數(shù)列的極限98147PPT學習教案

1、數(shù)列的極限數(shù)列的極限98147 極限概念是由求某些實際問題的精確解而極限概念是由求某些實際問題的精確解而產(chǎn)生的。正是由于極限的概念，建立了有限與產(chǎn)生的。正是由于極限的概念，建立了有限與無限、變與不變的聯(lián)系。由極限概念產(chǎn)生的極無限、變與不變的聯(lián)系。由極限概念產(chǎn)生的極限理論則構(gòu)成了微積分的基礎(chǔ)，而微積分的創(chuàng)限理論則構(gòu)成了微積分的基礎(chǔ)，而微積分的創(chuàng)立不僅完成了常量數(shù)學到變量數(shù)學的跨越，同立不僅完成了常量數(shù)學到變量數(shù)學的跨越，同時也開啟了現(xiàn)代數(shù)學之門。時也開啟了現(xiàn)代數(shù)學之門。 只有掌握極限理論才能深入的解釋和理解只有掌握極限理論才能深入的解釋和理解微積分理論乃至現(xiàn)代數(shù)學的思想和方法。微積分理論乃至現(xiàn)代

2、數(shù)學的思想和方法。 第1頁/共34頁如，如， ,)1( , ,43 ,34 ,21 , 2 ,)1( 1 1 1 1 ,2 , ,16 , 8 , 4 , 211nnnnn ，2n)1(1 n nnn 1)1(1. 數(shù)列的定義數(shù)列的定義 若按照某法則，對每一個若按照某法則，對每一個n N+，對應(yīng)著一個確定，對應(yīng)著一個確定的實數(shù)的實數(shù) xn，則序列，則序列 x1, x2, , xn , 就叫做數(shù)列，簡就叫做數(shù)列，簡記為數(shù)列記為數(shù)列 xn .第2頁/共34頁幾何上，數(shù)列可看作是數(shù)軸上一個動點的軌跡幾何上，數(shù)列可看作是數(shù)軸上一個動點的軌跡. ,) 1( , 65 ,56 ,43 ,34 ,21 ,

3、21nnn )1( 1nnn 數(shù)列數(shù)列0212134435665第3頁/共34頁 對于對于數(shù)列數(shù)列 xn ，若存在，若存在 M 0, 使得對數(shù)列中所使得對數(shù)列中所有的項有的項 xn 都成立都成立 | xn | M , 則稱數(shù)列則稱數(shù)列 xn 有界，若有界，若這樣的這樣的 M 不存在，則稱數(shù)列不存在，則稱數(shù)列 xn 無界無界.第4頁/共34頁 (1) “截杖說截杖說”（莊子）（莊子） 一尺之棰，日取其半，萬世不竭。一尺之棰，日取其半，萬世不竭。第一天剩下第一天剩下1/2， 第二天剩下第二天剩下1/4，第三天剩下，第三天剩下1/8，第第n 天剩下天剩下1/2n, ,21 , ,81 ,41 ,21

4、n顯然顯然, 該數(shù)列中的項隨著該數(shù)列中的項隨著n 的增大的增大越來越接近越來越接近 0.所以，所余杖棰長度組成數(shù)列所以，所余杖棰長度組成數(shù)列第5頁/共34頁正正24邊形邊形割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。割，則與圓合體而無所失矣。正正6邊形邊形1A正正12邊形邊形2A面積，面積，無限接近無限接近圓面積圓面積 .而且隨著而且隨著 n 的無限增大，多邊形的面積的無限增大，多邊形的面積 An 將將基本思想是用內(nèi)接正基本思想是用內(nèi)接正126 n邊形的面積邊形的面積 An 來近似圓來近似圓第6頁/共34頁 前面兩個古代事例都有一個

5、共同點就是出現(xiàn)了前面兩個古代事例都有一個共同點就是出現(xiàn)了“無無限接近限接近”這個思想，這正是極限概念的原始面貌。極這個思想，這正是極限概念的原始面貌。極限概念是由于求某些問題的精確答案而產(chǎn)生的。杖棰限概念是由于求某些問題的精確答案而產(chǎn)生的。杖棰問題和割圓術(shù)使用的都是極限論的方法。第一個是杖問題和割圓術(shù)使用的都是極限論的方法。第一個是杖棰剩余問題，棰剩余問題， 看作一系列變化著的剩余趨向于一個確看作一系列變化著的剩余趨向于一個確定量的問題。而第二個則是把一個固定不變的量看作定量的問題。而第二個則是把一個固定不變的量看作是一系列變化著的多邊形面積的趨向，從而確定出面是一系列變化著的多邊形面積的趨向

