數(shù)列的極限98147PPT學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)列的極限數(shù)列的極限98147 極限概念是由求某些實(shí)際問題的精確解而極限概念是由求某些實(shí)際問題的精確解而產(chǎn)生的。正是由于極限的概念，建立了有限與產(chǎn)生的。正是由于極限的概念，建立了有限與無限、變與不變的聯(lián)系。由極限概念產(chǎn)生的極無限、變與不變的聯(lián)系。由極限概念產(chǎn)生的極限理論則構(gòu)成了微積分的基礎(chǔ)，而微積分的創(chuàng)限理論則構(gòu)成了微積分的基礎(chǔ)，而微積分的創(chuàng)立不僅完成了常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的跨越，同立不僅完成了常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的跨越，同時(shí)也開啟了現(xiàn)代數(shù)學(xué)之門。時(shí)也開啟了現(xiàn)代數(shù)學(xué)之門。 只有掌握極限理論才能深入的解釋和理解只有掌握極限理論才能深入的解釋和理解微積分理論乃至現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和方法。微積分理論乃至現(xiàn)代

2、數(shù)學(xué)的思想和方法。 第1頁(yè)/共34頁(yè)如，如， ,)1( , ,43 ,34 ,21 , 2 ,)1( 1 1 1 1 ,2 , ,16 , 8 , 4 , 211nnnnn ，2n)1(1 n nnn 1)1(1. 數(shù)列的定義數(shù)列的定義 若按照某法則，對(duì)每一個(gè)若按照某法則，對(duì)每一個(gè)n N+，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) xn，則序列，則序列 x1, x2, , xn , 就叫做數(shù)列，簡(jiǎn)就叫做數(shù)列，簡(jiǎn)記為數(shù)列記為數(shù)列 xn .第2頁(yè)/共34頁(yè)幾何上，數(shù)列可看作是數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡幾何上，數(shù)列可看作是數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡. ,) 1( , 65 ,56 ,43 ,34 ,21 ,

3、21nnn )1( 1nnn 數(shù)列數(shù)列0212134435665第3頁(yè)/共34頁(yè) 對(duì)于對(duì)于數(shù)列數(shù)列 xn ，若存在，若存在 M 0, 使得對(duì)數(shù)列中所使得對(duì)數(shù)列中所有的項(xiàng)有的項(xiàng) xn 都成立都成立 | xn | M , 則稱數(shù)列則稱數(shù)列 xn 有界，若有界，若這樣的這樣的 M 不存在，則稱數(shù)列不存在，則稱數(shù)列 xn 無界無界.第4頁(yè)/共34頁(yè) (1) “截杖說截杖說”（莊子）（莊子） 一尺之棰，日取其半，萬世不竭。一尺之棰，日取其半，萬世不竭。第一天剩下第一天剩下1/2， 第二天剩下第二天剩下1/4，第三天剩下，第三天剩下1/8，第第n 天剩下天剩下1/2n, ,21 , ,81 ,41 ,21

4、n顯然顯然, 該數(shù)列中的項(xiàng)隨著該數(shù)列中的項(xiàng)隨著n 的增大的增大越來越接近越來越接近 0.所以，所余杖棰長(zhǎng)度組成數(shù)列所以，所余杖棰長(zhǎng)度組成數(shù)列第5頁(yè)/共34頁(yè)正正24邊形邊形割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。割，則與圓合體而無所失矣。正正6邊形邊形1A正正12邊形邊形2A面積，面積，無限接近無限接近圓面積圓面積 .而且隨著而且隨著 n 的無限增大，多邊形的面積的無限增大，多邊形的面積 An 將將基本思想是用內(nèi)接正基本思想是用內(nèi)接正126 n邊形的面積邊形的面積 An 來近似圓來近似圓第6頁(yè)/共34頁(yè) 前面兩個(gè)古代事例都有一個(gè)

