初中數(shù)學(xué)探究性問題的設(shè)計

1、初中數(shù)學(xué)探究性問題的設(shè)計1 什么是數(shù)學(xué)探究性問題數(shù)學(xué)探究性問題是由探究性內(nèi)容目標(biāo)特征和探究性行為目標(biāo)特征構(gòu)成的數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)探究性內(nèi)容目標(biāo)特征是指在數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)的四個要素條件、解題依據(jù)、解題方法、結(jié)論中，通過對其中的某幾個（至少兩個）要素進(jìn)行分析、綜合、觀察、歸納、概括、推理、判斷等一系列探究活動而確定其他要素的問題特征；探究性行為目標(biāo)特征是指在問題的解決過程中，通過操作、觀察、猜測、思考獲得的感性經(jīng)驗，體現(xiàn)主動的、建構(gòu)的、體驗的、發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)方式等行為特征我們通俗地解釋為：數(shù)學(xué)探究性問題是指在問題的解決過程中，以學(xué)生獨(dú)立自主或合作討論為學(xué)習(xí)形式，運(yùn)用操作、猜想、分析、實驗、推理、歸納、發(fā)現(xiàn)等學(xué)習(xí)

2、方式解決的數(shù)學(xué)問題2 數(shù)學(xué)探究性問題設(shè)計的類型初中數(shù)學(xué)探究性問題可按年級分類型進(jìn)行設(shè)計，每個年級可分成“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐”四部分，每一部分又可分為操做實驗型、探索規(guī)律性、應(yīng)用探究型、閱讀探究型、推理探究型等類型下面通過舉例來說明21 操作實驗型操作實驗型問題設(shè)計，一般是幾何圖形通過折、剪、拼等幾何實驗或是對圖形的分割與重組，進(jìn)行動手實踐的問題在解決問題時，需要通過平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、位似等基本的圖形變換，運(yùn)用代數(shù)、幾何知識對圖形進(jìn)行分析、計算、證明、探索和發(fā)現(xiàn)問題的各種答案，并對數(shù)學(xué)本質(zhì)產(chǎn)生一種新的領(lǐng)悟，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到有效的發(fā)展設(shè)計實驗1：正方形拼圖請按照要求

3、進(jìn)行正方形拼圖并分析規(guī)律問題1：如圖1，把兩個邊長為1的正方形重新分割，請?zhí)骄渴欠衲芷闯梢粋€新的正方形若能，請說明有幾種拼法（畫出裁剪線和拼圖），并求出新正方形的邊長；若不能，請說明理由問題2：如圖2，把兩個邊長為2和1的正方形重新分割，請?zhí)骄渴欠衲芷闯梢粋€新的正方形若能，請說明有幾種拼法（畫出裁剪線和拼圖），并求出新正方形的邊長；若不能，請說明理由問題3：如圖3，把兩個邊長分別為和的正方形重新分割，請?zhí)骄渴欠衲芷闯梢粋€新的正方形若能，請說明有幾種拼法（畫出裁剪線和拼圖），并求出新正方形的邊長；若不能，請說明理由問題4：說說從上述三個問題的探究過程中，你發(fā)現(xiàn)正方形拼圖有什么規(guī)律通過對本題的探究

4、，從特殊到一般情形，將兩個正方形重新分割后拼成一個新的正方形，讓學(xué)生體會到：拼圖實際上是圖形的變換，在圖形變換過程中圖形的面積保持不變；在問題3中，新正方形的邊長可以利用變換前后面積不變的等量關(guān)系列方程求解；拼圖的關(guān)鍵是找能拼接的邊和全等的圖形這也是對本題中數(shù)學(xué)本質(zhì)的一種領(lǐng)悟22 探索規(guī)律型探索規(guī)律型問題設(shè)計，一般先給出前三項，讓學(xué)生探索第四項或后面某個特定的項，再探索第項的規(guī)律這樣由特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，逐步深入通過操作、猜想、運(yùn)算、推理、歸納等深層次的探索活動得到答案此類題目形式豐富多樣，內(nèi)容覆蓋廣泛，可涉及初中“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四個學(xué)習(xí)領(lǐng)域的內(nèi)容，

5、也是各省市中考命題中常見的一種題型設(shè)計實例2：標(biāo)準(zhǔn)紙問題我們把長和寬之比為的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙不難發(fā)現(xiàn)：將一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙（如圖4）現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙兩邊、分別等于和，則第4次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是 ，第2013次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是 ，第次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是 本題探索第次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長，難度較大因此，設(shè)計了先求第4次和第2013次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長，解決問題時，要求學(xué)生能通過觀察、實驗、歸納、推理獲得猜想，并綜合運(yùn)用相似形、矩形的性質(zhì)解決實際問題這樣的問題設(shè)計符合初中階段學(xué)生的思維特點(diǎn)，可以培養(yǎng)學(xué)生在合情推理的基礎(chǔ)上再用所學(xué)知識進(jìn)行驗證

