應用統(tǒng)計學第6章參數(shù)估計置信區(qū)間

1、編輯課件第第6 6章章 參數(shù)估計參數(shù)估計- -置信區(qū)間置信區(qū)間單個總體的置信區(qū)間單個總體的置信區(qū)間編輯課件區(qū)間估計概念區(qū)間估計概念 前面，我們討論了參數(shù)點估計前面，我們討論了參數(shù)點估計. 它它是用樣本算得的一個值去估計未知參數(shù)是用樣本算得的一個值去估計未知參數(shù). 但是，點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個但是，點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大差范圍，使用起來把握不大. 區(qū)間估計區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷正好彌補了點估計的這個缺陷 .編輯課件我們希望確定一個區(qū)間，使我們能以比較我們希望確定一個區(qū)間，使我們能以

2、比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.未知參數(shù)的真值未知參數(shù)的真值 “可靠程度可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信概是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平率，置信度或置信水平. 習慣上把置信水平記作習慣上把置信水平記作 1 ，這里，這里 是一個是一個很小的正數(shù)很小的正數(shù).編輯課件 一、一、 置信區(qū)間定義：置信區(qū)間定義： 121P),(2111nXXX ),(2122nXXX )(21 滿足滿足設設 是是 一個待估參數(shù)，給定一個待估參數(shù)，給定, 0 若由樣本若由樣本X1,X2,Xn確定的兩個統(tǒng)計量確定的兩個統(tǒng)計量則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平為的置信水平

3、為 的置的置信區(qū)間信區(qū)間. ,21 121 和分別稱為置信下限和置信上限分別稱為置信下限和置信上限. 編輯課件N(0, 1) 選選 的點估計為的點估計為X求參數(shù)求參數(shù) 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 例例1 設設X1,Xn是取自是取自 的樣本，的樣本， ,2已知 ),(2 N 1XZn取二、置信區(qū)間的求法二、置信區(qū)間的求法 尋找未知參數(shù)的尋找未知參數(shù)的一個良好估計一個良好估計.解：解： 尋找一個待估參數(shù)和尋找一個待估參數(shù)和估計量的函數(shù)估計量的函數(shù) ，要求，要求其分布為已知其分布為已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出Z取值于任意區(qū)間的概率取值于任意區(qū)間的概率.編輯課件

4、,1 對給定的置信水平對給定的置信水平查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得2,z對于給定的置信水平對于給定的置信水平, 根據根據Z的分布，的分布，確定一個區(qū)間確定一個區(qū)間, 使得使得Z取值于該區(qū)間的概率為取值于該區(qū)間的概率為置信水平置信水平.2|1XPzn 使使編輯課件22,XzXznn也可簡記為也可簡記為2Xzn221P XzXznn 于是所求于是所求 的的 置信區(qū)間為置信區(qū)間為 從中解得：從中解得：編輯課件 求置信區(qū)間的一般步驟求置信區(qū)間的一般步驟(1-2): 給定置信水平給定置信水平 ： 11. 尋找參數(shù)尋找參數(shù) 的一個良好的點估計的一個良好的點估計T (X1,X2,Xn) 2. 尋找一個待估參

5、數(shù)尋找一個待估參數(shù) 和估計量和估計量T的函數(shù)的函數(shù) J(T, ),且其分布為已知且其分布為已知. 編輯課件3. 對于給定的置信水平對于給定的置信水平 ，根據，根據J(T, )的分布，確定常數(shù)的分布，確定常數(shù)a, b，使得，使得 1 1 P(a J(T, )b)= 4. 對對“aJ(T, )b”作等價變形作等價變形,得到如下得到如下形式形式: 121P,21 1 則則 就是就是 的的100( )的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 求置信區(qū)間的一般步驟求置信區(qū)間的一般步驟(3-4):編輯課件 可見，確定區(qū)間估計很關鍵的是要尋找可見，確定區(qū)間估計很關鍵的是要尋找一個待估參數(shù)一個待估參數(shù) 的估計量的估計量T 和函