5、共同點(diǎn)就是出現(xiàn)了前面兩個(gè)古代事例都有一個(gè)共同點(diǎn)就是出現(xiàn)了“無無限接近限接近”這個(gè)思想，這正是極限概念的原始面貌。極這個(gè)思想，這正是極限概念的原始面貌。極限概念是由于求某些問題的精確答案而產(chǎn)生的。杖棰限概念是由于求某些問題的精確答案而產(chǎn)生的。杖棰問題和割圓術(shù)使用的都是極限論的方法。第一個(gè)是杖問題和割圓術(shù)使用的都是極限論的方法。第一個(gè)是杖棰剩余問題，棰剩余問題， 看作一系列變化著的剩余趨向于一個(gè)確看作一系列變化著的剩余趨向于一個(gè)確定量的問題。而第二個(gè)則是把一個(gè)固定不變的量看作定量的問題。而第二個(gè)則是把一個(gè)固定不變的量看作是一系列變化著的多邊形面積的趨向，從而確定出面是一系列變化著的多邊形面積的趨向

6、，從而確定出面積的大小。積的大小。 第7頁(yè)/共34頁(yè) 無論是杖棰的剩余長(zhǎng)度，還是正多邊形無論是杖棰的剩余長(zhǎng)度，還是正多邊形的面積的面積 ，都可以看作是關(guān)于，都可以看作是關(guān)于 n 的一個(gè)數(shù)列的一個(gè)數(shù)列 xn ，而這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)隨著，而這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)隨著 n 增加產(chǎn)生一增加產(chǎn)生一個(gè)什么樣的變化過程則是大家最關(guān)心的，極個(gè)什么樣的變化過程則是大家最關(guān)心的，極限就是討論這一類問題的數(shù)學(xué)模型。限就是討論這一類問題的數(shù)學(xué)模型。第8頁(yè)/共34頁(yè) 圓的內(nèi)接正多邊形面積構(gòu)成一列有序數(shù)圓的內(nèi)接正多邊形面積構(gòu)成一列有序數(shù)( 數(shù)列數(shù)列 ) ) A1 , , A 2, , A 3, , , A n , . . 這一數(shù)列中

7、的各項(xiàng)這一數(shù)列中的各項(xiàng) A n 雖都不是圓面積雖都不是圓面積 A，但具有，但具有如下特點(diǎn)：如下特點(diǎn)： 當(dāng)當(dāng) n 越大時(shí)，越大時(shí)，A n 作為圓面積的作為圓面積的 A 近似值就越精確，近似值就越精確，但不論但不論 n 取得如何大，只要取定了取得如何大，只要取定了n ，A n 終究只是終究只是 A 的的具有某種精確度的近似值而非精確值。為求具有某種精確度的近似值而非精確值。為求 A 的精確值的精確值只有讓只有讓 n 無限增大，而當(dāng)無限增大，而當(dāng) n 時(shí)，就有時(shí)，就有 A n A . .第9頁(yè)/共34頁(yè) 對(duì)于一般的數(shù)列對(duì)于一般的數(shù)列 x n ，總會(huì)出現(xiàn)兩種情形：，總會(huì)出現(xiàn)兩種情形： 當(dāng)當(dāng) n 時(shí)，時(shí)

8、，x n a ， 當(dāng)當(dāng) n 時(shí)，時(shí)，x n 不趨于任何確定的數(shù)。不趨于任何確定的數(shù)。 例如：例如： 1 0 2nnnx . . 1 113 2nnnnxa . . 1 1nnnxn . . sin nnxna . .第10頁(yè)/共34頁(yè) 設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列 x n ，如果當(dāng)，如果當(dāng) n 無限增大時(shí)，無限增大時(shí)，x n 無限接無限接近于一個(gè)常數(shù)近于一個(gè)常數(shù) a，則稱當(dāng)，則稱當(dāng) n 無限增大時(shí)，數(shù)列無限增大時(shí)，數(shù)列 x n 的極的極限為限為 a 或數(shù)列或數(shù)列 x n 收斂于收斂于 a ，常數(shù)，常數(shù) a 稱為數(shù)列稱為數(shù)列 x n 的的極限，記作極限，記作 或或 x n a , ,( n ). . 如果當(dāng)

9、如果當(dāng) n 無限增大時(shí)，無限增大時(shí)，x n 不趨向不趨向于任何常數(shù)，就稱數(shù)列于任何常數(shù)，就稱數(shù)列 x n 的極限不的極限不存在或數(shù)列發(fā)散。存在或數(shù)列發(fā)散。 limnnxa第11頁(yè)/共34頁(yè)例例：試由定義判別下列數(shù)列的斂散性：試由定義判別下列數(shù)列的斂散性由定義判別數(shù)列的斂散性一般是通過觀察法考察給由定義判別數(shù)列的斂散性一般是通過觀察法考察給定數(shù)列的通項(xiàng)是否趨向于一個(gè)確定常數(shù)。定數(shù)列的通項(xiàng)是否趨向于一個(gè)確定常數(shù)。 因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) n 時(shí)，時(shí)， ，故該數(shù)列收斂，且極，故該數(shù)列收斂，且極限為限為 0 . . 11111 312122nnnn, . . 1 12n. .102n第12頁(yè)/共34頁(yè) 逐項(xiàng)寫出

