高等代數(shù)(第三版)19

1、第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式一、本原多項(xiàng)式一、本原多項(xiàng)式二、整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法二、整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法三、有理系數(shù)不可約多項(xiàng)式三、有理系數(shù)不可約多項(xiàng)式第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式定理定理10 (10 (高斯引理高斯引理) ) 兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)本原多項(xiàng)式兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)本原多項(xiàng)式.證證 設(shè)給了兩個(gè)本原多項(xiàng)式設(shè)給了兩個(gè)本原多項(xiàng)式,)(10mmiixaxaxaaxf,)(10nnjjxbxbxbbxg并且設(shè)并且設(shè).)()(10mnmnjijixcxcxccxgxf)()(xgxf如果如果不是本原多項(xiàng)式不是本原多項(xiàng)式, 那么一定存在一個(gè)那么一定存在一個(gè)素?cái)?shù)素?cái)?shù)p , 它能

2、整除所有系數(shù)它能整除所有系數(shù).,10nmccc若是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式若是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式f (x)的系數(shù)互素的系數(shù)互素, 那么那么f (x)叫叫作一個(gè)作一個(gè)本原多項(xiàng)式本原多項(xiàng)式.一、本原多項(xiàng)式一、本原多項(xiàng)式第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式由于由于f (x)和和g (x)都是本原多項(xiàng)式都是本原多項(xiàng)式,所以所以p不能整除不能整除f (x)的所有系數(shù)的所有系數(shù),也不能整除也不能整除g (x)的所有系數(shù)的所有系數(shù).令令 各各是是f (x)和和g (x)的第一個(gè)不能被的第一個(gè)不能被p 整除的系數(shù)整除的系數(shù).考察考察f (x)g (x)的系數(shù)的系數(shù) 有有jiba 和.jic.011110bababababacji

3、jijijijiji這個(gè)等式的左端這個(gè)等式的左端p整除整除.根據(jù)選擇根據(jù)選擇 的條件的條件,所有所有系數(shù)系數(shù) 都被都被p整除整除.因此乘積因此乘積 也也須被須被p整除整除.但但p是一個(gè)素?cái)?shù)是一個(gè)素?cái)?shù),所以所以p必須整除必須整除 . 這與假設(shè)矛盾這與假設(shè)矛盾.jiba 和0110,bbaaji以及jibaijab或或第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式證證 設(shè)設(shè)f f( (x x ) )g g( (x x ) )h h( (x x ) ), ,= g g( (x x ) )h h( (x x ) )( (g g( (x x ) ) )( ( f f( (x x ) ) ), , ( (h h( (x x

4、) ) )( ( f f( (x x ) ) )抖和和是是有有理理系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式，且且如果一個(gè)非零整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較如果一個(gè)非零整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，那么它一定能分解成低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，那么它一定能分解成次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積. 1 1f f( ( x x ) )a a f f ( ( x x ) )g g( ( x x ) )r rg g ( ( x x ) ), ,h h( ( x x ) )s sh h ( ( x x ) )=11令令第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式1 11 11 11 11 1

5、1 1f f ( (x x ) ), ,g g ( (x x ) ), ,h h ( (x x ) )a ar r, ,s sa af f ( (x x ) )r rs sg g ( (x x ) )h h ( (x x ) )=這這里里，都都是是本本原原多多項(xiàng)項(xiàng)式式，是是整整數(shù)數(shù)，是是有有理理數(shù)數(shù). .因因此此 1 11 11 11 11 11 11 10 0 , ,g g ( (x x ) ), ,h h ( (x x ) )r rs sa ar rs sf f x xr rs sg g ( (x x ) ) )h h ( (x x ) )r rs sg g ( (x x ) )h h (

6、 (x x ) )f f( (x x ) ). .由由定定理理是是本本原原多多項(xiàng)項(xiàng)式式，從從而而= =, ,即即是是一一個(gè)個(gè)整整數(shù)數(shù), ,則則( ( ) )= =( (與與都都是是整整系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式，且且次次數(shù)數(shù)都都低低于于的的次次數(shù)數(shù)第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式設(shè)設(shè)是是整整系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式，且且是是本本原原多多項(xiàng)項(xiàng)式式，如如果果其其中中是是有有理理系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式，那那么么一一定定是是整整系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)推推式式論論 f(x),g(x)g(x)f(x)= g(x)h(x),h(x)h(x)第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)整整系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式， 而而是是它它的的一一

7、個(gè)個(gè)有有理理根根，其其中中互互定定理理1 1素素，那那么么必必有有2 2nnnn0n0 f xa xaxarsr ss a r a-=+11( ),| , | .L二、整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法二、整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法( () ), ,( () ). .=特特 別別 ， 如如 果果的的 首首 項(xiàng)項(xiàng) 系系 數(shù)數(shù)那那 么么的的 有有 理理 根根 都都 是是 整整 根根 ， 而而 且且 是是的的 因因 子子n0f xa1f xa第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式證證 由于由于 是是f (x)的一個(gè)根的一個(gè)根, 所以所以r rs sr rf f( (x x) )( (x x) )q q( (x x) ),

8、,s s=-這里這里q (x)的一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式的一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式. 我們有我們有f xr r( ( x x) )( ( s sx xr r ) ), ,s ss s( ( s sx xr r ) ) | | ( () )-=-1所所 以以 ，因?yàn)橐驗(yàn)閟和和r互素，所以互素，所以sx r 是一個(gè)本原多項(xiàng)式是一個(gè)本原多項(xiàng)式.由上由上推論，推論，第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式n10bbn nn nf f( (x x) )( (s sx xr r) )( (b bx xb b ) ), , ,-=-+110LL其其中中，都都是是整整數(shù)數(shù)，比比較較兩兩邊邊系系數(shù)數(shù)，n0sar an nn na as

