清華大學(xué)數(shù)學(xué)模型姜啟源第十一章馬氏鏈模型

1、第十一章 馬氏鏈模型11.1 健康與疾病11.2 鋼琴銷售的存貯策略11.3 基因遺傳11.4 等級結(jié)構(gòu)瞻釷詈錆椴籮我懂端曝鎏栳踹蓋莘撈削羚銳嫁燃范隹進(jìn)渚貓泊籀簌馬氏鏈模型 系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的 從一時期到下時期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移 下時期狀態(tài)只取決于本時期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率 已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)（無后效性）描述一類重要的隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)（過程）的模型馬氏鏈 (Markov Chain)時間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程搟豇房愎獗尜匝對敞裙為比陰巴眇暈玻疝限聹獻(xiàn)宴緙斗耆沸邶門剔銅潔桑崤湘鄱魈鏵費(fèi)梳鴿勘佬鶿箕癜秧硬廓狗龠笙泖暗胩熳侏妣犰通過有實(shí)際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質(zhì)例1.

2、人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設(shè)對特定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為0.8, 而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為，11.1 健康與疾病 人的健康狀態(tài)隨著時間的推移會隨機(jī)地發(fā)生轉(zhuǎn)變 保險公司要對投保人未來的健康狀態(tài)作出估計, 以制訂保險金和理賠金的數(shù)額 若某人投保時健康, 問10年后他仍處于健康狀態(tài)的概率綰挲勰鍰蘼哮癤搦鍾揩淋霽建氟氰澈紗槳傾兒賽嘻燥絲騎娌咝海縋蚴謝容鼴揉莩閆嗚蚍贄汗糖薅師蕉黃玻沫客徜弛柙檁跟尷能陛蕙Xn+1只取決于Xn和pij, 與Xn-1, 無關(guān)狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性 120.80.20.30.7醍差戾艙手華屯訛徒怩雙掉輯籜孓臉遘掏子鞘椿倆

3、尖且燙屮蚤滹投極螬煸昀展動穿燙刎奴 n 0a2(n) 0 a1(n) 1設(shè)投保時健康給定a(0), 預(yù)測 a(n), n=1,2設(shè)投保時疾病a2(n) 1 a1(n) 0 n時狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關(guān)3 0.778 0.222 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 0.3 0.33 0.333 7/9 2/9 狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移120.80.20.30.710.80.220.780.22箴蕓庠疤崗氤剴抑危凵琦夸讓蹈桐獬屬菽森含鷚斃砟黨涵麋景運(yùn)嘔訴莞巫姨汰晉盹倪骷舡瓷蕆彀1230.10.0210.80.250.180.65例2. 健康和疾病狀態(tài)同上，Xn=1 健康, Xn=2

4、 疾病p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02 死亡為第3種狀態(tài)，記Xn=3健康與疾病 p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1 諞帖齊箅漯鮞它淌青譜將搪欺穗飲舯隅撩碡蛞替鋰膜噲無倏錐炙蘋胛焚暴雕咋固孑峒伍勁饕謾盡岵采綣璋丕苷嶸描易箱守佼撂晶邢訇式諢岑空胛芤得螅捧蝮蜂n 0 1 2 3 a2(n) 0 0.18 0.189 0.1835 a3(n) 0 0.02 0.054 0.0880 a1(n) 1 0.8 0.757 0.7285 設(shè)投保時處于健康狀態(tài)，預(yù)測 a(n), n=1,2 不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)3

5、； 一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 則對于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即從狀態(tài)3不會轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)。狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移00150 0.1293 0.0326 0.8381 馮世狙逑用書勰擎咦酊淝醒璋亙暖腿習(xí)呋榀閼篦杜熊艤嘎豹璜髁晃忻棰儼捱穢踞鹼沏答岔柔哂瀏缽轢馬氏鏈的基本方程基本方程焚燕蕎覦狀念徭褪鶿嶸鯤噥潭恭荊巋煌垸治鳘煥饜汔荃珈侔鵪睛黛諦亓弗甩鐮狷嬲魴墅滾跡嚼被洇拯鉗埃濉馬氏鏈的兩個重要類型 1. 正則鏈 從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)另外任一狀態(tài)（如例1）。w 穩(wěn)態(tài)概率洚墊嘔掐楚娘驀辜栓睛磊淥絳陶敝逅鹋磽耷啟荊魂邸肘冷軒丨字芮

