高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第28講：函數(shù)的奇偶性與周期性

1、高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第28講：函數(shù)的奇偶性與周期性 HYPERLINK :/ zxxk 高考要求： HYPERLINK :/ zxxk 了解函數(shù)奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性的方法掌握函數(shù)的奇偶性的定義及圖象特征，并能判斷和證明函數(shù)的奇偶性，能利用函數(shù)的奇偶性解決問題 HYPERLINK :/ zxxk 知識點歸納： HYPERLINK :/ zxxk 1.函數(shù)的奇偶性的定義； HYPERLINK :/ zxxk 2.奇偶函數(shù)的性質(zhì)： HYPERLINK :/ zxxk 1定義域關(guān)于原點對稱；2偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱； HYPERLINK :/ zxxk 3.

2、為偶函數(shù) HYPERLINK :/ zxxk 的定義域包含，那么 HYPERLINK :/ zxxk 5.判斷函數(shù)的奇偶性，首先要研究函數(shù)的定義域，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響； HYPERLINK :/ zxxk 6.牢記奇偶函數(shù)的圖象特征，有助于判斷函數(shù)的奇偶性； HYPERLINK :/ zxxk 7.判斷函數(shù)的奇偶性有時可以用定義的等價形式： HYPERLINK :/ zxxk ， HYPERLINK :/ zxxk ，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上： HYPERLINK :/ zxxk 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 HYPER

3、LINK :/ zxxk 1.判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價形式：f(x)= f(x)f(x) f(x)=0； HYPERLINK :/ zxxk 2.討論函數(shù)的奇偶性的前提條件是函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，要重視這一點； HYPERLINK :/ zxxk 3.假設(shè)奇函數(shù)的定義域包含0，那么f(0)=0,因此，“f(x)為奇函數(shù)是f(0)=0的非充分非必要條件； HYPERLINK :/ zxxk 4.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性 HYPERLINK :/ zxxk 5.假設(shè)存在常數(shù)

4、T，使得f(x+T)=f(x)對f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立，那么稱T為函數(shù)f(x)的周期，一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期，周期函數(shù)的定義域一定是無限集。 HYPERLINK :/ zxxk 對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映 HYPER

5、LINK :/ zxxk 這局部的難點是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用根據(jù)條件，調(diào)動相關(guān)知識，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對學(xué)生能力的較高要求 HYPERLINK :/ zxxk 5函數(shù)的周期性 HYPERLINK :/ zxxk 定義：假設(shè)T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使恒成立 HYPERLINK :/ zxxk 那么f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期 HYPERLINK :/ zxxk 例：1假設(shè)函數(shù)在R上是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且 HYPERLINK :/ zxxk 那么關(guān)于 對稱；的周期為 ； HYPERLINK :/ zxxk 在1，2是 函數(shù)增、減； HYPERL

6、INK :/ zxxk =，那么 HYPERLINK :/ zxxk 2設(shè)是定義在上，以2為周期的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，在區(qū)間2，3上，=,那么= HYPERLINK :/ zxxk 題型講解： HYPERLINK :/ zxxk 1.對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解 HYPERLINK :/ zxxk 例4.下面四個結(jié)論：偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖象一定通過原點；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(xR)，其中正確命題的個數(shù)是 HYPERLINK :/ zxxk A.1 B.2 C HYPERLINK :/ zxxk 分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對

7、稱，但不一定相交，因此正確，錯誤 HYPERLINK :/ zxxk 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，但不一定經(jīng)過原點，因此不正確 HYPERLINK :/ zxxk 假設(shè)y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定xR，如例1中的(3)，故錯誤，選A HYPERLINK :/ zxxk 說明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零 HYPERLINK :/ zxxk 2.復(fù)合函數(shù)的性質(zhì) HYPERLINK :/ zxxk 復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函數(shù)u=g(x)的值域是

8、y=f(u)定義域的子集 HYPERLINK :/ zxxk 復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律： HYPERLINK :/ zxxk (1)單調(diào)性規(guī)律 HYPERLINK :/ zxxk 如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間m，n上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間g(m)，g(n) (或g(n)，g(m)上也是單調(diào)函數(shù)，那么 HYPERLINK :/ zxxk 假設(shè)u=g(x)，y=f(u)增減性相同，那么復(fù)合函數(shù)y=fg(x)為增函數(shù)；假設(shè)u=g(x)，y= f(u)增減性不同，那么y=fg(x)為減函數(shù) HYPERLINK :/ zxxk (2)奇偶性規(guī)律 HYPERLINK

