流量抽水，井徑無限小； (4) 含水層中

3、水流服從含水層中水流服從Darcy定律；定律； (5) 水頭下降引起的地下水從貯存量中的釋放是瞬時(shí)完成的。水頭下降引起的地下水從貯存量中的釋放是瞬時(shí)完成的。 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 在上述假設(shè)條件下，抽水后將形成以井軸為對稱軸的下降漏斗，將在上述假設(shè)條件下，抽水后將形成以井軸為對稱軸的下降漏斗，將坐標(biāo)原點(diǎn)放在含水層底板抽水井的井軸處，井軸為坐標(biāo)原點(diǎn)放在含水層底板抽水井的井軸處，井軸為Z軸，如圖軸，如圖4-1所示。所示。圖圖4-1 4-1 承壓水完整井流承壓水完整井流 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 此時(shí)，單井定流量的承壓完整井

4、流，可歸納為如下的數(shù)學(xué)模型：此時(shí)，單井定流量的承壓完整井流，可歸納為如下的數(shù)學(xué)模型： 式中，式中，s=H0-H。 下邊研究如何求降深函數(shù)下邊研究如何求降深函數(shù)s (r, t)。為此，利用。為此，利用Hankel變換，將方變換，將方程式程式(4-1)兩端同乘以兩端同乘以rJ0(r)，并在，并在(0,)內(nèi)對內(nèi)對r積分。積分。2*21ssusrrrTts(r，0)=0 s(，t)=0， 0rsr 0lim2rsQrrT t0，0 (4-1) （4-2） 0r0 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動設(shè)導(dǎo)壓系數(shù)設(shè)導(dǎo)壓系數(shù) ，則有：，則有：方程式右端方程式右端方程式左端，利用分部積

5、分，同時(shí)注意到邊界條件式方程式左端，利用分部積分，同時(shí)注意到邊界條件式（4-3）與式）與式(4-4)，有：，有：按按Bessel函數(shù)的性質(zhì)，有：函數(shù)的性質(zhì)，有：*Ta00001()()ssarr Jrd rr Jrd rrrtt0000()()sd sr Jrd rs r Jrd rttd t01001()()()2saQarrJr drasd rJrrrtT1000()()s dr Jrsr Jrd r Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 因此，有：因此，有： 上述定解問題，經(jīng)過上述定解問題，經(jīng)過Hankel變換，消去了變量變換，消去了變量r，轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?，轉(zhuǎn)變

6、為常微分方程的初值問題，即：的初值問題，即：其解為：其解為：再通過再通過Hankel逆變換由逆變換由 求求s，即：，即：2001()2sa QarrJr d rasrrrT2200d sa Qasd tTst2()02tata QsedT200()000()()2tatssJrda QeJrddT（4-5） Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動先計(jì)算方括號內(nèi)的積分，為此設(shè)：先計(jì)算方括號內(nèi)的積分，為此設(shè)：將將(4-6)式對式對r求導(dǎo)數(shù)，有：求導(dǎo)數(shù)，有：根據(jù)（根據(jù)（4-6）式，有：）式，有： 2()00()()atFreJrd22()00()00()()1()2()atat

7、FreJrdreJrdat ( )( )2 ()( )( )2 ()rFrF ra tdF rrdrF ra t （4-6） Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 兩邊積分得：兩邊積分得： 令令 ，則有：，則有： 故：故：利用利用r=0時(shí)的時(shí)的F（r）值，由（）值，由（4-6）可以確定）可以確定C值：值：但由但由(4-7)式，有：式，有： 把上式代入把上式代入(4-5)式，有：式，有：21ln()4()rFrCat1lnCC2()ln4()FrrCat 24()()ratFrC e（4-7） 2()001(0 )(0 )2()atFeJda t1( 0 ),2()FCC

8、at24()1()2()ratFreat24()0122()rtata QsedTat（4-8） Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動為計(jì)算方便，對（為計(jì)算方便，對（4-8）式進(jìn)行變量代換，令：）式進(jìn)行變量代換，令：同時(shí)更換積分上下限，當(dāng)同時(shí)更換積分上下限，當(dāng)=0 時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)=t時(shí)，時(shí)，y = 于于是，是， 其中，其中， 222,4()4rrydd ya ta yatry42222244444yyruatQerQesdydyrTayTyay（4-9） 22*44rrua TT t（4-10） Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動在地下水動力學(xué)

9、中，采用井函數(shù)在地下水動力學(xué)中，采用井函數(shù)W(u)代替代替(4-9)式中的指數(shù)積分式：式中的指數(shù)積分式：則則(4-9)式可改寫成：式可改寫成：式中，式中，s抽水影響范圍內(nèi)，任一點(diǎn)任一時(shí)刻的水位降深；抽水影響范圍內(nèi)，任一點(diǎn)任一時(shí)刻的水位降深； Q抽水井的流量；抽水井的流量；T導(dǎo)水系數(shù)；導(dǎo)水系數(shù)； t自抽水開始到計(jì)算時(shí)刻的時(shí)間；自抽水開始到計(jì)算時(shí)刻的時(shí)間； r計(jì)算點(diǎn)到抽水井的距離；計(jì)算點(diǎn)到抽水井的距離；*含水層的貯水系數(shù)。含水層的貯水系數(shù)。 (4-9)式為無補(bǔ)給的承壓水完整井定流量非穩(wěn)定流計(jì)算公式，也就是式為無補(bǔ)給的承壓水完整井定流量非穩(wěn)定流計(jì)算公式，也就是著名的著名的Theis公式公式。( )(

10、)yiueW uEudyy ()4QsWuT（4-11） Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動21( )0.577216ln( 1)nynunuW uedyuuyn n 為了計(jì)算方便，通常將為了計(jì)算方便，通常將W(u)展開成級數(shù)形式：展開成級數(shù)形式： 并制成數(shù)值表（表并制成數(shù)值表（表4-1），只要求出），只要求出u值，從表值，從表4-1中就可查出相應(yīng)的中就可查出相應(yīng)的W（u）值；反之亦然。）值；反之亦然。 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向

