第三章線性時不變系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形與最小實現(xiàn)ppt課件

1、第三章第三章線性時不變系統(tǒng)的線性時不變系統(tǒng)的規(guī)范形與最小實現(xiàn)規(guī)范形與最小實現(xiàn) 規(guī)范形可以顯然、簡約的方式反映系統(tǒng)的可控性、可觀測性或其它性質(zhì)；為什么要研討規(guī)范形和最小實現(xiàn)？為什么要研討規(guī)范形和最小實現(xiàn)？利用規(guī)范形有時會極大簡化控制律的設(shè)計。例如在動態(tài)輸出反響控制律設(shè)計、一些自順應(yīng)控制系統(tǒng)的控制律設(shè)計中，由于僅輸出形狀可丈量，往往采用一些規(guī)范形作為控制律設(shè)計的根底，從而使控制律的設(shè)計盡能夠簡化；最小實現(xiàn)可以防止對系統(tǒng)可控性和可觀測性的討論，簡化分析和控制器設(shè)計。當(dāng)然，在系統(tǒng)分析時，有時也需求用到非最小實現(xiàn)。3-13-1系統(tǒng)的規(guī)范形系統(tǒng)的規(guī)范形11,AbARbRcxcRRn nnnxxuydudA

2、的特征多項式為:系統(tǒng)的可控和可觀測矩陣為：一、單變量系統(tǒng)的規(guī)范形一、單變量系統(tǒng)的規(guī)范形1212( )det()nnnnsaaallllIA11,ccAUb AbAbRVRcAnn nn nn( , , , ),( , , , )( , , , )PA b cPA b cA b c 給定找一個等價線性變換使得為具有某種性質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)形。xxdxxdd目目的的：這里， 求規(guī)范形的等價變換陣也有兩種方法：先求P;先求 P1 。11,APAPbPb ccPdd12112101000001000000101 nnnnnxxuaaaayxdubbbb定理定理3-13-1：設(shè)系統(tǒng)：設(shè)系統(tǒng)(3-1)(3-1)可控

3、，那么可經(jīng)過等價變換可控，那么可經(jīng)過等價變換將其變成如下所示的可控規(guī)范形：將其變成如下所示的可控規(guī)范形：1. 1. 可控規(guī)范形實現(xiàn)可控規(guī)范形實現(xiàn)求可控規(guī)范形的方法一：先求變換陣求可控規(guī)范形的方法一：先求變換陣P11)nU= b AbAb;計算可控性矩陣12);Uh計算，并記其最后一行為213)hhAPhAhA給出變換陣：；nn n114),APAPbPb ccP由即可求出變換后的系統(tǒng)狀態(tài)方程。221112101111APhhhAhAA=hAhAhAhA nnnnnaaaa其中，21121(hAhhAhAhA 凱萊哈密爾頓定理）nnnnnaaaa1U UI另一方面，注意到我們有210001Phh

4、Ab = Pb =b =hAhA n1100001b AbAbI=h n210,0,0,1hbhAbhAbhAbnn，P為證明 為可逆陣，只要證明對任意給定的210hhAPhAhAnP這樣構(gòu)造的 是否可逆？：問問題題1120hhAhAnn0由12naa aa即可。為此，我們考慮b用 右乘上式，并考慮到0Abn用右乘（*）式，并考慮到（3-4）及之事實，有1120(*)hhAhAnn210,0,0,1hbhAbhAbhAb ，(3-4)nn有0;na10an依次類推，有0iaa 012123111100010100Pb AbAb-1nnnnnaaaaaa1212det()IA注意到lllnnnn

5、saaa求可控規(guī)范形的方法二：先求變換陣求可控規(guī)范形的方法二：先求變換陣P1 1). 令基底為：令基底為：12: q qqn12123111100010100nnnnnaaaaaaPb AbAb-1顯然有2111221212()qqbAbAbqAbAbqAqnnnnnnnnnaaaaa 211Aqqqnna12: q qqn而qbn依次，我們有最后，由考慮到凱萊哈密爾頓定理，我們有3222332323()qqbAbAbqAbAbqAq nnnnnnnnnaaaaa322Aqqqnna-1,1,2,1,q =q +Aqin i niain1112qbAbAbnnnaa1Aqqqiin i na2

6、11121nnnnnnaaaa AqAbA bAbA bq11212APA q qqAq AqAqnn因此，其中，用到了關(guān)系：121210100001000001nnnnaaaaAq qq111APAPAP=P A11,1,2,1;AqqqAqqiin innnaina 2）因11213): ccPnnbbbb1bPbbP b121231110100000101001bb AbAb nnnnnaaaaaa討討論論：111212312111100010100PhhAPb AbAbhAhA nnnnnnaaaaaaP.由變換陣的唯一性可給1出)為：變換陣的唯一性：. .2)2)則必有證事實上，明明