6、，從而確定出面積的大小。積的大小。 第7頁/共34頁 無論是杖棰的剩余長度，還是正多邊形無論是杖棰的剩余長度，還是正多邊形的面積的面積 ，都可以看作是關(guān)于，都可以看作是關(guān)于 n 的一個數(shù)列的一個數(shù)列 xn ，而這個數(shù)列中的項隨著，而這個數(shù)列中的項隨著 n 增加產(chǎn)生一增加產(chǎn)生一個什么樣的變化過程則是大家最關(guān)心的，極個什么樣的變化過程則是大家最關(guān)心的，極限就是討論這一類問題的數(shù)學模型。限就是討論這一類問題的數(shù)學模型。第8頁/共34頁 圓的內(nèi)接正多邊形面積構(gòu)成一列有序數(shù)圓的內(nèi)接正多邊形面積構(gòu)成一列有序數(shù)( 數(shù)列數(shù)列 ) ) A1 , , A 2, , A 3, , , A n , . . 這一數(shù)列中

7、的各項這一數(shù)列中的各項 A n 雖都不是圓面積雖都不是圓面積 A，但具有，但具有如下特點：如下特點： 當當 n 越大時，越大時，A n 作為圓面積的作為圓面積的 A 近似值就越精確，近似值就越精確，但不論但不論 n 取得如何大，只要取定了取得如何大，只要取定了n ，A n 終究只是終究只是 A 的的具有某種精確度的近似值而非精確值。為求具有某種精確度的近似值而非精確值。為求 A 的精確值的精確值只有讓只有讓 n 無限增大，而當無限增大，而當 n 時，就有時，就有 A n A . .第9頁/共34頁 對于一般的數(shù)列對于一般的數(shù)列 x n ，總會出現(xiàn)兩種情形：，總會出現(xiàn)兩種情形： 當當 n 時，時

8、，x n a ， 當當 n 時，時，x n 不趨于任何確定的數(shù)。不趨于任何確定的數(shù)。 例如：例如： 1 0 2nnnx . . 1 113 2nnnnxa . . 1 1nnnxn . . sin nnxna . .第10頁/共34頁 設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列 x n ，如果當，如果當 n 無限增大時，無限增大時，x n 無限接無限接近于一個常數(shù)近于一個常數(shù) a，則稱當，則稱當 n 無限增大時，數(shù)列無限增大時，數(shù)列 x n 的極的極限為限為 a 或數(shù)列或數(shù)列 x n 收斂于收斂于 a ，常數(shù)，常數(shù) a 稱為數(shù)列稱為數(shù)列 x n 的的極限，記作極限，記作 或或 x n a , ,( n ). . 如果當

9、如果當 n 無限增大時，無限增大時，x n 不趨向不趨向于任何常數(shù)，就稱數(shù)列于任何常數(shù)，就稱數(shù)列 x n 的極限不的極限不存在或數(shù)列發(fā)散。存在或數(shù)列發(fā)散。 limnnxa第11頁/共34頁例例：試由定義判別下列數(shù)列的斂散性：試由定義判別下列數(shù)列的斂散性由定義判別數(shù)列的斂散性一般是通過觀察法考察給由定義判別數(shù)列的斂散性一般是通過觀察法考察給定數(shù)列的通項是否趨向于一個確定常數(shù)。定數(shù)列的通項是否趨向于一個確定常數(shù)。 因為當因為當 n 時，時， ，故該數(shù)列收斂，且極，故該數(shù)列收斂，且極限為限為 0 . . 11111 312122nnnn, . . 1 12n. .102n第12頁/共34頁 逐項寫出

10、該逐項寫出該數(shù)列各項有數(shù)列各項有 1 ,-,-1 , , ,(-1-1)n- -1 ,， 易見當易見當 n 時，時，x n 始終在始終在 1 和和 - -1 之間交替取值之間交替取值, ,它它不可能趨于一個確定數(shù)，故該數(shù)列發(fā)散。不可能趨于一個確定數(shù)，故該數(shù)列發(fā)散。 逐項寫出該數(shù)列各項有逐項寫出該數(shù)列各項有 可見當可見當 n 時，時，x n 趨于趨于 0 ，故該數(shù)列收斂，其，故該數(shù)列收斂，其極限為極限為 0 . . 1 21n. . 111 32nn . . 11111 000 0345n , , , ,第13頁/共34頁 微積分發(fā)展初期，人們往往從實際出發(fā)考慮問題，微積分發(fā)展初期，人們往往從實

11、際出發(fā)考慮問題，不太注重基礎(chǔ)理論。隨著研究的深入和應(yīng)用的廣泛，出不太注重基礎(chǔ)理論。隨著研究的深入和應(yīng)用的廣泛，出現(xiàn)了越來越多的含混和悖論，使得數(shù)學的發(fā)展又一次遇現(xiàn)了越來越多的含混和悖論，使得數(shù)學的發(fā)展又一次遇到令人不安的危機，產(chǎn)生這種危機的根本原因是極限理到令人不安的危機，產(chǎn)生這種危機的根本原因是極限理論問題。于是科學家們在完成了微積分基本理論后，又論問題。于是科學家們在完成了微積分基本理論后，又回過頭來重新構(gòu)建微積分基礎(chǔ)。通過一回過頭來重新構(gòu)建微積分基礎(chǔ)。通過一大批優(yōu)秀科學家近一個世紀的努力，大批優(yōu)秀科學家近一個世紀的努力，終于建立了微積分嚴謹?shù)幕A(chǔ)，終于建立了微積分嚴謹?shù)幕A(chǔ)，其核心就是今