11、完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動2. 流量變化時(shí)的計(jì)算公式流量變化時(shí)的計(jì)算公式 Theis公式是在假定流量固定不變的情況下導(dǎo)出的。這種情況通常只有公式是在假定流量固定不變的情況下導(dǎo)出的。這種情況通常只有在抽水試驗(yàn)時(shí)才能做到。實(shí)際上，很多生產(chǎn)井的流量是季節(jié)性變化的。如在抽水試驗(yàn)時(shí)才能做到。實(shí)際上，很多生產(chǎn)井的流量是季節(jié)性變化的。如農(nóng)用井在灌溉季節(jié)抽水量大，非灌溉季節(jié)抽水量小。工業(yè)用水也有類似情農(nóng)用井在灌溉季節(jié)抽水量大，非灌溉季節(jié)抽水量小。工業(yè)用水也有類似情況，常隨需水量而變化。在這種情況下，怎樣應(yīng)用況，常隨需水量而變化。在這種情況下，怎樣應(yīng)用Theis公式公式? 首先需要繪出生產(chǎn)井的首先需要繪出生產(chǎn)井的Q=f

12、（t）關(guān)系曲線，即流量過程線。）關(guān)系曲線，即流量過程線。 然后將流量過程線概化，用階梯形折線代替原曲線，坐標(biāo)選擇如圖然后將流量過程線概化，用階梯形折線代替原曲線，坐標(biāo)選擇如圖4-2所示。概化原則是矩形面積等于曲線于橫坐標(biāo)所圍成的面積。其中，每一所示。概化原則是矩形面積等于曲線于橫坐標(biāo)所圍成的面積。其中，每一個(gè)階梯都可視為定流量，應(yīng)用個(gè)階梯都可視為定流量，應(yīng)用Theis公式。把各階梯流量產(chǎn)生的降深，按疊公式。把各階梯流量產(chǎn)生的降深，按疊加原理疊加起來，即得流量變化時(shí)水位降深的計(jì)算公式。加原理疊加起來，即得流量變化時(shí)水位降深的計(jì)算公式。 當(dāng)當(dāng)0tt1時(shí)，水位降深為：時(shí)，水位降深為： 2144Qr

13、usWTTt Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動1iittt2221121114444 ()44 ()iiiQQQQQrrrsWWWTTtTT t tTT t t當(dāng)當(dāng) 時(shí)，水位降深為：時(shí)，水位降深為：圖圖4-2 流量概化呈階梯狀變化圖流量概化呈階梯狀變化圖 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 t時(shí)刻經(jīng)歷若干個(gè)階梯流量后所產(chǎn)生的總水位降深為：時(shí)刻經(jīng)歷若干個(gè)階梯流量后所產(chǎn)生的總水位降深為： 式中，設(shè)式中，設(shè)t0=0，相應(yīng)的，相應(yīng)的Q0=0。 (4-12)式為流量變化時(shí)，經(jīng)概化呈階梯狀變化后的計(jì)算公式。式為流量變化時(shí)，經(jīng)概化呈階梯狀變化后的計(jì)算公式

14、。3 . Theis公式的近似表達(dá)式公式的近似表達(dá)式 如前述，如前述，Theis公式中的井函數(shù)，可以展開成無窮級數(shù)形式，即：公式中的井函數(shù)，可以展開成無窮級數(shù)形式，即： 21111()44 ()niiiirsQQWTT tt1iittt （4-12） 21( )0.577216ln( 1)!nynunuW ue dyuuyn n Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 前三項(xiàng)之后的級數(shù)是一個(gè)交錯(cuò)級數(shù)。根據(jù)交錯(cuò)級數(shù)的性質(zhì)可知，這個(gè)前三項(xiàng)之后的級數(shù)是一個(gè)交錯(cuò)級數(shù)。根據(jù)交錯(cuò)級數(shù)的性質(zhì)可知，這個(gè)級數(shù)之和不超過級數(shù)之和不超過u。也就是說，當(dāng)。也就是說，當(dāng)u很小，井函數(shù)很小，井函數(shù)W

15、(u)用級數(shù)前兩項(xiàng)用級數(shù)前兩項(xiàng)(-0.577216-lnu)代替時(shí)，其舍掉部分不超過代替時(shí)，其舍掉部分不超過2u。因此，。因此，當(dāng)當(dāng)u 0.01(即即 )，井函數(shù)用級數(shù)前兩項(xiàng)代替時(shí)，其相對誤差，井函數(shù)用級數(shù)前兩項(xiàng)代替時(shí)，其相對誤差不超過不超過0.25%；當(dāng)當(dāng)u0.05時(shí)時(shí)(即即 )，相對誤差不超過，相對誤差不超過2%；當(dāng)當(dāng)u 0.1時(shí)（即時(shí)（即 ），相對誤差不超過），相對誤差不超過5%。 一般生產(chǎn)上允許相對誤差在一般生產(chǎn)上允許相對誤差在2%左右。因此，當(dāng)左右。因此，當(dāng)u0.01或或u 0.05時(shí)，井時(shí)，井函數(shù)可用級數(shù)的前兩項(xiàng)代替，即：函數(shù)可用級數(shù)的前兩項(xiàng)代替，即：22 5r utT25rutT

16、22.25( )0.577216lnlnTtW uur22.5r utT Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動于是，于是，Theis公式可以近似地表示為下列形式：公式可以近似地表示為下列形式：(4-13)式稱為式稱為Jacob公式公式(1946)。 流量階梯狀變化時(shí)，當(dāng)流量階梯狀變化時(shí)，當(dāng)ui0.01時(shí)，即時(shí)，即(4-12)式可近似地表示為：式可近似地表示為： (4-13) 11212.25 ()0.183()lgniiiiT ttsQQTr (4-14)2()2 5(1, 2)irttinT2*22.250.1832.25lnlg4QTtQTtsTrTr u Ch4

17、地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動4 .對對Theis公式和與之有關(guān)的幾個(gè)問題的討論公式和與之有關(guān)的幾個(gè)問題的討論 1) Theis公式反映的降深變化規(guī)律公式反映的降深變化規(guī)律 將（將（4-11）式改寫成無量綱降深形式，即）式改寫成無量綱降深形式，即 ，并給，并給出出 曲線曲線 圖圖4-3(a)。 曲線表明，同一時(shí)刻隨徑向距離曲線表明，同一時(shí)刻隨徑向距離r增大，降深增大，降深s變小，當(dāng)變小，當(dāng)r時(shí)，時(shí)，s0，這一點(diǎn)符合假設(shè)條件。同一斷面這一點(diǎn)符合假設(shè)條件。同一斷面(即即r固定固定)，s隨隨t的增大而增大，當(dāng)?shù)脑龃蠖龃?，?dāng)t=0時(shí)，時(shí)，s=0，符合實(shí)際情況。當(dāng)，符合實(shí)際情況。

