第一章 引力場論xiu

1、第一章第一章 引力場引力場 1.1 萬有引力定律與引力場強(qiáng)度萬有引力定律與引力場強(qiáng)度1、 萬有引力定律萬有引力定律 萬有引力定律表述式萬有引力定律表述式 k是引力常數(shù)，其值為是引力常數(shù)，其值為 12123m mfkr r r2381067. 6sgcmk Z 萬有引力定律表明，兩個質(zhì)點(diǎn)間的作用力大小與質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量萬有引力定律表明，兩個質(zhì)點(diǎn)間的作用力大小與質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線。之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線。 兩質(zhì)點(diǎn)之間的作用力符合兩質(zhì)點(diǎn)之間的作用力符合牛頓第三定律牛頓第三定律。 萬有引力定律只能直接用于質(zhì)點(diǎn)。所謂質(zhì)點(diǎn)，是指當(dāng)物萬有引力定

2、律只能直接用于質(zhì)點(diǎn)。所謂質(zhì)點(diǎn)，是指當(dāng)物體的線度遠(yuǎn)小于它們之間的距離時，將其質(zhì)量集中于一點(diǎn)的體的線度遠(yuǎn)小于它們之間的距離時，將其質(zhì)量集中于一點(diǎn)的理想化模型。理想化模型。兩個物體之間的作用力和反作用力，總是大小相等，方向相反，作用在同一條直線上.力不能離開物體單獨(dú)存在。12123m mfkr r r2、 引力場強(qiáng)度引力場強(qiáng)度 用引力場強(qiáng)度來描述引力場。用引力場強(qiáng)度來描述引力場。 定義：定義：場中某點(diǎn)的場強(qiáng)度場中某點(diǎn)的場強(qiáng)度 等于一單位質(zhì)點(diǎn)在該處所受到等于一單位質(zhì)點(diǎn)在該處所受到的力。的力。 F000limmfFm特點(diǎn)：僅是坐標(biāo)函數(shù)，與試探質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)量很少，幾何特點(diǎn)：僅是坐標(biāo)函數(shù)，與試探質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)量很少，

3、幾何尺度很?。o關(guān)尺度很小）無關(guān)。由萬有引力定律，在點(diǎn)質(zhì)量由萬有引力定律，在點(diǎn)質(zhì)量m m的場中與的場中與m m相距相距r r處，試探質(zhì)點(diǎn)處，試探質(zhì)點(diǎn) 受受到的引力為到的引力為 0fm F03mm rfkr 3( )mF rkrr 3、 點(diǎn)質(zhì)量場強(qiáng)度點(diǎn)質(zhì)量場強(qiáng)度 0m注：力不是質(zhì)點(diǎn)本身而是它們的場的作用。（用場的觀念去理解）注：力不是質(zhì)點(diǎn)本身而是它們的場的作用。（用場的觀念去理解）4、場強(qiáng)疊加原理、場強(qiáng)疊加原理31( )niiiimF rkrr 對于離散的質(zhì)點(diǎn)系，由場強(qiáng)疊加原理有對于離散的質(zhì)點(diǎn)系，由場強(qiáng)疊加原理有對于體分布的質(zhì)量，可將其視為一系列質(zhì)點(diǎn)的疊加，把質(zhì)對于體分布的質(zhì)量，可將其視為一系列

4、質(zhì)點(diǎn)的疊加，把質(zhì)量體積量體積V分成無數(shù)個分成無數(shù)個dv，則，則(1)觀察點(diǎn)觀察點(diǎn)P在質(zhì)量體外在質(zhì)量體外3VrFkdvr dmdv33rrd Fkdmkdvrr 對整個體積積分得對整個體積積分得思考：場強(qiáng)在思考：場強(qiáng)在X,Y,Z三軸上投影三軸上投影Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分別為什么？分別為什么？(2)觀察點(diǎn)觀察點(diǎn)P在質(zhì)量體內(nèi)或邊界上在質(zhì)量體內(nèi)或邊界上P點(diǎn)周圍一變域點(diǎn)周圍一變域V0，徑度為，徑度為去除奇點(diǎn)后去除奇點(diǎn)后V-V0則為則為P點(diǎn)外域，則場強(qiáng)度用點(diǎn)外域，則場強(qiáng)度用旁義（廣義）積分定義：旁義（廣義）積分定義：030limV VrFkdvr 可以證明若可以證明若 為連續(xù)函數(shù)，上式為一收斂性之旁義積分。為