9、sb b, ,a ar rb b , ,| |, ,. .-=-100因因此此， | |第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式這個(gè)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)這個(gè)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)3的因數(shù)的因數(shù) 常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng) 2的因數(shù)的因數(shù) 所以可能的有理根是所以可能的有理根是, 3, 1. 2, 1.32,31, 2, 1求多項(xiàng)式求多項(xiàng)式 2553)(234xxxxxf的有理根的有理根.例例1, ,f f( ( x x ) ). . 1 2我我 們們 可可 驗(yàn)驗(yàn) 證證不不 是是的的 根根解解第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式應(yīng)用綜合除法應(yīng)用綜合除法: | 5 1 5 2 6 23 1 3 0所以所以 2 是是f (x) 的一個(gè)根的一

10、個(gè)根. 同時(shí)我們得到同時(shí)我們得到f(x)(x)( xxx).f(x)(x)( xxx).=+-+-322331 1 3 1 323233|31 3 2 ( ( x xx xx x) )f f( (x x ) ). .-+-3223312容容易易看看出出，不不是是的的根根，所所以以不不是是的的重重根根第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式至此已經(jīng)看到至此已經(jīng)看到,商式不是整系數(shù)多項(xiàng)式商式不是整系數(shù)多項(xiàng)式,因此不必再除因此不必再除下去就知道下去就知道, 的根的根,所以它也不是所以它也不是f (x)的的根根. 再作綜合除法再作綜合除法:)(31xg不是所以所以 的一個(gè)根的一個(gè)根,因而它也是因而它也是f (x)的

11、一個(gè)根的一個(gè)根,容易看出容易看出, 的重根的重根. )(31xg是)(31xf不是-3131110133030第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式2 23 3x x3 3f f( (x x) )f f( (x x) ). .3 3+-2312同同理理，均均不不是是的的根根，所所以以也也不不是是的的根根，從從而而，的的有有理理根根只只有有，第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式三、有理系數(shù)不可約多項(xiàng)式三、有理系數(shù)不可約多項(xiàng)式那么多項(xiàng)式那么多項(xiàng)式f (x)在有理數(shù)域上不可約在有理數(shù)域上不可約.n nn n1 1n n2 20 02 20 0( ( ) )p p| |a a ; ;( (2 2 ) ) p p a a,

12、,a a, , ,a a ; ;( (3 3 ) ) p p| | a a-/1L- - | | 定理13 (Eisenstein判斷法)pn nn nn nn nf f( (x x) )a a x xa ax xa a-=+110L設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)整整系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式，如如果果有有一一個(gè)個(gè)素素?cái)?shù)數(shù) 使使得得第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式證證 如果多項(xiàng)式如果多項(xiàng)式f (x)在有理數(shù)域上可約在有理數(shù)域上可約,那么那么f (x)可以可以分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積:)()()(xhxgxf這里這里,)(,)(1010llkkxcxccxhxbxbbx

13、g并且并且 k n , l n , k + l = n , 由此得到由此得到.000cba 因?yàn)橐驗(yàn)?被被p整除整除,而而p是一個(gè)素?cái)?shù)是一個(gè)素?cái)?shù), 所以所以 整除整除.但但 不能被不能被 整除整除, 所以所以 不能同時(shí)被不能同時(shí)被p整除整除. 0apcb被或000a2p00cb 與第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式0c不妨假定不妨假定 整除而整除而 不被不被p整除整除. g (x)的系數(shù)的系數(shù)不能全被不能全被p整除整除,否則否則f (x) = g (x)h (x)的系數(shù)的系數(shù) 將被將被p整除整除,這與假定矛盾這與假定矛盾. 令令g (x)中第一個(gè)不能被中第一個(gè)不能被p整除的整除的系數(shù)是系數(shù)是 . 考察

14、等式考察等式pb 被0nasb.0110sssscbcbcba由于在這個(gè)等式中由于在這個(gè)等式中 都被都被p整除整除,所以所以 也必須被也必須被p整除整除. 但但p是一個(gè)素?cái)?shù)是一個(gè)素?cái)?shù), 所以所以 中至少中至少有一個(gè)被有一個(gè)被p整除整除. 這是一個(gè)矛盾這是一個(gè)矛盾.01,bbass0cbs0cbs與第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式n nx x2 23 3+ 多多項(xiàng)項(xiàng)式式在在有有理理數(shù)數(shù)域域上上例例 是是否否不不可可約約？n n3 31 13 3x x3 3+ 存存在在素素?cái)?shù)數(shù) 滿滿足足定定理理，所所以以，多多項(xiàng)項(xiàng)式式在在有有理理數(shù)數(shù)域域上上是是不不可可約約的的. .因因此此，在在有有理理數(shù)數(shù)域域上上存

15、存在在任任意意次次的的解解不不可可約約多多項(xiàng)項(xiàng)式式. .第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式小結(jié)小結(jié)本節(jié)解決了兩個(gè)問(wèn)題本節(jié)解決了兩個(gè)問(wèn)題:1.有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題，即有理有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題，即有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的問(wèn)題：系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的問(wèn)題：n nn nn nn n0 0n n0 0 f f( (x x) )a a x xa ax xa ar rs sr r, ,s ss s1 12 2| |a a , ,r r | |a a . .-=+11L 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)整整系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式， 而而是是它它的的一一個(gè)個(gè)有有理理根根，其其中中互互素素，那那么么必必有有定定理理第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式2. 有理系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)中存在任意次的有理系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)中存在任意次的 不可約多項(xiàng)式不可約多項(xiàng)式那么多項(xiàng)式那么多項(xiàng)式f (x)在有理數(shù)域上不可約在有理數(shù)域上不可約.n nn n1 1n n2 20 02 20