6、數(shù)和函數(shù)J(T, ), 且且J(T, )的分布為已知的分布為已知, 不依賴于任何未知不依賴于任何未知參數(shù)參數(shù) (這樣我們才能確定一個大概率區(qū)間這樣我們才能確定一個大概率區(qū)間).而這與總體分布有關，所以，而這與總體分布有關，所以，總體分布的總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關重要形式是否已知，是怎樣的類型，至關重要.區(qū)間估計的關鍵區(qū)間估計的關鍵編輯課件 1.當總體為當總體為正態(tài)分布正態(tài)分布時，教材上給出時，教材上給出了幾個重要的抽樣分布定理了幾個重要的抽樣分布定理. 這里不加證這里不加證明地敘述明地敘述. 幾個重要的抽樣分布定理幾個重要的抽樣分布定理編輯課件 定理定理 1 樣本均值的分布樣

7、本均值的分布-（已知）已知）(P.111)設設X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本，則有的樣本，則有),(2nNX ) 1 , 0( NnX 編輯課件 設設X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2SX和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有) 1(ntnSX 定理定理 2 樣本均值的一個分布樣本均值的一個分布（未知）未知） P.112編輯課件 定理定理 3 (樣本方差的分布樣本方差的分布) P.114) 1() 1() 1 (222nSn 設設X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2S

8、X和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有.)(相互獨立和22SX編輯課件定理7：設（ X1， ，Xn）是總體的一個樣本，當較大時，近似有（）（）2非正態(tài)總體情況非正態(tài)總體情況：) 1 , 0 (),1 , 0 () 1 , 0 (),(2NSXnNSXnNXnnNXn或或編輯課件2非正態(tài)總體情況：總體XB(1,p),p稱為總體比例1,(1,),(1),7,:(1)(0,1)1(1)(2):(1),(0,1)1(1)nnnXBppppXpNppnSXXXpNXXn記 總 體 比 例 p的 估 計 為pX當時由 定 理當 n充 分 大 時 ,可 得可 以 證 明則編輯課件例例

9、2 已知某地區(qū)新生嬰兒的體重已知某地區(qū)新生嬰兒的體重X),(2 N,2未知 隨機抽查隨機抽查n個嬰兒個嬰兒, ,得得n個體重數(shù)據個體重數(shù)據: :X1, ,X2, ,Xn 的區(qū)間估計的區(qū)間估計2 求求和和（置信水平為（置信水平為1- ）. 編輯課件解：這是單總體均值和方差的估計解：這是單總體均值和方差的估計未知22,),( NX已知已知 1.先求均值先求均值 的區(qū)間估計的區(qū)間估計. ) 1(ntnSXt 因方差未知，取統(tǒng)計量因方差未知，取統(tǒng)計量對給定的置信水平對給定的置信水平 12(1)tn使使2| |(1)1Pttn 2|(1)1XPtnSn 即即確定分位數(shù)：確定分位數(shù)：編輯課件22(1),(

10、1)SSXtnXtnnn均值均值 的置信水平為的置信水平為 的區(qū)間估計的區(qū)間估計.即為即為 1從中解得從中解得22(1)(1)1SSP XtnXtnnn 編輯課件) 1() 1(222nSn 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量2221222(1)(1)(1)1nSPnn 從中解得從中解得22222212(1)(1)1(1)(1)nSnSPnn 2 2. 求方差求方差 的置信水平為的置信水平為 的區(qū)間估計的區(qū)間估計. 1使使 對給定的置信水平對給定的置信水平 , 1212(1) ,n分位數(shù)分位數(shù)22(1) ,n確定確定編輯課件于是于是 所求置信區(qū)間為：所求置信區(qū)間為：2222212(1)(1),(1)(1)nSn

11、Snn編輯課件【例【例2】求例】求例1中元中元件壽命方差件壽命方差 2 的的 95% 置置信信區(qū)間。區(qū)間。n解解：由例1，S2 =196.52，n =10，/2=0.025，n1-/2=0.975, )9(2025. 07 . 2)9(2975. 0，023.19)9(2025. 0)9(2975. 0故所求 2的置信區(qū)間為 (135.22，358.82) (n-1)S2/ (n-1)S2/ = 9196.52/19.023= 9196.52/2.7= 135.22= 358.82編輯課件 需要指出的是，給定樣本，給定置信水需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，平，置信區(qū)間也置信區(qū)間也不是唯一