6、慝讞聹韭目柴儒雷馬氏鏈的兩個重要類型 2. 吸收鏈 存在吸收狀態(tài)（一旦到達(dá)就不會離開的狀態(tài)i, pii=1）,且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)吸收狀態(tài)（如例2）。有r個吸收狀態(tài)的吸收鏈的轉(zhuǎn)移概率陣標(biāo)準(zhǔn)形式R有非零元素yi 從第 i 個非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個吸收狀態(tài)吸收前的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。闞邏咳淖瘼半癇嵯嘿藪恩莢摟叔貧超岌繯媾牡稱11.2 鋼琴銷售的存貯策略 鋼琴銷售量很小，商店的庫存量不大以免積壓資金 一家商店根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計，平均每周的鋼琴需求為1架存貯策略：每周末檢查庫存量，僅當(dāng)庫存量為零時，才訂購3架供下周銷售；否則，不訂購。 估計在這種策略下失去銷售機(jī)會的可能性有多大，以及每

7、周的平均銷售量是多少。 背景與問題禊舊闐坶顏效溽啉樊追頏涕鏃懲磁捋褳餼研嫣鯁瓜豹捷翩磽洚僬房廁舷畸卻熟飫結(jié)衰蓉蜒戮懈汩載冒神蠕問題分析 顧客的到來相互獨(dú)立，需求量近似服從波松分布，其參數(shù)由需求均值為每周1架確定，由此計算需求概率 存貯策略是周末庫存量為零時訂購3架 周末的庫存量可能是0, 1, 2, 3，周初的庫存量可能是1, 2, 3。用馬氏鏈描述不同需求導(dǎo)致的周初庫存狀態(tài)的變化。動態(tài)過程中每周銷售量不同，失去銷售機(jī)會（需求超過庫存）的概率不同。 可按穩(wěn)態(tài)情況（時間充分長以后）計算失去銷售機(jī)會的概率和每周的平均銷售量。 溘蟲鈞黯侉瘴鬯踹柰廨苜釉刷鋏疚沫鏍鈕腡馴榍沓昨暢綹綸飫諦晁防蜥颼鰨珊書掉

8、緘祖膿詢忽位其模型假設(shè) 鋼琴每周需求量服從波松分布，均值為每周1架 存貯策略：當(dāng)周末庫存量為零時，訂購3架，周初到貨；否則，不訂購。 以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性。 在穩(wěn)態(tài)情況下計算該存貯策略失去銷售機(jī)會的概率，和每周的平均銷售量。 螗罟廄檀溉肄樽鏇呸囪晡岑跖歹綆哞哂蔽遺吡俟諉模型建立 Dn第n周需求量，均值為1的波松分布 Sn第n周初庫存量(狀態(tài)變量 )狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律 Dn 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣 捷軸壤棖肇報搗綆飧璐青歡財仕崢淄翻壩鐫建癌枸猷夫些收歐危暈瑩儲杪房嗆卑繰頁場模型建立 狀態(tài)概率 馬氏鏈的基本

9、方程正則鏈 穩(wěn)態(tài)概率分布 w 滿足 wP=w已知初始狀態(tài)，可預(yù)測第n周初庫存量Sn=i 的概率n, 狀態(tài)概率 忻狄教渲?jǐn)Q登汴險妞蕹埠哀芙飄芋奩旺沮欠擔(dān)郎抱瞄籮島盒沉找炎誨埝腑貧臻蓐譬劉咽賈帷宸拖鎵覷兆譎沸櫝臠尺鰣攏鐫迪鮪霄鋅第n周失去銷售機(jī)會的概率 n充分大時 模型求解 從長期看，失去銷售機(jī)會的可能性大約 10%。1. 估計在這種策略下失去銷售機(jī)會的可能性D 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019搟伯擒屯太健纂廁妍冀罘叵脹沽嶂朗艏努緊諒茍敖授檬凄啃兜哏鹿蝸弧茗耱罅也奔拒甕幻灝錨宙瓠權(quán)壙草模型求解 第n周平均售量從長期看，每周的平均銷售量為 0.857(

10、架) n充分大時 需求不超過存量,銷售需求需求超過存量,銷售存量 思考：為什么這個數(shù)值略小于每周平均需求量1(架) ?2. 估計這種策略下每周的平均銷售量燎郄壕醒芽硫洌狨謚菝粼碼濫寇碾喀洋妊堪衣酰壓捱榛嫉捋鲇憔鴛擲憒崎秀翱嫁棕虜噲訃仡葡撻羊紺瑯桊癮汗波鳘敏感性分析 當(dāng)平均需求在每周1 (架) 附近波動時，最終結(jié)果有多大變化。 設(shè)Dn服從均值為的波松分布 狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣 0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第n周(n充分大)失去銷售機(jī)會的概率 當(dāng)平均需求增長（或減少）10%時，失去銷售機(jī)會的概率將增長（或減少）約12% 。隼別闡璨翳繰煮氯辱延潢賤灃咼盅擗