5、連續(xù)函數(shù)，上式為一收斂性之旁義積分。( , , ) 結(jié)論：無論結(jié)論：無論P(yáng)點(diǎn)在質(zhì)量分布區(qū)以外或以內(nèi)，只要點(diǎn)在質(zhì)量分布區(qū)以外或以內(nèi)，只要 為一連續(xù)函數(shù)，為一連續(xù)函數(shù)，P點(diǎn)的場強(qiáng)總可以用尋常積分或由旁義積分來表示，而旁義積分的極限值完點(diǎn)的場強(qiáng)總可以用尋常積分或由旁義積分來表示，而旁義積分的極限值完全和尋常積分相同。全和尋常積分相同。( , , ) 同理，面質(zhì)量產(chǎn)生的引力場強(qiáng)度為同理，面質(zhì)量產(chǎn)生的引力場強(qiáng)度為 3SrFkdsr 5、引力場分布的幾何描述、引力場分布的幾何描述引力場線引力場線 引力場線方程引力場線方程 (力線上的線元力線上的線元 應(yīng)該平行應(yīng)該平行 )0F dl引力場線分布引力場線分布d

6、lF例例1 求薄球殼的場強(qiáng)求薄球殼的場強(qiáng) 1.2 引力場第一基本定律（場強(qiáng)度的通量和散度）引力場第一基本定律（場強(qiáng)度的通量和散度）1、質(zhì)點(diǎn)的場強(qiáng)通量、質(zhì)點(diǎn)的場強(qiáng)通量 場強(qiáng)度場強(qiáng)度F的通量是這樣規(guī)定的，等于場強(qiáng)度的法線分量面積分的通量是這樣規(guī)定的，等于場強(qiáng)度的法線分量面積分 將一點(diǎn)質(zhì)量的場強(qiáng)度公式代入上式，即得將一點(diǎn)質(zhì)量的場強(qiáng)度公式代入上式，即得32cos()SSSr nNF ndskmdsrn rkmdsr SNF nds 規(guī)定立體角的正負(fù)號如下：如果從角點(diǎn)看到的是規(guī)定立體角的正負(fù)號如下：如果從角點(diǎn)看到的是dsds的內(nèi)的內(nèi)側(cè)，則為正，相反為負(fù)。側(cè)，則為正，相反為負(fù)。立體角立體角22cos()n

7、 r dsdsdrr 2244QSSSrNF ndskmdkmkmkmr （ 點(diǎn)在 面內(nèi)部）4SNF ndskm （高斯定理）2cos()Sn rNkmdsr 質(zhì)點(diǎn)的場強(qiáng)通量質(zhì)點(diǎn)的場強(qiáng)通量SSNF ndskmdkm 當(dāng)當(dāng)S為一閉合面時：為一閉合面時：120 QSSSNF ndskmdkm （） （ 點(diǎn)在 面外部） 這就是引力場強(qiáng)第一定律（高斯定理），其含義為場強(qiáng)矢量這就是引力場強(qiáng)第一定律（高斯定理），其含義為場強(qiáng)矢量F 對于任意一閉合面對于任意一閉合面S的通量的通量S等于等于S所包圍質(zhì)量的所包圍質(zhì)量的 倍。倍。4 k2、任意分布質(zhì)量場強(qiáng)通量、任意分布質(zhì)量場強(qiáng)通量4iSiF ndskm iiFF

8、其中其中一組質(zhì)點(diǎn)一組質(zhì)點(diǎn)體分布質(zhì)量體分布質(zhì)量VVmdV4SVF ndskdV 代入高斯定理得代入高斯定理得0limSVF ndsFV 4sVVF dVF ndskdV 3、引力場的散度、引力場的散度4Fk 散度的定義散度的定義所以引力場場強(qiáng)的散度所以引力場場強(qiáng)的散度根據(jù)根據(jù)散度定理散度定理：結(jié)論：場中每一點(diǎn)上場強(qiáng)度散度只與該點(diǎn)質(zhì)量密度成比例，結(jié)論：場中每一點(diǎn)上場強(qiáng)度散度只與該點(diǎn)質(zhì)量密度成比例，引力場場源點(diǎn)在場強(qiáng)散度不為零之處。引力場場源點(diǎn)在場強(qiáng)散度不為零之處。 1.3 引力場第二基本定律（場強(qiáng)度的環(huán)流和旋度）引力場第二基本定律（場強(qiáng)度的環(huán)流和旋度）dAF dl1、場力所作的功、場力所作的功 L

