因式分解公式法、十字相乘法-教師版[1]

1、2、運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解【知識(shí)精讀】 把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 補(bǔ)充：歐拉公式： 特別地：1當(dāng)時(shí)，有 2當(dāng)時(shí)，歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式。 運(yùn)用公式法分解因式的關(guān)鍵是要弄清各個(gè)公式的形式和特點(diǎn)，熟練地掌握公式。但有時(shí)需要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕M合、變形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代數(shù)式的值，解方程、幾何綜合題中也有廣泛的應(yīng)用。因此，正確掌握公式法因式分解，熟練靈活地運(yùn)用它，對(duì)今后的學(xué)習(xí)很有幫助。下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)用公式法進(jìn)行因式分解【分類(lèi)解析】 1. 把分解因式的結(jié)果是 A. B. C. D. 分析：。 再利用平方差公式

2、進(jìn)行分解，最后得到，應(yīng)選擇B。說(shuō)明：解這類(lèi)題目時(shí)，一般先觀察現(xiàn)有項(xiàng)的特征，通過(guò)添加項(xiàng)湊成符合公式的形式。同時(shí)要注意分解一定要徹底。2. 在簡(jiǎn)便計(jì)算、求代數(shù)式的值、解方程、判斷多項(xiàng)式的整除等方面的應(yīng)用 例：多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求的值。 分析：由整式的乘法與因式分解互為逆運(yùn)算，可假設(shè)另一個(gè)因式，再用待定系數(shù)法即可求出的值。 解：根據(jù)條件，設(shè) 那么 由此可得 由1得 把代入2，得把代入3，得 3. 在幾何題中的應(yīng)用。 例：是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀。 分析：因?yàn)轭}中有，考慮到要用完全平方公式，首先要把轉(zhuǎn)成。所以?xún)蛇呁艘?，然后拆開(kāi)搭配得完全平方公式之和為0，從而得解。 解： 為等邊三角形。

3、4. 在代數(shù)證明題中應(yīng)用 例：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)。 分析：先根據(jù)條件把奇數(shù)表示出來(lái)，然后進(jìn)行變形和討論。 解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為為整數(shù) 那么 由此可見(jiàn)，一定是8的倍數(shù)。5、中考點(diǎn)撥： 例1：因式分解：_。 解： 說(shuō)明：因式分解時(shí)，先看有沒(méi)有公因式。此題應(yīng)先提取公因式，再用平方差公式分解徹底。例2：分解因式：_。 解： 說(shuō)明：先提取公因式，再用完全平方公式分解徹底。題型展示： 例1. ：， 求的值。 解： 原式 說(shuō)明：此題屬于條件求值問(wèn)題，解題時(shí)沒(méi)有把條件直接代入代數(shù)式求值，而是把代數(shù)式因式分解，變形后再把條件帶入，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。例2. ，求證： 證明： 把代入上式， 可

4、得，即或或 假設(shè)，那么， 假設(shè)或，同理也有說(shuō)明：利用補(bǔ)充公式確定的值，命題得證。 例3. 假設(shè)，求的值。 解： 且 又 兩式相減得 所以 說(shuō)明：按常規(guī)需求出的值，此路行不通。用因式分解變形條件，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 分解因式：1 2 32. ：，求的值。3. 假設(shè)是三角形的三條邊，求證：4. ：，求的值。5. 是不全相等的實(shí)數(shù)，且，試求 1的值；2的值?！驹囶}答案】 1. 1解：原式 說(shuō)明：把看成整體，利用平方差公式分解。 2解：原式 3解：原式 2. 解： 3. 分析與解答：由于對(duì)三角形而言，需滿足兩邊之差小于第三邊，因此要證明結(jié)論就需要把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩邊差小于第三邊求得證明。 證