7、：2,A bPP1設(shè)( , )可控，若有滿秩線性變換陣 和使得題題命命：11111222,;,APAPbPbAP APbP b2P P1=(1)(1)1b AbAbP b AbAbnn11 2()0IPP證完。證完。1(1)1 2PPb AbAbn2P P1= 。221002011401xxu解：先判別可控性，再計算變換矩陣，將形狀方解：先判別可控性，再計算變換矩陣，將形狀方程化為可控規(guī)范形。程化為可控規(guī)范形。例題例題: :設(shè)系統(tǒng)形狀方程為設(shè)系統(tǒng)形狀方程為試將系統(tǒng)形狀方程化為第二可控規(guī)范形。203141241411det0,UbA bA bU故 系 統(tǒng) 可 控 。此時規(guī)范形中的系統(tǒng)矩陣的最后一

8、行的系數(shù)其實就是A陣特征式的系數(shù)，但符號相反。 現(xiàn)根據(jù)前述方法構(gòu)造變換矩陣 P1210522211211Uh1211210322121423201 PP那么變換矩陣為2() () PhhAhATTT T即121122121032202012 1423140201010001254 APAP32d e t(452ssssIA )211003221042311 bPb2. 2. 可觀測規(guī)范形實現(xiàn)可觀測規(guī)范形實現(xiàn)SISO對于時不變系統(tǒng)稱復(fù)習(xí)：對偶原理復(fù)習(xí)：對偶原理11,( ),AbARbRIc cRRn nnnxxuyxd()TAcIIbTTzzuwxI為( )的對偶系統(tǒng)：III( )可觀()可控；

9、III( )可控()可觀定理定理3-23-2：設(shè)系統(tǒng)：設(shè)系統(tǒng)(3-1)(3-1)可觀，那么可經(jīng)過等價變換可觀，那么可經(jīng)過等價變換將其變成如下所示的可觀規(guī)范形：將其變成如下所示的可觀規(guī)范形：1121110001000100010001nnnnnnaaxuaayxdubbbb 一個單輸出系統(tǒng)假設(shè)其A、c 陣有如上的規(guī)范方式，它一定是可觀測的，可以經(jīng)過PBH檢驗立刻看出。如今經(jīng)過對偶原理來找出將系統(tǒng)化為可觀規(guī)范形的變換矩陣。,( )xxuyxAbcI,xxuyxAbc式中 具有可觀規(guī)范形的方式。構(gòu)造步驟如下：,cA給定系統(tǒng)方程如下目的是要將其化為可觀測規(guī)范形2. 寫出原系統(tǒng)寫出原系統(tǒng)1. 計算可觀性

10、矩陣，假設(shè)系統(tǒng)可觀測，可以化為計算可觀性矩陣，假設(shè)系統(tǒng)可觀測，可以化為可觀規(guī)范形?？捎^規(guī)范形。用對偶原理求可觀規(guī)范形步驟：,( )AbcIxxuyx的對偶系統(tǒng)：,( )AcbIITTTzzuwz3. 對系統(tǒng)對系統(tǒng)(II)，求將其化為可控規(guī)范形的變，求將其化為可控規(guī)范形的變換陣換陣 P：11111TTTAPA PbPccb P，對轉(zhuǎn)置處置后有：11()AAPAPTTT令:MP進(jìn)而，令；T4 4. ., ,A b c)則(就是可觀標(biāo)準(zhǔn)形。11111APA PbPccb P，TTT11()bcPbTT1cbcPTT11:,()AAbPb,ccPTTT 從以上各個步驟可以看出，求等效變換陣的中心實踐上

11、是求對偶系統(tǒng)的可控規(guī)范形的P陣。 P陣一旦求出，那么根據(jù)以上步驟4、5立刻可得到原系統(tǒng)的可觀規(guī)范形。11AMAMbMbccM5. 根據(jù)根據(jù)那么可求出可觀規(guī)范形。1. Luenberger 可控規(guī)范形定理定理3-3 3-3 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)(3-15)(3-15)可控，那么存在等價變換可控，那么存在等價變換將其化為將其化為 (3-16)(3-16)所示的可控規(guī)范形。所示的可控規(guī)范形。二、二、 多變量系統(tǒng)的規(guī)范形多變量系統(tǒng)的規(guī)范形xxuyxuABCD(3-16)其中 (3 15)xxuyxuABCD考慮多變量系統(tǒng)111211212221AAABAABABAABppppp這里 分別是 的矩陣。 ,iii