9、AF dl對于單位質(zhì)量，場力作的功為對于單位質(zhì)量，場力作的功為當(dāng)移動路徑為當(dāng)移動路徑為L 對一質(zhì)點(diǎn)對一質(zhì)點(diǎn)m的場來說的場來說2、功與路徑無關(guān)、功與路徑無關(guān) 32cosmmF dlkr dlkdlrr 因?yàn)橐驗(yàn)?cosdldr2()mkmF dlkdrdrr3mFkrr 11()()BArrABLkmAF dldkmrrr 式中式中rA、rB分別表示點(diǎn)質(zhì)量分別表示點(diǎn)質(zhì)量m到路徑到路徑L的起點(diǎn)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)和終點(diǎn)B的距離。的距離。結(jié)論：該式表明點(diǎn)質(zhì)量沿任意路徑在引力場中作的功結(jié)論：該式表明點(diǎn)質(zhì)量沿任意路徑在引力場中作的功與路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置有關(guān)，而與路徑的形狀無關(guān)。與路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置有關(guān)，而

10、與路徑的形狀無關(guān)。引力場的場強(qiáng)度的環(huán)流等于零，這就是引力場第二定律引力場的場強(qiáng)度的環(huán)流等于零，這就是引力場第二定律。引力場第二定律實(shí)質(zhì)上是能量守恒定律在引力場的特殊形引力場第二定律實(shí)質(zhì)上是能量守恒定律在引力場的特殊形式。式。3、場強(qiáng)度的環(huán)流、場強(qiáng)度的環(huán)流 0LF dl由斯托克斯定理斯托克斯定理得 0limLSdlFFS 式中式中S S是以回路是以回路L L為周界的任意曲面。為周界的任意曲面。4、場強(qiáng)度的旋度、場強(qiáng)度的旋度 ()0SLdlFndsF0rotFF引力場的旋度等于零，即引力場是無旋的場。引力場的旋度等于零，即引力場是無旋的場。5、 引力場的基本方程引力場的基本方程引力場是無旋的場引力

11、場是無旋的場0rotFF 引力場是有散的場，產(chǎn)生引力場的源是質(zhì)量引力場是有散的場，產(chǎn)生引力場的源是質(zhì)量4VdivFFkdV 1.4 引力場的勢及梯度引力場的勢及梯度1、勢的定義、勢的定義 00( )()PPAF dlU PU P00( )()PPdlU PU PF( )( )PPdldlU PUFF 或或選取無窮遠(yuǎn)處為勢為選取無窮遠(yuǎn)處為勢為零零場中任意場中任意P點(diǎn)的勢等于將一單位質(zhì)量從無限遠(yuǎn)處移至點(diǎn)的勢等于將一單位質(zhì)量從無限遠(yuǎn)處移至P點(diǎn)時點(diǎn)時場力所作的功。場力所作的功。( )( )PPdldlU PUFF 勢的特點(diǎn)：勢的特點(diǎn)：A、勢的單值性、勢的單值性B、勢的相對性、勢的相對性將點(diǎn)質(zhì)量的場強(qiáng)代

12、入勢的定義中，即得點(diǎn)質(zhì)量將點(diǎn)質(zhì)量的場強(qiáng)代入勢的定義中，即得點(diǎn)質(zhì)量m的場中任一點(diǎn)的場中任一點(diǎn)P點(diǎn)的勢點(diǎn)的勢32( )PPPdlkmkmU PFrdldrrr 2 2、點(diǎn)質(zhì)量的勢、點(diǎn)質(zhì)量的勢或或,0mUkrr對于一質(zhì)點(diǎn)組而言，場中任一對于一質(zhì)點(diǎn)組而言，場中任一P點(diǎn)的勢點(diǎn)的勢iiimUkr3 3、體質(zhì)量分布的勢、體質(zhì)量分布的勢VdvUkrP點(diǎn)在質(zhì)量分布區(qū)域外P點(diǎn)在質(zhì)量分布區(qū)域內(nèi)00limV VUkdvr旁義積分（收斂）旁義積分（收斂）BABBAAUUF dlF dlF dl當(dāng)當(dāng)B無限靠近無限靠近A時，此增量可寫成一微分時，此增量可寫成一微分ldUF dlFdl4 4、勢的梯度與場強(qiáng)度的關(guān)系、勢的梯度

13、與場強(qiáng)度的關(guān)系 在直角坐標(biāo)系中，場強(qiáng)度沿坐標(biāo)軸的三分量應(yīng)為在直角坐標(biāo)系中，場強(qiáng)度沿坐標(biāo)軸的三分量應(yīng)為 ,.xyzUUUFFFxyzUUUdUdxdydzxyz 根據(jù)梯度定義根據(jù)梯度定義 根據(jù)全微分定義根據(jù)全微分定義FgradUUUUUgradUUijkxyz我們有我們有 引力場中任一點(diǎn)的場強(qiáng)引力場中任一點(diǎn)的場強(qiáng)F F等于該點(diǎn)的勢的梯度等于該點(diǎn)的勢的梯度 ldUF dlFdl() ()xyzxyzF dlF iF jF kdxidy jdzkF dxF dyF dz5、等勢面、等勢面 凡勢之值相等的各點(diǎn)所構(gòu)成的曲面稱為等勢面。凡勢之值相等的各點(diǎn)所構(gòu)成的曲面稱為等勢面。 ( , , )()U x