5、明： 是三角形三邊且即 4. 解 ，即 5. 分析與解答：1由因式分解可知 故需考慮值的情況，2所求代數(shù)式較復(fù)雜，考慮恒等變形。 解：1 又 而 不全相等 2 原式 而，即 原式 說(shuō)明：因式分解與配方法是在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值中常用的方法。5、用十字相乘法把二次三項(xiàng)式分解因式【知識(shí)精讀】 對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法，重點(diǎn)是運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解。掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的兩個(gè)數(shù)，即把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且其和等于一次項(xiàng)系數(shù)。 對(duì)于二次三項(xiàng)a、b、c都是整數(shù)，且來(lái)說(shuō)，如果存在四個(gè)整數(shù)滿足，并且，那么二次三項(xiàng)式即可以分解為。這里要確定四個(gè)常數(shù)，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的類(lèi)

6、型復(fù)雜，因此一般要借助畫(huà)十字交叉線的方法來(lái)確定。 下面我們一起來(lái)學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解?！痉诸?lèi)解析】 1. 在方程、不等式中的應(yīng)用 例1. ：，求x的取值范圍。 分析：此題為二次不等式，可以應(yīng)用因式分解化二次為一次，即可求解。 解： 例2. 如果能分解成兩個(gè)整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的值，并把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。 分析：應(yīng)當(dāng)把分成，而對(duì)于常數(shù)項(xiàng)-2，可能分解成，或者分解成，由此分為兩種情況進(jìn)行討論。 解：1設(shè)原式分解為，其中a、b為整數(shù)，去括號(hào)，得： 將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行比照，得： 解得： 此時(shí)，原式 2設(shè)原式分解為，其中c、d為整數(shù)，去括號(hào)，得： 將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行比照，得：

7、 解得： 此時(shí)，原式2. 在幾何學(xué)中的應(yīng)用 例. ：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬為x、y，周長(zhǎng)為16cm，且滿足，求長(zhǎng)方形的面積。 分析：要求長(zhǎng)方形的面積，需借助題目中的條件求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。 解： 或 又 解得：或 長(zhǎng)方形的面積為15cm2或 3、在代數(shù)證明題中的應(yīng)用 例. 證明：假設(shè)是7的倍數(shù)，其中x，y都是整數(shù)，那么是49的倍數(shù)。 分析：要證明原式是49的倍數(shù)，必將原式分解成49與一個(gè)整數(shù)的乘積的形式。 證明一： 是7的倍數(shù)，7y也是7的倍數(shù)y是整數(shù) 是7的倍數(shù) 而2與7互質(zhì)，因此，是7的倍數(shù)，所以是49的倍數(shù)。 證明二：是7的倍數(shù)，設(shè)m是整數(shù) 那么 又 x，m是整數(shù)，也是整數(shù) 所以，是49的倍數(shù)。

8、4、中考點(diǎn)撥 例1.把分解因式的結(jié)果是_。 解： 說(shuō)明：多項(xiàng)式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，繼續(xù)分解徹底。 例2. 因式分解：_ 解： 說(shuō)明：分解系數(shù)時(shí)一定要注意符號(hào)，否那么由于不慎將造成錯(cuò)誤。5、題型展示 例1. 假設(shè)能分解為兩個(gè)一次因式的積，那么m的值為 A. 1B. -1C. D. 2 解： -6可分解成或，因此，存在兩種情況： 由1可得：，由1可得： 應(yīng)選擇C。 說(shuō)明：對(duì)二元二次多項(xiàng)式分解因式時(shí)，要先觀察其二次項(xiàng)能否分解成兩個(gè)一次式乘積，再通過(guò)待定系數(shù)法確定其系數(shù)，這是一種常用的方法。 例2. ：a、b、c為互不相等的數(shù)，且滿足。 求證： 證明： 說(shuō)明：抓住條件，應(yīng)用因式分

