反比例函數(shù)與圖形面積

1、（1）K0K0當當k0時，函數(shù)圖象時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第的兩個分支分別在第一、三一、三象限，在每個象限，在每個象限內(nèi)，象限內(nèi)，y隨隨x的增大的增大而減小而減小.當當k0時，函數(shù)圖象時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第的兩個分支分別在第二、四二、四象限，在每個象限，在每個象限內(nèi)，象限內(nèi)，y隨隨x的增大的增大而增大而增大.1.反比例函數(shù)的圖象是反比例函數(shù)的圖象是雙曲線雙曲線; 2.圖象性質(zhì)見下表：圖象性質(zhì)見下表：圖圖象象性性質(zhì)質(zhì)y=xkw反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：則則垂足為垂足為軸的垂線軸的垂線作作過過有有上任意一點上任意一點是雙曲線是雙曲線設(shè)設(shè),) 1 (:,)0(),(

2、AxPkxkynmP|21|2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面積性質(zhì)面積性質(zhì)（一）（一）P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想想一想若將此題改為過若將此題改為過P點點作作y軸的垂線段軸的垂線段,其結(jié)其結(jié)論成立嗎論成立嗎?|21|2121knmAPOASOAP).( |,)2(如圖所示如圖所示則則垂足分別為垂足分別為軸的垂線軸的垂線軸軸分別作分別作過過矩形矩形knmAPOASBAyxPOAPBP(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面積性質(zhì)（二）面積性質(zhì)（二）).(,),(),()3(如圖所示如圖所示則則點點軸的垂線交于軸的垂線交于作作與過與過軸

3、的垂線軸的垂線作作過過關(guān)于原點的對稱點是關(guān)于原點的對稱點是設(shè)設(shè)|k k| 2 2|2n2n| |2m2m|2 21 1|P PA AAPAP|2 21 1P PPAPAS S AyPxPnmPnmPP(m,n)AoyxP/面積性質(zhì)（三）面積性質(zhì)（三）P(m,n)oyxP/yP(m,n)oxP/以上幾點揭示了雙曲線上的點構(gòu)成的幾以上幾點揭示了雙曲線上的點構(gòu)成的幾何圖形的一類性質(zhì)何圖形的一類性質(zhì). .掌握好這些性質(zhì)掌握好這些性質(zhì), ,對對解題十分有益解題十分有益.(.(上面圖僅以上面圖僅以P P點在第一象點在第一象限為例限為例).).做一做PDoyx1.1.如圖如圖, ,點點P P是反比例函數(shù)是反

4、比例函數(shù) 圖象上圖象上的一點的一點,PDx,PDx軸于軸于D.D.則則PODPOD的面積的面積為為 . .xy2(m,n)13k. 3|,|kkSAPCO矩形,四象限圖像在二又._, 3,. 9函數(shù)的解析式是則這個反比例陰影部分面積為軸引垂線軸向分別由圖像上的一點是反比例函數(shù)如圖yxPxkyPACoyxP.3xy解析式為解:由性質(zhì)(2)可得A.S = 1 B.1S2_._.S, S,面面ABC的ABC的, , BC平行于xBC平行于x, ,AC平行于yAC平行于y 的任意的任意O O于原于原上上的的x x1 1y yB是B是A,A, ,7.如7.如則 積為 軸 軸兩點對稱關(guān) 圖圖點點像像函數(shù)函

5、數(shù) ACoyxB解:由上述性質(zhì)(3)可知,SABC = 2|k| = 2C_ _ _ _. ., ,S S 的的面面R Rt t, ,S S 的的面面R Rt tD D. .垂垂足足, ,的的垂垂C C作作y yB B. .垂垂足足, , 的的垂垂A A作作x x市市2 20 00 00 0年年) )6 6. .( (武武2 2O OC CD D1 1A AO OB B則積為積為記為線軸過為線軸過漢如圖如圖:A、C是函數(shù)是函數(shù) 的圖象上任意兩點，的圖象上任意兩點，x x1 1y y A.S1S2 B.S1S2 C.S1 = S2D.S1和S2的大小關(guān)系不能確定. C由上述性質(zhì)由上述性質(zhì)1可知選

6、可知選CABoyxCD DS1S2.,21|21,21|21,21|21321111ASSSkSkSkSOOCBOBAOA故選即解:由性質(zhì)(1)得A._,)0(1,. 8321111111則有面積分別為的記邊結(jié)三點軸于交軸引垂線經(jīng)過三點分別向的圖像上有三點在如圖SSSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCBAxxyA.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3 C. S3 S1 S2 S3 BA1oyxACB1C1S1S3S2交點問題：交點問題： 1 1、與坐標軸的交點問題：、與坐標軸的交點問題：無限趨近于無限趨近于x x、y y軸，軸， 與與x x、y y軸無交點。軸無交點。 2

