概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程第四版課后答案第三章備課講稿

1、一、一維隨機(jī)變量一、一維隨機(jī)變量(su j bin lin)的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望定義定義1 設(shè)設(shè)X是一離散型隨機(jī)變量，其分布列為：是一離散型隨機(jī)變量，其分布列為：則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量X 的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望為為:X1x)(1xp2x)(ixpix)(2xpP iiixpxXE iiixpxXE dxxxfXE dxxxfXE ,xf設(shè)設(shè)X是一連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布密度為是一連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布密度為則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望為為定義定義2 第三章第三章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量(su j bin (su j bin lin)lin)的數(shù)字特征小結(jié)的數(shù)字特征小結(jié) 第一頁(yè)，共38頁(yè)。隨機(jī)

2、變量隨機(jī)變量X及及Y 的數(shù)學(xué)期望分別定義如下：的數(shù)學(xué)期望分別定義如下：假定級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的假定級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的.（1）設(shè)二維離散隨機(jī)變量）設(shè)二維離散隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為p(xi , yj)，則，則 , ijjiiyxpxXE ., jijijyxpyYE , iiXixpxXE . jjYjypyYE（2）設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量）設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為f(x, y)，則，則隨機(jī)變量隨機(jī)變量X及及Y 的數(shù)學(xué)期望分別定義如下：的數(shù)學(xué)期望分別定義如下：假定積分絕對(duì)收斂假定積分絕對(duì)收斂. ,dxdyyxxfXE .,dxdyyxyfYE

3、,dxxxfXEX .dyyyfYEY二、二維隨機(jī)變量二、二維隨機(jī)變量(su j bin lin)的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望第二頁(yè)，共38頁(yè)。 iiixpxgXEgEY則定義隨機(jī)變量函數(shù)則定義隨機(jī)變量函數(shù)的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望為：為： XgY X1x)(1xp2xnx)(ixXP )(nxp)(2xp（1）設(shè)）設(shè)離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X 的概率分布為：的概率分布為：三、一維隨機(jī)變量三、一維隨機(jī)變量(su j bin lin)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 dxxfxgXEgEY 機(jī)變量函數(shù)機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為：的數(shù)學(xué)期望為： XgY 則定義隨則定義隨（2）若）若X為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量

4、， ,xf其概率密度為其概率密度為第三頁(yè)，共38頁(yè)。（1）設(shè)二維離散隨機(jī)變量）設(shè)二維離散隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為p(xi , yj)，則，則隨機(jī)變量函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望如下：的數(shù)學(xué)期望如下： , ijjijiyxpyxgYXgE假定這個(gè)級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的假定這個(gè)級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的.（2）設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量）設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為f(x, y)，則，則隨機(jī)變量隨機(jī)變量g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望如下：的數(shù)學(xué)期望如下： ,dxdyyxfyxgYXgE假定這個(gè)積分是絕對(duì)收斂的假定這個(gè)積分是絕對(duì)收斂的.四、二維隨機(jī)變量四、二維隨機(jī)

5、變量(su j bin lin)的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望第四頁(yè)，共38頁(yè)。五、關(guān)于五、關(guān)于(guny)(guny)數(shù)學(xué)期望的定理數(shù)學(xué)期望的定理定理定理1 1 bEXabXaE aEa EXaXaE bEXbXE 推論推論 （1）（2）（3）定理定理2 2推論推論.11 niiniiEXXE YEXEYXE定理定理3 3 若若X、Y 獨(dú)立，則有獨(dú)立，則有：推論推論.11 niiniiEXXE相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則若若nXXX,21 YEXEXYE 第五頁(yè)，共38頁(yè)。 X 的的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差： 2EXXEDX DXX 定義定義 X 的的方差：方差：若若X 為為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量，則

