由強(qiáng)混合序列生成的線性過程重對數(shù)律的精確漸近性質(zhì)

1、由強(qiáng)混合序列生成的線性過程 重對數(shù)律的精確漸近性質(zhì)張勇 , 楊曉云 , 董志山(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所 , 長春 130012 )摘要 : 設(shè) t , tZ 為定義在同一概率空間 (, F, P ) 上的嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)變量序列 , 滿足 E0 =0, E 0 2, 且滿足強(qiáng)混合條件. aj , jZ 為一實(shí)數(shù)序列 , 滿足 aj pj = - n, aj 0. 令 X t = ajt - j ( t 1 ) , Sn = X t ( n 1 ) . 利用由強(qiáng)混合序列生成的線j = - j = - t = 1性過程 的 弱 收 斂 定 理 及 矩 不 等 式 討 論 了 在 bn = O ( 1 /

2、log log n ) 的 條 件 下 , 當(dāng) : 0時 ,P Sn ( : + bn ) 2 n log log n 的一類加權(quán)級數(shù)的收斂性質(zhì).關(guān)鍵詞 : 強(qiáng)混合序列; 線性過程; 重對數(shù)律; 精確漸近性質(zhì)中圖分類號 : O211. 4文獻(xiàn)標(biāo)識碼 : A文章編號 : 1671 25489 ( 2007 ) 03 20325 206Prec ise A sym ptotics of Law of Itera ted L ogar ithm for L inearProcess Genera ted by Strong M ix ing SequencesZHAN G Yong, YAN G X

3、 iao2yun, DON G Zh i2shan( Institu te of M a them a tics, J ilin U n iversity, Changchun 130012, C h ina )A b s tra c t: L e t t , tZ be a stric tly sta tiona ry sequence defined on a p robab ility sp ace (, F, P ) such tha tpE0 = 0 , and E 0 2. A nd the sequence t , tZ is a ssum ed to sa tisfy the

4、strongm ixing cond ition s. aj , jZ is a sequence of rea l num be rs w ith j = - aj ,aj 0 . L e t X t =j = - ajj = - nt - j ( t 1 ) , Sn = X t ( n 1 ) . U sing the weak conve rgence theo rem of the linea r p roce ss gene ra tedt = 1by strong m ixing sequence s and the mom en t inequa litie s of stro

5、ng m ixing sequence s, we stud ied the p rec ise a symp to tic s of a k ind of we igh ted infin ite se rie s of P Sn ( : + bn ) 2 n log log n a s : 0 unde r the cond ition s of bn = O ( 1 / log log n ) .Ke y w o rd s: strong m ixing sequence s; linea r p roce ss; the law of the ite ra ted loga rithm

6、; p rec ise a symp to tic s1 引言及主要結(jié)果隨機(jī)變量列強(qiáng)收斂性質(zhì)的研究是近代概率極限論中的熱門課題. 近年來 , 許多研究者對隨機(jī)變量收稿日期 : 2006 208 230.作者簡介 : 張 勇 ( 1981 ) , 男 , 漢族 , 博士研究生 , 從事極限理論的研究 , E2m a il: zyong2661 sina. com. 聯(lián)系人 : 楊曉云 ( 1946 ) , 女 , 漢族 , 教授 , 博士生導(dǎo)師 , 從事極限理論的研究 , E2m ail: yxym a il. jlu. edu. cn; 董志山 ( 1977 ) , 男 , 漢族 , 博士 ,

7、 講師 , 從事極限理論的研究 , E2m ail: dongzsm a il. jlu. edu. cn.列重對數(shù)律 、完全收斂及矩重對數(shù)律的精確漸近性質(zhì)進(jìn)行了探討 13 . 本文研究由強(qiáng)混合序列生成的 線性過程的情形 , 主要討論由強(qiáng)混合序列生成的線性過程的重對數(shù)律的精確漸近性質(zhì).令 log x = ln ( x e) , log log x = log ( log x ) , C 表示不同的正常數(shù). 文獻(xiàn) 4 討論了 NA 序列重對數(shù) 律的精確漸近性質(zhì) , 結(jié)果如下 :定理 1. 1 X t , t N 為平穩(wěn) NA 序列 , EX1 = 0, EX1 0, 設(shè)bn = O ( 1 /

