數(shù)學(xué)振動(dòng)理論基礎(chǔ)PPT學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)振動(dòng)理論基礎(chǔ)數(shù)學(xué)振動(dòng)理論基礎(chǔ)振動(dòng)：是物體在其平衡位置附近所做的來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)，描述最基本參數(shù)是頻率和加速度。第1頁(yè)/共79頁(yè)阻尼：阻礙物體振動(dòng)的因素，如空氣的阻力，材料的內(nèi)阻，物體之間的摩擦等。第2頁(yè)/共79頁(yè)自激振動(dòng)按輸出規(guī)律分周期振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)第3頁(yè)/共79頁(yè)第4頁(yè)/共79頁(yè)自由振動(dòng)具有周期性。從某一位置開始運(yùn)動(dòng)，總是在一個(gè)固定的時(shí)間 內(nèi)回到開始位置，這一時(shí)間 叫做振動(dòng)的周期，單位為秒。為了描述振動(dòng)的快慢程度，引入振動(dòng)的頻率 f ，它定義為單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)，單位為赫茲（Hz）。頻率 f 和周期 互為倒數(shù)，即：TTT1fT第5頁(yè)/共79頁(yè)stmgk運(yùn)動(dòng)方程的建立考慮到得：stmgkFkx

2、mg 由圖（d ）可知，質(zhì)量塊受到的合力為：第6頁(yè)/共79頁(yè)kmgststx mgkxFkkxFst力學(xué)模型設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為L(zhǎng)0，彈簧靜 變形第7頁(yè)/共79頁(yè)0, 0,2222xxxxkxxmdtxdmmaFkxmgFFmkmk 設(shè)由牛頓第二定理得：第8頁(yè)/共79頁(yè)002)0(,)0(00vxxxtxx 時(shí)，初始位移和速度002)0(,)0(0vxxxxx )cos()sin()(00txttxv)arctan(,)sin(),cos(002022000vxxvAAxAv可得令)sin()(tAtx 位移方程的求解第9頁(yè)/共79頁(yè)km因?yàn)樗?，周期?2mTk頻率為12kfm第10頁(yè)/共79頁(yè)

3、tAtVcos tAtasin2第11頁(yè)/共79頁(yè)km100000100/10krad sm15.922f第12頁(yè)/共79頁(yè)2220000.01( )vxAxm00tantan2xacracrv 0.01sin 1002x tt sinx tAt第13頁(yè)/共79頁(yè) 建立運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)量塊m作自由振動(dòng)，在任一瞬時(shí)t，作用在質(zhì)量塊上的力有：重力 mg彈性力 阻力 stFkxRcx 根據(jù)牛頓第二定律，質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為：()stmxFRmgkxcxmgkxcx 第14頁(yè)/共79頁(yè)mxFRmgkxcx 簡(jiǎn)化后得：0kcxxxmm令上式中 ， ，就得到有阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2km2cnm

4、220 xnxx式中： 是質(zhì)量塊彈簧系統(tǒng)的固有圓頻率； n 是衰減系數(shù)，其單位為s-1 第15頁(yè)/共79頁(yè)txe代入上式得：2220n根據(jù)微分方程220 xnxx22nn解方程得 n ，稱為大阻尼。質(zhì)量塊受初干擾離開平衡位置后又緩慢地回到平衡位置，不可能振動(dòng)； n =，稱為臨界阻尼。 n ，稱為小阻尼。質(zhì)量塊系統(tǒng)受干擾產(chǎn)生振動(dòng)。因此我們只討論這種情況 位移方程的求解第16頁(yè)/共79頁(yè)1j ，故22njn 將上式代入 中得：txe22ntjn txee將它按歐拉公式展開，得到兩個(gè)特解：221222cossinntntxen txen t將這兩個(gè)特解線性組合，即得通解為22sinntxAen t第

5、17頁(yè)/共79頁(yè)22sinn txA entntxAentxAe 第18頁(yè)/共79頁(yè)22sinntxAen t衰減振動(dòng)雖然不是真正地周期性運(yùn)動(dòng)，但它仍具有等時(shí)性，因此質(zhì)量塊來(lái)回往復(fù)一次所經(jīng)歷的時(shí)間仍然稱為周期，用 表示1T第19頁(yè)/共79頁(yè)111iintnTin tTiAAedeAAeiA1iA阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響主要表現(xiàn)在振幅。設(shè)相鄰兩次振動(dòng)的振幅分別為 和 ，則前后兩次的振幅比為：d 稱為振幅系數(shù)，由上式得：因?yàn)閐 1 ，所以小阻尼自由振動(dòng)的振幅按幾何級(jí)數(shù)的規(guī)律迅速衰減。12AAd2132AAAdd11iiiAAAdd第20頁(yè)/共79頁(yè)0.052kfm100/krad sm100 0.05

