極限的概念說課稿

1、極限的概念極限的概念 許聰聰高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)之之 授課部分授課部分2流程流程 說課部分說課部分1教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn) 地位作用地位作用 學(xué)生情況學(xué)生情況 教學(xué)方法教學(xué)方法 設(shè)計思路設(shè)計思路引入引入 極限思想極限思想 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 極限的應(yīng)用極限的應(yīng)用一、說課一、說課理解數(shù)列極限及函數(shù)極限的概念及理解數(shù)列極限及函數(shù)極限的概念及思想，并判斷簡單函數(shù)的極限思想，并判斷簡單函數(shù)的極限 高度概括能力高度概括能力 抽象思維能力抽象思維能力用極限及辯證的思維模式去思考用極限及辯證的思維模式去思考問題、分析問題、解決問題問題、分析問題、解決問題一、

2、說課一、說課 數(shù)列極數(shù)列極限的概念及求法限的概念及求法 函數(shù)極限的概念及判斷函數(shù)極限的概念及判斷 數(shù)列極限概念的理解數(shù)列極限概念的理解 函數(shù)極限概念的理解與判斷函數(shù)極限概念的理解與判斷 教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)一、說課一、說課 定積定積分分極限極限連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)無窮無窮級數(shù)級數(shù)不定積不定積分分微分方程微分方程一元一元函數(shù)函數(shù)多元多元函數(shù)函數(shù)一、說課一、說課一、說課一、說課學(xué)生情況學(xué)生情況高中階段接觸過極限的概念高中階段接觸過極限的概念只能對最簡單的數(shù)列進(jìn)行判斷只能對最簡單的數(shù)列進(jìn)行判斷只能對最簡單的函數(shù)進(jìn)行計算只能對最簡單的函數(shù)進(jìn)行計算對極限思想的理解不夠?qū)O限思想的理解不夠 教學(xué)內(nèi)

3、容教學(xué)內(nèi)容教法教法問題問題驅(qū)動法驅(qū)動法對比對比講授講授討論討論啟發(fā)啟發(fā)一、說課一、說課數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)1 1信息化方式引入數(shù)學(xué)教學(xué)信息化方式引入數(shù)學(xué)教學(xué)3 3.4 4數(shù)學(xué)建模思想滲入數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)建模思想滲入數(shù)學(xué)教學(xué)一、說課一、說課數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué) 2 2一、說課一、說課數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)應(yīng)用篇數(shù)學(xué)應(yīng)用篇數(shù)學(xué)文化篇數(shù)學(xué)文化篇文化價值文化價值科學(xué)價值科學(xué)價值應(yīng)用價值應(yīng)用價值藝術(shù)價值藝術(shù)價值數(shù)學(xué)的素質(zhì)教育數(shù)學(xué)的素質(zhì)教育導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課1數(shù)學(xué)文化篇數(shù)學(xué)文化篇2數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3數(shù)學(xué)應(yīng)用篇數(shù)學(xué)應(yīng)用篇4一、說課一、說課二、授課二、授課請思考這兩句詩的意

4、境！導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課1劉徽劉徽(約約225 295年年) 我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家。他撰寫我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家。他撰寫重差重差對對九章算術(shù)九章算術(shù)中的方法和公式作了全面中的方法和公式作了全面的評注，指出并糾正了其中的錯誤，在數(shù)學(xué)方法的評注，指出并糾正了其中的錯誤，在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn)和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn) 。他的。他的 “ 割圓割圓術(shù)術(shù) ” 求圓周率求圓周率 的方法的方法 ：它包含了它包含了數(shù)學(xué)文化篇數(shù)學(xué)文化篇2二、授課二、授課“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不割，割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不割，則與圓周合體而無所失矣則與圓周合體而無所失矣”

5、“用已知逼近未知用已知逼近未知 , , 用近似逼近精確用近似逼近精確”的重要極限思想的重要極限思想“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽數(shù)學(xué)文化篇數(shù)學(xué)文化篇2二、授課二、授課R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 邊形的面積邊形的面積126 nnA,321nAAAAS數(shù)學(xué)文化篇數(shù)學(xué)文化篇2二、授課二、授課2 2、截丈問題：、截丈問題：11;2X 221;2X 1;2nnX 12nnX 0數(shù)學(xué)文化篇數(shù)學(xué)文化篇2二、授課二、