18、當(dāng)t時(shí)，實(shí)際上時(shí)，實(shí)際上s不能趨向無窮大。因此，降落漏不能趨向無窮大。因此，降落漏斗隨時(shí)間的延長，逐漸向遠(yuǎn)處擴(kuò)展。這種永不穩(wěn)定的規(guī)律是符和實(shí)際的，斗隨時(shí)間的延長，逐漸向遠(yuǎn)處擴(kuò)展。這種永不穩(wěn)定的規(guī)律是符和實(shí)際的，恰好反映了抽水時(shí)在沒有外界補(bǔ)給而完全消耗貯存量時(shí)的典型動態(tài)。圖恰好反映了抽水時(shí)在沒有外界補(bǔ)給而完全消耗貯存量時(shí)的典型動態(tài)。圖4-3反映了上述結(jié)論。反映了上述結(jié)論。()/ 4sWuQT1( )W uu Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動(4-15) 4222 .2 5T sQT txye 從（從（4-11）或（）或（4-13）式還可以看出：同一時(shí)刻的徑向距離）式還

19、可以看出：同一時(shí)刻的徑向距離r相同的相同的地點(diǎn)，降深相同。這說明抽水后形成的等水頭線地點(diǎn)，降深相同。這說明抽水后形成的等水頭線(s=常數(shù)常數(shù))是一些同心圓，是一些同心圓，圓心在井軸。當(dāng)圓心在井軸。當(dāng)u0.05時(shí)時(shí),可直接由可直接由(4-13)式導(dǎo)出描述它們的方程式為：式導(dǎo)出描述它們的方程式為： Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動2) Theis公式反映的水頭下降速度的變化規(guī)律公式反映的水頭下降速度的變化規(guī)律 將將(4-9)式對式對t求導(dǎo)數(shù)，得：求導(dǎo)數(shù)，得： 式式(4-16)表明，抽水初期隨著表明，抽水初期隨著r的增大，的增大， 值減小。因此，近處水值減小。因此，近處水

20、頭下降速度大，遠(yuǎn)處下降速度小。當(dāng)頭下降速度大，遠(yuǎn)處下降速度小。當(dāng)r一定時(shí)，一定時(shí)，(4-16)式又表明，不同時(shí)式又表明，不同時(shí)刻的水頭下降速度刻的水頭下降速度 ，由于，由于 和和 兩個(gè)因素起著增、減兩個(gè)兩個(gè)因素起著增、減兩個(gè)方向相反的作用，方向相反的作用，所以所以 不是不是t 的單調(diào)函數(shù)；的單調(diào)函數(shù)； s-t曲線曲線(圖圖4-3b)不能沿著同一斜率變化，存不能沿著同一斜率變化，存在著拐點(diǎn)?？梢岳迷谥拯c(diǎn)?？梢岳?，找出拐點(diǎn)的位置。為此有：，找出拐點(diǎn)的位置。為此有： 24r uTte240144ruT tsQeuQduetuTutT t (4-16) st24r uTte1tts220st2

21、2242211044rTtsQretT tTt Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 所以所以拐點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間拐點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間(此時(shí)此時(shí)u=1)為：為： 圖圖4-3的曲線也反映了上述結(jié)論，即每個(gè)斷面的水頭下降速度初期由的曲線也反映了上述結(jié)論，即每個(gè)斷面的水頭下降速度初期由小逐漸增大，當(dāng)小逐漸增大，當(dāng) =1時(shí)達(dá)到最大；而后下降速度由大變小，最后趨近于時(shí)達(dá)到最大；而后下降速度由大變小，最后趨近于等速下降。等速下降。 式式(4-17)還表明不同斷面拐點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間還表明不同斷面拐點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間ti不同。將不同。將 (4-17)式代入式代入(4-11)式，得拐點(diǎn)處降深式，得拐點(diǎn)處降深s

22、i為：為： 214rT t24irtT（4-17） 1u20.017544iiQrQsWTTtT（4-18） Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 式式(4-18)還反映出拐點(diǎn)處降深與還反映出拐點(diǎn)處降深與r無關(guān)。說明任一斷面都經(jīng)歷著一個(gè)相同的無關(guān)。說明任一斷面都經(jīng)歷著一個(gè)相同的過程，當(dāng)過程，當(dāng)s=si時(shí)，出現(xiàn)最大下降速度時(shí)，出現(xiàn)最大下降速度,即：即：當(dāng)抽水時(shí)間足夠長時(shí)，當(dāng)抽水時(shí)間足夠長時(shí)， (4-16)式變?yōu)椋菏阶優(yōu)椋?上式意味著：上式意味著：t足夠大時(shí)，在抽水井一定范圍內(nèi)，下降基本上是相同的，足夠大時(shí)，在抽水井一定范圍內(nèi)，下降基本上是相同的，與與r無關(guān)。換言之，經(jīng)過一

23、定時(shí)間抽水后，下降速度變慢，在一定范圍內(nèi)產(chǎn)無關(guān)。換言之，經(jīng)過一定時(shí)間抽水后，下降速度變慢，在一定范圍內(nèi)產(chǎn)生大致等幅的下降。生大致等幅的下降。24210 . 1 1 74irT tiisQQetTtr2*2*242 5(0 .0 1,0 .9 91)4rT trrtueTT t即14sQtTt（4-19） Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動3) Theis公式反映出的流量和滲流速度變化規(guī)律公式反映出的流量和滲流速度變化規(guī)律將將(4-9)式對式對r求導(dǎo)數(shù)，得：求導(dǎo)數(shù)，得：又根據(jù)又根據(jù)Darcy定律，可些導(dǎo)出定律，可些導(dǎo)出r處過水?dāng)嗝娴牧髁繛椋禾庍^水?dāng)嗝娴牧髁繛椋簩?4-

24、20)式代入上式，得：式代入上式，得：2442uurTtsQeudutuTursQrerT （4-20） 2rsQK M rr 24rT trQQ e（4-21） Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動因?yàn)橐驗(yàn)?恒取正值，所以恒取正值，所以 ，因而，因而Qrtp）的剩余降深）的剩余降深s(原始水位與停抽后某時(shí)刻水位之原始水位與停抽后某時(shí)刻水位之差差)，可理解為流量，可理解為流量Q繼續(xù)抽水一直延續(xù)到繼續(xù)抽水一直延續(xù)到t時(shí)刻的降深和從停抽時(shí)刻起以流時(shí)刻的降深和從停抽時(shí)刻起以流量量Q 注水注水t-tp時(shí)間的水位抬升的疊加：兩者均可用時(shí)間的水位抬升的疊加：兩者均可用Theis公式

