ppt第十一章魯棒與最優(yōu)控制

1、第十一章第十一章 魯棒與最優(yōu)控制魯棒與最優(yōu)控制 數(shù)學基礎知識數(shù)學基礎知識LQR、LQG問題與問題與 最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題 控制理論控制理論線性定常系統(tǒng)的線性定常系統(tǒng)的 最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題小結小結2HHH11.1 11.2 11.3 11.4 11.5返回主目錄 由此，引出了如何設計一個合理的控制器，當存在不確定性因素的情況下，使系統(tǒng)仍保持良好魯棒性的問題。魯棒控制設計的主要思想是在使系統(tǒng)對不確定性的響應的最大值盡量小的前提下，以滿足系統(tǒng)的性能指標。 由前面幾章可知，最優(yōu)控制規(guī)律的設計，要求必須能夠得到系統(tǒng)的精確數(shù)學模型，否則，所謂的最優(yōu)設計全部都是徒勞的。正因為在實際工程中，被控系統(tǒng)

2、不確定性的存在，導致了人們對這一問題的重新認識。11.1 數(shù)學基礎知識數(shù)學基礎知識 本節(jié)簡要介紹本章內容所涉及到的數(shù)學基礎知識。為簡明起見，假定讀者已經(jīng)具備工科線性代數(shù)、矩陣理論和控制理論的基礎知識。 在前面的線性代數(shù)和矩陣理論等數(shù)學課程中，我們已經(jīng)知道了向量范數(shù)和矩陣范數(shù)的概念。實際上，矩陣可以看成是向量空間到向量空間的映射。從幾何意義上講，向量的范數(shù)表達的是向量的長度；而矩陣的范數(shù)則反映了在這種映射過程中，向量長度被放大或縮小的一種“增益”。返回子目錄返回子目錄 因此，一個系統(tǒng)可以看成是從一個函數(shù)空間到另一個函數(shù)空間的映射，即算子。與向量和矩陣的情況類似，如果在函數(shù)空間引入范數(shù)的概念來表述

3、信號在某種工程意義上的強度，以此來描述控制系統(tǒng)的性能，那么，系統(tǒng)作為算子時的范數(shù)就反映了系統(tǒng)在傳遞信號過程中的一種“增益”，它是描述系統(tǒng)性能的一個重要手段。 在控制系統(tǒng)中，經(jīng)常要面臨各種信號，這些信號通常可以表示為時域或者頻域內的函數(shù)。而系統(tǒng)在這些信號激勵下的響應，同樣也可以表示為各種函數(shù)。11.1.1 信號的范數(shù)信號的范數(shù)1、時域信號 時域信號 可理解為從 到實數(shù) 的一個函數(shù)，設 是勒貝格可測函數(shù)，下面給出關于函數(shù)空間的一些定義。 tu,R tu 對于正數(shù) ，元素 為勒貝格可測函數(shù)，且滿足), 1 p u dttup的函數(shù)空間，稱為 空間。,pL其中 空間中，我們常用的函數(shù)空間有,pL定義1

4、1-1,1L dttu：,2L dttu2：,L tuesst,sup： 其中， 表示真上確界。所謂函數(shù)在點集 上的真上確界是指它在 中除某個零測度集外的上確界。對于連續(xù)函數(shù)，其上確界就是真上確界。supessQQ 在空間 中，所有對 除去測度為零的集合上函數(shù)的全體所構成的集合記為 ，它是 的一個閉空間。因為實際信號均滿足 ，所以我們討論的信號均屬于 空間。需要說明的是：對于函數(shù)空間中的元素 可以是單個的函數(shù)，也可以是向量函數(shù)。,pL0t), 0 pL,pL0t), 0 pL tu 對于時域信號 ，我們常用的范數(shù)有： tu dttuu11-范數(shù)： 2122dttuu 2-范數(shù)： tuessut

5、,sup-范數(shù)：應當指出：2范數(shù)的平方實際上是對信號能量的一種度量，而范數(shù)則是對信號幅值上界的度量。因此， 中的信號屬能量有限信號，如單位脈沖信號（幅值不受限）；而 中的信號則屬于幅值有限信號，如單位階躍信號（能量不受限）。), 02L), 0 L可見， 和 以及 空間并不是完全等價的。), 02L), 0 L), 01L 2、頻域信號頻域信號 可看成從 的函數(shù)，設 為勒貝格可測函數(shù)，則有如下定義。juCjR ju定義11-2 對于正數(shù) ，元素 在上有定義，取值于復數(shù)域 的 為勒貝格可測函數(shù)，且滿足), 1 pjRCudjup的空間，稱 空間。 pL常用的 空間有 pL2Ldju2Ljuess

