高考數學二輪復習課件——第10講三角函數的圖像與性質

1、 三角函數的 圖象與性質一、三角函數圖象的作法1.幾何法y=sinx 作圖步驟:(2)平移三角函數線;(3)用光滑的曲線連結各點.(1)等分單位圓作出特殊角的三角函數線;xyoPMAxyoy=sinx-1 1 o1 A2 232 2.五點法作函數 y=Asin(x+) 的圖象的步驟:(1)令相位 x+=0, , , , 2, 解出相應的 x 的值;23 2 (3)用光滑的曲線連結(2)中五點.(2)求(1)中 x 對應的 y 的值, 并描出相應五點;3.變換法: 函數 y=Asin(x+)+k 與 y=sinx 圖象間的關系: 函數 y=sinx 的圖象縱坐標不變, 橫坐標向左 (0) 或向右

2、(0) 或向下 (k0) 平移 |k| 個單位得 y=Asin(x+)+k 的圖象. 要特別注意, 若由 y=sin(x) 得到 y=sin(x+) 的圖象, 則向左或向右平移應平移 | | 個單位.二、三角函數圖象的性質 注 正切函數的對稱中心有兩類: 一類是圖象與 x 軸的交點, 另一類是漸近線與 x 軸的交點, 但無對稱軸, 這是與正弦、余弦函數的不同之處. 1.正弦函數 y=sinx(xR) 是奇函數, 對稱中心是 (k, 0)(kZ), 對稱軸是直線 x=k+ (kZ); 余弦函數 y=cosx(xR) 是偶函數, 對稱中心是 (k+ , 0)(kZ), 對稱軸是直線 x=k (kZ

3、)(正, 余弦函數的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于 x 軸的直線, 對稱中心為圖象與 x 軸的交點). 2 2 2.正切函數 y=tanx(xR, x +k, kZ) 是奇函數, 對稱中心是( , 0)(kZ). 2k2 三、正、余弦函數的性質1.定義域: 都是 R.2.值域: 都是 -1, 1. 對 y=sinx, 當 x=2k+ (kZ) 時, y 取最大值 1; 當 x=2k+ (kZ) 時, y 取最小值 -1; 對 y=cosx, 當 x=2k(kZ) 時, y 取最大值 1, 當 x=2k+(kZ) 時, y 取最小值 -1. 2 23 3.周期性: y=sinx、y=cosx

4、的最小正周期都是 2; f(x)= Asin(x+) 和 f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是 T= . | 2 4.奇偶性與對稱性: 正弦函數y=sinx(xR)是奇函數, 對稱中心是 (k, 0)(kZ), 對稱軸是直線 x=k+ (kZ); 余弦函數 y=cosx (xR)是偶函數, 對稱中心是 (k+ , 0)(kZ), 對稱軸是直線 x= k (kZ) (正(余)弦型函數的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于 x 軸的直線, 對稱中心為圖象與 x 軸的交點). 2 2 5.單調性: y=sinx 在 2k- , 2k+ (kZ)上單調遞增, 在2k+ , 2k+ (kZ)上單調遞減

5、; y=cosx 在 2k, 2k+ (kZ)上單調遞減, 在 2k+, 2k+2(kZ)上單調遞增. 2 2 2 232.值域是 R, 在上面定義域上無最大值也無最小值. 1.定義域: x | x +k, kZ.2 3.周期性: 是周期函數且周期是 , 它與直線 y=a 的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期 . 注 一般說來, 某一周期函數解析式加絕對值或平方, 其周期性是: 弦減半、切不變.四、正切函數的性質課 前 熱 身1.給出四個函數:(A)y=cos(2x+/6) (B)y=sin(2x+/6)(C)y=sin(x/2+/6) (D)y=tan(x+/6) 那么同時具有以下兩個性質的函