25、計(jì)算。故有：公式計(jì)算。故有： 式中，式中，22444QrrsWWTTtTt （4-23） pttt 20.014234rTt當(dāng)時(shí)，（）式可化簡為52.3lglglg44QTtTtQtsTrrTtt （4-24） Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動式式(4-24)表明，表明， 呈線性關(guān)系，呈線性關(guān)系， 為直線斜率。為直線斜率。利用水位恢復(fù)資料繪出利用水位恢復(fù)資料繪出 曲線，求得其直線段斜率曲線，求得其直線段斜率i，由此可以計(jì)，由此可以計(jì)算參數(shù)算參數(shù)T：如已知停抽時(shí)刻的水位降深如已知停抽時(shí)刻的水位降深sp，則停抽后任一時(shí)刻的水位上升值，則停抽后任一

26、時(shí)刻的水位上升值s*可寫成：可寫成：式（式（4- 25）表明，）表明，s*與與 呈線性關(guān)系，斜率為呈線性關(guān)系，斜率為 。如根據(jù)水位恢復(fù)試驗(yàn)資料繪出如根據(jù)水位恢復(fù)試驗(yàn)資料繪出 曲線，求出其直線段斜率，也可計(jì)曲線，求出其直線段斜率，也可計(jì)算算T值。兩者所求值。兩者所求T值應(yīng)基本一致。值應(yīng)基本一致。lgtst 2 .34QiTlgtst 2.30.1834 QQTii2.3lglglg444ppatQtQQtsssTtTrTt或lgtt 2.32QT*lgtst Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動又根據(jù)又根據(jù) 將求出的將求出的 代入，可得：代入，可得：

27、利用式利用式(4-26)可求出導(dǎo)壓系數(shù)可求出導(dǎo)壓系數(shù)a和貯水系數(shù)和貯水系數(shù)22.252.3lg4ppatQsTr2.32Qi20.4410psiprat（4-26） Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動6. 定降深井流的計(jì)算定降深井流的計(jì)算 在側(cè)向無限延伸的承壓含水層中抽水，如果在整個(gè)抽水期間保持在側(cè)向無限延伸的承壓含水層中抽水，如果在整個(gè)抽水期間保持井中水頭井中水頭hw或降深或降深sw不變，那么抽水量不變，那么抽水量Q將隨著抽水時(shí)間的延續(xù)而逐漸將隨著抽水時(shí)間的延續(xù)而逐漸減少；除了抽水井本身以外，含水層中任一點(diǎn)的水頭減少；除了抽水井本身以外，含水層中任一點(diǎn)的水頭H也將隨

28、著時(shí)間的也將隨著時(shí)間的延續(xù)而逐漸降低。當(dāng)延續(xù)而逐漸降低。當(dāng)t 時(shí)，時(shí)，Q0，s(r)sw。一口頂蓋密封住的自。一口頂蓋密封住的自流井，會保持原來水頭。在打開井蓋的瞬間，水從井中溢出，水位迅流井，會保持原來水頭。在打開井蓋的瞬間，水從井中溢出，水位迅速降低到井口附近。在一定時(shí)間內(nèi)，自流井保持一定的水位，流量則速降低到井口附近。在一定時(shí)間內(nèi)，自流井保持一定的水位，流量則逐漸減少。逐漸減少。 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 對自流井放水來說，基本上屬于這種定降深變流量問題對自流井放水來說，基本上屬于這種定降深變流量問題(圖圖4-8)。坑道放水鉆孔也類似于這種情況。如果其

29、他條件同推導(dǎo)坑道放水鉆孔也類似于這種情況。如果其他條件同推導(dǎo)Theis公式時(shí)公式時(shí)的假設(shè)一樣，則該定解問題的數(shù)學(xué)模型為：的假設(shè)一樣，則該定解問題的數(shù)學(xué)模型為：圖圖4-8 承壓含水層中定降深抽承壓含水層中定降深抽(放放)水試驗(yàn)水試驗(yàn) Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動這個(gè)數(shù)學(xué)模型通過這個(gè)數(shù)學(xué)模型通過Laplace變換求得其解為：變換求得其解為：式中，式中，sw為井中降深為井中降深; 為以為變量的函數(shù)，稱為無越流補(bǔ)給承壓為以為變量的函數(shù)，稱為無越流補(bǔ)給承壓含水層定降深井流的降深函數(shù)，其值列于表含水層定降深井流的降深函數(shù)，其值列于表4-3中；中； 為無量綱徑向距離；為無量綱

30、徑向距離； 無量綱時(shí)間。無量綱時(shí)間。 表表4-3函數(shù)函數(shù)A(，r)數(shù)值表數(shù)值表(略略)1ssrrrrTt,00s r,0st0,wsts t0 0r0r0 t0,wss Ar（4-27） ,Arwrrr2wTtr Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動將（將（4-27）式對）式對r求導(dǎo)數(shù)并代入求導(dǎo)數(shù)并代入Darcy定律，得：定律，得： 式中，式中，Q為隨時(shí)間變化的流量為隨時(shí)間變化的流量; G ()為無越流補(bǔ)給承壓含水層定為無越流補(bǔ)給承壓含水層定降深井流的流量函數(shù)降深井流的流量函數(shù)(表表4-4)。2wQTs G(4-28) Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的

31、非穩(wěn)定運(yùn)動表表4-4G ()數(shù)值表（據(jù)數(shù)值表（據(jù)Jacob和和Lohman） Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 如果在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制如果在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制 曲線（圖曲線（圖4-9），由此），由此曲線可以看出，隨時(shí)間的增加，曲線可以看出，隨時(shí)間的增加，增大，增大，G ()減小，流量減小，流量Q也隨著減小也隨著減小。 是一個(gè)小于是一個(gè)小于1的函數(shù)。由（的函數(shù)。由（4-27）式可以看出，各點(diǎn)降）式可以看出，各點(diǎn)降深等于自流井或放水井的降深乘以一個(gè)小于深等于自流井或放水井的降深乘以一個(gè)小于1的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)

32、在同一的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)在同一時(shí)刻隨著時(shí)刻隨著 的增加而減??；在同一斷面上隨著的增加而減小；在同一斷面上隨著t增加，增加，增大而逐漸增大而逐漸增加。因此，各點(diǎn)降深在同一時(shí)刻隨遠(yuǎn)離自流增加。因此，各點(diǎn)降深在同一時(shí)刻隨遠(yuǎn)離自流(放水放水)井而逐漸減小；在井而逐漸減小；在同一斷面上隨著時(shí)間增加而增大。這是符合實(shí)際情況的。同一斷面上隨著時(shí)間增加而增大。這是符合實(shí)際情況的。 利用自流井做放水試驗(yàn)可以確定水文地質(zhì)參數(shù)，這是一種既簡單利用自流井做放水試驗(yàn)可以確定水文地質(zhì)參數(shù)，這是一種既簡單又經(jīng)濟(jì)的辦法。確定參數(shù)方法的原理和定流量抽水試驗(yàn)相似。茲介紹又經(jīng)濟(jì)的辦法。確定參數(shù)方法的原理和定流量抽水試驗(yàn)相似。茲介紹如