12、不是唯一的。的。 對同一個參數(shù)，我們可以構造許多置信對同一個參數(shù)，我們可以構造許多置信區(qū)間。區(qū)間。 下面以單個總體均值下面以單個總體均值（方差已知）的置（方差已知）的置信區(qū)間估計為例來說明。信區(qū)間估計為例來說明。編輯課件N(0, 1)nXU 例如，由例如，由P(-1.96U1.96)=0.95我們得到我們得到 均值均值 的置信水平為的置信水平為 1的的置信區(qū)間為置信區(qū)間為96. 1,96. 1nXnX 編輯課件我們總是希望置信區(qū)間盡可能短我們總是希望置信區(qū)間盡可能短. .類似地，我們可得到若干個不同的置信類似地，我們可得到若干個不同的置信區(qū)間區(qū)間. . 任意兩個數(shù)任意兩個數(shù)a和和b，只要包含，

13、只要包含f(u)下下95%的的面積，就確定一個面積，就確定一個95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間. .編輯課件在概率密度為單峰且對稱的情形，當在概率密度為單峰且對稱的情形，當a =-b時時求得的置信區(qū)間的長度為最短求得的置信區(qū)間的長度為最短. .a =-b編輯課件 即使在概率密度不對稱的情形，如即使在概率密度不對稱的情形，如 分布分布，F(xiàn)分布分布，習慣上仍取對稱的百分位點，習慣上仍取對稱的百分位點來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間. .2 )(xf22212x)(2nX 編輯課件 也就是說，要想得到的區(qū)間估計可靠度也就是說，要想得到的區(qū)間估計可靠度高，區(qū)間長度就長，估計的精度就差高，區(qū)間

14、長度就長，估計的精度就差. . 實用中應在保證足夠可靠的前提下，盡實用中應在保證足夠可靠的前提下，盡量使得區(qū)間的長度短一些量使得區(qū)間的長度短一些 .一對一對“矛盾矛盾” 我們可以得到未知參數(shù)的的任何我們可以得到未知參數(shù)的的任何置信水置信水平的平的置信區(qū)間，并且置信區(qū)間，并且置信水平越高，相應的置信水平越高，相應的置信區(qū)間置信區(qū)間平均長度平均長度越長越長. .編輯課件N(0, 1)XZn例如，由例如，由P(-1.96U1.96)=0.95我們得到我們得到 均值均值 的置信水平為的置信水平為 1的的置信區(qū)間為置信區(qū)間為96. 1,96. 1nXnX 考慮單個正態(tài)總體考慮單個正態(tài)總體的置信區(qū)間的置信

15、區(qū)間: 當當已知時已知時,置信度與置信區(qū)間長度的關系置信度與置信區(qū)間長度的關系編輯課件由由 P(-2.33Z2.33)=0.99這個區(qū)間比前面一個要長一些這個區(qū)間比前面一個要長一些. .置信區(qū)間為置信區(qū)間為33. 2,33. 2nXnX我們得到我們得到 均值均值 的置信水平為的置信水平為1的的 也就是說，要想得到的也就是說，要想得到的區(qū)間估計可靠區(qū)間估計可靠度高，區(qū)間長度就長，估計的精度就差度高，區(qū)間長度就長，估計的精度就差. .這是一對矛盾這是一對矛盾.(.(當樣本容量當樣本容量n n固定時固定時) )編輯課件 （1）實用中應在保證足夠可靠的前提）實用中應在保證足夠可靠的前提下，盡量使得區(qū)間

16、的長度短一些下，盡量使得區(qū)間的長度短一些 . （2）增大）增大樣本容量樣本容量n,可可在保證足夠可在保證足夠可靠的前提下靠的前提下,提高估計的精度提高估計的精度./ 22nnLzn 解決辦法：解決辦法：編輯課件估計均值估計均值時的樣本容量時的樣本容量n確定確定1.指定估計的精度指定估計的精度:2.指定估計的可靠度指定估計的可靠度1-;3.3.確定確定:(1)(1)由歷史資料確定由歷史資料確定; ;(2)(2)預抽小樣本預抽小樣本n,n,計算計算s s來代替來代替;(3)(3)由其它方法估計由其它方法估計. .則樣本容量樣本容量為:/22LdXdzn22/22znd編輯課件總體均值區(qū)間估計時樣本