8、log log n ) , 那么對于任何 b - 1, 有2 2 21 k k = 2blim : 2 ( b +1 ) ( log log n )P S ( : + bn )2 n log log n = 1 b + 3 ,: 0n = 1n log n n( b + 1 ) 2其中 ( )為 Gamm a函數(shù). 如果n =supP (AB ) - P (A ) P (B ) 0,A F k, B F - k +nb那么稱隨機(jī)序列 t , tZ 滿足強(qiáng)混合條件 , 其中 F a =(t , a tb) .本文 t , tZ 為定義在同一概率空間 (, F, P )上的嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)變量序列 ,

9、E0 = 0, E 0對某個 p 2, 且 t , tZ 滿足強(qiáng)混合條件 , 并且對某一個 ( 2 / p, 1 ) ,( n + 1 ) p/ 2 - 11 -p ,n = 0n .( 1. 1 )實(shí)數(shù)列 aj , jZ 滿足 aj 0. ( 1. 2 )0 0 jj = 1本文討論了如上定義的由強(qiáng)混合序列生成的線性過程重對數(shù)律的精確漸近性質(zhì) , 得到如下結(jié)果 :定理 1. 2 設(shè) bn = O ( 1 / log log n ) , 那么對于任何 b - 1, 當(dāng) p 2 ( b + 1 )時 , 有l(wèi)im : 2 ( b +1 ) ( log log n )bP S ( : + bn )

10、2 n log log n =ajj = - 4 ( b +1 ) b + 3 .: 0n = 1n log n n( b + 1 ) 2為方便 , 本文設(shè) = 1.2 引理引理 2. 1 5 D其中 表示依分布收斂.DnSj N0,2 anj = - 2,n ,引理 2. 2 6 設(shè) Y , jZ 為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)序列 , 滿足強(qiáng)混合條件及 EY= 0, E Yr + 2, 0, 其強(qiáng)混合系數(shù)滿足1 1/ ( r+)n( n + 1 ) r/ 2 - 1 .n = 0n令 Zn = Yj , 那么存在僅依賴于 r,的常數(shù) K, 使得r.j = 1E ( m ax1 knZk) Knr/ 2- k

11、 + n引理 2. 3 7 設(shè) X F k, Y F , 且 E X p , E Y q , 1 / p + 1 / q - 1, 有4 ( b +1 )lim : 2 ( b +1 ) ( log log n )bP N ( : + bn )2 log log n =ajj = - b + 3 ,: 0n = 1n log n2( b + 1 ) 2其中 N N0,ajj = - , () 為 Gamm a函數(shù).證明 : 類似文獻(xiàn) 4 中命題 2. 1.令 b ( : ) = exp exp (m / : 2 ) , 并假設(shè) m 4, 0 : - 1, 有blim : 2 ( b +1 )

12、( log log n )P ( : + b )2 n log log n -: 0nb ( : )n log nSnnP N ( : + bn )2 log log n = 0.證明 : 記 n = supxP Sn / n x - P N x . 由引理 2. 1 知 , Sn / n弱收斂于正態(tài)分布 N ,N 為連續(xù)型隨機(jī)變量 , 這樣由文獻(xiàn) 8 中定理 4 有 lim n = 0, 由此易證得nm 1 ( log log n ) bn( log log m ) b +1 0, m . n log n因此 , 有: 2 ( b +1 ) nb ( : )( log log n ) bn

13、log nP Snn = 1 ( : + bn )2 n log log n - P N ( : + bn )2 log log n : 2 ( b +1 ) nb ( : ) ( log log n ) bn=n log n: 2 ( b +1 ) ( log log b ( : ) ) b +1 1n ( log log n )bnb( log log b ( : ) ) b +1 b ( : ) n log nnm b +1 1 n ( log log n ) 0.命題 2. 2得證.( log log b ( : ) ) b +1 b ( : ) n log n命題 3. 3 設(shè) bn