9、 :/ zxxk 假設(shè)函數(shù)g(x)，f(x)，fg(x)的定義域都是關(guān)于原點對稱的，那么u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時，y=fg(x)是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時，y= fg(x)是偶函數(shù) HYPERLINK :/ zxxk 例6.甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c kmh，汽車每小時的運(yùn)輸本錢(以元為單位)由可變局部和固定局部組成：可變局部與速度v(kmh)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定局部為a元 HYPERLINK :/ zxxk (1)把全程運(yùn)輸本錢y(元)表示為速度v(kmh)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域； HY

10、PERLINK :/ zxxk (2)為了使全程運(yùn)輸本錢最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛 HYPERLINK :/ zxxk 分析：(1)難度不大，抓住關(guān)系式：全程運(yùn)輸本錢=單位時間運(yùn)輸本錢全程運(yùn)輸時間，而全程運(yùn)輸時間=(全程距離)(平均速度)就可以解決 HYPERLINK :/ zxxk HYPERLINK :/ zxxk HYPERLINK :/ zxxk 故所求函數(shù)及其定義域為 HYPERLINK :/ zxxk HYPERLINK :/ zxxk 但由于題設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過ckmh，所以(2)的解決需要 HYPERLINK :/ zxxk HYPERLINK :/ zxxk 論函數(shù)

11、的增減性來解決 HYPERLINK :/ zxxk HYPERLINK :/ zxxk 由于vv0，v-v0，并且又S0，所以即那么當(dāng)v=c時，y取最小值說明：此題是1997年全國高考試題由于限制汽車行駛速度不得超過c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使難度有所增大例1.判斷以下各函數(shù)的奇偶性：1；2；3解：1由，得定義域為，關(guān)于原點不對稱，為非奇非偶函數(shù)2由得定義域為， 為偶函數(shù)3當(dāng)時，那么，當(dāng)時，那么，綜上所述，對任意的，都有，為奇函數(shù)例2.函數(shù)對一切，都有，1求證：是奇函數(shù)；2假設(shè)，用表示解：1顯然的定義域是，它關(guān)于原點對稱在中，令，得，令，得，即， 是奇函數(shù)

12、2由，及是奇函數(shù)，得例3.1是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，那么的解析式為2 ?高考方案?考點3“智能訓(xùn)練第4題是偶函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，假設(shè)，且，那么 為實數(shù)，函數(shù)，1討論的奇偶性； 2求 的最小值解：1當(dāng)時，此時為偶函數(shù)；當(dāng)時，此時函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)2當(dāng)時，函數(shù)，假設(shè)，那么函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上的最小值為；假設(shè)，函數(shù)在上的最小值為，且當(dāng)時，函數(shù)，假設(shè)，那么函數(shù)在上的最小值為，且；假設(shè)，那么函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上的最小值綜上，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是，當(dāng)，函數(shù)的最小值是是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值證

13、明：；求的解析式；求在上的解析式解：是以為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，當(dāng)時，由題意可設(shè)，由得，是奇函數(shù)，又知在上是一次函數(shù)，可設(shè)，而，當(dāng)時，從而當(dāng)時，故時，當(dāng)時，有，當(dāng)時，學(xué)生練習(xí)： f(x)=x2/(x2+bx+1)是偶函數(shù)，那么b= 2.函數(shù)F(x)=(1+2/(2x1)f(x)(x0)是偶函數(shù)，且f(x)不恒等于零，那么f(x) ( A )(A)是奇函數(shù) (B)是偶函數(shù) (C)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù) (D)非奇非偶函數(shù)f(x)=x2+lg(x+),假設(shè)f(a)=M,那么f(a)等于 A (A)2a2M (B)M2a2 (C)2Ma2 (D)a22Mm和任意實數(shù)x,等式成立,那么以下說法正

14、確的選項是 ( )A. 函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期為2mB. 函數(shù)是奇函數(shù),但不是周期函數(shù)C. 函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期為4 mD. 函數(shù)是偶函數(shù),但不是周期函數(shù) (利用周期函數(shù)的定義證明答案:C)4.f(x) 是奇函數(shù)，且當(dāng)x(0,1)時，f(x)=ln(1/(1+x),那么當(dāng)x(1,0)時，f(x)= ln(1x) 5.試將函數(shù)y=2x表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和6.判斷以下函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=(1cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)非奇非偶函數(shù);(2)f(x)=x/(ax1)+x/2 (a0且a1)(偶函數(shù)(3)f(x)=偶函數(shù)說明奇偶性的對稱條件和分段函數(shù)奇偶性的判別方法7.f(x),g(x)都是奇函數(shù)，f(x)0的解集是(a2,b),g(x)0的解集是(a2/2,b/2),那么f(x)g(x)0的解集是 (,+)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在