17、容量的確定在給定置信度和允許誤差 d 的條件下，由nSntd/) 1(2/可得22/) 1(dSntn22/dz 其中總體標準差或樣本標準差也是未知的，通?？梢韵韧ㄟ^小規(guī)模抽樣作出估計。 由于使用的是近似公式，可知實際采用的最低樣本容量應比計算結果稍大。 22/dSz編輯課件三、單側置信區(qū)間三、單側置信區(qū)間 上述置信區(qū)間中置信限都是雙側的，但上述置信區(qū)間中置信限都是雙側的，但對于有些實際問題，人們關心的只是參數(shù)在對于有些實際問題，人們關心的只是參數(shù)在一個方向的界限一個方向的界限. 例如對于設備、元件的使用壽命來說，平均例如對于設備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了壽命

18、過長沒什么問題，過短就有問題了. 這時，可將置信上限取為這時，可將置信上限取為+，而只著，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側置信區(qū)間側置信區(qū)間.編輯課件單側置信區(qū)間和置信限的定義：單側置信區(qū)間和置信限的定義： 11P),(2111nXXX 滿足滿足設設 是是 一個待估參數(shù)，給定一個待估參數(shù)，給定, 0 若由樣本若由樣本X1,X2,Xn確定的統(tǒng)計量確定的統(tǒng)計量則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平為的置信水平為 的的單側置信區(qū)間單側置信區(qū)間. ),1 11 稱為單側置信下限稱為單側置信下限.編輯課件),(2122nXXX 又若統(tǒng)計量又若統(tǒng)計量 滿足滿足

19、12P2 則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平為的置信水平為 的的單側置信區(qū)間單側置信區(qū)間. ,(2 1 稱為單側置信上限稱為單側置信上限.編輯課件【例【例5】(1)求例1中元件平均壽命的95%置信下限。 (2)求元件壽命方差的95%置信上限。解解:(1)1)1(/ntnSXP從而 的單側 1- 置信下限為 /) 1(nSntX本例中，t 0.05(9)=1.8331，故所求置信下限為1423.1-1.8331196.5/10該在95%的置信度下，該元件的平均壽命大于1309.2小時。 =1390.2可得1/) 1(nSntXP由6.4 單側置信限的區(qū)間估計 編輯課件同理可得 2 的置信度為 1

20、- 的單側置信上限為 )1()1(212nSn本例中，) 1(21n 故所求2的95%置信上限為 9196.52/3.325 = 323.32 (小時2) 由以上分析可知，求單側置信限與求雙側置信限的差別僅在于用相應分布的右側 分位點代替雙側區(qū)間估計公式中的右側 /2 分位點。 解解(2)(2)： 2 的的置信置信上限上限)9(295. 0325. 3編輯課件 3 總體比例總體比例p的的 置信區(qū)間置信區(qū)間 設總體設總體XB(1,p),即即X只取兩個值只取兩個值: X=1(具有某屬性具有某屬性), 概率為概率為p; X=0(不具有某屬性不具有某屬性), 概率為概率為1-p.其中其中, p稱為稱為

21、總體比例總體比例,即具有某屬性的即具有某屬性的人在總體中所占的比例人在總體中所占的比例. 從總體從總體X抽取一個樣本抽取一個樣本(X1,X2,Xn).例如例如:一個一個n=5的樣本為的樣本為:0,1,1,0,0.總體比例總體比例p的點估計為的點估計為:20.45px編輯課件總體比例總體比例p的的 置信區(qū)間置信區(qū)間(大樣本情況大樣本情況:n50)考慮考慮0-1分布未知參數(shù)分布未知參數(shù)p的置信區(qū)間估計的置信區(qū)間估計:), 1 (,1pBXXiidn/22/22210(1)(0,1)(1)()1(1)0XpJnNppP JzXpnzppc pc pc 精確估計公式精確估計公式(0p1):p也稱為也稱