14、y zc常數(shù)0dU 即即等勢面上任意兩點(diǎn)間的勢差為零。等勢面上任意兩點(diǎn)間的勢差為零。 UUUdUdxdydzUdlxyz 而而 0Udl 所以在任意點(diǎn)的所以在任意點(diǎn)的F F恒與通過該點(diǎn)的等勢面垂直，即恒與通過該點(diǎn)的等勢面垂直，即力線與等勢面正交。力線與等勢面正交。 00Udl 所以所以 0UdlUdl與垂直 例題例題 求一點(diǎn)質(zhì)量場的等勢面求一點(diǎn)質(zhì)量場的等勢面 設(shè)點(diǎn)質(zhì)量位于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)質(zhì)量位于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)（0，0，0），則它在），則它在任意點(diǎn)任意點(diǎn)P(x,y,z)的勢：的勢： 等勢面時等勢面時其方程為其方程為222mkmUkrxyz222kmUCxyz 因而等勢面的方程式為因而等勢面的

15、方程式為表示球心位于原點(diǎn)的球面方程式，因此點(diǎn)質(zhì)量周圍場表示球心位于原點(diǎn)的球面方程式，因此點(diǎn)質(zhì)量周圍場中的等勢面為以該質(zhì)點(diǎn)為中心的球面。中的等勢面為以該質(zhì)點(diǎn)為中心的球面。222kmUCxyz222221()xyzCkmC 1.5 1.5 引力場場強(qiáng)通過面分布的連續(xù)性引力場場強(qiáng)通過面分布的連續(xù)性或 F1F2214nnFFk 1、引力場場強(qiáng)法向分量的連、引力場場強(qiáng)法向分量的連續(xù)條件續(xù)條件214()SSF dSk mF dSFn SF nSNmS 側(cè)21()4nFFk 在面質(zhì)量兩邊相鄰兩點(diǎn)上的場強(qiáng)矢量在面質(zhì)量兩邊相鄰兩點(diǎn)上的場強(qiáng)矢量F的法線分量發(fā)生一突變，的法線分量發(fā)生一突變，其值等于面質(zhì)量密度的其值

16、等于面質(zhì)量密度的引力場法向分量的邊界條件用引力勢可表示為引力場法向分量的邊界條件用引力勢可表示為或 21()4nFFk 4k倍214UUknn 214nnFFk2、引力場場強(qiáng)度切向、引力場場強(qiáng)度切向分量的連續(xù)條件分量的連續(xù)條件212100llttF dlF dlFlFlFF 210ttFF即即12ttFF此式表明：此式表明：在任意曲面質(zhì)量兩側(cè)，在任意曲面質(zhì)量兩側(cè)，引力場場強(qiáng)度的切向分量引力場場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的是連續(xù)的。 例例2 一均勻圓薄板的場強(qiáng)和勢，面質(zhì)量密度為一均勻圓薄板的場強(qiáng)和勢，面質(zhì)量密度為 1.6 1.6 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程1、泊松方程和拉普拉斯方程、

17、泊松方程和拉普拉斯方程40FkF 24FUUk 因?yàn)橐驗(yàn)槎运訤U 若討論的區(qū)域若討論的區(qū)域=0=0（沒有質(zhì)量分布），（沒有質(zhì)量分布）， 則泊松方則泊松方程變?yōu)槔绽狗匠坛套優(yōu)槔绽狗匠?在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中， 24Uk 22222224UUUUkxyz 泊松方程泊松方程 20U2、引力場的邊值問題、引力場的邊值問題A、正演問題：已知體密度和面密度時，可根據(jù)邊界條、正演問題：已知體密度和面密度時，可根據(jù)邊界條件對泊松方程和拉普拉斯方程求解，確定出場的勢，進(jìn)件對泊松方程和拉普拉斯方程求解，確定出場的勢，進(jìn)而求出場強(qiáng)。而求出場強(qiáng)。B、反演問題：已知場的勢或場強(qiáng)時，可根據(jù)泊松方程