10、該逐項(xiàng)寫出該數(shù)列各項(xiàng)有數(shù)列各項(xiàng)有 1 ,-,-1 , , ,(-1-1)n- -1 ,， 易見當(dāng)易見當(dāng) n 時(shí)，時(shí)，x n 始終在始終在 1 和和 - -1 之間交替取值之間交替取值, ,它它不可能趨于一個(gè)確定數(shù)，故該數(shù)列發(fā)散。不可能趨于一個(gè)確定數(shù)，故該數(shù)列發(fā)散。 逐項(xiàng)寫出該數(shù)列各項(xiàng)有逐項(xiàng)寫出該數(shù)列各項(xiàng)有 可見當(dāng)可見當(dāng) n 時(shí)，時(shí)，x n 趨于趨于 0 ，故該數(shù)列收斂，其，故該數(shù)列收斂，其極限為極限為 0 . . 1 21n. . 111 32nn . . 11111 000 0345n , , , ,第13頁(yè)/共34頁(yè) 微積分發(fā)展初期，人們往往從實(shí)際出發(fā)考慮問題，微積分發(fā)展初期，人們往往從實(shí)

11、際出發(fā)考慮問題，不太注重基礎(chǔ)理論。隨著研究的深入和應(yīng)用的廣泛，出不太注重基礎(chǔ)理論。隨著研究的深入和應(yīng)用的廣泛，出現(xiàn)了越來越多的含混和悖論，使得數(shù)學(xué)的發(fā)展又一次遇現(xiàn)了越來越多的含混和悖論，使得數(shù)學(xué)的發(fā)展又一次遇到令人不安的危機(jī)，產(chǎn)生這種危機(jī)的根本原因是極限理到令人不安的危機(jī)，產(chǎn)生這種危機(jī)的根本原因是極限理論問題。于是科學(xué)家們?cè)谕瓿闪宋⒎e分基本理論后，又論問題。于是科學(xué)家們?cè)谕瓿闪宋⒎e分基本理論后，又回過頭來重新構(gòu)建微積分基礎(chǔ)。通過一回過頭來重新構(gòu)建微積分基礎(chǔ)。通過一大批優(yōu)秀科學(xué)家近一個(gè)世紀(jì)的努力，大批優(yōu)秀科學(xué)家近一個(gè)世紀(jì)的努力，終于建立了微積分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)幕A(chǔ)，終于建立了微積分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)幕A(chǔ)，其核心就是今

12、天的極限理論。其核心就是今天的極限理論。 第14頁(yè)/共34頁(yè) 什么叫做什么叫做 x n無限接近于一個(gè)常數(shù)無限接近于一個(gè)常數(shù) a ？什么叫做什么叫做 n無限增大？無限增大？ n 10000，n 10 100 可否稱作可否稱作 n 無限增大無限增大？如果不如果不能，能，n 變化到什么樣的值才能稱為變化到什么樣的值才能稱為 n 無限增大無限增大？第15頁(yè)/共34頁(yè) 這一問題看似簡(jiǎn)單，但卻是一個(gè)相當(dāng)困難的問題，這一問題看似簡(jiǎn)單，但卻是一個(gè)相當(dāng)困難的問題，它曾困擾了許多數(shù)學(xué)家，最后才由法國(guó)大數(shù)學(xué)家柯西部它曾困擾了許多數(shù)學(xué)家，最后才由法國(guó)大數(shù)學(xué)家柯西部分地解決了。這一問題的解決過程可分解為兩個(gè)步驟分地解決