6、Rsup對于頻域信號 ，常用范數(shù)有ju2-范數(shù)： djujudjuu*222121-范數(shù)：juessuRsup其中 是 的共軛轉置。ju*ju 由于實際中常遇到的頻域信號都是 的（真）實有理函數(shù)，因此，我們把 和 中實有理函數(shù)的全體給出專門的記號，分別記作 和 。j2LL2RLRL的實有理函數(shù)（向量）為juLuuRL,|22的實有理函數(shù)（向量）為juLuuRL,| 由定義可知， 是在虛軸上無極點的真實有理函數(shù)（向量）的全體。RL 即： 對于線性算子 的范數(shù) 可定義GGGuuGuGuu10supsup 本書中所討論的系統(tǒng)，若沒有特別說明，均是線性時不變有限維因果系統(tǒng)。我們知道，對于一個系統(tǒng)的作用

7、，實際上可看成對信號進行某種變換。因此，可以把系統(tǒng)看作為一種算子。關于算子，也就是指定義在兩個函數(shù)空間之間的某種映射關系。這里我們主要把系統(tǒng)作為線性算子來處理。11.1.2 系統(tǒng)的范數(shù)系統(tǒng)的范數(shù) 由該定義可知，系統(tǒng)的范數(shù)實際上是單變量增益（信號放大倍數(shù)）概念在多變量系統(tǒng)中的推廣。 有了算子范數(shù)的概念，就可以把 和 擴展為有理函數(shù)矩陣空間，相應的實有理函數(shù)矩陣空間仍分別記為 和 。LHRLRH11.2.1 LQR問題與問題與 最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題11.2 LQR、LQG問題與問題與 最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題2H2H 一個反饋系統(tǒng)的性能可以用從擾動輸入到參考輸出之間的閉環(huán)增益來衡量。系統(tǒng)的2-

8、范數(shù)代表一個平均增益，可被用來作為一個最優(yōu)控制問題的代價函數(shù)。當被控對象被近似給定以后，關于LQR的最優(yōu)控制問題也就是使閉環(huán)系統(tǒng)的2-范數(shù)取最小值的最優(yōu)問題。返回子目錄返回子目錄 uu tx tAx tBIt 1 211 21000000m tIu ty tQx ttu tR 最優(yōu)控制問題將為下面的被控對象找到線性時不變控制器2H 把LQR問題明確地敘述為一個系統(tǒng)的2-范數(shù)最優(yōu)化問題可以從另一個角度考察LQR問題，并且可以比較容易得到公式來描述系統(tǒng)的頻域特性。 使得由被控對象組成的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，并且使得系統(tǒng)的2-范數(shù)最小。 22102clclTclGdttgtgtrJ 式中 是從擾動輸入到參考

9、輸出之間的閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖響應矩陣。上面所示系統(tǒng)的結構圖將在下圖中給出。符號 源自全局穩(wěn)定線性時不變系統(tǒng)的hardy空間 ，下標2代表所應用的系統(tǒng)范數(shù)。2H tgcl HuBIAdt21R21QI控制器 tw tu被控對象 tx tu1 ty1 tm圖11-1 最優(yōu)控制方框圖 2H 上式就等于穩(wěn)態(tài)隨機調節(jié)器的指標函數(shù)。這個輸出的均方值也能通過閉環(huán)系統(tǒng)的2-范數(shù)來得到。 最優(yōu)控制問題等價于穩(wěn)態(tài)隨機調節(jié)器。在這個情況下最優(yōu)反饋增益是時不變的，并使系統(tǒng)穩(wěn)定。 最優(yōu)控制問題和穩(wěn)態(tài)隨機調節(jié)器的等價性可以通過穩(wěn)態(tài)參考輸出的均方值來得出。2H2H RuuQxxEuyuyETTTT1111 221111clTT

10、GuyuyE 通過這兩個表達式，隨機調節(jié)器的指標函數(shù)可以看作系統(tǒng)2-范數(shù)的平方：22JJSR 假設譜密度矩陣是單位陣。由于平方運算是單調的，使 最小的控制也使 取最小。這樣， 最優(yōu)反饋控制就等于狀態(tài)反饋控制，在這里，反饋增益是穩(wěn)態(tài)隨機調節(jié)器增益，或者等價為穩(wěn)態(tài)LQR增益。SRJ2J2H11.2.2 LQG問題與問題與 最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題2H 帶有LQR反饋增益的狀態(tài)反饋能使 指標取最小。這些額外的結果使得LQR解在一個比較寬闊的控制應用領域中變得非常有用。2H 穩(wěn)態(tài)線性二次型高斯最優(yōu)控制問題等價于一個 最優(yōu)控制問題。這個 最優(yōu)控制問題按如下的方式給出： 2H2HuB21SBAdt21R2