33、下：如下： G,Arr Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動1）配線法）配線法 對（對（4-28）式和）式和 式兩側(cè)取對數(shù)，有：式兩側(cè)取對數(shù)，有：在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上，在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上，Q-t曲線與曲線與G ()-曲線形狀相同，可以利用匹配點(diǎn)坐標(biāo)曲線形狀相同，可以利用匹配點(diǎn)坐標(biāo)G ()，Q和和t來確定參數(shù)。來確定參數(shù)。2）直線圖解法）直線圖解法 根據(jù)根據(jù)(4-28)式，當(dāng)式，當(dāng) 時(shí)，有下列近似關(guān)系：時(shí)，有下列近似關(guān)系：2Ttr 2lglglg 2lglglgwQGTsrtT25000Ttr222.25lnwGTtr Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)

34、動于是有：于是有：242.25lnwwTsGTtr或：或：由上式可以看出，由上式可以看出， 與與lgt為線性關(guān)系為線性關(guān)系 （圖（圖4-10）。利用斜率）。利用斜率i得：得：將直線延長，交將直線延長，交t軸于一點(diǎn)軸于一點(diǎn)to，利用，利用to點(diǎn)的點(diǎn)的 =0，可計(jì)算可計(jì)算 。212.32.25lg4wwTtQTsr20.1832.250.183lglgwwwTttTsrTs1Q0 .1 8 3wTs i1Q圖圖4-10 定降深放水試驗(yàn)應(yīng)用直線圖定降深放水試驗(yàn)應(yīng)用直線圖解法確定水文地質(zhì)參數(shù)解法確定水文地質(zhì)參數(shù) Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動思考題：思考題：1.Theis

35、公式的假設(shè)條件是什么公式的假設(shè)條件是什么?它的應(yīng)用有沒有局限性它的應(yīng)用有沒有局限性?2.有人說降深和時(shí)間關(guān)系為一對數(shù)曲線有人說降深和時(shí)間關(guān)系為一對數(shù)曲線s=a +blgt，您認(rèn)為有根據(jù)嗎，您認(rèn)為有根據(jù)嗎?3.單對數(shù)紙上的水位恢復(fù)直線單對數(shù)紙上的水位恢復(fù)直線s=f(1+ )是否應(yīng)該通過坐標(biāo)原點(diǎn)，是否應(yīng)該通過坐標(biāo)原點(diǎn)，為什么為什么?ptt Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動4-2 4-2 有越流補(bǔ)給的完整井流有越流補(bǔ)給的完整井流1、 基本方程基本方程 在第在第1章中，我們曾談到在越流含水層中抽水時(shí)會發(fā)生越流。有時(shí)，章中，我們曾談到在越流含水層中抽水時(shí)會發(fā)生越流。有時(shí)，人們

36、把這種系統(tǒng)，包括越流含水層、弱透水層和相鄰的含水層人們把這種系統(tǒng)，包括越流含水層、弱透水層和相鄰的含水層(如果有的如果有的話話)稱為稱為越流系統(tǒng)越流系統(tǒng)(圖圖1-30)。 越流系統(tǒng)通?？梢詣澐譃槿N類型越流系統(tǒng)通?？梢詣澐譃槿N類型: 第一越流系統(tǒng)第一越流系統(tǒng)是不考慮弱透水層彈性釋放、忽略補(bǔ)給層水位變化的越是不考慮弱透水層彈性釋放、忽略補(bǔ)給層水位變化的越流系統(tǒng)；流系統(tǒng)； 第二越流系統(tǒng)第二越流系統(tǒng)是考慮弱透水層彈性釋放、不考慮補(bǔ)給層水位變化的越是考慮弱透水層彈性釋放、不考慮補(bǔ)給層水位變化的越流系統(tǒng)；流系統(tǒng)； 第三越流系統(tǒng)第三越流系統(tǒng)是不考慮弱透水層彈性釋放、考慮補(bǔ)給層水位變化的越是不考慮弱透水層

37、彈性釋放、考慮補(bǔ)給層水位變化的越流系統(tǒng)。流系統(tǒng)。 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 第第3章探討了這種情況下的穩(wěn)定運(yùn)動章探討了這種情況下的穩(wěn)定運(yùn)動(圖圖3-9)?，F(xiàn)在進(jìn)而探討這種情況下。現(xiàn)在進(jìn)而探討這種情況下的非穩(wěn)定運(yùn)動。研究時(shí)采用了和研究穩(wěn)定運(yùn)動時(shí)相同的地質(zhì)模型的非穩(wěn)定運(yùn)動。研究時(shí)采用了和研究穩(wěn)定運(yùn)動時(shí)相同的地質(zhì)模型(圖圖3-9)和假和假設(shè)，即：設(shè)，即： (1) 越流系統(tǒng)中每一層都是均質(zhì)各向同性，無限延伸的第一類越流系統(tǒng)，越流系統(tǒng)中每一層都是均質(zhì)各向同性，無限延伸的第一類越流系統(tǒng)，含水層底部水平，含水層和弱透水層都是等厚的；含水層底部水平，含水層和弱透水層都是等厚

38、的； (2) 含水層中水流服從含水層中水流服從Darcy定律；定律； (3) 雖然發(fā)生越流，但相鄰含水層在抽水過程中水頭保持不變雖然發(fā)生越流，但相鄰含水層在抽水過程中水頭保持不變(這在徑流這在徑流條件比較好的含水層中不難達(dá)到條件比較好的含水層中不難達(dá)到)； (4) 弱透水層本身的彈性釋水可以忽略，通過弱透水層的水流可視為垂向弱透水層本身的彈性釋水可以忽略，通過弱透水層的水流可視為垂向一維流；一維流； (5) 抽水含水層天然水力坡度為零，抽水后為平面徑向流；抽水含水層天然水力坡度為零，抽水后為平面徑向流； (6) 抽水井為完整井，井徑無限小，定流量抽水。抽水井為完整井，井徑無限小，定流量抽水。

