微積分9_3格林公式

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三節(jié)一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的 等價條件等價條件格林公式及其應(yīng)用 第十一章 *三、全微分方程三、全微分方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)設(shè)D為平面區(qū)域為平面區(qū)域, 如果如果D內(nèi)任一閉曲線所圍內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于成的部分都屬于D, 則稱則稱D為平面單連通區(qū)域為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DD10.3 格林公式格林公式1.區(qū)域連通性的分類區(qū)域連通性的分類一、區(qū)域的分類和閉曲線的方向一、區(qū)域的分類和閉曲線的方向目錄 上頁 下頁 返

2、回 結(jié)束 設(shè)空間區(qū)域設(shè)空間區(qū)域G, 如果如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于的區(qū)域全屬于G, 則稱則稱G是空間是空間二維單連通域二維單連通域;GG二維單連通二維單連通二維不連通二維不連通目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 復(fù)連通域復(fù)連通域(有有“洞洞”的區(qū)域）的區(qū)域）單連通域單連通域(沒有沒有“洞洞”的區(qū)域的區(qū)域)平面閉曲線平面閉曲線L的正向的正向:觀測者沿閉曲線觀測者沿閉曲線L正向前行時，正向前行時，L所圍的區(qū)域總在行者的左側(cè)所圍的區(qū)域總在行者的左側(cè)(如右圖如右圖): 321LLLLDoxy1L3L2L2.平面閉曲線正向的規(guī)定平面閉曲線正向的規(guī)定目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 LD

3、區(qū)域 D 分類單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 )復(fù)(多)連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 域 D 邊界L 的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左定理定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),LDyxyQxPyxQPdddd或二、二、 格林公式格林公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明: 1) 若D 既是 X - 型區(qū)域 , 又是 Y - 型區(qū)域 , 且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21則yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxx

4、QCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcydOdcyxECBAbaD定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 即yxxQDddLyyxQd),(同理可證yxyPDddLxyxPd),(、兩式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 L2) 若D不滿足以上條件, 則可通過加輔助線將其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd為有限個上述形式的區(qū)域 , 如圖)(的正向邊界表示kkDD證畢yxO定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論

5、: 正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 橢圓)20(sincos:byaxL所圍面積LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明0dd22yxxyxL證證: 令,22xQyxP則yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDyxdd00目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 計算,dde2Dyyx其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點的三角形閉域 . 解解: 令, 則

6、2e, 0yxQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxdde2Dyyxde2yxOAyde2yyyde102)e1(2112eyxy yx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BDO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3 )0 , 1()0 , 0()1 , 0(: ,)6(2 243所圍成的所圍成的及弧線及弧線、折線折線是由是由是一平面向量場是一平面向量場設(shè)設(shè)BABOAAOBLjxyxiyF .)0, 0( 144正正向向的的第第二二型型曲曲線線積積分分的的求求此此向向量量場場沿沿閉閉曲曲線線給給出出的的方方程程由由正正向向閉閉曲曲線線，LyxyxBA ADBOxy144 yx11目錄 上頁 下

7、頁 返回 結(jié)束 解解上的第二型曲線積分是上的第二型曲線積分是在在LFdyxyxdxydsTFLL)6(2243 dxdyyyxD )664(223 44103104xdyxdxdxxx4431014 |10454)1(54x .54 Oxy144 yxAB目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .01)0 ,()0 ,(,)()( 2222構(gòu)成構(gòu)成，的上半橢圓的上半橢圓到到是由是由其中其中計算計算 ybyaxaBaALdyyxdxyxL.積積分分就就成成為為閉閉曲曲線線上上的的曲曲線線，運運用用格格林林公公式式，若若加加上上不不是是閉閉曲曲線線，不不能能直直接接BALxyO例例4B(-a,0)A(a,0

8、)解解dyyxdxyxL)()( BABALdyyxdxyxdyyxdxyx)()()()( aaDxdxdxdy)11(. ab DLD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 計算,dd22Lyxxyyx其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解解: 令,022時則當 yx22222)(yxxyxQ設(shè) L 所圍區(qū)域為D,)0 , 0(時當D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxLO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 dsincos2022222rrr2,)0 , 0(時當D在D 內(nèi)作圓周,:222ryxl取逆時針方向,1D, 對區(qū)域1D應(yīng)用格Lyxxyyx2

9、2ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dl記 L 和 l 所圍的區(qū)域為林公式 , 得yxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.1例例6 LyyyyxexyxeI,d)2(d3計計算算其中其中L為圓周為圓周xyx222 解解,yeP yxexyQy23 ,yeyP yeyxQ 33yyPxQ 由由格林公式格林公式有有 LDyQxPyxyPxQdddd)( I對稱性對稱性的的正向正向.Oxy yxyDdd30(2) 簡化曲線積分簡化曲線積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1987年研究生考題年研究生考題,填空填空(3分分)則