6、5n 220.0631Ts第21頁(yè)/共79頁(yè)20020222202000.01tan63.24nxvAxmnxnnxv1.555 rad由公式 得位移方程為： 22sinntxAen t 50.01sin 99.871.555tx tet0.10.20.30.40.50.6-0.0075-0.005-0.00250.00250.0050.00750.01因?yàn)?， ，所以振幅系數(shù)為： 5n 0.063Ts10.31461.37nTdee1110.05iiAAAd有即要求1209.520.05idi 第22頁(yè)/共79頁(yè)0y0y xystFkkmg 0mk將 代入上式中得當(dāng) t = 0 時(shí)，2km2

7、0 000 xyy 000 xyy得振動(dòng)位移方程為sinAt第23頁(yè)/共79頁(yè)22002yAy00tanyy00sinsinAtAt xy0sinxyyAt由此可見，支座運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，自由振動(dòng)開始時(shí)質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)方向總是與支座激勵(lì)的方向相反。第24頁(yè)/共79頁(yè)0.05第25頁(yè)/共79頁(yè)第26頁(yè)/共79頁(yè)式中：ym 為最大簡(jiǎn)諧激振振幅； p 是簡(jiǎn)諧激振圓頻率。在系統(tǒng)振動(dòng)的任一瞬時(shí)，質(zhì)量塊所受的彈性力為：ststyxkkF1、支座系統(tǒng)的無(wú)阻尼受迫振動(dòng) 建立力學(xué)模型： 運(yùn)動(dòng)方程：設(shè)支座系統(tǒng)作持續(xù)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：根據(jù)牛頓第二定律，質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為：sinmyyptyxkmgkykxm

8、gFmgxm 第27頁(yè)/共79頁(yè)上式的解是由兩部分組成的：式中： x1 為與運(yùn)動(dòng)方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解； x2 為運(yùn)動(dòng)方程的特解。12xxx2km運(yùn)動(dòng)方程的齊次方程是：若加上初始條件，就成為單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程，它的通解就是1sinxAtptyxxmsin22 位移方程的求解第28頁(yè)/共79頁(yè)2sinmxxpt所以運(yùn)動(dòng)微分方程的特解為：根據(jù)實(shí)驗(yàn)知道，系統(tǒng)的響應(yīng)頻率與激振頻率相等。因此設(shè)ptyxxmsin22 ptyptxptxpmmmsinsinsin222222pyxmmptpyptxxmmsinsin2222第29頁(yè)/共79頁(yè)由于x1 是自由振動(dòng)，在實(shí)際情況中會(huì)很快衰減，故穩(wěn)

9、態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的位移方程可寫為：上式表明，系統(tǒng)在外部簡(jiǎn)諧力激勵(lì)作用下的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其頻率與激勵(lì)頻率相同。振幅與系統(tǒng)本身及外部激勵(lì)的性質(zhì)有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)。ptpytAxxxmsinsin22221ptpyxxmsin2222第30頁(yè)/共79頁(yè)222pyxmmp222211pyxmmmmyx211mmyx第31頁(yè)/共79頁(yè)2p 放大系數(shù)中 表示激振頻率與系統(tǒng)固有頻率之比。當(dāng) 時(shí)， ，這種現(xiàn)象叫共振，這時(shí)響應(yīng)加速度也趨于無(wú)窮大，從而振動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)力也趨于無(wú)窮大，所以一般振動(dòng)破壞都發(fā)生在產(chǎn)生共振的時(shí)刻。mpff1 211mmyx第32頁(yè)/共79頁(yè)mxmmymxpaypa22mmmm

10、ymxmyxypxpaa22mmymxmyxvv第33頁(yè)/共79頁(yè)12.252mkfm2.51.112.25mpff214.261 第34頁(yè)/共79頁(yè)2xmmax p2pf4.26 0.010.426xmymaagg mpaxxmm017. 02第35頁(yè)/共79頁(yè)式中： 為外部激勵(lì)的最大振幅； 是外部激勵(lì)的振動(dòng)圓頻率。在系統(tǒng)振動(dòng)的任一瞬時(shí)，物塊所受的彈性力為：質(zhì)量塊所受的阻尼力為： 根據(jù)牛頓第二定律，質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為：化簡(jiǎn)得：sinmyyptRc xy222sin2cosmmxnxxyptnpyptmypststyxkkFyxcyxkRmgFxm 第36頁(yè)/共79頁(yè)242224222ta