12、jiA AA AB B,iiijip 00 0000100 0000000000111AAB iiiji000000000000000000000000000000000111111A1 2 p 1pinm000000100000001000000001B=1C=CP沒有任何特點1m2mpm 下面引見變換的詳細(xì)做法。2. 列出可控性矩陣：列出可控性矩陣：按上面的陳列順序，自左向右挑選出n個線性無關(guān)向量，再重新陳列如下：12111111222mmmb AbAb b AbAbb AbAbPppp顯然有1. 不失普通性，假設(shè)不失普通性，假設(shè)B=b1 b2,bp列滿秩；列滿秩；1111121212nn

13、nnpppBABABUb bb Ab AbAbA b A bA b 12mmmpn注注意意：121211111111222PppppmmmmmmPb AbAb b AbAbb AbAb 令3 3) ). .121122A bAbAbAbA bpp212paaaaA bk2這說明一定可以由它的向量前面線性表出。AbbbbAb212p1若某一向量，例如可由, ,線性表出，即1211AbbbbAb212pppaaaa1,A bkk2則所有，均不會被選到。這是由于4. 求出求出 P1，以，以 hi 表示表示P1陣的陣的1121pimmmm、及行，11hPhp1mp1行1pin=第 行112222,AP

14、 A PBP B CC P12111122121PpphhhhhhhAAPAA1p然后構(gòu)造變換陣：5. 取非奇特變換取非奇特變換 ,就就可得到可得到122, ()xxxxPP200P只要證明：若有列向量 ，滿足即可。aaa討論：討論：1P2的可逆性證明：的可逆性證明：121111221210AAPAAPpphhhhhhha由由0,1,2, ;0,1(),11h Aijiiiipaj特別，有11hhPAb-11, ,的零空間恰恰是由中除去后易的向量見，iTT Tpib b) )1222211(222)1b AbAb bAbAbbAbAbmmmPnppppn所張成的，因而 必可表示為這些向量的線性

15、組合。12hhhpp n02p這是由于(以為例說明）112111111112222pPhb AbAb b AbAbIhmm21 1121111111212120,0,0,0,0,0;1112h bh Abh Abh bhAAbh Ahbb10100001121212122222222210,0,0;0,0,10,221h bh Abh Abh bh AbAAhhbb1hh這說明, ,的零空間確實是由這些向量所張成的。TT Tpc)將 表示為這些向量的線性組合：a1( -1)( -2)h Aaa現(xiàn)用左乘上式兩邊，并注意到式、式122221122111A bA bA bpiiiiipipaaamm

16、ma有一般地，我們有11,1,2,h Abiiiip及0,(21.),h A bjikikikiaj若或者但12122211121210000h Ah A bh A bh A bpiiiiipipaaammma1111121112100h Abaa ；mmm2h A再左乘，有0依次類推，我們可以證明。證完。證完。222122222200h Ab， ，aa2:B=P B)的特點200?1為什么具有形式：問題：000000100000001000000001B=111121111112222pPhb AbAb b AbAbIh11211110,01,;h ABh Ah BB由此推得：2p以為例：1

17、010000110hB10hAB111112Ab b h22220,0;h Ah BB21122122h ABh Ab b ？2112222120,0;222h Bh ABh ABh Ab b 為？討論注意到基底的選取法則：1222122h ABh A b b =01m2112Ab不出現(xiàn)在上述各列中，）若則必可表示為22111210Ahb1bA出現(xiàn)在上述各列中，必有）若；2211121212pb bAb AbAbAb Ab1222122h ABh A b b =01m2222121212b b Ab AbAbAb Abp的線性組合，故仍有21210h Ab普通地，假設(shè)基底矩陣(P1)1是按照如

18、下方法得到：那么必有000000100000001000000001B =222111121212b bbAb AbAbAb AbAbpppP.82 P.82 例題例題3-2 3-2 設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程(A(A、B B、C)C)為為 00010 010020 00 0 0 12211400 10 0 1 0236061 3ABC試求其可控規(guī)范形。解解 計算可控性矩陣計算可控性矩陣2300136002613010461361825B AB A B A B2Ab12A b123,1mm可知其前四個線性無關(guān)列為1,2,3,5列，故1=3, 2=1, 2111122811311360021000010bAbA bb可求出h1=2 1 0 0 , h2=0 0 1 0 ，從而可得由112222,AP APBP B CCP1122122100100000010010hh