理論力學(xué)3—力偶系

1、第三章第三章 力偶系力偶系 平面中力對(duì)點(diǎn)之矩平面中力對(duì)點(diǎn)之矩 平面力偶系平面力偶系 力對(duì)軸之矩和力對(duì)點(diǎn)之力對(duì)軸之矩和力對(duì)點(diǎn)之矩矩 空間力偶系空間力偶系3.1平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算MO(F)OhrFAB3.1.1 力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩）力F與點(diǎn)O位于同一平面內(nèi)，點(diǎn)O稱為矩心，點(diǎn)O到力的作用線的垂直距離h稱為力臂。力對(duì)對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)代數(shù)量，它的絕對(duì)值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負(fù)可按下法確定：力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。()2OOABMFhA F力矩的單位常用Nm或kNm。3.1.2 合力矩定理與力矩的解析表達(dá)式平面匯交力系的合力對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于所有各分力對(duì)于該點(diǎn)之矩的代

2、數(shù)和。R1()()niOOiMM FFFFxFyxyOqxyA()sincosOyxMxFyFxFyFqq F(1) 合力矩定理(2) 力矩的解析表達(dá)式3.1平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算例1如圖圓柱直齒輪，受到嚙合力F的作用。已知F1400 N, 節(jié)圓半徑r60 mm, a20，求力Fn對(duì)O點(diǎn)的矩。()cos78.93 N mOMF hFr Frtt()()()()cosOOOOMMMMFr FFFFFnFrFtFn3.2 平面力偶由兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系，稱為力偶，記為(F, F)。力偶的兩力之間的垂直距離d稱為力臂，力偶所在的平面稱為力偶作用面。力偶不能合成為一個(gè)力

3、，也不能用一個(gè)力來平衡。力和力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素。3.2.1力偶與力偶矩3.2.1 力偶與力偶矩FFdDABC力偶是由兩個(gè)力組成的特殊力系，它的作用只改變物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力偶矩來度量。平面力偶對(duì)物體的作用效應(yīng)由以下兩個(gè)因素決定：(1) 力偶矩的大小；(2) 力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向。平面力偶矩可視為代數(shù)量，以M或M(F, F)表示，2ABCMFdA 平面力偶矩是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力的大小與力偶臂的乘積，正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向：一般以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之則為負(fù)。力偶矩的單位與力矩相同。3.2 平面力偶 3.2.2 同平面內(nèi)力偶的等效定理定理定理：在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，

4、如果力偶矩相等，則兩力偶彼此等效。推論：(1) 任一力偶可以在它的作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變它對(duì)剛體的作用。因此，力偶對(duì)剛體的作用與力偶在其作用面內(nèi)的位置無關(guān)。(2) 只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變力偶對(duì)剛體的作用。3.2 平面力偶3.2.2 同平面內(nèi)力偶的等效定理定理力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如圖所示的符號(hào)表示力偶。M為力偶的矩。3.2 平面力偶1113MFdF d2224MF dF d M1(F1, F1)， M2(F2, F2)3434FFFFFF343412()MFdFF d

5、F dF dMM在同平面內(nèi)的任意個(gè)力偶可以合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于各個(gè)力偶矩的代數(shù)和。 1niiMM 3.2.3 平面力偶系的合成3.2 平面力偶3.2.4 平面力偶系的平衡條件所謂力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零，即10niiM3.2 平面力偶思考題思考題1：剛體上A、B、C、D四點(diǎn)組成一個(gè)平行四邊形，如在其四個(gè)頂點(diǎn)作用有四個(gè)力，此四力沿四個(gè)邊恰好組成封閉的力多邊形，如圖所示。此剛體是否平衡？ F1F3BACDF2F43.2 平面力偶3.2.4 平面力偶系的平衡條件PORM思考題思考題2：從力偶理論知道，一力不能與力

