量綱分析與無(wú)量綱化實(shí)例及MATLAB求解

1、 量綱分析與無(wú)量綱化實(shí)例及量綱分析與無(wú)量綱化實(shí)例及MATLABMATLAB求解求解2.9 量綱分析與無(wú)量綱化量綱分析與無(wú)量綱化物物理理量量的的量量綱綱長(zhǎng)度長(zhǎng)度 l 的量綱記的量綱記 L=l質(zhì)量質(zhì)量 m的量綱記的量綱記 M=m時(shí)間時(shí)間 t 的量綱記的量綱記 T=t動(dòng)力學(xué)中動(dòng)力學(xué)中基本量綱基本量綱 L, M, T速度速度 v 的量綱的量綱 v=LT-1導(dǎo)出量綱導(dǎo)出量綱221rmmkf 加速度加速度 a 的量綱的量綱 a=LT-2力力 f 的量綱的量綱 f=LMT-2引力常數(shù)引力常數(shù) k 的量綱的量綱 k對(duì)無(wú)量綱量對(duì)無(wú)量綱量 ， =1(=L0M0T0)2.9.1 量綱齊次原則量綱齊次原則=fl2m-

2、2=L3M-1T-2量綱齊次原則量綱齊次原則等式兩端的量綱一致等式兩端的量綱一致量綱分析量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系系例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng))1 (321glmt 321glmt lmgm求擺動(dòng)周期求擺動(dòng)周期 t 的表達(dá)式的表達(dá)式設(shè)物理量設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式之間有關(guān)系式 1, 2, 3 為待定系數(shù)，為待定系數(shù)， 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量 2/ 12/ 10321glt(1)的量綱表達(dá)式的量綱表達(dá)式glt2對(duì)比對(duì)比33212TLMT12003321量綱齊次原則量綱齊次原則等式兩端的量綱一致等式兩端的量綱一致量綱分析量綱分析利

3、用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系系例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng))1 (321glmt 321glmt lmgm求擺動(dòng)周期求擺動(dòng)周期 t 的表達(dá)式的表達(dá)式設(shè)物理量設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式之間有關(guān)系式 1, 2, 3 為待定系數(shù)，為待定系數(shù)， 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量 2/ 12/ 10321glt(1)的量綱表達(dá)式的量綱表達(dá)式glt2對(duì)比對(duì)比33212TLMT12003321對(duì)對(duì) x,y,z的兩組測(cè)量值的兩組測(cè)量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )2121pppp為

4、什么假設(shè)這種形式為什么假設(shè)這種形式321glmt 設(shè)設(shè)p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量綱單的量綱單位縮小位縮小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式為的形式為),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt單擺運(yùn)動(dòng)中單擺運(yùn)動(dòng)中 t, m, l, g 的一般表達(dá)式的一般表達(dá)式0),(

5、glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 為待定常數(shù)為待定常數(shù), 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量0)(F設(shè)設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價(jià)等價(jià), F未定未定Pi定理定理 (Buckingham)是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量是

6、基本量綱綱, n m, q1, q2, , qm 的量綱可表為的量綱可表為,mnijaA量綱矩陣記作量綱矩陣記作rA rank若線性齊次方程組線性齊次方程組0Ay有有 m-r 個(gè)基本解，記作個(gè)基本解，記作mjyjssjq1為為m-r 個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量, 且且則則)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力波浪對(duì)航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1

7、航船速度航船速度v, 船體尺寸船體尺寸l, 浸沒(méi)面積浸沒(méi)面積 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqfTTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0, 1(321flgslvl 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3個(gè)基本解個(gè)基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r個(gè)基本解個(gè)基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 個(gè)無(wú)量綱量個(gè)無(wú)量綱量0),