39、Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動在上述假設(shè)條件下，根據(jù)微分方程在上述假設(shè)條件下，根據(jù)微分方程(1-83)，把水頭化為以降深表示，并改用，把水頭化為以降深表示，并改用柱坐標(biāo)，于是有越流補(bǔ)給的抽水含水層中地下水運(yùn)動的基本方程為：柱坐標(biāo)，于是有越流補(bǔ)給的抽水含水層中地下水運(yùn)動的基本方程為：相應(yīng)的定解條件為：相應(yīng)的定解條件為： 對方程（對方程（4-29）施行）施行Hankel變換變換，于是原定解問題變?yōu)槌Ｎ⒎址匠痰某踔祮?，于是原定解問題變?yōu)槌Ｎ⒎址匠痰某踔祮栴}，可以很容易地求得它的特解。題，可以很容易地求得它的特解。000tsr 00rst 0lim02rsQrtrT (4

40、-30)(4-31) (4-32) 2221ssssrrrBTt (4-29) Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動再施行逆變換可求得其解為：再施行逆變換可求得其解為： 其中，其中， 有關(guān)推導(dǎo)過程請參閱文獻(xiàn)有關(guān)推導(dǎo)過程請參閱文獻(xiàn)2。(4-33)式為式為Hantush和和Jacob于于1955年建年建立的有越流補(bǔ)給的承壓水完整井公式。其中立的有越流補(bǔ)給的承壓水完整井公式。其中 ，為不考慮相鄰弱，為不考慮相鄰弱透水層彈性釋水時(shí)越流系統(tǒng)的井函數(shù)，其值列于表透水層彈性釋水時(shí)越流系統(tǒng)的井函數(shù)，其值列于表4-5中中 (略略 )。,4QrsWuTB(4-33) 22421,4ryB

41、yurWuedyByruTt (4-34) ,rWuB Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動2 公式討論公式討論 1) 降深降深-時(shí)間曲線的形狀時(shí)間曲線的形狀 將（將（4-33）式寫成無量綱降深形式：）式寫成無量綱降深形式：根據(jù)表根據(jù)表4-5的井函數(shù)表，繪制的井函數(shù)表，繪制 曲線（圖曲線（圖4-11).曲線反映出，有曲線反映出，有越流補(bǔ)給的越流補(bǔ)給的s-t關(guān)系大致可分為三個(gè)階段：關(guān)系大致可分為三個(gè)階段：,4srWuQBT t1,rWuBu圖圖4-11越流潛水含水層的標(biāo)準(zhǔn)曲線越流潛水含水層的標(biāo)準(zhǔn)曲線 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 （1）抽水

42、早期，）抽水早期，降深曲線同降深曲線同Theis曲線一致。這表明越流尚未進(jìn)入主含水曲線一致。這表明越流尚未進(jìn)入主含水層，抽水量幾乎全部來自主含水層的彈性釋水。在理論上，相當(dāng)于層，抽水量幾乎全部來自主含水層的彈性釋水。在理論上，相當(dāng)于 =0或或B， W（u）此時(shí)和）此時(shí)和Theis曲線一致。曲線一致。 標(biāo)準(zhǔn)曲線組中又反映出，標(biāo)準(zhǔn)曲線組中又反映出， 不同時(shí)，與不同時(shí)，與Theis曲線吻合的時(shí)間也不一樣曲線吻合的時(shí)間也不一樣。在其他條件一定時(shí)，如果越流系數(shù)。在其他條件一定時(shí)，如果越流系數(shù) 越?。丛叫。?越?。?，同越?。?，同Theis曲線一致的過程就越長。這說明，弱透層透水性越小，厚度越犬，阻力越

43、大曲線一致的過程就越長。這說明，弱透層透水性越小，厚度越犬，阻力越大，越流進(jìn)入抽水層的時(shí)間越晚。當(dāng)弱透水層透水性無限小時(shí)，在有限的抽水，越流進(jìn)入抽水層的時(shí)間越晚。當(dāng)弱透水層透水性無限小時(shí)，在有限的抽水時(shí)間內(nèi)，可能沒有明顯的越流反映，而同時(shí)間內(nèi)，可能沒有明顯的越流反映，而同Theis曲線相一致。曲線相一致。 （2）抽水中期，）抽水中期，因水位下降變緩而開始偏因水位下降變緩而開始偏Theis離曲線，說明越流已經(jīng)開離曲線，說明越流已經(jīng)開始進(jìn)入抽水含水層。這時(shí)，抽水量由兩部分組成：一是抽水含水層的彈性釋始進(jìn)入抽水含水層。這時(shí)，抽水量由兩部分組成：一是抽水含水層的彈性釋水，二是越流補(bǔ)給，水，二是越流補(bǔ)給

44、， 值由零進(jìn)入有限值，即：值由零進(jìn)入有限值，即：11Km,rWuBrB11KmrB224ryB Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 因此，越流含水層的降深小于無越流含水層的降深，而且隨因此，越流含水層的降深小于無越流含水層的降深，而且隨 增大增大(即即 越大越大)，越流含水層的降深比無越流含水層的降深小得越多。，越流含水層的降深比無越流含水層的降深小得越多。 (3) 抽水后期，抽水后期，曲線趨于水平直線，抽水量與越流補(bǔ)給量平衡，表示非曲線趨于水平直線，抽水量與越流補(bǔ)給量平衡，表示非穩(wěn)定流已轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定流。此時(shí)方程（穩(wěn)定流已轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定流。此時(shí)方程（4-33），當(dāng)），當(dāng)t時(shí)

45、，時(shí)，u0，可簡化成（，可簡化成（3-33）式，即：）式，即：式中，式中， 為虛宗量第二類為虛宗量第二類Bessel函數(shù)（表函數(shù)（表4-16）。）。 22411,ryyB yuurWuedyedyW uByy 11KmrB02QrsKTB0rKB Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動2）水頭下降速度）水頭下降速度 與與(4-16)式比較可以看出，越流含水層水位下降速度比無越流含水層式比較可以看出，越流含水層水位下降速度比無越流含水層慢。另外，與無越流含水層一樣，當(dāng)慢。另外，與無越流含水層一樣，當(dāng)t足夠大時(shí)，在一定的范圍內(nèi)，水位下足夠大時(shí)，在一定的范圍內(nèi)，水位下降速度是相