6、偶平衡。圖示輪子上的力P為什么能與M平衡呢？ FO3.2 平面力偶3.2.4 平面力偶系的平衡條件例例3 在一鉆床上水平放置工件在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑的孔的孔,每個(gè)鉆頭的力偶矩為每個(gè)鉆頭的力偶矩為 ,求工件的求工件的總切削力偶矩和總切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmM02 . 04321mmmmNBN3002 . 060BNN 300BANN解解: 各力偶的合力偶矩為各力偶的合力偶矩為根據(jù)平面力偶系平衡方程有根據(jù)平面力偶系平衡方程有:由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，由力偶只能與力

7、偶平衡的性質(zhì)，力力NA與力與力NB組成一力偶。組成一力偶。例例4 圖示結(jié)構(gòu)，已知圖示結(jié)構(gòu)，已知M=800N.m，求，求A、C兩點(diǎn)的約束反力。兩點(diǎn)的約束反力。).(255. 0mNRdRMCCAC 0iM0 MMACNRC3137例例5圖示桿系，已知圖示桿系，已知m，l。求。求A、B處約束力。處約束力。解：解：1、研究對(duì)象二力桿：、研究對(duì)象二力桿：ADADNCR2、研究對(duì)象：、研究對(duì)象： 整體整體ADNBRlmRNBAD思考：思考：CB桿受力情況如何？桿受力情況如何？BRCRm練習(xí)：練習(xí)：解：解：1、研究對(duì)象二力桿：、研究對(duì)象二力桿：BC2、研究對(duì)象：、研究對(duì)象： 整體整體ADNBRBRCRAD

8、NmCRlmlmRNBAD245sin0 力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示力矩矢xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hB 空間力對(duì)點(diǎn)的矩的作用效果取決于：力矩的大小、轉(zhuǎn)向和力矩作用面方位。這三個(gè)因素可用一個(gè)矢量MO(F)表示，如圖。其模表示力矩的大?。恢赶蛴捎沂致菪▌t確定；方位與力矩作用面法線相同。由于力矩與矩心的位置有關(guān)，所以力矩矢的始端一定在矩心O處，是定位矢量。3.3 力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩3.3.1力對(duì)點(diǎn)之矩以r表示力作用點(diǎn)A的矢徑()O MFrF(1)矢量積的模為xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjikFhrFFrsin3.3 力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩3.3.1力對(duì)點(diǎn)之矩它與力F對(duì)O點(diǎn)

9、之矩矢 的模相等；矢量積的方位由矢量r與F所決定平面的垂線確定；矢量積的指向根據(jù)矢量積規(guī)則確定，它們分別以力F對(duì)O點(diǎn)之矩矢的方位和指向一致。所以：)(FMo（2）力對(duì)點(diǎn)之矩矢的解析表示式()O MFrF以矩心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則xyzxyzFFF rijkFijk()()()()OxyzzyxzyxxyzFFFyFzFzFxFxFyF ijkMFrF =ijkxyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik3.3 力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩3.3.1力對(duì)點(diǎn)之矩力矩矢MO(F)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為()()()OxzyOyxzOzyxyFzFzFxFxFyF MFMFMFxyzOFMO(F)rA(

10、x,y,z)hBjik3.3 力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩3.3.1力對(duì)點(diǎn)之矩1.力F對(duì)z 軸的矩定義為：()()2zOxyxyOabMMF hA FF力對(duì)軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量，是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力在垂直于該軸平面上的投影對(duì)于軸與平面交點(diǎn)的矩。xyzOFFxyhBAab符號(hào)規(guī)定：從z軸正向看，若力使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)則取正號(hào)，反之取負(fù)。也可按右手螺旋法則確定其正負(fù)號(hào)。由定義可知：(1)當(dāng)力的作用線與軸平行或相交(共面)時(shí)，力對(duì)軸的矩等于零。(2)當(dāng)力沿作用線移動(dòng)時(shí)，它對(duì)于軸的矩不變。3.3 力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩3.3.2力對(duì)軸之矩2 .力對(duì)軸的矩的解析表達(dá)式xyzOFFxFyFz