18、、反演問題：已知場的勢或場強(qiáng)時，可根據(jù)泊松方程來確定場中某點(diǎn)的體質(zhì)量密度及面質(zhì)量密度。來確定場中某點(diǎn)的體質(zhì)量密度及面質(zhì)量密度。214Uk1214UUknn 24Uk正演和反演是地球物理理論研究兩大核心內(nèi)容正演和反演是地球物理理論研究兩大核心內(nèi)容3、唯一性定理唯一性定理：如果在空間中某一區(qū)域：如果在空間中某一區(qū)域v內(nèi)，各點(diǎn)的內(nèi)，各點(diǎn)的質(zhì)量密質(zhì)量密度度和該區(qū)域和該區(qū)域邊界面邊界面S上各點(diǎn)的上各點(diǎn)的勢勢為已知時，那么這個區(qū)域內(nèi)由為已知時，那么這個區(qū)域內(nèi)由泊松方程求解的泊松方程求解的勢勢是唯一的是唯一的證明（反證法）：假設(shè)滿足上述條件的解不是唯一的，而是有兩組解證明（反證法）：假設(shè)滿足上述條件的解不是

19、唯一的，而是有兩組解U1U1和和U2,U2,只要證明只要證明U1=U2U1=U2即可。即可。設(shè)區(qū)域內(nèi)解不唯一為 U1和 U2, U=U1-U2, U1和U2都滿足泊松方程，則22211440UkUkU，sVAdvA nds 設(shè)( ,VvSA UgradVU V U 為 內(nèi) 上任意兩個連續(xù)函數(shù)）2(U)UUVAVVUVA nV nUn 2UsVVVUV dvUdsn2UsVVVUV dvUdsn因?yàn)閁,V是任意函數(shù)，設(shè)U=V=U2 2U() sVUUUdvUdsn 2()sVUUdvUdsn進(jìn)一步在S面上為已知值，且已知值只有一個，所以S面上U=U1-U2=00sUUdsn所以 2()00VUd

20、vU則(c所以U常數(shù)） （求解區(qū)域內(nèi)）當(dāng)點(diǎn)由任意方向趨向S面時，U=c=U邊界=012c0UU所以如果在空間中某一區(qū)域如果在空間中某一區(qū)域v內(nèi)，各點(diǎn)的內(nèi)，各點(diǎn)的質(zhì)量密度質(zhì)量密度和該區(qū)域和該區(qū)域邊界面邊界面S上各點(diǎn)的上各點(diǎn)的場強(qiáng)度場強(qiáng)度為已知時，那么這個區(qū)域內(nèi)由泊松方程求解為已知時，那么這個區(qū)域內(nèi)由泊松方程求解的的場強(qiáng)度場強(qiáng)度是唯一的，但是唯一的，但勢勢可以相差任一常數(shù)可以相差任一常數(shù)2()00sVUUdvUdsUn S面上面上場強(qiáng)度場強(qiáng)度為已知，則為已知，則120UU已知， UV內(nèi)內(nèi)12120UUUFF 12UUc地球物理反演具有多解性地球物理反演具有多解性? ?例、用泊松方程（拉普拉斯方程）

21、求解均勻質(zhì)量球體的場例、用泊松方程（拉普拉斯方程）求解均勻質(zhì)量球體的場 解：解： 由于質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ，勢只與離開由于質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ，勢只與離開O點(diǎn)的距離點(diǎn)的距離r有關(guān)，有關(guān)，即即U=U(r)。引入球坐標(biāo)系，則。引入球坐標(biāo)系，則2221UUrrrr 1.7 1.7 重力場重力場1、重力及重力場的概念、重力及重力場的概念 地球的重力主要是由地球內(nèi)部質(zhì)量的萬有引力和因地球地球的重力主要是由地球內(nèi)部質(zhì)量的萬有引力和因地球自轉(zhuǎn)所引起的離心力二者所決定自轉(zhuǎn)所引起的離心力二者所決定：即：即 fFCmg 即：即：0limmfGgm 由于離心力的存在，重力一般不指向地心。由于離心力的存在，重力一般不指向地心。重力概念中包含了試驗(yàn)質(zhì)量重力概念中包含了試驗(yàn)質(zhì)量m的因素，消除的因素，消除m的影響可得的影響可得重力場強(qiáng)度：重力場強(qiáng)度：重力場強(qiáng)度等于物體受重力產(chǎn)生的重力加速度，其中第一重力場強(qiáng)度等于物體受重力產(chǎn)生的重力加速度，其中第一項(xiàng)為引力加速度，第二項(xiàng)為離心力加速度，項(xiàng)為引力加速度，第二項(xiàng)為離心力加速度，即即 GgFC即：即：23vrdvgkRr 重力場強(qiáng)度的變化可以分為在空間上的變化和在時間上