6、授課莊子莊子. .天下篇天下篇第一天截完后所剩杖的長度為第一天截完后所剩杖的長度為第二天截完后所剩杖的長度為第二天截完后所剩杖的長度為第第n天截完后所剩杖的長度為天截完后所剩杖的長度為按一定次序排列的一列數(shù)按一定次序排列的一列數(shù),21nxxx這一列有序的數(shù)就叫這一列有序的數(shù)就叫數(shù)列數(shù)列.記為記為 .nx其中的每個數(shù)稱其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)為數(shù)列的項(xiàng), ,nx稱為稱為通項(xiàng)通項(xiàng)( (一般項(xiàng)一般項(xiàng)).).數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3（一）數(shù)列的極限一）數(shù)列的極限二、授課二、授課 定義定義1 1 簡潔美簡潔美對于數(shù)列對于數(shù)列 ，否則稱該數(shù)列否則稱該數(shù)列發(fā)散發(fā)散 nununulimnnuA()nuA n定義

7、定義2 2如果當(dāng)如果當(dāng)n n無限增大時，無限增大時，無限無限接近于某個確定的常數(shù)接近于某個確定的常數(shù)A，則稱則稱A為數(shù)列為數(shù)列或稱數(shù)列或稱數(shù)列收斂收斂于于A,A, 記為記為或或的的極限，極限，數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3二、授課二、授課1.1.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn 例例1 1 觀察下列數(shù)列的極限觀察下列數(shù)列的極限：注：注：2.2.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列. .可看作一動點(diǎn)在數(shù)軸可看作一動點(diǎn)在數(shù)軸.,21nxxx;1nn（1）123,2341nn；4x3x1x01nx2x45233412lim11nnn所以所以收斂于收斂于1 1上依次取上依次取數(shù)學(xué)理論篇數(shù)

8、學(xué)理論篇3二、授課二、授課2 , 4 ,8 , 2 ,;n11,1,1,( 1),;n（4）lim2 =nn所以所以1) 1(nnx所以所以發(fā)散發(fā)散（2）01x22x43x84x16011趨勢不定，趨勢不定，發(fā)散發(fā)散 2;n1( 1)n；（3）;1n;,1,31,21, 1n1x01nx122x133x1lim=0nn所以所以收斂于收斂于1 1播放播放數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3二、授課二、授課1( 1)lim1 nnnn收斂于收斂于1 1。1( 1);nnn 1143( 1)2 ,;234nnn （5）趨勢不直觀，趨勢不直觀，觀察下面動畫觀察下面動畫數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3二、授課二、授課;1nn（

9、1）（2） 2;n（4）1( 1)n；1( 1);nnn （5）單調(diào)增加趨近于單調(diào)增加趨近于1 1單調(diào)增加但無極限單調(diào)增加但無極限擺動無極限擺動無極限左右擺動趨近于左右擺動趨近于1收收斂斂單調(diào)增加收斂單調(diào)增加收斂單調(diào)減少收斂單調(diào)減少收斂左右擺動收斂左右擺動收斂發(fā)發(fā)散散無窮發(fā)散無窮發(fā)散擺動發(fā)散擺動發(fā)散單調(diào)數(shù)列不一定有單調(diào)數(shù)列不一定有極限極限擺動不一定擺動不一定發(fā)散發(fā)散（1）（5）（3）（4）（2）（3）;1n單調(diào)增加趨近于單調(diào)增加趨近于0 0引例引例 考察函數(shù)考察函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 無限增大時的變化趨勢。無限增大時的變化趨勢。 1yx數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3二、授課二、授課（二）函數(shù)的極限二）函數(shù)的極限(

10、 )nuf n( )yf x把數(shù)列推廣到一般函數(shù)把數(shù)列推廣到一般函數(shù)1. 自變量趨向無窮時函數(shù)的極限自變量趨向無窮時函數(shù)的極限xxOxy1 y由高中知識可知，由高中知識可知，01limxx注意到注意到01limxx，此時，此時，1lim0 xxnn1lim。定義定義可看作可看作的推廣。的推廣。與數(shù)列極限定義對比可得與數(shù)列極限定義對比可得y=A為函數(shù)為函數(shù) f(x) 的水平漸近線。的水平漸近線。定義定義3 3: : 如果當(dāng)如果當(dāng)x的絕對值無限增大時的絕對值無限增大時, ,)(xf函數(shù)函數(shù)無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù),A則稱常數(shù)則稱常數(shù)A為為函數(shù)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) x時的極限時的極限, , 記作記作