6、有則有 12)(iiixpEXxXD若若X 為為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量，則有則有 dxxfEXxXD)(2 .,2jiijjyxpEYy ,2jiijiyxpEXx jjYiypEYy2 XD iXiixpEXx 2 YD二維隨機(jī)變量的方差二維隨機(jī)變量的方差 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 ,YX六、方差六、方差(fn ch)(fn ch)與與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差第六頁(yè)，共38頁(yè)。 ,2dxdyyxfEXx .,2dxdyyxfEYy dyyfEYyDYY2 dxxfEXxDXX2連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 ,YX22)(EXEXDX 方差的計(jì)算公式方差的計(jì)算公式: :; 0 Db ;DXbXD

7、 .)(2DXaaXD DXabaXD2 定理定理1 1推論：推論：有關(guān)方差的定理：有關(guān)方差的定理：第七頁(yè)，共38頁(yè)。, pEX pqDX ,npEX npqDX , EX DX2pqDX ,1pEX 12)(2abDX ,2baEX ,1 EX21 DX二項(xiàng)分布：二項(xiàng)分布：0 -1分布：分布：幾何分布幾何分布:均勻分布均勻分布:指數(shù)分布指數(shù)分布:Poisson分布分布定理定理2 2：DYDXYXD若若X與與Y 獨(dú)立，獨(dú)立，推論：推論： niiniiXDXD11若若nXXX,21相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，七、某些常用七、某些常用(chn yn)(chn yn)分布的數(shù)學(xué)期望及分布的數(shù)學(xué)期望及方差方差

8、第八頁(yè)，共38頁(yè)。對(duì)于離散隨機(jī)變量：對(duì)于離散隨機(jī)變量： iikikxpxX)()( 對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量：對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量： dxxfxXkk)()( 對(duì)于離散隨機(jī)變量：對(duì)于離散隨機(jī)變量：對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量：對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量： iikikxpXExX)()()( dxxfXExXkk)()()( kkXEX EX 1 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 的的 k 階原點(diǎn)矩：階原點(diǎn)矩：定義定義1其中其中k為正整數(shù)。特別的，為正整數(shù)。特別的， kkXEXEX 定義定義2： X 的的k 階中心矩階中心矩：; 01 DX 2 特別的，特別的，八、原點(diǎn)矩與中心矩八、原點(diǎn)矩與中心矩第九頁(yè)，共38頁(yè)。).()(),cov(YEY

9、XEXEYX 1 1、X與與Y 的協(xié)方差（或的協(xié)方差（或相關(guān)矩相關(guān)矩）：）：定義定義 .,covdxdyyxfEYyEXxYX 離散型隨機(jī)變量：離散型隨機(jī)變量： 連續(xù)型隨機(jī)變量：連續(xù)型隨機(jī)變量：注注 .,cov ijjijiyxpEYyEXxYX九、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)九、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)注注 設(shè)設(shè)X與與Y是任兩個(gè)隨機(jī)變量，是任兩個(gè)隨機(jī)變量，),cov(2)()()(YXYDXDYXD 定理定理1 )()()(),cov(YEXEXYEYX 定理定理2 2 若若X與與Y 獨(dú)立，則：獨(dú)立，則： . 0,cov YX逆命題不成立。逆命題不成立。第十頁(yè)，共38頁(yè)。2 2、X與與Y 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù))

10、,(cov),( YXYXR)()(),(cov),(YDXDYXYXR 定義定義定理定理3 3 1, YXR,bXaY 且且 . 0, 1;0, 1),(bbYXR定理定理4 41),( YXR定理定理5 5如果如果 X 與與Y 獨(dú)立，則獨(dú)立，則, 0),( YXR反之不成立。反之不成立。即即: : X 與與 Y相互相互獨(dú)立獨(dú)立X與與 Y 不相關(guān)不相關(guān)第十一頁(yè)，共38頁(yè)。十、切比雪夫不等式與大數(shù)十、切比雪夫不等式與大數(shù)(d sh)(d sh)定定律律1 1、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式 2)()( XDXEXP2 2、切比雪夫大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律 1)(11lim11 niiniin

