函數(shù)的求導(dǎo)法則(40)課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 內(nèi)容提要內(nèi)容提要1.1.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則；函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則；2.2.反函數(shù)的求導(dǎo)法則；反函數(shù)的求導(dǎo)法則；3.3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。 教學(xué)要求教學(xué)要求1.熟悉導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及導(dǎo)數(shù)基本公式；熟悉導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及導(dǎo)數(shù)基本公式； 2. 熟練掌握函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算方法。熟練掌握函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算方法。一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則定理定理1處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，在點(diǎn)在點(diǎn)與與設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxvxu)()(則函數(shù)則函數(shù)，處處也也可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)xvvuuvvu)0(, 并且有并且有;)()2(vuvuuv ;)()

2、1(vuvu . )0()()3(2 vvvuvuvu證明：證明：下面只對(duì)（下面只對(duì)（2）給出證明）給出證明.),()(xvxuy 設(shè)設(shè)相應(yīng)地有改變量相應(yīng)地有改變量)()(),(xvxuyxvv ，一改變量一改變量給給xx ),(xuu 則則函函數(shù)數(shù),u ,v . y 而而),()(xuxxuu ),()(xvxxvv ),()()()(xvxuxxvxxuy )()()()(xxvxuxxvxxu ),()()()(xvxuxxvxu )(xxvu .)(vxu xy )(xxvxu .)(xvxu xyx 0lim)(lim0 xxvxux .)(xvxu )(limlim00 xxvxu

3、xx .lim)(0 xvxux )()(xvxu )()(xvxu .)(vuvuuv 即即);( )(xfCxCf 說(shuō)明：說(shuō)明：定理定理1（1）可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的代數(shù)和的情形。）可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的代數(shù)和的情形。定理定理1（2）可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的情形。）可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的情形。處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，在點(diǎn)在點(diǎn)，設(shè)設(shè)例如例如xxwxvxu)()()(）（ uvw，仍可導(dǎo)仍可導(dǎo)且有且有wuvuwvvwu 由定理由定理1（3）可以得到：）可以得到：由定理由定理1（2）可以得到：）可以得到：)0()(2 vvvCxvC.為為常常數(shù)數(shù)其其中中C處處在在則則xuvw例

4、例1 1.4lnlog3cos512的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求 xxxxya解解y )4lnlog3cos51(2 xxxxa)4(ln)(log3)(cos5)()(212 xxxxaxsin5 axln3 x2 321x .ln105的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 例例2 2解解y )ln10(5 xx)(lnln)(1055 xxxx)1ln5(1054xxxx )1ln5(104 xx41 .4sinsinln的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求 xxxy例例3 3解解y )sinln( xxx)4(sin )(sinln xxxxxxsinln)( xxxsin)(ln xx sinln xsin xxxcosln 例例

5、4 4.11的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求 xxy解解y 2)1()1)(1()1()1( xxxxx)11( xx2)1()1(1 xxx2)1(2 x4cos .tan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy )(tan xyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos x2cos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得.sec的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy )(sec xyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5解解例例6 6解解)cossin( xxx2sec )cos1(

6、x.tan. 13的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxy 解解)tan(3 xxy633)(tan)(tanxxxxx 6223tan3secxxxxx .|sincos. 22 xyxxy，求求設(shè)設(shè)解解)sin(cos xxyxxcossin )(sin)(cos xx2| xy2cossin xxx1 42tan3secxxxx 62323tansecxxxxx 二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的求導(dǎo)問(wèn)題。的求導(dǎo)問(wèn)題。先討論先討論xy2sin xy2sin )(cossincos)(sin2 xxxx)2(sin xdxdyxxcossin2 )cos(sin2 xx)sin(cos222xx

7、 x2cos2 另一方面，另一方面，xy2sin )2( x,sinuy 是是由由dudy,cosu dxdu復(fù)合而成，復(fù)合而成，xu2 于是于是dudydxdu ucos2 x2cos2 dudy dxdydxdu 從而可得公式從而可得公式)(sin u2 xuufx 0lim)(定理定理2處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處處可可導(dǎo)導(dǎo)，在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxu)( )(ufy 函函數(shù)數(shù)處處仍仍可可導(dǎo)導(dǎo)，在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn) xxf)( y則復(fù)合函數(shù)函數(shù)則復(fù)合函數(shù)函數(shù)且有且有)()(xufy 或記為或記為dxdududydxdy 證證,)(可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)由由uufy )(lim0ufuyu

8、)0lim()(0 uufuy故故uuufy )(則則xyx 0lim)(lim0 xuxuufx ).()(xuf xuxx 00limlim 說(shuō)明：說(shuō)明：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則也可推廣到多次復(fù)合的情形，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則也可推廣到多次復(fù)合的情形，例如，例如，都都可可導(dǎo)導(dǎo)，設(shè)設(shè))(),(),(xgvvuufy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)則則)(xgfy 或記為或記為dxdy例例1 1)sin(oxy 解解為為常常數(shù)數(shù)。其其中中0, .)sin(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求oxy 復(fù)合而成，復(fù)合而成，uysin 是是由由0 xu與與dudy ucosdxdu于是于是dudydxdu , dxdy)cos(0