11、1QmC控制器 t1 tu被控對象 tx tu1 ty1 tm21S t1圖11-2 把LQG問題作為一個 最優(yōu)控制問題 2H 1 21 211uu tx tAx tBB SStt tttuRStxQCtutytmm112121211100000000給出具有標稱干擾輸入和參考輸出的被控對象： 為了表現(xiàn)出這種等價性，LQG代價函數(shù)能用閉環(huán)系統(tǒng)2-范數(shù)的形式寫出： 找到一個反饋控制器，能夠使閉環(huán)系統(tǒng)內穩(wěn)定而且使閉環(huán)系統(tǒng)2-范數(shù)取最小值： 1 221 21 21 22TTTTclQ xJE xQxuRuEQ xR uGR u 22clGJ 由于平方運算是單調的，使LQG代價函數(shù)最小等價于使閉環(huán)系統(tǒng)

12、2-范數(shù)最小。 LQG問題的 形式表明有可能通過不同的系統(tǒng)范數(shù)設計控制器。比如，下面我們將要介紹的無窮范數(shù)。2HH 11.3 控制理論控制理論 由于各種復雜因素的影響，控制系統(tǒng)本身存在著不確定性。這種不確定性包括數(shù)學模型自身的不確定性和外界干擾的不確定性。反饋控制可以克服或減小不確定性的影響，使系統(tǒng)達到要求的性能指標。但是，當系統(tǒng)存在不確定性影響時，所設計的反饋控制器能否使系統(tǒng)達到期望的指標要求，這是一個需要回答的問題。11.3.1 問題的提出問題的提出返回子目錄返回子目錄 20世紀30年代開始發(fā)展起來的經(jīng)典控制理論，利用幅頻裕度和相頻裕度的概念研究反饋系統(tǒng)，使設計的系統(tǒng)在一定范圍內變化時能滿

13、足所要求的性能。由于充分大的增益裕度和相位裕度，使得系統(tǒng)在具有較大的對象模型攝動時，仍能保證系統(tǒng)性能，并具有抑制干擾的能力。 因此，經(jīng)典反饋控制本質上是魯棒的，且方法簡單、實用，直至今日，仍在工程設計中得到廣泛應用。但是，其不足之處是無法直接用于多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)。 20世紀60年代，出現(xiàn)了現(xiàn)代控制理論，提出了許多新的控制理論與方法。這些方法在實際控制系統(tǒng)的設計中并未得到廣泛的應用，主要原因是應用這些方法時忽略了對象的不確定性，并對存在的干擾信號作出了苛刻的要求。 如LQG設計方法中要求干擾為高斯分布的白噪聲，而在很多實際問題中，干擾的統(tǒng)計特性很難確定；此外，它還要求對象有精確的數(shù)學

14、模型。這樣，用LQG設計的系統(tǒng)，當有模型擾動時，就不能保證系統(tǒng)的魯棒性。 針對現(xiàn)代控制理論存在的問題，1981年，Zames提出了著名的 控制思想。他針對一個具有有限功率譜干擾的單輸入單輸出系統(tǒng)的設計問題，引入了靈敏度函數(shù)的 范數(shù)作為目標函數(shù)，使干擾對系統(tǒng)的影響降到最低限度。HH(1) 可以處理LQG優(yōu)化無法解決的變功率譜干擾 下的系統(tǒng)控制問題; (2) 范數(shù)具有乘法性質 ，這一性質對研究對象不確定影響下，系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題相當重要。PQPQH采用范數(shù)作為性能指標有以下優(yōu)點：H 在基于 控制理論的控制系統(tǒng)設計中，無論是魯棒穩(wěn)定還是干擾抑制問題，都可以轉化為求反饋控制器使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且閉環(huán)傳遞