14、 = O ( 1 / log log n ) , 那么對于任何 b - 1及充分小的 : , 有blimm : 2 ( b +1 ) n b ( : )( log log n )n log nP N ( : + bn )2 log log n = 0.證明 : 易見當(dāng) m 4, 0 : 0, 那么當(dāng) n b ( : ) , m 4 +時 , 有因此 ,bn / log log n m :- 12b b ( : )( log log n )n log nP N ( : + bn )2 log log n bC : 2 ( b +1 ) ( log log n ) P :2 log log n n

15、 b ( : )n log nN 2bC : 2 ( b +1 ) ( log lo g x ) P :2 log log xdx b ( : ) - 1x log xN2bC : 2 ( b +1 ) ( log log x ) P :2 log log xdx =b ( : )x log x N 2:C2b +22 2 ln 1 / 2 +2m / : 2yP 2 b +1N y dy C2b +2m / 4yP 2 b +1N y dy 0.命題 3. 3得證.命題 3. 4 設(shè) bn = O ( 1 / log log n ) , 那么對于任何 b - 1, 有blim lim sup

16、 : 2 ( b +1 ) ( log log n )P S ( : + bn ) 2 n log log n = 0. ( 3. 2 )m : 0n b ( : )n log nn證明 : 利用式 ( 3. 1 ) , 為完成式 ( 3. 2 )的證明 , 只需證明下式即可 :blim lim sup : 2 ( b +1 ) ( log log n ) P :2 n log log n= 0.( 3. 3 )m 對于 m = 1, 2, 定義 :m: 0mn b ( : )n log n Sn2j- 1X t, m = ajj = - mmt - j;aj = ai , j = 0, m

17、- 1;i = j+10am = 0;aj = ai , j = - m + 1, 0;i = - ma- m = 0;t = ajj = 0t - j; t = ajj = - mt - j.由此 , 可推得X t, m =aj t +t - 1 - t +t +1 - t.j m對 X t, m 關(guān)于 t從 1 到 n 求和 , 有n nX t, m =ajt +0 - n +n +1 - 1 .進(jìn)一步 ,t = 1j mnt = 1nSn =ajt +0 - n +n +1 - 1 + aj t - j.j mt = 1j mt = 1于是要證式 ( 3. 3 ) , 只需證明下面各式成

18、立 :b nlim lim sup : 2 ( b +1 ) ( log log n ) P :2 n log log n= 0, ( 3. 4 )m : 0n b ( : )n log naj t12lim lim sup : 2 ( b +1 ) ( log log n )j mbP t = 1 :2 n log log n= 0,( 3. 5 )m : 0n b ( : )n log n0 12blim lim sup : 2 ( b +1 ) ( log log n ) P :2 n log log n= 0,( 3. 6 )m : 0n b ( : )n log n n12blim

19、lim sup : 2 ( b +1 ) ( log log n ) P :2 n log log n= 0,( 3. 7 )m : 0n b ( : )n log nbn +112lim lim sup : 2 ( b +1 ) ( log log n ) P :2 n log log n= 0,( 3. 8 )m : 0n b ( : )n log nb1 12nlim lim sup : 2 ( b +1 ) ( log log n ) P :2 n log log n= 0. ( 3. 9 )m : 0n b ( : )n log naj t - j12j mt = 1由于式 ( 3.

20、 5 ) ( 3. 8 )的證明類似 , 因此只需證式 ( 3. 4 ) , ( 3. 5 ) , ( 3. 9 )即可. 首先證明式 ( 3. 4 ) . 注意到式 ( 1. 1 ) , 在引理 2. 2中令 r = p, = p ( 1 - ) , 有kp1 k n p/ 2再由 p 2 ( b + 1 )及式 ( 3. 10 ) , 有bE m axii = 1n Kn.( 3. 10 ): 2 ( b +1 ) ( log log n ) P :2 n log log n n b ( : )n log naj t 12j mt = 1b n: 2 ( b +1 ) ( lo g lo

