非離散型隨機(jī)變量PPT課件

1、易知，對任意實(shí)數(shù)a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a).P(a X b)=P(X =a)+P(a X b)=P(X=a)+F(b)-F(a)P(a Xb)=P(a X b)-P(X =b)=F(b)-F(a)-P(X =b)第1頁/共19頁二、分布函數(shù)的性質(zhì) 1、單調(diào)不減性：若x1x2, 則F(x1)F(x2); 2、歸一 性：對任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且 ;1)x(Flim)(F,0)x(Flim)(Fxx ).()(lim) 0(000 xFxFxFxx 3、右連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù)x，反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)

2、的充分必要性質(zhì)第2頁/共19頁例1 設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表解 )(xFx0112)(xXPxFX012P0.1 0.60.3試求出X的分布函數(shù)。000.1010.71212xxxx第3頁/共19頁一般地，對離散型隨機(jī)變量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函數(shù)為 xxkkkpxXPxF:)(離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),分布函數(shù)的跳躍點(diǎn)對應(yīng)離散型隨機(jī)變量的可能取值點(diǎn),跳躍高度對應(yīng)隨機(jī)變量取對應(yīng)值的概率;反之,如果某隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),則該隨機(jī)變量必為離散型.第4頁/共19頁例2 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為 :求 的分布函數(shù)，并求:X),21( XP)32(),2523(

3、XPXPkp-123414121的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解 X:即 )(xF xxxx31322141214110 )(xF xxxx313243214110 x21)2()2523( FXP41)21()21(, FXP又又)2()3()32(PPXP 43 第5頁/共19頁例3 向0,1區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo).假定質(zhì)點(diǎn)落在0,1區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求X的分布函數(shù)解： F(x)=PXx 1, 110,0, 0)()(xxxxxXPxF)(xFx101當(dāng)x1時(shí),F(x)=1當(dāng)0 x1時(shí),xxXPxF 0)(特別,F(1)=P0 x1=k=1第6頁/共19頁2.

4、4 連續(xù)型隨機(jī)變量一、概率密度 1. 定義 對于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，(-x+)，使對任意實(shí)數(shù)x，都有 xduufxXPxF)()()(則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù). 常記為X f(x) , (-x+)第7頁/共19頁-10-550.020.040.060.08xf (x)xF ( x )分布函數(shù) F(x)與密度函數(shù) f(x)的幾何意義)(xfy xduufxXPxF)()()(第8頁/共19頁2. 密度函數(shù)的性質(zhì) (1) 非負(fù)性 f(x)0，(-x)； (2)歸一性.1)()( Fdxxf這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù) f(x)是否為某

5、r.vX的概率密度函數(shù)的充要條件. f (x)xo面積為1第9頁/共19頁xaexf)(設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求常數(shù)a.1)()(: Fdxxf解解1| dxaex即即 02dxeax1220 aaex21 a第10頁/共19頁例1 設(shè)隨機(jī)變量 具有概率密度函數(shù) 試確定常數(shù)A， 以及 的分布函數(shù). X . 0, 0; 0,)(3xxAexfxX解:由,31)(103AdxAedxxfx 知A=3，即 . 0, 0; 0,3)(3xxexfx而 的分布函數(shù)為 X xxxxedttfxF. 0, 0; 0,1)()(3第11頁/共19頁 例 2.已知隨機(jī)變量X的概率密度為1)求X的分布函數(shù)F(x

6、), 2)求PX(0.5,1.5) 其他其他021210)(xxxxxf 2121122102)(22xxxxxxxF第12頁/共19頁(3) 若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則)()(xfdxxdF 即：xxxXxPxxFxxFxx )(lim)()(lim00=f(x) xduufxXPxF)()()( 故 X的密度 f(x) 在 x 這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度 之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x)相當(dāng)于線密度.x ,(xxx 第13頁/共19頁（4） 對任意實(shí)數(shù)b，若X f(x)，(-x)，則PX=a0。這是因?yàn)?(lim)(0 xaXaPaXPx xaa

7、xdxxf )(lim00于是連續(xù)型隨機(jī)變量取任一常數(shù)的概率為零.第14頁/共19頁對于連續(xù)型隨機(jī)變量X)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(d)(aFbFxxfbabxf (x)-10-550.020.040.060.08a第15頁/共19頁1. 均勻分布 若Xf(x) ，其它0bxa,ab1。0ababcddxabdxxfdXcPdcdc1)() x ( fx則稱X在(a, b)內(nèi)服從均勻分布。記作 XU(a, b) 對任意實(shí)數(shù)c, d (acdb)，都有二、幾個(gè)常用的連續(xù)型分布第16頁/共19頁例.長途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過10分鐘的概率60554525(1510)(XPXPXPAP1545解：設(shè)A乘客候車時(shí)間超過10分鐘X乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則XU(0,60)2160520