11、n2sin4cos4npnpn pn p運(yùn)動(dòng)微分方程就化成：242224sinmxnxxyn ppt第37頁(yè)/共79頁(yè)12xxx4224mbyn ptp 運(yùn)動(dòng)微分方程又可化成：22sinxnxxbp上式的解是由兩部分組成的： 相對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解是：221sinnxAen由于阻尼的影響，上式很快衰減。 是穩(wěn)態(tài)的強(qiáng)迫振動(dòng)的特解，設(shè)其為將其代入式 ，得2sinmxxp22sinxnxxbp1x2x第38頁(yè)/共79頁(yè)22sin2coscossinsincosmmpxpnpxpbpp 22sin2cossinmmpxpnpxpbp sin psinsincossinsincospppp 將其代入本頁(yè)

12、最上面公式中式中化簡(jiǎn)得：22cossin2sincos0mmpxbpnpxbp 第39頁(yè)/共79頁(yè)sin pcos p22cos02sin0mmpxbnpxb 從而求得：222222242tanmbxpn pnpp 第40頁(yè)/共79頁(yè)將式 代入式 ，就得到質(zhì)量塊穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅公式： tp 2sinmxxpsinmxxpt式中： xm 為質(zhì)量塊穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅； 為質(zhì)量塊穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)外部激勵(lì)的相位差。4224mbyn p222224mbxpn p4222222244mmn pxypn p第41頁(yè)/共79頁(yè)242224222tan2sin4cos4npnpn pn p222tannpp 可

13、得到質(zhì)量塊穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的相位差的正切為：3222222tan4nppn ptantan() 代入第42頁(yè)/共79頁(yè)mmxypn2222221414mmxy 為了便于分析，取 為參變量，取為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，繪出一系列不同 的 曲線，就是幅頻特性曲線。第43頁(yè)/共79頁(yè)第44頁(yè)/共79頁(yè)222第45頁(yè)/共79頁(yè)0dd2011 812共振時(shí)的頻率比為：將上式代入幅頻函數(shù)中，就可求得max 。當(dāng) 不是很大時(shí)當(dāng) 很小時(shí)（ 0.15） 時(shí)，可近似取2max1 42max12可見max隨 的增加而減小，所以增加阻尼是降低共振振幅的主要措施。第46頁(yè)/共79頁(yè)pn3222222tan4nppn p32222

14、tan14 根據(jù)上式繪出曲線，稱為相頻特性曲線。在 較小的情況下， 曲線在= 1 時(shí)有突變，這一特征可用于測(cè)試系統(tǒng)的共振頻率。時(shí)， 曲線無(wú)共同的漸近線；在 1的區(qū)間內(nèi)， 值越大，值 越小。第47頁(yè)/共79頁(yè)sinmyypt2sinmyp ypt 2mmyp ysinmxxpt2sinmxp xpt 2mmxp x所以22mmmmmmxp xxyp yy第48頁(yè)/共79頁(yè)0.250.12011 810.952 系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)的激振頻率為當(dāng) 時(shí)，共振時(shí)的放大系數(shù)為028.5mffHz0.252max1 42.242第49頁(yè)/共79頁(yè)max1.79mmxycmmax4mmxycm0.1max152第

15、50頁(yè)/共79頁(yè)222第51頁(yè)/共79頁(yè)0.20.10.250.1mx 第52頁(yè)/共79頁(yè)11111 112stFkxk xm gm g 1211stm gm gk222stm gk222stFkx 21xxx因?yàn)? 122121222122m xk xkkxm xk xk x1 11212222222100m xkkxk xm xk xk xgmxkxkF212222第53頁(yè)/共79頁(yè)111222sinsinxAtxAt212112222122200kkmAk Ak AkmA211212222220AkkmkAkkm2121222220kkmkkkm第54頁(yè)/共79頁(yè)222121212122

16、2222220kkmkkkmkmkkkkm 得4212212121120kkkk kmmmm m解上式得221221221212112112142kkkkkkk kmmmmmmm m由上式可以看出：系統(tǒng)的固有頻率完全取決于系統(tǒng)的彈性和慣性，與初干擾無(wú)關(guān)，因此系統(tǒng)有兩個(gè)固有頻率 、 ；設(shè) ，所以稱 為第一固有頻率， 為第二固有頻率。1n1n2n2n12nn第55頁(yè)/共79頁(yè)212112222122200kkmAk Ak AkmA21222221212AkkmAkkmk1n2n 12221121211211222222212222121222nnnnkmAkrkkmkAkmAkrkkmkA1r2r