9、解使命題得證。 例3. 假設(shè)有一因式。求a，并將原式因式分解。 解：有一因式 當(dāng)，即時(shí)， 說(shuō)明：由條件知，時(shí)多項(xiàng)式的值為零，代入求得a，再利用原式有一個(gè)因式是，分解時(shí)盡量出現(xiàn)，從而分解徹底。【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 分解因式：1 2 32. 在多項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式的因式？3. 多項(xiàng)式有一個(gè)因式，求k的值，并把原式分解因式。4. 分解因式： 5. ：，求的值?！驹囶}答案】 1. 1解：原式 2解：原式 3解：原式 2. 解： 其中是多項(xiàng)式的因式。 說(shuō)明：先正確分解，再判斷。 3. 解：設(shè) 那么 解得： 且 說(shuō)明：待定系數(shù)法是處理多項(xiàng)式問(wèn)題的一個(gè)重要方法，所給多項(xiàng)式是三次式，有一個(gè)一次因式，那么另一個(gè)因

10、式為二次式，由多項(xiàng)式乘法法那么可知其二次項(xiàng)系數(shù)為1。 4. 解：簡(jiǎn)析：由于項(xiàng)數(shù)多，直接分解的難度較大，可利用待定系數(shù)法。 設(shè) 比擬同類(lèi)項(xiàng)系數(shù)，得： 解得： 5. 解： 說(shuō)明：用因式分解可簡(jiǎn)化計(jì)算。初一數(shù)學(xué)上因式分解練習(xí)題精選一、填空：30分1、假設(shè)是完全平方式，那么的值等于_。2、那么=_=_3、與的公因式是4、假設(shè)=，那么m=_，n=_。5、在多項(xiàng)式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其結(jié)果是 _。6、假設(shè)是完全平方式，那么m=_。7、8、那么9、假設(shè)是完全平方式M=_。10、， 11、假設(shè)是完全平方式，那么k=_。12、假設(shè)的值為0，那么的值是_。13、假設(shè)那么=_。14、假設(shè)那么_。1

11、5、方程，的解是_。二、選擇題：10分1、多項(xiàng)式的公因式是 A、a、 B、 C、 D、2、假設(shè)，那么m，k的值分別是 A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、以下名式：中能用平方差公式分解因式的有 A、1個(gè)，B、2個(gè)，C、3個(gè)，D、4個(gè)4、計(jì)算的值是 A、 B、三、分解因式：30分1 、 2 、 3 、 4、 5、 6、 7、 8、9 、 10、四、代數(shù)式求值15分，求 的值。假設(shè)x、y互為相反數(shù)，且，求x、y的值，求的值五、計(jì)算： 151 2 3六、試說(shuō)明：8分1、對(duì)于任意自然數(shù)n，都能被動(dòng)24整除。2、兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積加上其中較大的數(shù)，所得

12、的數(shù)就是夾在這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。七、利用分解因式計(jì)算8分1、一種光盤(pán)的外D=11.9厘米，內(nèi)徑的d=3.7厘米，求光盤(pán)的面積。結(jié)果保存兩位有效數(shù)字2、正方形1的周長(zhǎng)比正方形2的周長(zhǎng)長(zhǎng)96厘米，其面積相差960平方厘米求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。八、老師給了一個(gè)多項(xiàng)式，甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)分別對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行了描述：甲：這是一個(gè)三次四項(xiàng)式乙：三次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為1。丙：這個(gè)多項(xiàng)式前三項(xiàng)有公因式?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法假設(shè)這四個(gè)同學(xué)描述都正確請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿足這個(gè)描述的多項(xiàng)式，并將它分解因式。4分?第6章 因式分解?2021年單元檢測(cè)題答案答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題