46、同的。降速度是相同的。2222441414ryByrTtTtBsQuedytTuytQeTt t(4-36) Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動3 利用抽水試驗(yàn)資料確定越流系統(tǒng)的參數(shù)利用抽水試驗(yàn)資料確定越流系統(tǒng)的參數(shù)1）配線法）配線法 用定流量抽水試驗(yàn)實(shí)測的用定流量抽水試驗(yàn)實(shí)測的lgs-lgt曲線與標(biāo)準(zhǔn)曲線曲線與標(biāo)準(zhǔn)曲線lg -lgu的形狀的形狀是相同的，只是其縱、橫坐標(biāo)彼此平移了是相同的，只是其縱、橫坐標(biāo)彼此平移了lg 和和 而已。下面僅簡而已。下面僅簡單地寫出其步驟：單地寫出其步驟： （1）在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制）在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制 標(biāo)準(zhǔn)曲線；標(biāo)準(zhǔn)曲線；（2）在另

47、一同模數(shù)的透明雙對數(shù)坐標(biāo)紙上，投上）在另一同模數(shù)的透明雙對數(shù)坐標(biāo)紙上，投上s-t實(shí)測數(shù)據(jù)；實(shí)測數(shù)據(jù)；（3）在保持對應(yīng)坐標(biāo)軸彼此平行的前提下，相對移動兩坐標(biāo)紙；在一組）在保持對應(yīng)坐標(biāo)軸彼此平行的前提下，相對移動兩坐標(biāo)紙；在一組 標(biāo)準(zhǔn)曲線中找出最優(yōu)重合曲線標(biāo)準(zhǔn)曲線中找出最優(yōu)重合曲線(圖圖4-12)；（4）兩曲線重合以后，任選一匹配點(diǎn)，記下對應(yīng)的四個(gè)坐標(biāo)值）兩曲線重合以后，任選一匹配點(diǎn)，記下對應(yīng)的四個(gè)坐標(biāo)值 ， ，t，s。將它們分別代入（。將它們分別代入（4-33）和（）和（4-35）式，可以計(jì)算含水層的參數(shù)）式，可以計(jì)算含水層的參數(shù)T和和，rB1u,rW uB,rWuB4QT2lg4rT1,rW

48、uBu Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動即：即：（5）已知）已知 和和r，可計(jì)算出，可計(jì)算出B值和值和 值：值： ,4QrTW rsB 241T tru rB11Km圖圖4-12越流含水層的配線法越流含水層的配線法 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動2) 拐點(diǎn)法拐點(diǎn)法（1）原理）原理（a）?。┤?4-33)對對lgt的導(dǎo)數(shù)，由（的導(dǎo)數(shù)，由（4-36）式有）式有 故有：故有： 從從(4-37)可看出，同一觀測孔的可看出，同一觀測孔的s-lgt曲線的斜率變化規(guī)律是由小到大，曲線的斜率變化規(guī)律是由小到大，又由大變到小，存在著拐點(diǎn)?？梢酝ㄟ^又由大變

49、到小，存在著拐點(diǎn)?？梢酝ㄟ^s對對lgt的二階導(dǎo)數(shù)等于零來確定其位的二階導(dǎo)數(shù)等于零來確定其位置。設(shè)拐點(diǎn)為置。設(shè)拐點(diǎn)為P，則：，則：224lg1lg4rTtTtBssdtQettdtT t2242 .3lg4rT tT tBsQetT(4-37) 222224222.3044lgrTtpTtBpTtQsreTTtBt Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動故在拐點(diǎn)有：故在拐點(diǎn)有： 解得拐點(diǎn)處的時(shí)間解得拐點(diǎn)處的時(shí)間tp為：為：相應(yīng)的相應(yīng)的u值為：值為：將將(4-39)式代回（式代回（4-37）式，得拐點(diǎn)處切線的斜率為：）式，得拐點(diǎn)處切線的斜率為： 2204ppT trT tB2

50、pB rtT (4-38) 242pprruT tB (4-39)2.34rBpQieT(4-40) Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動（b）求拐點(diǎn)處降深：把）求拐點(diǎn)處降深：把(4-39)式代入（式代入（4-33）式，得：）式，得：進(jìn)行變量代換：設(shè)，進(jìn)行變量代換：設(shè)，當(dāng)當(dāng)y=0，當(dāng)當(dāng) ,則則224214ryByrpBQsedyTy (4-41) 2222222,444rrrydydB yBBpyu2242prrB uB22402124rBrpBQrQsKedTBT (4-42) Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動將（將（4-41）式和（）式和

51、（4-42）式相加，得：）式相加，得：（4-43）式表明，拐點(diǎn)處降深等于最大降深的一半（圖）式表明，拐點(diǎn)處降深等于最大降深的一半（圖4-13）。）。0max142pQrsKsTB (4-43) 圖圖4-13 s-lgt曲線曲線 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動（c）建立拐點(diǎn)）建立拐點(diǎn)P處降深處降深sp與斜率與斜率ip之間的關(guān)系。用（之間的關(guān)系。用（4-40）式除（）式除（4-43）式）式得：得：（4-44）式右端的值已列成表）式右端的值已列成表4-7, 的數(shù)值的數(shù)值表（略）。表（略）。 應(yīng)用上述原理，根據(jù)某一觀測孔的觀測資料繪出應(yīng)用上述原理，根據(jù)某一觀測孔的觀測資料

52、繪出s-lgt曲線，就可計(jì)算有曲線，就可計(jì)算有關(guān)參數(shù)。關(guān)參數(shù)。（2）步驟：）步驟：（a）單孔拐點(diǎn)法，有一個(gè)觀測孔時(shí)：）單孔拐點(diǎn)法，有一個(gè)觀測孔時(shí)： 在單對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制在單對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制s-lgt曲線，用外推法確定最大降深曲線，用外推法確定最大降深Smax(圖圖4-13)，并用（并用（4-43）式計(jì)算拐點(diǎn)處降深）式計(jì)算拐點(diǎn)處降深Sp02.3rpBpsrKeiB (4-44) ,xxxiie K x e K xExEx e和 Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動（b）多孔拐點(diǎn)法，有多個(gè)觀測孔時(shí)：）多孔拐點(diǎn)法，有多個(gè)觀測孔時(shí)： 當(dāng)抽水時(shí)間不長，觀測孔降深未趨于穩(wěn)定，不知道

53、或不可能外推求出當(dāng)抽水時(shí)間不長，觀測孔降深未趨于穩(wěn)定，不知道或不可能外推求出Sm時(shí)，不能用上面介紹的方法。此時(shí)可利用下述方法求參數(shù)。時(shí)，不能用上面介紹的方法。此時(shí)可利用下述方法求參數(shù)。根據(jù)（根據(jù)（4-40）式有：）式有：兩邊同時(shí)取對數(shù)：兩邊同時(shí)取對數(shù)：2.34rBpQieT2 .3lnln4pQriTB2.32.3 lg2.3 lg4pQrBBiT (4-45) Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 式（式（4-45）表明，）表明，r與與 呈線性關(guān)系。如有三個(gè)以上的觀測孔資料能呈線性關(guān)系。如有三個(gè)以上的觀測孔資料能繪制出繪制出r-lgip曲線時(shí)，可以用它來計(jì)算參數(shù)。具體