11、Axfx )(limAxfx )(lim或或).()( xAxf如果在上述定義中如果在上述定義中, ,限制限制x只取正值或者只取負(fù)值只取正值或者只取負(fù)值, ,即有即有或或,)(limAxfx 則稱常數(shù)則稱常數(shù)A為為函數(shù)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)x 或或時的極限時的極限.數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3二、授課二、授課x注意到注意到 x意味著同時考慮意味著同時考慮 x與與, x可以得到下面的定理可以得到下面的定理: : 所以極限所以極限二、授課二、授課數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3.arctanlim,arctanlim,arctanlimxxxnnn及l(fā)im arctan2xx ,arctanlimarctanlimxx

12、nnxxarctanlim例例 2 2 討論極限討論極限解解由于由于不存在不存在. .Oxy22lim arctan2xx定理定理1 1 極限極限Axfx )(lim的充分必要條件是的充分必要條件是lim( )lim( ).xxf xf xA對稱美對稱美極限與有無極限與有無定義無關(guān)定義無關(guān) 圖圖O1-1(1,2)xyf(x)=x+1圖圖2 2O1-1(1,2)xyf(x)=x+12. 自變量趨向有限值時函數(shù)的極限自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、授課二、授課數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇311lim( )lim(1)xxf xx22111lim ( )lim1xxxg xx以及函數(shù)以及函數(shù) 的變化趨勢？的

13、變化趨勢？21( )1xg xx1lim(1)2xx引例引例 討論當(dāng)討論當(dāng)1x ( )1f xx時，時，的變化趨勢，的變化趨勢，函數(shù)函數(shù)二、授課二、授課數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3定義定義4 4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義定義. . 如果當(dāng)如果當(dāng))(00 xxxx 時時, ,函數(shù)函數(shù))(xf無限接無限接近于常數(shù)近于常數(shù),A則稱常數(shù)則稱常數(shù)A為為函數(shù)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時的極限時的極限. .記作記作Axfxx )(lim0或或).)()(0 xxAxf函數(shù)函數(shù))(xf從左側(cè)從左側(cè)( (或右側(cè)或右側(cè)) )趨于趨于當(dāng)自變量當(dāng)自變量x0 x時時, ,趨于

14、常數(shù)趨于常數(shù)A, ,則稱則稱A為為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處的處的左極限左極限( (或或右極限右極限),), 記為記為Axfxx )(lim0或或Axfxx )(lim0二、授課二、授課數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3OyxA)(xfOyxA)(xf注意到注意到0 xx 意味著同時考慮意味著同時考慮 0 xx與與,0 xx可以得到下面的定理可以得到下面的定理: :定理定理2 2極限極限Axfxx )(lim0的充分必要條件為的充分必要條件為00lim( )lim( ).xxxxf xf xA0 xx 0 xx例例3.3. e , 1 ( )0, 1 1, 1xxf xxx x解解 從右圖易見，從右圖易見，

15、1。e2)(xfx)(lim1xfx xxelim1 e )(lim1xfx )1( lim1 xx2 顯然顯然 e 2 , 從而從而 )(lim)(lim11xfxfxx 故函數(shù)故函數(shù) f (x) 當(dāng)當(dāng) x 1 時極限不存在。時極限不存在。1x 討論函數(shù)討論函數(shù)當(dāng)當(dāng)時，極限時，極限是否存在？是否存在？數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3二、授課二、授課。yO可以借助圖像去觀可以借助圖像去觀察，但不要過分依賴圖像察，但不要過分依賴圖像極限極限無限接近無限接近無限接近無限接近數(shù)列數(shù)列函數(shù)函數(shù)n0 xx0 xxAunx0 xxxxAxf)(Axf)(Axf)(Axf)(Axf)(Axf)(數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3