13、了。這一問題的解決過程可分解為兩個(gè)步驟： 第一步，如何定量表示第一步，如何定量表示 x n 與與 a 的接近程度的接近程度？ 從幾何上看，從幾何上看，x n 與與 a 均對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的點(diǎn)，要表示均對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的點(diǎn)，要表示兩點(diǎn)兩點(diǎn) x n 與與 a 的的接近程度可通過二者接近程度可通過二者之間距離的大小來表示，即通過之間距離的大小來表示，即通過| | x n - - a | |的大小來表示。的大小來表示。 因此，因此， x n a 的意義就是的意義就是 | | x n - - a | | 可任意地小?？扇我獾匦?。第16頁(yè)/共34頁(yè) 第二步，如何表示第二步，如何表示| | x n - - a |

14、| 可任意地小可任意地小？ x n 與與 a 的的接近程度可用接近程度可用不等式不等式 | | x n - - a | | l 來表。來表。l 很小可表示很小可表示 x n 與與 a 很很接近，然而，任何確定的很小的接近，然而，任何確定的很小的數(shù)數(shù) l 均不能表示均不能表示| | x n - - a | | 可任意地小。可任意地小。 由于可任意小的由于可任意小的具體數(shù)是不存在的，因此只有人為具體數(shù)是不存在的，因此只有人為地建立這樣一種地建立這樣一種“數(shù)數(shù)”的概念，數(shù)學(xué)家柯西設(shè)想出了這的概念，數(shù)學(xué)家柯西設(shè)想出了這樣一種數(shù)，并用樣一種數(shù)，并用 表示。表示。 表示可任意賦值的數(shù)，而一表示可任意賦值的

15、數(shù)，而一旦賦于旦賦于 為某具體值，它就是通常為某具體值，它就是通常的實(shí)數(shù)。于是的實(shí)數(shù)。于是 x n - - a 可任意地小可任意地小可表示為：對(duì)預(yù)先給定的可任意可表示為：對(duì)預(yù)先給定的可任意小的正數(shù)小的正數(shù) 有有 x n - - a .第17頁(yè)/共34頁(yè) 柯西給出的表示法不能完全表示極限柯西給出的表示法不能完全表示極限 x n a . 因?yàn)橐驗(yàn)閨 x n - - a | 只是表示了只是表示了 x n 與與 a 可任意接近的狀態(tài)，但還可任意接近的狀態(tài)，但還不足以表達(dá)不足以表達(dá) x n a 的過程。的過程。 這一過程顯然和這一過程顯然和 x n 的的下標(biāo)下標(biāo) n 的變化的變化有關(guān)。有關(guān)。x n a

16、的過程是在的過程是在 n 的過程的過程中逐步實(shí)現(xiàn)的，即中逐步實(shí)現(xiàn)的，即| | x n - - a | | N 時(shí)有時(shí)有 | x n - - a | 成立成立。第18頁(yè)/共34頁(yè) 另一方面，表示另一方面，表示 n 增大程度的具體值增大程度的具體值 N 又和預(yù)先給又和預(yù)先給定的定的 的的大小有關(guān)。一般而言，若大小有關(guān)。一般而言，若 取值較大，取值較大，x n 的下的下標(biāo)不需要變化到很大就可有標(biāo)不需要變化到很大就可有 | | x n - - a | | 成立，相應(yīng)成立，相應(yīng) N就較小。而就較小。而若若 取值較小，則取值較小，則 x n 的下標(biāo)需要變化到足的下標(biāo)需要變化到足夠大，才可有夠大，才可有 |

17、 | x n - - a | | 成立，于是成立，于是 N 就較大。就較大。 綜合考察，綜合考察，N 對(duì)對(duì) 有某種依賴關(guān)系，有某種依賴關(guān)系，即即 N = N( ). . 為說明為說明 x n a 這一事實(shí)這一事實(shí)，N 對(duì)對(duì) 的依賴關(guān)系的依賴關(guān)系 N = N( )的具體形式的具體形式并不重要，重要的是并不重要，重要的是 | | x n - - a | | N 時(shí)，時(shí)，不等式不等式 | xn a | N 時(shí)，時(shí)，| xn 1| 0, 正整數(shù)正整數(shù) N，當(dāng)，當(dāng)n N 時(shí)，時(shí)，| xn a | N 時(shí), 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的極限為0 .1nq第27頁(yè)/共34頁(yè)axnn lim 欲證欲證a. 分析過程：分析過程：關(guān)鍵找關(guān)鍵找 N ! 從最后的結(jié)論不等式從最后的結(jié)論不等式 | xn a | 0, 正整數(shù)正整數(shù) N