15、函數(shù)陣的 范數(shù)最小或小于某一給定值。這種同一模式下的 優(yōu)化問題，即稱之為 標準問題。下面我們就來介紹這種目前應用最廣泛的 標準問題。HHHHH11.3.2 標準問題標準問題 設線性定常系統(tǒng)如圖11-3所示。其中， 表示輸出信號，是應設計需要而定義的評價信號， 表示外部干擾輸入信號，包括干擾、噪聲、參考輸入等，是為了設計而定義的輔助信號， 是控制輸入信號， 是測量信號， 表示廣義被控對象，包括實際被控對象和為了描述設計指標而設定的加權函數(shù)， 表示所設計的控制器。mRzpRwrRuqRy sP sK sP sKwuzy圖11-3 標準控制問題H廣義被控對象 的狀態(tài)方程描述為 sP 其中 表示狀態(tài)向

16、量，傳遞函數(shù)的形式為nRx DCBADDCDDCBBABBAsICCDDDDPPPPsP222121211121211212221121122211211uBwBAxx21uDwDxCz12111uDwDxCy22212(11-1) 將式(11-4)代入式(11-3)，消去 ，得從 到 的閉環(huán)傳遞函數(shù)為ywz由此， 標準問題可表述如下：H輸入輸出描述為uwPPPPuwPyz22211211(11-3)控制器表述為Kyu (11-4)211221211,PKPIKPPKPFl (11-5) 對于一個給定的廣義被控對象 ，求取一個反饋控制器 ，使閉環(huán)系統(tǒng)內穩(wěn)定，且使閉環(huán)傳遞函數(shù) 的 范數(shù)達到極小，

17、即PKKPFl,H式(11-6)表示 最優(yōu)控制問題。HKPFlK,min(11-6) 其中，對應于圖11-3中的閉環(huán)系統(tǒng)內穩(wěn)定是指當 時，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)(原開環(huán)系統(tǒng)和動態(tài)補償器的狀態(tài))趨于零。t若給定 ，求取鎮(zhèn)定反饋控制器 ，使得0K表示 次優(yōu)控制問題。 HKPFl, (11-7) 11.3.3 不確定系統(tǒng)的不確定系統(tǒng)的 控制問題控制問題 1、魯棒穩(wěn)定性問題H 對于 標準問題，基本框圖如圖11-3所示。但當被控對象 含有不確定性因素時，通過抽取不確定性部分 后，閉環(huán)系統(tǒng)有如圖11-4所示結構，H sPPKwzuyab圖11-4 不確定性系統(tǒng)的 控制 H（1）考慮含加性不確定性，系統(tǒng)框圖如圖11

18、-5(a)所 示有dw GuWadyzub uwaPyzb(11-8)333231232221131211PPPPPPPPPP (11-9)ba(11-10)Kyu (11-11)GIWGIWIP00與圖11-4對應，則有KGrWbaudy圖11-5(a)含加性不確定性和擾動的系統(tǒng)框圖dw GuWadyzGub （2）考慮乘性不確定性，如圖11-5(b)所示，有GIWGIWGP00與圖11-4對應，則有KGrWbaudy圖11-5(b)含乘性不確定性和擾動的系統(tǒng)框圖;dw uMNWaMdyz11111GuWaMuMNWaMb11111111ub 2（3）考慮互質分解描述不確定性，系統(tǒng)框圖如圖1

19、1-5(c)所示，有GIWMIGWMP1111000與圖11-4對應，則有 KrNW1budy1N2bM11M圖11-5(c)含基于互質分解描述不確定性和擾動的系統(tǒng)框圖 綜上所述，圖11-5所述的各類不確定性系統(tǒng)的控制問題可以用圖11-4所示的方式統(tǒng)一描述，從而轉換成一般魯棒控制問題。 wTzzw結合式(11-8)式(11-10)，有將式(11-11)代入式(11-12)，得uwPyz(11-12)131211131213332232222211211PPPIPPPPPPPPPPP(11-13) 不確定性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，就是尋找反饋控制器 ，使得圖11-4所示的閉環(huán)系統(tǒng)在任意有界穩(wěn)定攝動

20、 的作用下內穩(wěn)定，且滿足 K其中 是一給定常數(shù)。0KPFPKPIKPPTlzw,211221211 由式(11-13)給出。 。 2 , 1,jiPij1,RH其中KPFl,(11-14) 設有如下一個人造衛(wèi)星姿態(tài)控制的地面試驗裝置，該裝置由于其太陽能電池板的柔韌性，無法將其作為剛體處理。對于該被控對象，設計如圖11-6所示的反饋控制系統(tǒng)，進行衛(wèi)星姿態(tài)控制。 下面舉例說明這種魯棒穩(wěn)定設計問題可以通過設定 性能指標而實現(xiàn)。H被控對象的數(shù)學模型為 sPsPsP0 其中， 是由于被控對象的柔性特性而產(chǎn)生的高頻振動項。 sP 在進行系統(tǒng)設計的時候，我們采用簡化的數(shù)學模型 ，模型誤差即為 ，假設 的頻率