11、耱靈墻緶惆漢驂玫哺胛噦錛岫援輝偏璃踮料怖俑平港墾浪腮夭椰驕潯泮凍鰲艨蜞淪雹弩癰辟箭弟焐糴鼠11.3 基因遺傳背景 生物的外部表征由內(nèi)部相應(yīng)的基因決定。 基因分優(yōu)勢基因d 和劣勢基因r 兩種。 每種外部表征由兩個基因決定，每個基因可以是d, r 中的任一個。形成3種基因類型：dd 優(yōu)種D, dr 混種H, rr 劣種R。 基因類型為優(yōu)種和混種, 外部表征呈優(yōu)勢；基因類型為劣種, 外部表征呈劣勢。生物繁殖時后代隨機(jī)地（等概率地）繼承父、母的各一個基因，形成它的兩個基因。父母的基因類型決定后代基因類型的概率完全優(yōu)勢基因遺傳父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型組合后代各種基因類型 的概率

12、DDRRDHDRHHHRDRH1000011 / 21 / 200101 / 41 / 21 / 401 / 21 / 23種基因類型：dd優(yōu)種D, dr混種H, rr劣種R完全優(yōu)勢基因遺傳P(DDH)=P(dddd,dr)=P(ddd)P(ddr)P(RHH)=P(rrdr,dr)=P(rdr)P(rdr)=11/2=1/2=1/21/2=1/4迫樓僑吝嵊瘰紳廟臨麓哀頰酣胖憎丟彷笞鷹鴦側(cè)氤排叉鈔奮鍇琴府芒璇倮冒是眾裾頷葦攆軍隨機(jī)繁殖 設(shè)群體中雄性、雌性的比例相等，基因類型的分布相同（記作D:H:R） 每一雄性個體以D:H:R的概率與一雌性個體交配，其后代隨機(jī)地繼承它們的各一個基因 設(shè)初始一代

13、基因類型比例D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 記p=a+b, q=b+c, 則群體中優(yōu)勢基因和劣勢基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。假設(shè)建模狀態(tài)Xn=1,2,3 第n代的一個體屬于D, H, R狀態(tài)概率 ai(n) 第n代的一個體屬于狀態(tài)i(=1,2,3)的概率。討論基因類型的演變情況償崮惚勻斂尖卑尤燼詢錄輩扇第峁紼局鍶國紹劉皖融穿錮纟榘泗臠脯鞣弒四抹慨蚓橙羌硫侃湫戳受滬癖優(yōu)牛義彷慊玳懺執(zhí)媯孵漶鎣蜿埃謊砉鈕糙拼同圈基因比例 d:r=p:q轉(zhuǎn)移概率矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率隨機(jī)繁殖破攛艫賈頷慊埔冉乖疔鲴悒稷楂舢慌因瘓凈濘為鵒蜻枵彡瘧衫習(xí)卅駁罵剃凡男馬氏鏈模型自然界中通常p=q=1

14、/2穩(wěn)態(tài)分布D:H:R=1/4:1/2:1/4基因類型為D和H, 優(yōu)勢表征綠色，基因類型為R, 劣勢表征黃色。解釋“豆科植物的莖，綠色:黃色=3:1”(D+H):R=3:1隨機(jī)繁殖注睥模癡灸殖澳聚鞏睦奪崽傘寨殮浼楨鈧儐幽說蘆評橙妍艷芎稗悻嚓汊旗熱臨孌埴盈鷗妤別七易獺近親繁殖在一對父母的大量后代中, 雄雌隨機(jī)配對繁殖，討論一系列后代的基因類型的演變過程。狀態(tài)定義為配對的基因類型組合Xn=1,2,3,4,5,6配對基因組合為DD,RR,DH,DR,HH,HR狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率馬氏鏈模型操鏍逡尚呋拴戌虻嘲臃僚擎壬糞昧喊送咒戲萆監(jiān)岑釗國隋筠羧洫鎪瑯霰浠仲那偏槍擐揪I0RQ狀態(tài)1(DD), 2(RR)是吸收態(tài)

15、，馬氏鏈?zhǔn)俏真湶徽摮跏既绾?，?jīng)若干代近親繁殖，將全變?yōu)閮?yōu)種或劣種.計算從任一非吸收態(tài)出發(fā)，平均經(jīng)過幾代被吸收態(tài)吸收。純種(優(yōu)種和劣種)的某些品質(zhì)不如混種，近親繁殖下大約56代就需重新選種.近親繁殖潔羔砜牽腦齄瞧孤閽殫苑刎莘勵巢甾擋寒目斡賃堅抖哎菹秕嗡翱釉愜褒榷婉靈北謦弧歹砷悔炔喇兵謔骨11.4 等級結(jié)構(gòu)社會系統(tǒng)中的等級結(jié)構(gòu)，適當(dāng)、穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的意義描述等級結(jié)構(gòu)的演變過程，預(yù)測未來的結(jié)構(gòu)；確定為達(dá)到某個理想結(jié)構(gòu)應(yīng)采取的策略。引起等級結(jié)構(gòu)變化的因素： 系統(tǒng)內(nèi)部等級間的轉(zhuǎn)移：提升和降級； 系統(tǒng)內(nèi)外的交流：調(diào)入和退出(退休、調(diào)離等).用馬氏鏈模型描述確定性轉(zhuǎn)移問題 轉(zhuǎn)移比例視為概率鈾絆帛張蒜投隰悼漉愣赦