9、 xucos y)(uf )(v ，)(xg dudy dvdu dxdv 例例2 2解解.)2(53的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求 xy53)2( xy復(fù)合而成，復(fù)合而成，5uy 是是由由23 xu與與dudy dxdu于是于是 dudydxdu dxdy45u 23x 432)2(15 xx說(shuō)明：說(shuō)明： 對(duì)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程能正確掌握后，對(duì)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程能正確掌握后，從外向里從外向里逐層求導(dǎo)即可。逐層求導(dǎo)即可?？刹槐乜刹槐貙懗鲋虚g變量，寫出中間變量，只要記住復(fù)合過(guò)程，只要記住復(fù)合過(guò)程，例例3 3解解.tanln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy )tan(ln xyxtan1 xx2sectan1 xxcossi

10、n1 45u23x)(tan x例例4 4解解.3sin2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy )3(sin2 xy)3(sin xxx3cos3sin2 x3sin2 )3( xxx3cos3sin6 x6sin3 例例5 5解解)lnln(ln xy.)lnln(ln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy )ln(ln1x )(ln x)ln(lnln1xxx )ln(ln x)ln(ln1x xln1 例例6 6解解.)(sinsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求求nxnxyn )sin(sin xnxyn)(sinsinsin)(sin xnxxnxnnnxsin nxcos xcos xnn 1sin )cossinsi

11、n(cosxnxxnx xnxnn)1sin(sin1 例例7 7解解.)0()ln(22的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求 aaxxyy 221axx )(22 axx221axx 1(221ax xnsin n)222ax xn 1sin nx2 1三、反函數(shù)求導(dǎo)法則三、反函數(shù)求導(dǎo)法則)(1)(yxf 內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)yIyx)( ,0)( y 且且,內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)xI定理定理3證證,xIx 任任取取xx 以以增增量量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(連連續(xù)續(xù)xf),0(0 xy0)( y 又又知知xyxfx 0li

12、m)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間那那末末它它的的反反函函數(shù)數(shù))(xfy 且有且有即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例例1 1.)11(arcsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxy解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)有內(nèi)有在在)1 , 1( )(arcsin xycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx )(arcsin x類似的，有類似的，有即即.sinarcsin的的反反函函數(shù)數(shù)是是yxxy )(sin1

13、 y;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc例例2 2.)(arctan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxy解解,)2,2(tan內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在 yx )(tan y且且內(nèi)內(nèi)有有在在),( )(arctanxy2sec1 y2tan11 211x 即即類似的，有類似的，有.tanarctan的的反反函函數(shù)數(shù)是是yxxy y2sec, 0 )(tan1 y例例3 3解解.),1, 0(yaaayx 求求設(shè)設(shè)的的反反函函數(shù)數(shù)，是是yxayaxlog ,),0(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)，可可導(dǎo)導(dǎo)在在區(qū)區(qū)間間 yxalog 而而)(log ya0 ayln1 內(nèi)內(nèi)有有在在),( )(

14、xa)(log1 yaayln aaxln )( xaaaxln )( x)( xexe )( x即即得得時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),ea 例例4 4解解.,12yeeyxx 求求設(shè)設(shè))()(12 xxeey)1(1 xex)2(2 xexxe22 xex121 例例5 5解解.,yshxy 求求設(shè)設(shè))( shxy)2( xxee2xxee chx )( shxchx 即即類似的，有類似的，有)( chxshx 例例6 6解解.),(yxy 求求為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) xy xeln xeln 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得)(ln xe y )ln(ln xex xx1 1 x1)( xx即即指出：指

15、出：，假假定定在在以以上上計(jì)計(jì)算算過(guò)過(guò)程程中中0, x，上上述述公公式式仍仍成成立立。證證明明對(duì)對(duì)于于0 x實(shí)實(shí)際際上上可可以以)2(arctan xy例例7 7解解.,arcsin3yxy 求求設(shè)設(shè))(arcsin3 xy)(3 x23)(11x 6213xx 例例8 8解解.,2arctanyyx 求求設(shè)設(shè))(arctan x2ln2arctan x2ln2arctan x2arctan122lnxx 211x aaaxxln)( 211)(arcsinxx 練習(xí)練習(xí);)12arccos(. 12 xy.cot. 22xarcxy )12arccos(2 xy)12(2 x22)12(11

16、 x22)12(14 xx)cot(2 xarcxy222)cot()cot(cot)(xarcxarcxxarcx 222)cot(1cot2xarcxxxarcx 四、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xx tansec 1. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxcotcsc axln1 x1 0)( Cxcos x2sec aaxln 1 xxsin x2csc xe 211x 211x 211x 211x )( x)(sin x)(cos x)(tan x)(cot x)(sec x)(csc x)( xa)( xe)(log xa)(ln x)(arcsin x)(arcc

17、os x)(arctan x)cot( xarc)( shxchx )( chxshx 2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（2）vuvuuv )(, ）3uccu )( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C（1） vuvu )(, 注意注意:;)(vuuv .vuvu 2)4(vuvvuvu )0( v（1）可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的代數(shù)和的情形。）可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的代數(shù)和的情形。（2）可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的情形。）可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的情形。利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題可完全解決利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題可完全解決.注意注意: :初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).4.反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則),()(yxxfy 的反函數(shù)為的反函數(shù)為設(shè)設(shè) )(xf則則)0)