21、特性上界已知，即 sP0 P s P sjwWjwP, 0w其中， 為已知的有理函數(shù)。jwW 對于上述衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)，如果只考慮對于簡化模型 的系統(tǒng)穩(wěn)定性，那么由于攝動項 的影響，實際系統(tǒng)將會出現(xiàn)溢振現(xiàn)象，無法抑制衛(wèi)星太陽能電池板在移動過程中出現(xiàn)的振動現(xiàn)象。因此，基于魯棒穩(wěn)定性的控制律設計，應該在設計的時候就考慮模型誤差，這對工程實際具有很重要的意義。 sP0 sPKP0PreuyP圖11-6 魯棒控制系統(tǒng)上面的系統(tǒng)可以等價的表示為圖11-7： sP sT圖11-7 等價系統(tǒng) sKsPsKsT01 其中， 即開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線位于單位圓內，不圍繞1點。 如果 是穩(wěn)定的（即在s右半平

22、面解析），那么根據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，閉環(huán)系統(tǒng)對任意 穩(wěn)定的充分條件是 sT sP 1jwWjwP, 0w 因此，如果設計控制器 使得 ，等價于原系統(tǒng) 的標稱系統(tǒng)穩(wěn)定，同時滿足 則系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定。 sK sT 0sP 1sWsT 所以，上述衛(wèi)星姿態(tài)控制問題就可以描述為，對于標稱模型 和 ，設計如圖11-8所示的反饋控制器 ，使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，同時滿足 性能指標 ，其中 表示由 至 的閉環(huán)傳遞函數(shù)。 sP0 sW sKH 1sTzw sTzwwzK sW sP0reuywz圖11-8 魯棒穩(wěn)定控制器設計與魯棒穩(wěn)定性問題相對應的還有魯棒性能問題。 對于魯棒性能問題可以歸結為一類特殊的魯棒穩(wěn)定

23、性問題。 2、魯棒性能問題 令對任意有界穩(wěn)定攝動 ，存在滿足式(11-14)的控制器 ，由式(11-8)式(11-11)可得閉環(huán)控制系統(tǒng)為K323113323132221121122211211PPKPIKPPPPPPPPPPPkkkkk其中 (11-16)waPzbk (11-15) 此時，式(11-14)意味著圖11-6所示閉環(huán)系統(tǒng)由 到 的傳遞關系對任意有界穩(wěn)定攝動 都是穩(wěn)定的。wz 在不確定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析中，依據(jù)小增益定理，魯棒性能問題可歸結于選擇控制器 ，使閉環(huán)系統(tǒng)對 和 兩端的任意有界穩(wěn)定攝動 都穩(wěn)定。如圖11-9(a)所示。Kwz PKwzuyab圖11-9 (a)魯棒性能問

24、題 kP圖11-9 (b)魯棒性能問題的等價結構則圖11-9所示系統(tǒng)是內穩(wěn)定的。根據(jù)小增益理論，選取 結合不確定性 和有界穩(wěn)定攝動 ，則系統(tǒng)的魯棒性能問題最終歸結于選擇控制器 ，使該閉環(huán)系統(tǒng)對任意的 和 皆穩(wěn)定。K如圖11-9(b)所示，將 和 合并，則有00s(11-17)其中 是一給定常數(shù)。0kP (11-18)11.4 線性定常系統(tǒng)的線性定常系統(tǒng)的 最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題 為了更好的理解 最優(yōu)控制的設計思想，我們首先考察線性系統(tǒng)中的最優(yōu)控制問題。 假設單輸入線性系統(tǒng)狀態(tài)方程如下：HH 其中， 為狀態(tài)變量， 為控制輸入， ， 為定常矩陣。 nRtxRunnRAnRBBuAxx 00 xx

25、(11-19)返回子目錄返回子目錄 達到最小，同時，使閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，其中 為加權矩陣， 為加權系數(shù)。0Q0r 最優(yōu)控制理論的結果表明，通過解適當?shù)拇鷶?shù)Riccati方程，可以得到使 為最小的控制器 。JK 02dttrutQxtxJT使給定的二次型性能指標KxunRK1 對于被控對象，設計狀態(tài)反饋控制器： 但是在這個設計問題中，并沒有考慮干擾的影響，即性能指標的最優(yōu)性只有在被控對象完全可以由式(11-19)精確描述時才能得到實現(xiàn)。由于實際系統(tǒng)中存在干擾等不確定性，使得這種最優(yōu)設計的結果在實際應用中效果不好。 為了克服這一點，在被控對象的模型中，加入干擾項，并考慮干擾對系統(tǒng)響應特性的影響。下