11、A(x,y,z)BFxFyFxyabxy()()()()zOxyOxOyyxMMMMxFyF FFFF設(shè)力F沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y,z)，則同理可得其它兩式。故有()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF FFF3.3 力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩3.3.1力對(duì)點(diǎn)之矩比較力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩的解析表達(dá)式得：即：力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。3.3.2 力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系()()()()()()OxxOyyOzzMMM MFFMFFMFF3.3 力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩力對(duì)軸之矩實(shí)例力對(duì)軸之矩實(shí)

12、例FzFxFy3.3 力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩（3 3）力對(duì)軸之矩）力對(duì)軸之矩 力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對(duì)該軸的矩為零。內(nèi)），力對(duì)該軸的矩為零。求力F在三軸上的投影和對(duì)三軸的矩。解：222coscosxFaFFabcq222cos sinyFbFFabcq222sinzFcFFabcq ()()()()xxxxyxzyMMMMF c FFFF()0yMF()()()()zzxzyzzyMMMMF a FFFFyxzFqbcaFxy22222cosababcq22cosaabaazxyOFa圖示力圖示力F，對(duì)，對(duì)x軸之矩軸之矩Mx(F )

13、為：為： 答案：答案：DFz2a3a 例題例題 FaDFaCFaBFaA33)(22)(3)(2)(xyzO圖示力圖示力 ，已知，已知F = 2 kN。則力。則力 對(duì)對(duì)x軸之矩為：軸之矩為：ABCD答案：答案：D 例題例題 4 m3 m5 mFF在棱邊邊長(zhǎng)為a的正方體側(cè)面作用力 ,設(shè)a=1m，F(xiàn)1000N，則力對(duì)z軸之矩大小為（）A1000NmB1414NmC707NmD0Nm空間力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)，可用力偶矩矢來度量，即力偶中的兩個(gè)力對(duì)空間某點(diǎn)之矩的矢量和來度量。 1 力偶矩以矢量表示，力偶矩矢3.4 空間力偶3.4.1力偶矩矢式中，M稱為力偶矩矢，它是力偶對(duì)剛體產(chǎn)生的繞任一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度

14、量，與O點(diǎn)位置無關(guān)，是自由矢量空間力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)取決于三個(gè)因素： 1 力偶矩以矢量表示，力偶矩矢 1. 矢量的模，及力偶矩大小MFd 3. 矢量的指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋法則 2. 矢量的方位與力偶作用面相垂直3.4 空間力偶3.4.1力偶矩矢 由力偶的性質(zhì)可知：力偶的作用效果取決于力偶矩的大小、力偶轉(zhuǎn)向和作用面方位。因此可用一矢量M表示：選定比例尺，用M的模表示力偶矩的大??；M的指向按右手螺旋法則表示力偶的轉(zhuǎn)向； M的作用線與力偶作用面的法線方位相同。如圖所示。 M稱為力偶矩矢。 空間力偶的等效條件是：兩個(gè)力偶的力偶矩矢相等。FMF3.4 空間力偶3.4.2 空間力偶等效定理力偶作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空間力偶系。 空間力偶系合成的最后結(jié)果為一個(gè)合力偶，合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：12ni MMMMM3.4 空間力偶3.4.3 空間力偶系的合成根據(jù)合矢量投影定理：,xxyyzzMMMMMM 于是合力偶矩的大小和方向可由下式確定：222()()()xyzMMMM cos(, ),cos(, ),cos(, )yxzMMMMMMM iM jM k3.4 空間力偶3.4.3 空間力偶系的合成 空間力偶系可以合成一合力偶，所以空間力偶系平衡的必要與充分條件是：合力偶矩矢等于零。即：0