12、天的極限理論。其核心就是今天的極限理論。 第14頁/共34頁 什么叫做什么叫做 x n無限接近于一個常數(shù)無限接近于一個常數(shù) a ？什么叫做什么叫做 n無限增大？無限增大？ n 10000，n 10 100 可否稱作可否稱作 n 無限增大無限增大？如果不如果不能，能，n 變化到什么樣的值才能稱為變化到什么樣的值才能稱為 n 無限增大無限增大？第15頁/共34頁 這一問題看似簡單，但卻是一個相當困難的問題，這一問題看似簡單，但卻是一個相當困難的問題，它曾困擾了許多數(shù)學家，最后才由法國大數(shù)學家柯西部它曾困擾了許多數(shù)學家，最后才由法國大數(shù)學家柯西部分地解決了。這一問題的解決過程可分解為兩個步驟分地解決

13、了。這一問題的解決過程可分解為兩個步驟： 第一步，如何定量表示第一步，如何定量表示 x n 與與 a 的接近程度的接近程度？ 從幾何上看，從幾何上看，x n 與與 a 均對應(yīng)于數(shù)軸上的點，要表示均對應(yīng)于數(shù)軸上的點，要表示兩點兩點 x n 與與 a 的的接近程度可通過二者接近程度可通過二者之間距離的大小來表示，即通過之間距離的大小來表示，即通過| | x n - - a | |的大小來表示。的大小來表示。 因此，因此， x n a 的意義就是的意義就是 | | x n - - a | | 可任意地小?？扇我獾匦?。第16頁/共34頁 第二步，如何表示第二步，如何表示| | x n - - a |

14、| 可任意地小可任意地?。?x n 與與 a 的的接近程度可用接近程度可用不等式不等式 | | x n - - a | | l 來表。來表。l 很小可表示很小可表示 x n 與與 a 很很接近，然而，任何確定的很小的接近，然而，任何確定的很小的數(shù)數(shù) l 均不能表示均不能表示| | x n - - a | | 可任意地小。可任意地小。 由于可任意小的由于可任意小的具體數(shù)是不存在的，因此只有人為具體數(shù)是不存在的，因此只有人為地建立這樣一種地建立這樣一種“數(shù)數(shù)”的概念，數(shù)學家柯西設(shè)想出了這的概念，數(shù)學家柯西設(shè)想出了這樣一種數(shù)，并用樣一種數(shù)，并用 表示。表示。 表示可任意賦值的數(shù)，而一表示可任意賦值的

15、數(shù)，而一旦賦于旦賦于 為某具體值，它就是通常為某具體值，它就是通常的實數(shù)。于是的實數(shù)。于是 x n - - a 可任意地小可任意地小可表示為：對預先給定的可任意可表示為：對預先給定的可任意小的正數(shù)小的正數(shù) 有有 x n - - a .第17頁/共34頁 柯西給出的表示法不能完全表示極限柯西給出的表示法不能完全表示極限 x n a . 因為因為| x n - - a | 只是表示了只是表示了 x n 與與 a 可任意接近的狀態(tài)，但還可任意接近的狀態(tài)，但還不足以表達不足以表達 x n a 的過程。的過程。 這一過程顯然和這一過程顯然和 x n 的的下標下標 n 的變化的變化有關(guān)。有關(guān)。x n a

16、的過程是在的過程是在 n 的過程的過程中逐步實現(xiàn)的，即中逐步實現(xiàn)的，即| | x n - - a | | N 時有時有 | x n - - a | 成立成立。第18頁/共34頁 另一方面，表示另一方面，表示 n 增大程度的具體值增大程度的具體值 N 又和預先給又和預先給定的定的 的的大小有關(guān)。一般而言，若大小有關(guān)。一般而言，若 取值較大，取值較大，x n 的下的下標不需要變化到很大就可有標不需要變化到很大就可有 | | x n - - a | | 成立，相應(yīng)成立，相應(yīng) N就較小。而就較小。而若若 取值較小，則取值較小，則 x n 的下標需要變化到足的下標需要變化到足夠大，才可有夠大，才可有 |

17、 | x n - - a | | 成立，于是成立，于是 N 就較大。就較大。 綜合考察，綜合考察，N 對對 有某種依賴關(guān)系，有某種依賴關(guān)系，即即 N = N( ). . 為說明為說明 x n a 這一事實這一事實，N 對對 的依賴關(guān)系的依賴關(guān)系 N = N( )的具體形式的具體形式并不重要，重要的是并不重要，重要的是 | | x n - - a | | N 時，時，不等式不等式 | xn a | N 時，時，| xn 1| 0, 正整數(shù)正整數(shù) N，當，當n N 時，時，| xn a | N 時, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的極限為0 .1nq第27頁/共34頁axnn lim 欲證欲證a. 分析過程：分析過程：關(guān)鍵找關(guān)鍵找 N ! 從最后的結(jié)論不等式從最后的結(jié)論不等式 | xn a | 0, 正整數(shù)正整數(shù) N