26、面我們將分別討論線性定常系統(tǒng)的 最優(yōu)控制和次優(yōu)控制問題。H 11.4.1 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 最優(yōu)控制問題的提出最優(yōu)控制問題的提出H 其中 是狀態(tài)， 是控制輸人信號， 是外干擾輸人信號（輔助信號）， 是測量輸出信號， 是系統(tǒng)輸出信號（評價信號）， 皆為適當維數(shù)的常數(shù)陣。nRx1rRu 2rRw1mRy2mRz2112112121,DDDCCBBA系統(tǒng)(11-20)的 最優(yōu)控制問題是求控制量 ，使得HuuBwBAxx21uDwDxCz12111wDxCy212 (11-20)考慮帶外干擾的線性定常系統(tǒng) 其中： 00). 022supdttwtwdttztzTTLtw的輸出滿足不等式 020

27、dttwtwdttztzTT (11-23) (2)對于 ，控制量 使得系統(tǒng) ), 02LtwuuBwBAxx21 00 xuDwDxCz12111(11-22)是漸近穩(wěn)定的； (1)閉環(huán)系統(tǒng)內穩(wěn)定，即當 時閉環(huán)系統(tǒng)0wuBAxx2 (11-21) 不等式(11-23)是在所求控制量 作用下，閉環(huán)系統(tǒng)對外干擾抑制能力的一種度量， 稱為系統(tǒng)(11-20)的 增益，它反映了帶外干擾的閉環(huán)系統(tǒng)的輸出能量對外干擾信號能量的衰減程度。22Lu 這里的控制量 可以是狀態(tài)反饋(當全部狀態(tài)可觀測時)和觀測輸出的靜態(tài)輸出反饋，也可以是狀態(tài)量和觀測輸出量的動態(tài)反饋。至于選擇什么結構形式的控制器，要視系統(tǒng)的要求和實

28、現(xiàn)的難易來選定。u 在 控制器設計中，將尋求滿足上述條件(1)和(2)的控制量 的問題稱為“最優(yōu)問題”，其中涉及到求 增益 的問題。雖然從理論上講，在一定條件下，可證明系統(tǒng)(11-20)的 增益存在，但實際上卻很難求得它。Hu2L22L 因此，從工程實現(xiàn)考慮，在用 控制方法求控制器時，常根據(jù)工程設計要求而采取給定增益 的所謂“次優(yōu)控制問題”。0H 控制設計的次優(yōu)問題是指對于事先給定的 ，尋求控制量 ,使得滿足：H00u (1)閉環(huán)系統(tǒng)內穩(wěn)定，即當 時，閉環(huán)系統(tǒng)(11-21) 是漸近穩(wěn)定的。0w (2)對 ，控制量 使得系統(tǒng)(11-22)的系統(tǒng)輸出具有如下性質： ), 02Ltwu 000dtt

29、wtwdttztzTT11.4.2 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 最優(yōu)控制問題的求解最優(yōu)控制問題的求解 H 其中， 是狀態(tài)， 是外干擾， 是輸出，A，B，C為適當維數(shù)的常數(shù)陣。nRx2rRw2mRz考察如下線性定常系統(tǒng)：BwAxxCxz (11-24)這里的問題是：對于 ，求使 ), 02Ltw 成立的A，B，C應滿足的關系，其中 是在初態(tài)為 時對應于 的系統(tǒng)(11-24)的輸出。 tz 00 x ), 02LtwBwAxxCxz 00), 0), 022maxmaxdttwtwtztzwJTTLwLw有如下所謂“最優(yōu)干擾問題” ), 0,200LtwdttwtwtztzwJTT令 000dttwtwdttztzTT(11-25) 利用使性能指標取極大值的哈密頓雅可比貝爾曼方程，直接得 取極大值的 為wJw *01TwxB Px而 滿足如下Riccati代數(shù)方程：P010PPBBCCPAPATTT(11-26)定理11-1 給定線性定常系統(tǒng)(11-24)，若A，B，C使Riccati代數(shù)方程(11-26)有正定對稱解時，則對事先給定的正數(shù) 有0 ), 0,2000Ltw