11、XEnXnP獨(dú)立獨(dú)立(dl)且方差一致有上界且方差一致有上界3 3、辛欽大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律11lim1 niinXnP獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布4 4、伯努利大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律 在獨(dú)立試驗(yàn)序列中，事件在獨(dú)立試驗(yàn)序列中，事件 A 的頻率按概率收斂于事件的頻率按概率收斂于事件 A 的的概率概率. 1 )( lim pAfPnn第十二頁(yè)，共38頁(yè)。3.2 一批零件中有一批零件中有9個(gè)合格品與個(gè)合格品與3個(gè)廢品。安裝機(jī)器時(shí)從中任取個(gè)廢品。安裝機(jī)器時(shí)從中任取1個(gè)。如果每個(gè)。如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前(yqin)已取出的廢品已取出的廢品數(shù)

12、的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。解解 第三章答案第三章答案(d n)設(shè)在取得設(shè)在取得(qd)合格品以前已取出的廢品數(shù)為合格品以前已取出的廢品數(shù)為XX)(ixP1043449220132220922013220924491430)( XE3 . 0 22013220924491430)(22222 XE409.0 )()()(22XEXEXD 319.0 )(XDX 565.0 第十三頁(yè)，共38頁(yè)。3.3 對(duì)一目標(biāo)射擊，直至擊中為止。如果每次射擊命中率為對(duì)一目標(biāo)射擊，直至擊中為止。如果每次射擊命中率為 p，求射擊次數(shù)，求射擊次數(shù)(csh)的數(shù)學(xué)期望和方差。的數(shù)學(xué)期望和方差。

13、解解設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X表示射擊表示射擊(shj)次數(shù)，次數(shù)，則則X 服從服從(fcng)幾何分布。幾何分布。2,1)1()(1 mppmXPm )(XE11nnnpq11nnnqp211qp2111pp. 1,11211xxnxnnp1 )(2XE112nnpqn112nnqnp. 1,113112xxxxnnn311qqp.22pp )(XD 22)()(XEXE 2212ppp.12pp第十四頁(yè)，共38頁(yè)。3.4 對(duì)某工廠的每批產(chǎn)品進(jìn)行放回抽樣檢查。如果發(fā)現(xiàn)次品對(duì)某工廠的每批產(chǎn)品進(jìn)行放回抽樣檢查。如果發(fā)現(xiàn)次品(cpn)，則立，則立即停止檢查而認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格；若連續(xù)檢查即停止檢查而認(rèn)

14、為這批產(chǎn)品不合格；若連續(xù)檢查5個(gè)產(chǎn)品都是合格，個(gè)產(chǎn)品都是合格，則也停止檢查而認(rèn)為這批產(chǎn)品合格。設(shè)這批產(chǎn)品的次品則也停止檢查而認(rèn)為這批產(chǎn)品合格。設(shè)這批產(chǎn)品的次品(cpn)率為率為p，求每批產(chǎn)品抽查樣品的平均數(shù)。求每批產(chǎn)品抽查樣品的平均數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)X 表示每批產(chǎn)品抽查的樣品數(shù)，則表示每批產(chǎn)品抽查的樣品數(shù)，則:)4, 3, 2,1()(1 mpqmXPmX 的概率分布表如下的概率分布表如下(rxi)：)1( qp454)5(qqpqXP X)(mXP 4q521ppq432pq3pq4324325101055432)(ppppqpqpqpqpXE 解解第十五頁(yè)

15、，共38頁(yè)。解解011)(112 dxxxXE)()()()(222XEXEXEXD 112211dxxx令令tdtdxtxcos,sin3.6 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X 的概率密度為：的概率密度為：求數(shù)學(xué)期望求數(shù)學(xué)期望E E(X)(X)與方差與方差D(X)D(X)。 1, 01,112xxxxf212212102212dxxx2022 cossin1sin2)(dttttXD202)(sin2dtt2022cos12dtt20)22sin(212tt 第十六頁(yè)，共38頁(yè)。解解021)( dxexXEx dxexXDx21)(202212dxexx3.7 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X 的概率密度為