16、二、授課二、授課無無窮窮點(diǎn)點(diǎn)量量變變到到質(zhì)質(zhì)變變統(tǒng)統(tǒng)一一美美數(shù)學(xué)應(yīng)用篇數(shù)學(xué)應(yīng)用篇4 有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以后每月生產(chǎn)一對小兔。而所生小兔下小兔一對，以后每月生產(chǎn)一對小兔。而所生小兔亦在第二個月成年，第三個月生產(chǎn)另一對小兔，以亦在第二個月成年，第三個月生產(chǎn)另一對小兔，以后亦每月生產(chǎn)小兔一對，試問一年后共有小兔幾對？后亦每月生產(chǎn)小兔一對，試問一年后共有小兔幾對？以后每月的增長速度怎么樣？以后每月的增長速度怎么樣？二、授課二、授課1 提出問題提出問題問題假設(shè)問題假設(shè)1 1 假定每產(chǎn)一對小兔必一雌一雄；假定每產(chǎn)一對小兔必一雌一

17、雄；2 2 均無死亡。均無死亡。1.1.問題假設(shè)是建立問題假設(shè)是建立 模型的模型的關(guān)鍵；關(guān)鍵；2.2.注意假設(shè)的注意假設(shè)的合理性。合理性。1月月 12月月 23月月 34月月 55月月 86月月 13成兔成兔仔兔仔兔數(shù)學(xué)應(yīng)用篇數(shù)學(xué)應(yīng)用篇4二、授課二、授課觀察一下數(shù)列之間有什么樣的關(guān)系？觀察一下數(shù)列之間有什么樣的關(guān)系？目前目前 12 分析問題分析問題Fibonacci數(shù)列數(shù)列 1，1，2，3，5，8，13，寫出數(shù)列寫出數(shù)列數(shù)學(xué)應(yīng)用篇數(shù)學(xué)應(yīng)用篇4二、授課二、授課)., 2, 1, 0(12nFFFnnn遞推關(guān)系：遞推關(guān)系：3 解決問題解決問題89，通項(xiàng)：通項(xiàng)：1125125151nnnF一年后兔子

18、共一年后兔子共有兔子有兔子233233對對21， 34，55，233144，數(shù)學(xué)應(yīng)用篇數(shù)學(xué)應(yīng)用篇4二、授課二、授課1limnnnFF多年后成年兔子與多年后成年兔子與仔兔數(shù)量均以每月仔兔數(shù)量均以每月61.8%61.8%速度增長速度增長與與Fibonacci 數(shù)列緊密相關(guān)的一個重要極限數(shù)列緊密相關(guān)的一個重要極限黃金分割黃金分割4 問題升華問題升華（2 2）證券投資的艾略特）證券投資的艾略特“波浪理論波浪理論”（1 1）樹的分枝）樹的分枝 510.6182內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.1. 數(shù)列極限的概念及簡單計算數(shù)列極限的概念及簡單計算2. 2. 函數(shù)極限，左、右極限概念及判定函數(shù)極限，左、右極限概念及判定

19、思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 若極限若極限)(lim0 xfxx存在存在,)()(lim00 xfxfxx 課后作業(yè)課后作業(yè) 是否一定有是否一定有二、授課二、授課 P47 10 ; 11 2. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf且且)(lim1xfx存在存在, 則則. a1, 121,2xxxxa31 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽二、授課二、授課數(shù)學(xué)文化篇數(shù)學(xué)文化篇2“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合

20、體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽數(shù)學(xué)文化篇數(shù)學(xué)文化篇2二、授課二、授課“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽數(shù)學(xué)文化篇數(shù)學(xué)文化篇2二、授課二、授課“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽數(shù)學(xué)文化篇數(shù)學(xué)文化篇2二、授課二、授課“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，

21、則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽數(shù)學(xué)文化篇數(shù)學(xué)文化篇2二、授課二、授課“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽數(shù)學(xué)文化篇數(shù)學(xué)文化篇2二、授課二、授課“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽數(shù)學(xué)文化篇數(shù)學(xué)文化篇2二、授課二、授課“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽數(shù)學(xué)文化篇數(shù)學(xué)文化篇2二、授課二、授課.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3二、授課二、授課.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3二、授課二、授課.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)理論篇3二、授課二、授課.