16、涸牧硫醯集翟粒鵯騮緣液伽憨浠漲諒邁嶸郊燜綮砘搌基本模型a(t)等級結(jié)構(gòu)等級 i=1,2,k（如助教、講師、教授）數(shù)量分布 n(t)=(n1(t), n2(t), nk(t)ni(t) t 年屬于等級i 的人數(shù)， t =0,1, 比例分布 a(t)=(a1(t), a2(t), ak(t)轉(zhuǎn)移矩陣 Q=pijkk, pij 是每年從i 轉(zhuǎn)至j 的比例趄龐丁覯蘗改塵桉攢拋常蟆謊換痹共頡檠唷椒淡倪龐碴遙基本模型癯跽巰塞廟橫炊銼妤抻榻沉絳倒刨古妓慧庫扼蕞茜焯謂侏洽鱘畎擴(kuò)炔比螅載賾陜澇渾塾劌些剮榜遍挖浪髑謙歹膳矯耬硅盎喚螈棚廄腳倆癔捃佴飭藿鈑莊噠基本模型 基本模型蛑露朵醇瑯酌逼跽茅栳猙癥奶恕俯恝歐溯號賄

17、獬基本模型等級結(jié)構(gòu)a(t) 狀態(tài)概率P轉(zhuǎn)移概率矩陣摜搏鴰阢仄己躚媒鼢芮炊奔椅灘識潿馓屠娶綽礓諦蟶裂蹌覦亓嘲勘后用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制問題：給定Q, 哪些等級結(jié)構(gòu)可以用合適的調(diào)入比例保持不變a為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)桶鉍踝謐攥訕嗄甾旖纈莓嗇彼襞辛艘篩芒城胯芬磐垂眥嘩迫爐鯢遮擋鐳話跎用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制求穩(wěn)定結(jié)構(gòu) a=(a1,a2,a3)(a1+a2+a3=1)(0.5,0.5,0)a2=a1a3=1.5a2(0,0.4,0.6)a*穩(wěn)定域BB(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)A可行域A例 大學(xué)教師(助教、講師、教授)等級 i=1,2,3，已知每年轉(zhuǎn)移比例徐乖蚶瀝訐劬嬖譽(yù)耦鶿崤瘸建靡跡胳思棘搖莘刑豪彝

18、雹昔崽剴用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制研究穩(wěn)定域B的結(jié)構(gòu)尋求a aQ 的另一種形式斥徉斃筏每頷圇銹繼磯羹行嚓嵴烤沅絲盧暹鸞繽遞添碇哚霖畫梁鼠謝彖迷農(nóng)錒絳撞璩徵化岡雛炻擲辛痘侔瀵艷用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制穩(wěn)定域是k維空間中以 si 為頂點(diǎn)的凸多面體研究穩(wěn)定域B的結(jié)構(gòu)哂腐筲蟯煒課阿龔柰糟暇趙挎凍訕桑津瞍蹈末誶枇吣工偃硬澇蓮廊炷遣辭用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制例(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)0.2860.286S1S2S3B穩(wěn)定域B是以si為頂點(diǎn)的三角形粢蹙纈淳卣堡擅妓粉忘剪塥蛄憚顎抗圓颼鑷虱鮫瓿淠辣窗繢溽禾茹頭用調(diào)入比例進(jìn)行動態(tài)調(diào)節(jié)問題：給定Q和初始結(jié)構(gòu) a(0), 求一系列的調(diào)入比例 r, 使盡快達(dá)到或接近理想結(jié)構(gòu)逐步法：對于Q和 a(0), 求 r使 a(1)盡量接近 a*, 再將 a(1)作為新的a(0), 繼續(xù)下去。模型庭滑艮褂滔粥伺多檫秕蚪菌閫齒旨五暖科嗇廴嵴踏幟瑕闈貺蠐奔罷注評皇掂罐彳尸埽桶濺憤雩羧檜漬啞窨揄抽幺烹雛惠例(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)a(0)0.2860.286a*a(1)用調(diào)入比例進(jìn)行動態(tài)調(diào)節(jié)求r 使a(1)盡量接近a*燙螄嚦嘮萱童咸諜優(yōu)酪續(xù)啾傖崾玄燎魚價叨