16、的概率密度為: :,21)( xexfx求數(shù)學(xué)期望求數(shù)學(xué)期望E E(X)(X)與方差與方差D(X)D(X)。 )()()()(222XEXEXEXD 02dxexx2)3(第十七頁(yè)，共38頁(yè)。2.22, 3.8解解(1) dxxf01dxeAxx 01xdexAx A, 1 . A當(dāng), 1 . A . 0, 0; 0,1xxeAxxfx . 0, 0; 0,xxexfx .eX(2)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin) X 的概率密度為的概率密度為 求系數(shù)求系數(shù)(xsh)A時(shí)時(shí)，是是什什么么分分布布？1 (2)(3)求數(shù)學(xué)期望求數(shù)學(xué)期望(qwng)和方差和方差(1)(3) dxxx

17、fXE)( 01dxexxx 0111xdexx 1. 第十八頁(yè)，共38頁(yè)。(3). dxxfxXE22)( 012dxexxx 01221xdexx 2221 )(XD 22)()(XEXE 2221 .2 dxxxfXE)(第十九頁(yè)，共38頁(yè)。3.9 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X 的概率密度為：的概率密度為： )0(0, 00,222 axxeAxxfax求系數(shù)求系數(shù)A A及及E E(X)(X)與與D(X)D(X)。 解解dxxf)(dttaetaAttax2102222)(2233 aA 1421233 aAaA 34aA dxexaXEax033224)(dxeAxax0222dteta

18、At02132dtteat02aa2)2(2dttaetaattax21023332422第二十頁(yè)，共38頁(yè)。dxexaXEax0432224)(232123222aa )()()(22XEXEXD 423423222aaadtetat023222522a第二十一頁(yè)，共38頁(yè)。3.12 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X 服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布B B(3,0.4),(3,0.4),求下列隨機(jī)變量的求下列隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望與方差與方差: :2)3()3();2()2(;) 1 (3221XXYXXYXY . 3 , 2, 1 , 06 . 04 . 0)(33 mCmXPmmm解解X)(mXP

19、 216. 00321432. 0288. 0064. 072. 0)( XD2 . 1)( XE16. 22 . 172. 0)()()()() 1 (2221 XEXDXEYE)()(421XEYE 224.10064. 03288. 02432. 01444 5584. 516. 2224.10)()()(212211 YEYEYD24. 02 . 1216. 2)(2)()2()()2(222 XEXEXXEYE008. 1064. 09432. 01)2()(2222 XXEYE9504. 0)24. 0(008. 1)()()(222222 YEYEYD第二十二頁(yè)，共38頁(yè)。72.

20、 016. 2212 . 123)(21)(23223)()3(223 XEXEXXEYE72. 0)288. 04432. 04(41)3(41)(2223 XXEYE2016. 0)72. 0(72. 0)()()(232233 YEYEYD. 3 , 2, 1 , 06 . 04 . 0)(33 mCmXPmmmX)(mXP 216. 00321432. 0288. 0064. 072. 0)( XD2 . 1)( XE第二十三頁(yè)，共38頁(yè)。解解3.13.00)1(1都都是是常常數(shù)數(shù)及及及及方方差差，其其中中的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望，求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 XYeX