10、曲線積分則曲線積分為取正向的圓周為取正向的圓周設(shè)設(shè), 922 yxL Lyxxxyxy).(d)4(d)22(2 18 解解,22yxyP 設(shè)設(shè)xxQ42 由格林公式由格林公式42 xxQ, 22 xyP Lyxxxyxyd)4(d)22(2 Dyxxxdd)2242( Dyxdd2 18 練練 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 G 1ddLyQxP 2ddLyQxPB如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)有內(nèi)有三、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件AL1L21. 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義否則與路徑有關(guān)否則與路徑有關(guān).則稱曲線積分則稱曲線積分 L

11、yQxPdd在在G內(nèi)內(nèi)與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),xyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理. 設(shè)D 是單連通域 ,),(),(yxQyxP在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 內(nèi)每一點都有.xQyPLyQxPdd與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān). 函數(shù)則以下四個條件等價:在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L,

12、 曲線積分LyQxPdd與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān). 說明說明: 積分與路徑無關(guān)時, 曲線積分可記為 證明證明 (1) (2)設(shè)21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP02L2ddLyQxP1ddLyQxP為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲線, 則(根據(jù)條件(1)BAyQxPddAByQxPddAB1L定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(dLyQxPdd與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān). 在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 證明

13、證明 (2) (3)在D內(nèi)取定點),(00yxA因曲線積分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux則),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可證yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一點B( x, y ),與路徑無關(guān),),(yxxC),(yxB),(00yxA有函數(shù) 定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (4) 在 D 內(nèi)每一點都有.xQyP(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 xyuyxu22所以證明

14、證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得yQxPuddd則),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點都有xQyPxyuxQyxuyP22,定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明 (4) (1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖) ,上因此在DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所圍區(qū)域為證畢 (1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(4) 在 D 內(nèi)每一點都有.xQyP定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域D內(nèi),x

15、QyP則2) 求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):Dyx),(00及動點,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(0則原函數(shù)為yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點1) 計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑;yx0y0 xOxy定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,則對D內(nèi)任一分段光滑曲BAyyxQxyxPd),(

16、d),(ABu定理2 )()(AuBu線 AB ,有yyxQxyxPABd),(d),(注注: 此式稱為曲線積分的基本公式曲線積分的基本公式(P211定理4). babaxFxxf)(dd)(DAB 它類似于微積分基本公式: BAud)()(xfxF其中)()()(aFbFxFab目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yA xL例例7. 計算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周

17、區(qū)域為D , 則O6483目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 驗證yyxxyxdd22是某個函數(shù)的全微分, 并求出這個函數(shù). 證證: 設(shè),22yxQyxP則xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu)0 ,(x 0yyxyd02yyxyd022221yx)0 , 0(),(yx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 驗證22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù) , 并求出它. 證證: 令2222,yxxQyxyP則)0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可

18、知存在原函數(shù)),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxu 0)0(arctanxxyxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xy)0 ,(x)0 , 1(),(yxO),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10. 設(shè)質(zhì)點在力場作用下沿曲線 L :xycos2由)2, 0(A移動到, )0,2(B求力場所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令,2

19、2rxkQrykP則有)0()(22422yxryxkyPxQ可見, 在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān). )(22yxr其中),(2xyrkFsFWLdLBAyxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 :AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 積分路徑是否可以取?OBAO取圓弧為什么？注意, 本題只在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān) !LBAyxO內(nèi)容小結(jié) 轉(zhuǎn)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 判別判別: P, Q 在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),xQyPDyx),(為全微分方程 則求解步驟求解步驟:方法1 湊微分法;方

20、法2 利用積分與路徑無關(guān)的條件.1. 求原函數(shù) u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解為 u (x, y) = C .*三、全微分方程三、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d則稱0d),(d),(yyxQxyxP為全微分方程.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(yxyxO例例8. 求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因為yP236yyx ,xQ故這是全微分方程. , 0, 000yx取則有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解為Cyyxyxx3322

21、53123)0 ,(x法法1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx求解法法2 此全微分方程的通解為 yu,)(2yy Cyxu),(xu, 則有)(d)35(),(324yxyyxxyxu待定，)()(233225yyyxyxx兩邊對 y 求導(dǎo)得yu由得與比較得331)(yy 取因此方程的通解為Cyyxyxx33225312332435yyxx22233yyxyx)(3322yyxyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 這是一個全微分方程 .用湊微分法求通解. 將方程改寫為0ddd2xxyyxx

22、x即, 0d21d2xyx故原方程的通解為021d2xyx或Cxyx221,xQ目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考: 如何解方程?0dd)(3yxxyx這不是一個全微分方程 ,12x就化成例9 的方程 .,0),(yx使0d),(),(d),(),(yyxQyxxyxPyx為全微分方程,),(yx則稱在簡單情況下, 可憑觀察和經(jīng)驗根據(jù)微分倒推式得到為原方程的積分因子.但若在方程兩邊同乘注注:若存在連續(xù)可微函數(shù) 積分因子.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式LyQxPdd2. 等價條件在 D 內(nèi)與路徑無關(guān).yPxQ在 D 內(nèi)有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd對 D 內(nèi)任意閉曲線 L 有0ddLyQxP在 D 內(nèi)有設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有為全微分方程0ddyQxP目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習1. 設(shè),4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 問下列計算是否正確 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Dd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示:時022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(LO2y1x2lD目錄 上頁 下