21、g n ) P :2 n log log n n b ( : )n log ntt = 112 ajj mbnC : 2 ( b +1 ) ( log log n ) 1 E P n b ( : )n log np( n log log n )p/ 2t t = 1C : ( log log n ) nb2 ( b +1 ) - p p/ 2p/ 2n b ( : )( n log n ) ( n log log n )C :2 ( b +1 ) - p 1 p/ 2 - b2 ( b +1 ) - p 1 C :p/ 2 - b - 1n b ( : )( n log n ) ( log l

22、og n )( log log b ( : ) )C1p/ 2 - b - 1 0 (m ) ,m即式 ( 3. 4 )成立.下面證明式 ( 3. 5 ) . 在引理 2. 3中取 p= 2 , q= 2 , 由于 2 , 1 , 易得 1 + 1=, p= q= 2ppqpp q p, 從而由 E 0 可知 , E t , E t . 于是 , 有1 - 1 / p- 1 / q C1 -E 0k - E0 Ek= E 0k 10 0 p k qkk .由條件 ( 1. 1 ) 可推 得 1 - , 并 注 意 到 mm= a , b ( : ) 當(dāng)且僅當(dāng) 2 log log n m 諸事實(shí)

23、 , 再利用 , tZ 的平穩(wěn)性 , 有: 2 ( b +1 ) n b ( : )( log log n ) bPn log n0 :2 n log log n 12b m12: 2 ( b +1 ) ( log log n ) P :2 n log log n n b ( : )n log nbaj- jj = 0m12: 2 ( b +1 ) ( log log n ) P 2 nm n b ( : )n log naj - jj = 0C : 2 ( b +1 ) ( log log n ) ajak E 0k - jn b ( : )n log nb mj = 0mk = 0 nmC

24、 : 2 ( b +1 ) ( log log n ) E 0k - jn b ( : )n log nb mj = 0mk = 0 nmb m (m - k ) E C : 2 ( b +1 ) ( log log n ) 0 kn b ( : )n log nk = 0 nmb m b mC : 2 ( b +1 ) ( log log n ) E C : 2 ( b +1 ) ( log log n ) 1 -n b ( : )2n log n0 kk = 0b n b ( : )2n log n kk = 021 -C : 2 ( b +1 ) ( log log n ) k 0 (

25、: 0, m ) ,即式 ( 3. 5 )得證.n b ( : )n log nk = 0最后證明式 ( 3. 9 ) . 由 M inkow sk is不等式及式 ( 3. 10 ) , 有nPaj t - j :2 n log log n j mt = 112 C : pnp/ 2 ( log log n ) p/ 2 Eaj m axkpt - j C j m1 k n t = 1kp 1 / ( p) p: pnp/ 2 ( log log n ) p/ 2 ajE m axt - j C j m1 kn t = 1pp/ 2 ) 1 / ( p) j m: pnp/ 2 ( log

26、log n ) p/ 2 aj ( C n進(jìn)而 , 有 C p: ( log log n ) p p/ 2 aj .j mb: 2 ( b +1 ) ( lo g lo g n ) Pn :2 n log log n n b ( : )n log naj t - j12j mt = 1b: 2 ( b +1 ) ( lo g lo g n ) C p =n b ( : )n log n: p( log log n )p/ 2ajj majC : 2 ( b +1 ) - pp 1 ( n log n ) ( log log n ) p/ 2 - bj majC : 2 ( b +1 ) - p

27、j mn b ( : )p 1 ( log log b ( : ) ) p/ 2 - b - 1于是式 ( 3. 9 )得證. 命題 3. 4得證.C ajj mp b +1 - p/ 2m 0 (m ) .由命題 3. 1 3. 4 知定理 1. 2 成立.在定理 1. 2 中取 a0 = 1, ai = 0, i0, 可得到關(guān)于強(qiáng)混合序列的重對數(shù)律的漸近性質(zhì) , 即如下的極 限定理 :推論 3. 1blim : 2 ( b +1 ) ( log log n ) Pn: ( : + bn )2 n log log n =1 b + 3 .: 0n = 1n log n tt = 1( b + 1 ) 2參考文獻(xiàn) 1 Gu t A , Sp ta ru A. P rec ise A symp to tic s in the B aum 2Ka tz and D avis L aw of L a rge N um be rs J . J M a th A na l App l,2000, 248