21、X 的密度的密度(md)函數(shù)為函數(shù)為 . 0, 0;0,1 1 xxexfxX當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 01 11dxexx)(YE 0t 11dtettx)11(1 01 21dxexx)(2YE 0t 22dtettx)12(2 )()()(22YEYEYD )11()12(22第二十四頁(yè)，共38頁(yè)。解解3.14 對(duì)球的直徑做近似測(cè)量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間對(duì)球的直徑做近似測(cè)量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間 內(nèi)。內(nèi)。求球體積的數(shù)學(xué)期望。求球體積的數(shù)學(xué)期望。 ba,積積分分別別表表示示球球的的直直徑徑和和體體，設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX,baUX則則 dxxfxYE361)(361XY )(2422baba dxabx

22、ba36第二十五頁(yè)，共38頁(yè)。3.16 證明：若隨機(jī)變量證明：若隨機(jī)變量X 與與Y 獨(dú)立，則獨(dú)立，則 )()()()()()()(22XDYEYDXEYDXDXYD =左左右右= )()()()()()()()()()(2222222222XEXEYEYEYEXEYEYEXEXE )()()()(2222XEYEYEXE 22)()(XYEXYE X與與Y 獨(dú)立獨(dú)立(dl)， X2 與與Y2 獨(dú)立獨(dú)立(dl)，)()()(),()()(2222YEXEXYEYEXEYXE 右右也可從左往右證也可從左往右證.第二十六頁(yè)，共38頁(yè)。解解 3.17 nXXX,21獨(dú)立，且服從同一分布，數(shù)學(xué)期望為獨(dú)立

23、，且服從同一分布，數(shù)學(xué)期望為 ，方差為，方差為2 ，求這些隨機(jī)變量的算術(shù)平均值，求這些隨機(jī)變量的算術(shù)平均值 niinXnX11的數(shù)學(xué)期望及方差。的數(shù)學(xué)期望及方差。隨機(jī)變量隨機(jī)變量)1()(1 niinXnEXE)(11 niiXEn)(11 niiXEn )1()(1 niinXnDXD)(112 niiXDn)(112 niiXDn21 n第二十七頁(yè)，共38頁(yè)。解解3.18N個(gè)人同乘一輛汽車，沿途有個(gè)人同乘一輛汽車，沿途有n個(gè)車站，每到一個(gè)車站時(shí)，若個(gè)車站，每到一個(gè)車站時(shí)，若無(wú)人下則不停車。設(shè)每個(gè)人在任一站下車是等可能的，求停無(wú)人下則不停車。設(shè)每個(gè)人在任一站下車是等可能的，求停車次數(shù)的數(shù)學(xué)期

24、望。車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。）個(gè)個(gè)車車站站的的停停車車次次數(shù)數(shù)（表表示示在在第第設(shè)設(shè)niiXi, 2 , 1 的的概概率率分分布布為為則則iXiX)(xP0Nn)11 ( 1Nn)11 (1 niiXY1則則停停車車總總次次數(shù)數(shù) niiXEYE1)()()11 (1 Nnn 第二十八頁(yè)，共38頁(yè)。 3.5 3.5和和3.193.19（帕斯克分布）設(shè)事件（帕斯克分布）設(shè)事件A A在每次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率為在每次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率為 p p，進(jìn)行進(jìn)行(jnxng)(jnxng)重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，直至事件重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，直至事件A A發(fā)生發(fā)生r r 次為止，求需要次為止，求需要進(jìn)行進(jìn)行(jnxng)(jnxng)的

25、實(shí)驗(yàn)總次數(shù)的實(shí)驗(yàn)總次數(shù) X X 的數(shù)學(xué)期望與方差。的數(shù)學(xué)期望與方差。解解rmrrmqpCmXP 11)(), 1,(rrm設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量1X表示事件表示事件A第一次發(fā)生時(shí)已進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，第一次發(fā)生時(shí)已進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，)(,21pGXXXXir，即即且且服服從從相相同同的的幾幾何何分分布布相相互互獨(dú)獨(dú)立立顯顯然然 21)(ppXDi ,1)(pXEi ,1 riiXX則則), 3 , 2(riXi 表示事件表示事件A從第從第i -1次發(fā)生后到第次發(fā)生后到第i 次發(fā)生時(shí)所次發(fā)生時(shí)所進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，), 2 , 1()1()(1rmppmXPmi riiXE1)()(1 ri