54、步驟如下：曲線時(shí)，可以用它來計(jì)算參數(shù)。具體步驟如下： 繪每個(gè)觀測孔的繪每個(gè)觀測孔的s-lgt曲線（圖曲線（圖4-14），并從圖上確定每條曲線直線段），并從圖上確定每條曲線直線段的斜率近似地代替拐點(diǎn)處的斜率。的斜率近似地代替拐點(diǎn)處的斜率。lgpilgpilgpi圖圖4-15 r- 曲線曲線 圖圖4-14各觀測孔的各觀測孔的s-lgt曲線曲線 lgpi Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 根據(jù)各孔的斜率作根據(jù)各孔的斜率作r- 曲線（圖曲線（圖4-15），應(yīng)為一條直線。取該直線的），應(yīng)為一條直線。取該直線的斜率，得：斜率，得： 將將r-lgip直線段延長交橫軸于一點(diǎn)，讀得直

55、線段延長交橫軸于一點(diǎn)，讀得r=0時(shí)的（時(shí)的（ ）。）。把它代入（把它代入（4-45）式，得：）式，得： 將所求得的將所求得的B、T代入代入(4-43)式，計(jì)算出不同觀測孔的拐點(diǎn)處降深：式，計(jì)算出不同觀測孔的拐點(diǎn)處降深：lgpi2.3 ,lg2.3lgpprrB Bii pi 02.30,lglg4pQriT 12102.34pKQTTmBi04pQrsKTB Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動利用從利用從s-lgt曲線上讀得曲線上讀得tp值，然后按（值，然后按（4-38）式算出各孔的值：）式算出各孔的值：最后取其平均值。最后取其平均值。 思考題：思考題：式（式（4-3

56、3）的假設(shè)條件是什么）的假設(shè)條件是什么?有何局限性有何局限性?2pTtBr Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動4-3 4-3 有弱透水層彈性釋水補(bǔ)給和越流有弱透水層彈性釋水補(bǔ)給和越流補(bǔ)給的完整井流補(bǔ)給的完整井流 在層狀含水層分布區(qū)一個(gè)含水層常被弱透水層覆蓋或下伏有弱透水在層狀含水層分布區(qū)一個(gè)含水層常被弱透水層覆蓋或下伏有弱透水層，形成雙層或多層結(jié)構(gòu)的含水層組。從含水層中抽水時(shí)，會引起弱透層，形成雙層或多層結(jié)構(gòu)的含水層組。從含水層中抽水時(shí)，會引起弱透水層彈性釋水補(bǔ)給抽水含水層。當(dāng)弱透水層厚度較大時(shí)這種補(bǔ)給相當(dāng)大水層彈性釋水補(bǔ)給抽水含水層。當(dāng)弱透水層厚度較大時(shí)這種補(bǔ)給相當(dāng)

57、大，不能忽略不計(jì)。，不能忽略不計(jì)。1960年年M.s.Hantush研究了這個(gè)課題。研究了這個(gè)課題。1 、基本方程、基本方程 下面討論考慮弱透水層彈性釋水，而相鄰含水層（如果有的話）水頭下面討論考慮弱透水層彈性釋水，而相鄰含水層（如果有的話）水頭保持不變的越流系統(tǒng)的基本方程。其他假設(shè)條件如下：保持不變的越流系統(tǒng)的基本方程。其他假設(shè)條件如下： Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 (1)含水層和弱透水層是均質(zhì)各向同性和等厚的，產(chǎn)狀水平，分布無限含水層和弱透水層是均質(zhì)各向同性和等厚的，產(chǎn)狀水平，分布無限.天然水力坡度為零。單井定流量抽水。天然水力坡度為零。單井定流量抽水。

58、(2)含水層抽水時(shí)，能得到弱透水層彈性釋水的補(bǔ)給。弱透水層滲透系含水層抽水時(shí)，能得到弱透水層彈性釋水的補(bǔ)給。弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)相比，要小的多數(shù)與含水層滲透系數(shù)相比，要小的多(差兩個(gè)數(shù)量級以上差兩個(gè)數(shù)量級以上)。因此可以認(rèn)為，。因此可以認(rèn)為，通過弱透水層中的水流是垂向運(yùn)動，而抽水含水層中則為水平徑向運(yùn)動，服通過弱透水層中的水流是垂向運(yùn)動，而抽水含水層中則為水平徑向運(yùn)動，服從從Darcy定律。定律。 在上述假設(shè)條件下，含水層中地下水的運(yùn)動應(yīng)遵循在上述假設(shè)條件下，含水層中地下水的運(yùn)動應(yīng)遵循(1-83) 式，相應(yīng)地在式，相應(yīng)地在弱透水層中地下水的運(yùn)動服從弱透水層中地下水的運(yùn)動服從(1-7

59、1)式。如果越流強(qiáng)度改用降深表示，則由式。如果越流強(qiáng)度改用降深表示，則由（1-82）式有：）式有： 式中，式中， 分別為上、下弱透水層垂直方向的滲透系數(shù)和水分別為上、下弱透水層垂直方向的滲透系數(shù)和水頭。如整個(gè)方程組也改用降深表示，則有：頭。如整個(gè)方程組也改用降深表示，則有：1122111222,HsHsvKKvKKzzzt 1122,K H K H Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 式中，式中， 分別為抽水含水層、分別為抽水含水層、上弱透水層下弱透水層的貯水系數(shù)、導(dǎo)水系數(shù)和水位降深。上弱透水層下弱透水層的貯水系數(shù)、導(dǎo)水系數(shù)和水位降深。 根據(jù)連續(xù)性原理，在抽水含水層的

60、底板根據(jù)連續(xù)性原理，在抽水含水層的底板(即即 z =m2處處)和頂板和頂板 (即即z =m2+M處處)(圖圖1-30)分別有：分別有： 常見的考慮含水層彈性釋水補(bǔ)給而相鄰含水層常見的考慮含水層彈性釋水補(bǔ)給而相鄰含水層(如果有的話如果有的話) 的水頭保的水頭保持不變的越流系統(tǒng)，主要有下列三種情況（圖持不變的越流系統(tǒng)，主要有下列三種情況（圖4-16）：）：2121221sHsssTKKrrrzzt111222, , , , ,T s r tT s r z tT sr z t22,sr mts r t22,sr mM ts r t Ch4 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 第一種