6、并推斷出正確結(jié)論的能力23 閱讀探究型閱讀探究型問題設(shè)計，一般用于新定義（新概念）、方法類比、判斷推理或遷移發(fā)展等類型的問題通過閱讀理解，用新定義（新概念）解決的一個相關(guān)問題；或類比提供的材料中所述的過程方法，去解決類似的相關(guān)問題；或?qū)μ峁┑牟牧线M(jìn)行歸納概括，依據(jù)對材料本質(zhì)的理解進(jìn)行推理，作出解答；或從提供的材料中，通過閱讀理解其采用的思想方法，將其概括抽象成數(shù)學(xué)模型去解決類似更高層次的相關(guān)命題設(shè)計實例3：閱讀材料：如圖5，過ABC的三個頂點(diǎn)分別作與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度叫ABC的“鉛垂高”（h）我們可得出一

7、種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半證明：（其中，、是直線與外側(cè)兩直線之間的距離）研究拓展我們?nèi)绻袮BC放到平面直角坐標(biāo)系中來研究（如圖6），設(shè)，則鉛垂高：，水平寬：問題探究：如圖7，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，4）交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)B.（1）求拋物線和直線AB的函數(shù)解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點(diǎn)，連接、，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到頂點(diǎn)時，求的鉛垂高及；（3）在（2）的條件下，是否存在一點(diǎn)P，使，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由這是一個運(yùn)用新概念解決問題的典例通過閱讀材料，讓學(xué)生讀懂在平面內(nèi)三角形面積的推廣公式，并運(yùn)用到平面直角

8、坐標(biāo)系內(nèi)，用坐標(biāo)表示三角形的面積公式，再在綜合題中運(yùn)用三角形面積公式解決相關(guān)問題問題由淺入深，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀探究能力24 應(yīng)用探究型應(yīng)用探究型問題設(shè)計，要與學(xué)生的生活實際緊密聯(lián)系，問題的背景盡可能是學(xué)生熟悉的，以引起學(xué)生探究的興趣常見的問題背景有通訊收費(fèi)、按揭貸款、存款利息、打折銷售、工資待遇、運(yùn)輸費(fèi)用、工程造價、旅游價格、行程問題等問題的設(shè)計要注意讓學(xué)生通過探究感受到“生活處處有數(shù)學(xué)”，同時讓學(xué)生獲取生活智慧設(shè)計實例4：問題背景：今年四月份，李大叔收獲洋蔥30噸，黃瓜13噸現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共10輛將這兩種蔬菜全部運(yùn)往外地銷售，已知一輛甲種貨車可裝洋蔥4噸或黃

9、瓜1噸，一輛乙種貨車可裝洋蔥和黃瓜各2噸探究1：李大叔安排甲、乙兩種貨車時有幾種方案？請你幫助設(shè)計出來探究2：若甲種貨車每輛要付運(yùn)費(fèi)2000元，乙種貨車每輛付運(yùn)費(fèi)1300元，請你幫助李大叔算一算應(yīng)選哪種方案，才能使運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)是多少？這是一個運(yùn)輸問題，背景是李大叔銷售收獲的洋蔥和黃瓜，需要租車問題的探究點(diǎn)：一是設(shè)計租車方案；二是探究運(yùn)費(fèi)最省的方案這樣的設(shè)計，不僅可以激發(fā)學(xué)生主動探究的熱情，而且也提高了問題本身的價值應(yīng)用探究型問題能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)和過程，它具有教強(qiáng)的挑戰(zhàn)性、探索性、實用性，并可以在不同水平上運(yùn)用多種模型來分析和求解25 推理探究型推理探究型問題設(shè)計，既要重視邏輯推理

10、，又要重視觀察實驗、探索猜測、類比歸納等合情推理在封閉性證明題中，將要證明的結(jié)論隱去，并改用“是否存在”“是否成立”等問句表述，就可將原證明題設(shè)計成探究型問題有些特殊的封閉性問題，將其特殊的條件加以推廣，也可以得到推理探究型問題課本的例題和習(xí)題中有不少證明題可以通過增加、變換情境，改變設(shè)問方式，將封閉性問題改為推理探究型問題設(shè)計實例5：已知，如圖8（1），在正三角形ABC中，M，N分別是AC，AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON=60°，試問BM與CN相等嗎？請說明理由拓展探究1：如圖8（2），在正方形ABCD中，M，N分別是CD，AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON=9

11、0°，試問BM與CN相等嗎？請說明理由拓展探究2：如圖8（3），在正五邊形ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，試問BM與CN相等嗎？請說明理由拓展探究3：如圖8（4），在正n（n3）邊形ABCDEF中，M，N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，試問當(dāng)BON等于多少度時，結(jié)論BM=CN成立？此題原本是一個封閉性的證明題，將原題的問題“證明BM=CN”改成“試問BM與CN相等嗎？請說明理由”，并將特殊的條件“正三角形ABC，BON=60°”拓展到“正方形ABCD，BON=90°”繼續(xù)探究原結(jié)論是否成立，在拓展探究2中又隱去了條件“BON=108°”，使得結(jié)論更加開放，最后推廣到在正（）邊形中探究結(jié)論成立的條件這樣的設(shè)計，通過一步步的推理探究，由易到難，由簡單到復(fù)雜，由具體到抽象，結(jié)論由單一到多元，拾級而上設(shè)計的問題有認(rèn)識基礎(chǔ)，引人入勝，容易激發(fā)學(xué)生探究的欲望數(shù)學(xué)探究性問題的價值不僅在于鞏固知識、反饋信息，更重要的是在自主探索與