8、(21mqqqf0),(fsvlg F( 1, 2 , 3 ) = 0與與 (g,l, ,v,s,f) = 0 等價(jià)等價(jià)flgslvl得到阻力為得到阻力 f 的顯式表達(dá)式的顯式表達(dá)式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價(jià)等價(jià)221213,),(lsglvglf量綱分析法的評(píng)注量綱分析法的評(píng)注 物理量的選取物理量的選取 基本量綱的選取基本量綱的選取 基本解的構(gòu)造基本解的構(gòu)造 結(jié)果的局限性結(jié)果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的中包括哪些物理量是至關(guān)重要的基本量綱

9、個(gè)數(shù)基本量綱個(gè)數(shù)n; 選哪些基本量綱選哪些基本量綱有目的地構(gòu)造有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普適性方法的普適性函數(shù)函數(shù)F和無(wú)量綱量未定和無(wú)量綱量未定不需要特定的專業(yè)知識(shí)不需要特定的專業(yè)知識(shí)2.9.2 量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用 例例: 航船阻力的物理模擬航船阻力的物理模擬通過(guò)航船模型確定原型船所受阻力通過(guò)航船模型確定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的參數(shù)模型船的參數(shù)(均已知均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf1111

10、11,gvlsf 原型船的參數(shù)原型船的參數(shù)(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同2211,1gg llvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船，量測(cè)量測(cè) f，可算出，可算出 f1 物理模擬物理模擬221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf2.9.3 量綱分析量綱分析例：爆炸的沖擊波例：爆炸的沖擊波(爆炸的破壞力分析爆炸的破壞力分析)(一一)問(wèn)題提出問(wèn)題提出 爆炸的沖擊波是造成破壞的主要原因，研究沖擊波是必要的。建立爆炸的沖擊波是造成破

11、壞的主要原因，研究沖擊波是必要的。建立數(shù)學(xué)模型，用予預(yù)測(cè)沖擊波的傳播過(guò)程：沖擊波的半徑隨時(shí)間變化的規(guī)數(shù)學(xué)模型，用予預(yù)測(cè)沖擊波的傳播過(guò)程：沖擊波的半徑隨時(shí)間變化的規(guī)律。律。研究沖擊波的半徑隨時(shí)間變化的規(guī)律研究沖擊波的半徑隨時(shí)間變化的規(guī)律（二）量的分析（二）量的分析 爆炸爆炸能量釋放能量釋放.發(fā)生是在一點(diǎn)上突然釋放出大量發(fā)生是在一點(diǎn)上突然釋放出大量的能量。的能量。主要變量：主要變量：E能量能量 爆炸表面形成一個(gè)球面，以沖擊波形式在空中向外傳播.假設(shè)球的半徑為R:是關(guān)于時(shí)間的函數(shù). 時(shí)間t. 半徑R的變化還與空氣密度 . 空氣氣壓 .有關(guān).00P即00, ,RE tP設(shè)00(, ,)RfE tP(三

12、)假設(shè) 1)爆炸在一點(diǎn)突然發(fā)生,在氣壓為 的空氣中傳播; 2)同一時(shí)間只一點(diǎn)發(fā)生爆炸,傳播空間內(nèi)無(wú)大型障礙物的阻止; 3)爆炸在極短時(shí)間內(nèi)釋放能量. 時(shí),能量 E 完全釋放.0P00t (四)模型的建立 尋求關(guān)系式 00( , ,)0f R E tP量綱分析:力學(xué)問(wèn)題,基本量綱:L,M,T 涉及物理量:00, ,R E tP各物理量的量綱:0022222003001222120dim dim ,dim dimdim,/RLM TEL MTflMLTLL MTtL M TL MTPL MTF sfsMLTLL MT 功：壓強(qiáng)：從而可以得到量綱矩陣:35nmAA3 5120310101102102