7、2、與正比例函數(shù)的交點問題：、與正比例函數(shù)的交點問題：可以利用反比例函數(shù)的中心對稱性?？梢岳梅幢壤瘮?shù)的中心對稱性。 3 3、與一次函數(shù)的交點問題：、與一次函數(shù)的交點問題：列方程組，求公共解，即交點坐標。列方程組，求公共解，即交點坐標。.)2(;) 1 (,23,) 1(:. 5的面積的坐標和交點求直線與雙曲線的兩個求這兩個函數(shù)的解析式且軸于點在第二象限的交點與直線是雙曲線的頂點如圖AOCA、SBxABkxyxkyAABORtABOAyOBxCD. 6,412,. 4縱坐標是點的并且兩點的圖象相交于的圖象與一次函數(shù)已知反比例函數(shù)如圖PQPkxyxy.)2(;) 1 (的面積求式求這個一次函數(shù)

8、的解析POQyxoPQ. 2,8,. 3的縱坐標都是的橫坐標和點且點兩點的圖象交于的圖象與反比例函數(shù)已知一次函數(shù)如圖BABAxybkxy.)2(;) 1 ( :的面積一次函數(shù)的解析式求AOBAyOBx.21):(4,. 6OBABOBBxABAAxkyOAO如果垂足為軸作過點在第一象限內(nèi)交于與雙曲線直線是坐標原點如圖.),1 , 0()2(;) 1 (的面積求軸交于點與軸交于點與直線求雙曲線的解析式AODDxCyACyxoADCB（4 4）試著在坐標軸上找）試著在坐標軸上找 點點D,D,使使AODAODBOCBOC。（1 1）分別寫出這兩個函數(shù)的表達式。）分別寫出這兩個函數(shù)的表達式。（2 2）

9、你能求出點）你能求出點B B的坐標嗎？的坐標嗎？ 你是怎樣求的？你是怎樣求的？（3 3）若點）若點C C坐標是（坐標是（44，0 0）. .請求請求BOCBOC的面積。的面積。8 8、如圖所示，正比例函數(shù)、如圖所示，正比例函數(shù)y=ky=k1 1x x的圖象與的圖象與反比例函數(shù)反比例函數(shù)y= y= 的圖象交于的圖象交于A A、B B兩點，其兩點，其中點中點A A的坐標為（的坐標為（ ，2 2 ）。）。 33k2xCD（4，0）4.為了預防流感，某學校在休息天用藥熏消毒法對教室進行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例；藥物釋放完畢后，y與x成反比例，

10、如圖所示根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）寫出從藥物釋放開始，y與x之間的兩個函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的自變量取值范圍；（2）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到量降低到0.45毫克以下時，學生方可進入毫克以下時，學生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學生才能進入教室？過多少小時后，學生才能進入教室？ 1.如果函數(shù) 是反比例函數(shù)，那么m=_.122mxmy2. 請你任寫一個函數(shù)，使它的圖象請你任寫一個函數(shù)，使它的圖象是中心對稱圖形，且對稱中心是原是中心對稱圖形，且對稱中心是原點，在每一個象限內(nèi)點，在每一

11、個象限內(nèi)y都隨自變量都隨自變量 x的增大而減?。旱脑龃蠖鴾p小： .（2）函數(shù)）函數(shù) 的圖象與直線的圖象與直線y=x 沒有交點，那么沒有交點，那么k的取值范圍是的取值范圍是 ( ) A. k1 B.k1 D.k1如圖，已知A(-4,n),B(2,-4)，是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù) 的圖象的兩個交點(1)求反比例函數(shù)和一 次函數(shù)的解析式；(2)求直線AB與x軸的交 點C的坐標及AOB的面積；(3)求方程 的解（看圖寫）(4)求不等式 解集（看圖寫）.xmy 0 xmbkx0 xmbkx在四個象限及坐標軸上的點的特征：(，)(，)(，)(，)O123 x-1-2-3-1-2123y(a

12、，0)(b，0)vst mV xy5xy31xmy2196xyaaxy0axayooo)0( kxkyo14 4xyoMNp12xy 如圖所示，正比例函數(shù) 與反比例函數(shù) 的圖象相交于A、C兩點，過A作x軸的垂線交x軸于B，連接BC.若ABC面積為S,則_xy1)0( kkxybaxyxky xy422 ba4ba2a2b填一填1.1.函數(shù)函數(shù) 是是 函數(shù)，其圖象為函數(shù)，其圖象為 ，其中其中k=k= ，自變量，自變量x x的取值范圍為的取值范圍為 . .2.2.函數(shù)函數(shù) 的圖象位于第的圖象位于第 象限象限, , 在每一象限內(nèi)在每一象限內(nèi),y,y的值隨的值隨x x的增大而的增大而 , , 當當x