17、第56頁(yè)/共79頁(yè)1r2r1n2n2n1n1r2r系統(tǒng)的振幅與初相位兩個(gè)主振型是方程組 的兩個(gè)特解，其組合就是通解，所以得111222sinsinxAtxAt 222211122222111111sinsinsinsintAtAxtAtAxnnnn第57頁(yè)/共79頁(yè) 2222211121222212111111coscoscoscostAtAxtAtAxnnnnnnnn101101xxxx 202202xxxx 2022221121210221211111coscoscoscosxAAxxAAxnnnn 202221122102211111sinsinsinsinxAAxxAAx第58頁(yè)/共7

18、9頁(yè) 2221212111AArAAr二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：二自由度系統(tǒng)有兩個(gè)固有頻率，每個(gè)固有頻率都對(duì)應(yīng)有一個(gè)主振型，每個(gè)主振型都有確定的振幅比；一般情況下，系統(tǒng)的自由振動(dòng)是兩個(gè)不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，疊加后就不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，也不是周期運(yùn)動(dòng)。第59頁(yè)/共79頁(yè)101xx 02x 2222249321mkmkmkmkmknn618. 2382. 02221120.6181.618nnkmkm618. 1618. 2212618. 0382. 0212222211nnmkkrmkkr 1211618. 0AA 2221618. 1AA所以得第60頁(yè)/共79頁(yè) 0sinsin0sinsin2

19、22112221111AAAA 0coscoscoscos222211211022121111AAxAAnnnn將前面求得的參數(shù)代入上面的方程組中，得 kmxAkmxA1021101121447. 0447. 000 kmxAkmxA10221012276. 0724. 0第61頁(yè)/共79頁(yè)kmxtmktmkxkmxtmktmkx102101618. 1sin276. 0618. 0sin724. 0618. 1sin447. 0618. 0sin447. 0運(yùn)動(dòng)波形如圖所示第62頁(yè)/共79頁(yè)1211stm gm gk111stFk 11 1112Fk xk ym gm g 222stm gk

20、222212Fk xk xm g222stFkx 21xxx1xysinmyypt第63頁(yè)/共79頁(yè)1 11122122221m xkxykxxm xkxx 1 1121221222221sin0mm xkkxk xk yptm xk xk x 振幅與放大系數(shù)設(shè)方程組的特解為代入方程組中得111222sinsinmmxxtxxt212112212212220mmmmmkkm pxk xk yk xkm px第64頁(yè)/共79頁(yè)2111212222220mmmxk ykkm pkxkkm p120Dm m1n2n222212121210nnm mppm m22221212nnDm mpp21212

21、122211421222222121mmkkpmkmkmkpmmpmkkkpmkkD第65頁(yè)/共79頁(yè)12211222220mmk ykDk ykm pkm p2121121220mmkkm pk yDk k yk21221122221212mmnnkkm pyDxDm mpp122222221212mmnnk k yDxDm mpp第66頁(yè)/共79頁(yè)因?yàn)?、 、 、 都是系統(tǒng)的固有頻率，而 為激振頻率，所以二自由度系統(tǒng)的幅頻曲線方程用 、 表示。1H2H111km222km2222122121122222222121212mmnnnnkkm ppxHym mpppp2221212222222

22、222121212mmnnnnxk kHym mpppp 1n2n12p 11HHp 22HHp第67頁(yè)/共79頁(yè)2n22221212nn 1np2np1H 2H 2p122kHk第68頁(yè)/共79頁(yè)1211stm gm gk1111 1112stFkk xk ym gm g 111RCxy222stm gk2221RCxx22222212stFkxk xk xm g sinmyypt第69頁(yè)/共79頁(yè)因?yàn)樗粤畲肷鲜降? 1112211122122221221m xkxykxxCxyCxxm xkxxCxx 1 112112122221122222221210m xCCxkkxC xk xk

23、 yC ym xC xk xC xk xsinmyypt1111sincosmmk yC yk yptC pypt122211sinC pkC p122211coskkC p2221111sinmk yC yykC ppt第70頁(yè)/共79頁(yè)111222sinsinmmxxptxxpt22211mhykC ptp 11sink yC yhp1 112112122222222222121sin0m xCCxkkxC xk xhpm xC xk xC xk xtp 第71頁(yè)/共79頁(yè)2222222112222122221222112akm pckukm pkm pk mC CpvC p km pC p km p