6、數是( ) 最小正周期是 圖象關于點(/6，0)對稱. 2.f(x)=sin(x+/2)，g(x)=cos(x-/2)，那么以下結論中正確的選項是( ) (A)函數y=f(x)g(x)的周期為2 (B)函數y=f(x)g(x)的最大值為1 (C)將f(x)的圖象向左平移/2單位后得g(x)的圖象 (D)將f(x)的圖象向右平移/2單位后得g(x)的圖象 AD3.將函數y=f(x)sinx的圖象向右平移/4個單位后再作關于x軸對稱的曲線，得到函數y=1-2sin2x，那么f(x)是( ) (A)cosx (B)2cosx (C)sinx (D)2sinx B4.函數y=|tgx|cosx(0 x

7、3/2，且x/2)的圖象是( ) C【解題回憶】這類問題的求解難點是確實定，除以上方法外，常用移軸方法：做平移，移軸公式為x=x+/6，y=y，那么易知函數在新坐標系中的方程是y=3sin2x，而x=x-/6，故所求函數y=3sin2(x-/6)5.如以下圖，函數y=Asin(x+)(A0，0)的圖像上相鄰的最高點與最低點的坐標分別為(5/12，3)和(11/12，-3)求該函數的解析式 6.如果函數 y=sin2x+acos2x 的圖象關于直線 x=- 對稱, 求 a 的值.8 例3:在ABC中,已知內角三角形中的三角函數三角形中的有關公式 1.內角和定理: 三角形三內角之和為, 即 A+B

8、+C=.注 任意兩角和與第三個角總互補;任意兩半角和與第三個角的半角總互余; 銳角三角形三內角都是銳角任兩角和都是鈍角設 ABC 中, 角 A、B、C 的對邊為 a、b、c, 任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.三內角的余弦值為正值 2.正弦定理: = = =2R(R 為三角形外接圓的半徑). sinC csinA asinB b注 正弦定理的一些變式:(1)a:b:c=sinA:sinB:sinC; (3)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC. 三角形兩邊一對角運用正弦定理求解時, 務必注意可能有兩解. 3.余弦定理: a2=b2+c2-2bccosA, cosA= 等,

9、常選用余弦定理鑒定三角形的形狀. b2+c2-a2 2bc4.射影定理: a=bcosC+ccosB. 5.面積公式: S= aha= absinC= r(a+b+c)(其中 r 為三角形內切圓半徑). 121212 特別提醒: (1)求解三角形中的問題時, 一定要注意 A+B+C=這一特性: A+B=-C, sin(A+B)=sinC, sin =cos ; (2)求解三角形中含有邊角混合關系的問題時, 常運用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化.A+B2 C2(2)sinA= , sinB= , sinC= ;c2Ra2Rb2R判斷三角形的形狀1 ABC 中, 假設 sin2Acos2B-cos

10、2Asin2B=sin2C, 判斷 ABC 的形狀.直角三角形 3 在 ABC 中, (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 試判斷三角形的形狀.4 在ABC中, 假設 a2sin2B+b2sin2A=2abcosAcosB, 試判斷三角形的形狀; 正三角形直角三角形或等腰三角形直角三角形 2 在 ABC 中, 已知 (a+b+c)(a+b-c)=3ab, sinA+sinB= , 試判斷三角形的形狀.解: (1)(a+c)(a-c)=b(b-c), b2+c2-a2=bc. 1.銳角 ABC 中, a、b、c 分別是角 A、B、C 的對邊. (1)若(a+c)(a-c)=b

11、(b-c), 求 A 的大小; (2)y=2sin2B+sin(2B+ ) 取最大值時, 求 B 的大小. 6 故由余弦定理得 cosA= b2+c2-a2 2bc 12= . (2)y=2sin2B+sin(2B+ )=1-cos2B+sin2Bcos +cos2Bsin 6 6 6 =1- cos2B+ sin2B 1232=1+sin(2B- )6 A 是銳角三角形的內角, 0A . 2 A= . 3 當且僅當 B= 時取等號. 3 B= . 3 2. ABC 的三個內角 A, B, C 成等差數列, 求 cosAcosC 的取值范圍. 解: ABC 的三個內角 A, B, C 成等差數列, 2B=A+C 且 A+B+C=180. B=60, C=120-A. cosAcosC=cosAcos(120-A) =co