13、共10小題，每題3分，總分值30分1、以下從左到右的變形是分解因式的是A、x+1x1=x21B、C、x2+x+=x+2D、3x26x2+4=3x2x2+4考點(diǎn)：因式分解的意義。分析：根據(jù)因式分解的定義，把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個(gè)單項(xiàng)式因式分解，逐一進(jìn)行判斷即可得正確的答案解答：解：A、D中最后結(jié)果不是乘積的形式，不屬于因式分解；B、不是在整式范圍內(nèi)進(jìn)行的分解，不屬于因式分解；C、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行的因式分解應(yīng)選C點(diǎn)評(píng)：注意因式分解的是多項(xiàng)式，分解的結(jié)果是積的形式2、以下各式從左到右的變形錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A、yx2=xy2B、ab=a+bC、ab3=ba3D、m+

14、n=m+n考點(diǎn)：因式分解-提公因式法；去括號(hào)與添括號(hào)；因式分解的意義。分析：根據(jù)互為相反數(shù)的偶次方相等，奇次方互為相反數(shù)；添括號(hào)法那么，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解解答：解：A、yx2=xy2，正確；B、ab=a+b，正確；C、ab3=ba3，正確；D、m+n=mn而不是m+n，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；應(yīng)選D點(diǎn)評(píng)：主要考查互為相反數(shù)的乘方與添括號(hào)法那么，為因式分解作鋪墊3、以下各式分解正確的選項(xiàng)是A、12xyz9x2y2=3xyz43xyB、3a2y3ay+3y=3ya2a+1C、x2+xyxz=xx+yzD、a2b+5abb=ba2+5a考點(diǎn)：因式分解-提公因式法。分析：用提取公因式法分解因式，首

15、先要正確確定公因式；其次，要注意提取公因式后代數(shù)式的形式和符號(hào)解答：解：A、應(yīng)為12xyz9x2y2=3xy4z3xy；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤B、3a2y3ay+3y=3ya2a+1；正確C、應(yīng)為x2+xyxz=xxy+z；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤D、應(yīng)為a2b+5abb=ba2+5a1；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤應(yīng)選B點(diǎn)評(píng)：此題考查了提公因式法分解因式，準(zhǔn)確找出公因式是解題的關(guān)鍵，注意符號(hào)，不要漏項(xiàng)4、在多項(xiàng)式x24x+4，1+16a2，x21，x2+xy+y2中，是完全平方式的有A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)解答：解：x24x+4=x22；1+16a2，x21，不是三項(xiàng)式；x2+xy+y2中沒(méi)有兩個(gè)數(shù)乘積的2倍應(yīng)選A點(diǎn)評(píng)：

16、此題考查了完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和應(yīng)用5、把a(bǔ)+b2c2分解因式的結(jié)果為A、a+bcab+cB、a+b+ca+bcC、a+b+cabcD、ab+cabc解答：解：a+b2c2=a+b+ca+bc故應(yīng)選B點(diǎn)評(píng)：此題考查了用公式法進(jìn)行因式分解的能力，進(jìn)行因式分解時(shí)，應(yīng)把a(bǔ)+b看作一個(gè)整體，從而套用公式進(jìn)行因式分解6、如果a2+8ab+m2是一個(gè)完全平方式，那么m的值是A、b2B、2b C、16b2D、4b解答：解：a2+8ab+m2是一個(gè)完全平方式，m2=4b2=16b2，m=4b應(yīng)選D點(diǎn)評(píng)：此題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式注意是m2=4b2

17、=16b2m=4b7、假設(shè)xn81=x2+9x+3x3，那么n等于A、2B、4 C、6D、8解答：解：x2+9x+3x3，=x2+9x29，=x481，xn81=x481，n=4應(yīng)選B點(diǎn)評(píng)：此題考查了平方差公式，首先利用平方差公式化簡(jiǎn)等式的右邊，然后根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)的指數(shù)相等來(lái)確定n的值8、對(duì)于多項(xiàng)式1x2y2；2x2y2；34x2y；44+x2中，能用平方差公式分解的是A、12B、13 C、14D、24解答：解：平方差公式必須只有兩項(xiàng)，并且是兩個(gè)數(shù)平方差的形式，1x2y2兩平方項(xiàng)符號(hào)相反，可以利用平方差公式；2x2y2，兩平方項(xiàng)符號(hào)相同，不能運(yùn)用平方差公式；34x2y雖然是兩項(xiàng)，并且是差的形式