13、A00( )( )( )()()REtPRank(A)=3 解齊次線性方程組:AY=0.其中Y=(y1, y2, y3, y4, y5).有m-r=5-3=2個(gè)基本解.解得: 1(5,1,2,1,0)2(0,2,6,3,5)TTYY 得2個(gè)無(wú)量綱量:512026350012R EtEtP變換形式得:1 / 5021 / 5602301 12 2RE ttPE上式滿足函數(shù)式:( 11,22)0 由此可得: ,代入 得11(22)F1/50211()REt21 / 50()(22)E tRF 其中, 可以通過(guò)小型爆炸實(shí)驗(yàn)分析后用數(shù)學(xué)軟件(MATLAB)或最小二乘法求得,最終求得爆炸沖擊波表達(dá)式.表

14、達(dá)式近似描述了爆炸沖擊波的傳播過(guò)程. 反過(guò)來(lái),根據(jù)爆炸過(guò)程的高速攝像照片,可以計(jì)算出爆炸釋放的能量.即已知t時(shí)刻的R，求出E.0( 22)F和2.9.4 無(wú)量綱化無(wú)量綱化例：火箭發(fā)射例：火箭發(fā)射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 ),;(gvrtxx m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射。初速星球表面豎直發(fā)射。初速v, 星球半星球半徑徑r, 表面重力加速度表面重力加速度g研究火箭高度研究火箭高度 x 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律t=0 時(shí)時(shí) x=0, 火箭質(zhì)量火箭質(zhì)量m1, 星球質(zhì)量星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬(wàn)有引力定律牛頓第二定律，萬(wàn)有引力定律)0

15、( xgx grkm223個(gè)獨(dú)立參數(shù)個(gè)獨(dú)立參數(shù)用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2變量變量 x,t 和獨(dú)立參數(shù)和獨(dú)立參數(shù) r,v,g 的的量綱量綱用用參數(shù)參數(shù)r,v,g的組合的組合, ,分別分別構(gòu)造與構(gòu)造與x,t具有相同具有相同量綱量綱的的xc, tc （特征尺度）（特征尺度）無(wú)量綱變量無(wú)量綱變量tx ,vrtrxcc/,如),;(gvrtxx 利用新變量利用新變量, tx將被簡(jiǎn)化將被簡(jiǎn)化cctttxxx,令令 xc, tc的不同構(gòu)造的不同構(gòu)造vrtrxcc/,1）令cctttxxx,的不同簡(jiǎn)化結(jié)果的不同簡(jiǎn)化結(jié)果

16、),;(gvrtxx xrvt dxdrvxxvt dxdvx 2222),;(gvrtxx );(txx 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量rvttrxx/,/vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx gvtgvxcc/,/23）令),;(gvrtxx 1) 0 (, 0) 0 (,) 1(122xxrgvxx );(txx 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量),;(gvrtxx grtrxcc/,2）令rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 );(txx 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量)/(80008 . 91063703smrg1）2）3）的共同點(diǎn)的共同點(diǎn)只含只含

17、1個(gè)參數(shù)個(gè)參數(shù)無(wú)量綱量無(wú)量綱量 );(txx 解解重要差別重要差別rgv2考察無(wú)量綱量考察無(wú)量綱量v1在在1）2）3）中能否忽略以）中能否忽略以 為因子的項(xiàng)？為因子的項(xiàng)？1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx 1)忽略忽略 項(xiàng)項(xiàng)無(wú)解無(wú)解x不能忽略不能忽略 項(xiàng)項(xiàng)1)0(, 0)0(, 0) 1(12xxxtttx2)(21) 0(, 0) 0(, 1xxx 0)0(, 0)0(,) 1(12xxxx rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 2)1) 0 (, 0) 0 (,) 1(122xxrgvxx 3)忽略忽略 項(xiàng)項(xiàng)0)(tx不能忽略不能忽略 項(xiàng)項(xiàng)忽略忽略 項(xiàng)項(xiàng)0)(txvxxgx)0(0)0( tttx2)(2gvtgvxcc/,/2cctttxxx,vtgttx221)(火箭發(fā)射過(guò)程火箭發(fā)射過(guò)程中引力中引力m1g不變不變 即即 x+r rvxxrxgrx)0(, 0)0()(22 原原