26、iXE )(XE,pr riiXD1)()(1 riiXD )(XD2)1(ppr 第二十九頁(yè)，共38頁(yè)。解解3.20 計(jì)算二項(xiàng)分布計(jì)算二項(xiàng)分布 pnB,的三階原點(diǎn)距，三階中心距。的三階原點(diǎn)距，三階中心距。 XEX )(1np 22)(XEX nmmnmmnqpCm12 1 pnpnp nmmnmmnqpCm13 nmmnmmnqpCmnp11112 33)(XEX nmmnmmnqpmC1nmmnmmnqpmCnp111110111nkknkknqpCknp1 mk10111011nkknkknnkknkknqpCqpkCnp11pnnp 101121nkknkknqpCknp1 mk第三十

27、頁(yè)，共38頁(yè)。31123323 XEX )(1np 22)(XEX 1 pnpnp)13323(2222 pnppnppnnp 33)(XEX )21)(1(ppnp 10111011101122nkknkknnkknkknnkknkknqpCqpkCqpCknp np 1)1()1( ppnpnpn)1(2 1 101121nkknkknqpCknp1 mk)13323(2222 pnppnppnnp第三十一頁(yè)，共38頁(yè)。 3.24 二維隨機(jī)變量在二維隨機(jī)變量在 區(qū)域區(qū)域R：YX,xyx 0 , 10上服從均勻分布，求（上服從均勻分布，求（1） 的概率密度；的概率密度；（2）數(shù)學(xué)期望）數(shù)學(xué)期

28、望)(XE及及，方差，方差)(XD及及（3）相關(guān)矩）相關(guān)矩及相關(guān)系數(shù)及相關(guān)系數(shù)YX,)(YE)(YD),cov(YX),(YXR解解其中其中(qzhng)C 為常數(shù)。為常數(shù)。 dxdyyxf,則則 xdydxC01012 C（1）設(shè)（）設(shè)（X,Y）的概率密度）的概率密度其其它它xyxCyxf0 , 10 0),(2C)(XE（2） dxdyyxxf, xdyxdx010232 )(YE dxdyyxyf, xydydx010231 )(2XE dxdyyxfx,2 xdydxx0102221 )(2YE dxdyyxfy,2 xdyydx0210261 第三十二頁(yè)，共38頁(yè)。 22)()(XE

29、XEXD 181 22)()(YEYEYD 181 （3）)(XYE dxdyyxxyf, xydyxdx010241 )()()(),cov(YEXEXYEYX 361 )()(),(Cov),(YDXDYXYXR 21 第三十三頁(yè)，共38頁(yè)。(2), 0)1(1)(222 dxdyyxxXE，同同理理0)( YE dxdyyxxXEXD22222)1(1)()(drrrd 2002232)1(cos1drrr 0223)1(dttttr 1211212,1ln211 tt不不存存在在，同同理理)(YD. ),cov(不不存存在在YX3.25 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合

30、密度函數(shù)為YX, 22211, yxyxf求（求（1）數(shù)學(xué)期望）數(shù)學(xué)期望)(XE及及)(YE（2）方差）方差)(XD及及)(YD（3）協(xié)方差）協(xié)方差),cov(YX解解( 1)第三十四頁(yè)，共38頁(yè)。3.28 3.28 利用切比雪夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的差大于三利用切比雪夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的差大于三倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率.解解 3)(XEXP 23)( XD1111. 091第三十五頁(yè)，共38頁(yè)。3.29 為了確定事件為了確定事件 A 的概率的概率, 進(jìn)行了進(jìn)行了10000次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn). 利用利用切比雪夫不等式估計(jì)切比雪夫不等式估計(jì):用事件用事件 A 在在10000次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率作為次試驗(yàn)