18、，但不是平方差的形式；44+x2，兩平方項(xiàng)符號(hào)相反，可以利用平方差公式所以14能用平方差公式分解應(yīng)選C點(diǎn)評(píng)：主要考查了平方差公式的特點(diǎn)，只要抓住平方差公式的特點(diǎn)：兩平方項(xiàng)，符號(hào)相反，熟記公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵9、假設(shè)a+b=7，ab=10，那么a2b+ab2的值應(yīng)是A、7B、10 C、70D、17解答：解：a+b=7，ab=10，a2b+ab2=aba+b=107=70應(yīng)選C點(diǎn)評(píng)：主要考查了提公因式法分解因式的運(yùn)用10、對(duì)于任意整數(shù)m，多項(xiàng)式m+72m2都能被整除A、2B、7 C、mD、m+7解答：解：m+72m2=72m+7故對(duì)于任意整數(shù)m，多項(xiàng)式m+72m2能被7整除應(yīng)選B點(diǎn)評(píng)：此題考查

19、利用平方差公式分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵二、填空題共10小題，每題3分，總分值30分11、把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式解答：解：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了因式分解定義，注意因式分解的是多項(xiàng)式，分解的結(jié)果是積的形式12、分解因式：2x218=2x+3x3解答：解：2x218，=2x29，=2x+3x3點(diǎn)評(píng)：此題考查了提公因式法與公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，最后一定要分解到各個(gè)因式不能再分解為止13、假設(shè)9x2+mxy+16y2是一個(gè)完全平方式，那么m=24解答：解：3x4y2=9x224x

20、y+16y2，在9x2+mxy+16y2中，m=24點(diǎn)評(píng)：此題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式注意積的2倍的符號(hào)，防止漏解14、9x2+3xy212x2y的公因式是3x解答：解：9x2+3xy212x2y=3x3xy2+4xy，故公因式是3x點(diǎn)評(píng)：此題考查了應(yīng)用提取公因式法分解因式的能力，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定公因式15、分解因式：a+b26a+b+9=a+b32解答：解：a+b26a+b+9，=a+b22a+b3+32，=a+b32點(diǎn)評(píng)：此題考查用完全平方公式分解因式，完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)需要熟練掌握，把a(bǔ)+b看作一個(gè)整體是解題的關(guān)鍵16、

21、計(jì)算：2003220022003=2003解答：解：2003220022003，=200320032002，=2003點(diǎn)評(píng)：此題考查了提公因式法分解因式，比擬簡(jiǎn)單，提取公因式2003是解題的關(guān)鍵17、假設(shè)x+5，x3都是多項(xiàng)式x2kx15的因式，那么k=2解答：解：根據(jù)題意得x+5x3=x2+2x15，=x2kx15，k=2，解得k=2點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了因式分解與整式的乘法是互為逆運(yùn)算，并且考查了代數(shù)式相等條件：對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相同22=15.2解答：22，=5.76+4.245.764.24，=101.52，=15.2點(diǎn)評(píng)：此題考查活用平方差公式因式分解，把問(wèn)題簡(jiǎn)單化19、假設(shè)y2+4y4=0，那么3y2+12y5的值為7解答：解：由y2+4y4=0得，y2+4y=4，所以3y2+12y5=3y2+4y5=345=7點(diǎn)評(píng)：此題要把y2+4y看作一個(gè)整體，能夠整體代入計(jì)算20、分解因式的結(jié)果是ab2解答：解：=ab2故答案為：ab2點(diǎn)評(píng)：此題考查了用完全平方公式分解因式，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵三、解答題共3小題，總分值60分21、分解因式：121a2b+14ab27ab；2 6x324x；3pxy+qyx；4 xy2yx解答：解：121a2b+