22、為總體比例總體比例編輯課件)4(21202112ccccc222/21/201,:,(2),.pcnzcnXzcnX 上式即是 的的近似置信區(qū)間 其中編輯課件/2/2/2/2(2)(0,1)(1)()1()1(1)1:1(1) XpJnNXXP JzXpPznzpppXzXXn 的的近似置信區(qū)間實際應用中常用如下近似的估計公式:編輯課件n【例例4】某廠為了解產品的質量情況，隨機抽取了300件產品進行檢驗，其中有5件次品，求該廠產品次品率的置信度為95%的置信區(qū)間。n 解解：產品次品率為比例， =1-0.95=0.05，n /2=0.025，n=300,，查表得 Z0.025=1.96，n 樣本

23、成數(shù)%67. 1300/5pnppZd/ )1 (2/300/ )0167. 01 (0167. 096. 1 該廠產品次品率的置信度為95%的置信區(qū)間為 ) ,(dpdp )3.12% %,22. 0(%45. 1 編輯課件估計總體比例估計總體比例p時的樣本容量時的樣本容量n確定確定1.指定估計的精度指定估計的精度:2.指定估計的可靠度1-:3.pXd22/22(1)(1)ppzppnd編輯課件案例思考題n國外民意調查機構在進行民意調查時，通常要求在95%的置信度下將調查的允許誤差(即置信區(qū)間的 d 值)控制在3%以內。n問為滿足該調查精度要求，至少需要多大的樣本？n如果要求置信度達到99%

24、，調查誤差仍為3%，此時至少需要多大的樣本？n 編輯課件案例思考題解答(1)，可得由 / )1 ( 2/nppZd222/)1 (dppZn時，當5 . 0 p故需要的樣本容量至少為2203. 05 . 05 . 096. 1n1 .1067（人） 1068 達到最大值， )1 (pp編輯課件例：某企業(yè)要重新制定產品抽樣檢驗的規(guī)范。已知過去檢驗的次品率在3.6%左右，現(xiàn)要求允許誤差不超過2%，置信度為95%。問每次至少應抽查多少產品？n解解：由題意，要推斷的是總體成數(shù)，np =0.036，1-p = 0.964，d = 0.02， = 0.05，nz/2 = z0.025 = 1.96故每次至

25、少應抽查 334 件產品。由此可知，在總體比例的區(qū)間估計問題中，要達由此可知，在總體比例的區(qū)間估計問題中，要達到一定的精度要求，樣本到一定的精度要求，樣本容量至少要在幾百以上。容量至少要在幾百以上。 2202. 0964. 0036. 096. 1)( 3 .333件222/)1 (dppZn編輯課件估計對象估計對象條件條件要求要求置信區(qū)間置信區(qū)間區(qū)間估計小結 nZddxdx/ ), ,(2/nSNtddxdx/) 1( ), ,(2/nSNtx/) 1( nSNtx/) 1( , ) ,(dpdpnppZd/ )1 (2/)1()1( ,)1()1(22/1222/2nSnnSn)1()1(

26、22nSn)1()1(212nSn P 2 2已知 2未知雙側雙側雙側雙側單側上限單側上限單側下限單側下限編輯課件 兩個正態(tài)總體時兩個正態(tài)總體時,未知參數(shù)的未知參數(shù)的 置信區(qū)間置信區(qū)間的求法的求法.6.5兩個正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間兩個正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間編輯課件 定理定理 4 (兩總體樣本兩總體樣本均值均值差的分布差的分布) P.11812221212()()(0,1)XYNnn則有則有，設),(),(222211NYNXYX和分別是這兩個樣本的分別是這兩個樣本的且且X與與Y獨立獨立,X1, X2,1nX是取自是取自X的樣本的樣本,取自取自Y的樣本的樣本,均值均值:Y1,Y2,2nY是是樣本樣本編輯課件 定理定理 5 (兩總體樣本均值差的分布兩總體樣本均值差的分布) P.119)2(112) 1() 1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX ，設),(),(2221 NYNXYX和分別是這兩個樣本的分別是這兩