13、x0 0時時,y,y 0,0,這部分圖象位于第這部分圖象位于第 象限象限. .x2y x6y 3.3.函數(shù)函數(shù) 的圖象位于第的圖象位于第 象限象限, , 在每一象限內(nèi)在每一象限內(nèi),y,y的值隨的值隨x x的增大而的增大而 , , 當當x x0 0時時,y,y 0,0,這部分圖象位于第這部分圖象位于第 象限象限. .x6y 試歸納反比例函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，試歸納反比例函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，并與正比例函數(shù)作比較并與正比例函數(shù)作比較. .反比例函數(shù)的圖象既是反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形軸對稱圖形又又是中心對稱圖形。是中心對稱圖形。有兩條對稱軸：直線有兩條對稱軸：直線y=x和和 y=-x。對稱

14、中心是：原點。對稱中心是：原點xy01 2y = kxy=xy=-x則則垂足為垂足為軸的垂線軸的垂線作作過過有有上任意一點上任意一點是雙曲線是雙曲線設(shè)設(shè),) 1 (:,)0(),(AxPkxkynmP|21|2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面積性質(zhì)面積性質(zhì)（一）（一）).( |,)2(如圖所示如圖所示則則垂足分別為垂足分別為軸的垂線軸的垂線軸軸分別作分別作過過矩形矩形knmAPOASBAyxPOAPBP(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面積性質(zhì)（二）面積性質(zhì)（二）).(,),(),()3(如圖所示如圖所示則則點點軸的垂線交于軸的垂線交于作作與過與過

15、軸的垂線軸的垂線作作過過關(guān)于原點的對稱點是關(guān)于原點的對稱點是設(shè)設(shè)|k k| 2 2|2n2n| |2m2m|2 21 1|P PA AAPAP|2 21 1P PPAPAS S AyPxPnmPnmPP(m,n)AoyxP/面積性質(zhì)（三）面積性質(zhì)（三）P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想想一想若將此題改為過若將此題改為過P點點作作y軸的垂線段軸的垂線段,其結(jié)其結(jié)論成立嗎論成立嗎?|21|2121knmAPOASOAPP(m,n)oyxP/yP(m,n)oxP/以上幾點揭示了雙曲線上的點構(gòu)成的幾以上幾點揭示了雙曲線上的點構(gòu)成的幾何圖形的一類性質(zhì)何圖形的一類性質(zhì). .掌握好這些性質(zhì)掌握好

16、這些性質(zhì), ,對對解題十分有益解題十分有益.(.(上面圖僅以上面圖僅以P P點在第一象點在第一象限為例限為例).).2.2.下列函數(shù)中下列函數(shù)中, ,圖象位于第二、四象限圖象位于第二、四象限的有的有 ；在圖象所在象限內(nèi)，；在圖象所在象限內(nèi)，y y的的值隨值隨x x的增大而增大的有的增大而增大的有 . .32x(5)y32x(4)y3x2(3)y32x(2)y3x2(1)y4.4.已知點已知點A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2) )都在反比例函數(shù)都在反比例函數(shù) 的圖象上的圖象上, ,則則y y1 1與與y y2 2的大小關(guān)系的大小關(guān)系( (從大到小從大到小) )

17、為為 . .x4y x xk ky y(k(k0)0)y2 y14.4.已知點已知點A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2) )都在反比例函數(shù)都在反比例函數(shù) 的圖象上的圖象上, ,則則y y1 1與與y y2 2的大小關(guān)系的大小關(guān)系( (從大到小從大到小) )為為 . .x4y x xk ky y(k(k0)0)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )且且x x1 10 0 x x2 2yxox x1 1x x2 2Ay1y2By1 0y24.4.已知點已知點A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2

18、) )都在反比例函數(shù)都在反比例函數(shù) 的圖象上的圖象上, ,則則y y1 1、y y2 2與與y y3 3的大小關(guān)系的大小關(guān)系( (從大到小從大到小) )為為 . .x4y A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2),C(4,y),C(4,y3 3) )yxo-1y1y2AB-24 4Cy3y3 y1y25.5.老師給出一個函數(shù)老師給出一個函數(shù), ,甲、乙、丙三位同甲、乙、丙三位同學分別指出了這個函數(shù)的一個性質(zhì)學分別指出了這個函數(shù)的一個性質(zhì): : 甲甲: :函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限; ; 乙乙: :函數(shù)的圖象經(jīng)過第四象限函數(shù)的圖象經(jīng)過第四象限; ; 丙丙: :在每個象限內(nèi)在每個象限內(nèi),y,y隨隨x x的增大而增大的增大而增大. .請你根據(jù)他們的敘