高數(shù)極限四則運(yùn)算法則PPT課件

1、一、一、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證: 因,)(lim,)(limBxgAxf則有BxgAxf)(,)(其中,為無窮小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由無窮小之和仍無窮小，可知也是無窮小,再利用極限與無窮小BA的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立 .定理 1 . 若第1頁/共26頁定理定理 2 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示: 利用極限與無窮小關(guān)系定理證明 .說明: 定理 4 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形 .推論

2、 1 .CAxfCxfC)(lim)(lim( C 為常數(shù) )推論 2 .nnnAxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù) )BA)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立證:第2頁/共26頁例1.求)345(lim) 1 (23xxx例2. 設(shè) n 次多項(xiàng)式,)(10nnnxaxaaxP試證).()(lim00 xPxPnnxx證:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnnnxaxaa0010)542(lim)2(231xxxx3lim4lim5lim3323xxxxx3limlim4lim53323xxxxx334

3、352361.多項(xiàng)式型第3頁/共26頁為無窮小B2B1)(1xg)(0 xx定理定理 3 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證: 因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,設(shè)BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB無窮小有界BA因此由極限與無窮小關(guān)系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(為無窮小,注 1.以上結(jié)論均在limf(x)，limg(x)存在的前提下成立;2.極限的加、減、乘運(yùn)算法則可推廣到有限個(gè)函數(shù)情形.第4頁/共26頁.2)

4、(,),(),(, 0)(lim0000AxfxUxxUxAxfxx就有時(shí)當(dāng)鄰域的某一去心則存在若定理.2)(2|)(| )(|,),(, 0, 02,)(lim00AxfAAxfxfAxUxAAxfxx從而就有時(shí)當(dāng)則取若證明：第5頁/共26頁299)3(26)3(53) 12(lim)43(lim322xxxx1limlim2lim43lim23222xxxxxx122243331155例4. 設(shè)有分式函數(shù),)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多項(xiàng)式 ,0)(0 xQ試證: . )()(lim00 xRxRxx證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxx

5、xx)()(00 xQxP)(0 xR說明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的運(yùn)算法則 . 若例3.求1243lim) 1 (32xxx33265lim)2(xxx2.分母極限不為0型第6頁/共26頁時(shí)，當(dāng)其定義域?yàn)闉槌醯群瘮?shù)設(shè)DxDxf0,)( )(lim0 xfxx).(0 xf例如.3lim) 1 (23xx)ln2(lim)2(xxex3212 e)1sin2(lim)3(3xxx33 第7頁/共26頁) 3)(2()5)(2(lim2xxxxx35lim2xxx73252 x = 3 時(shí)分母為 0 !31lim3xxx例5.934lim) 1 (223xxxx)3)(3() 1)(3

6、(lim3xxxxx6231分子也為065103lim)2(222xxxxx3. 型00約去公因子第8頁/共26頁解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例6.3214lim) 1 (21xxxx求.3214lim21 xxxx約去公因子法也不能用4.利用無窮小、無窮大運(yùn)算性質(zhì)求極限第9頁/共26頁4532lim) 3(21xxxx但因65103lim)4(223xxxxx解: (4)x = 3 時(shí)分母 = 0 , 分子0 ,10365lim223xxxxx1033363532206

7、5103lim223xxxxx0312415124532lim21xxxx3245lim21xxxx但因解: (3)x = 1 時(shí)分母 = 0 , 分子0 ,第10頁/共26頁例7.sinlimxxx 求求解,1,為無窮小為無窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx .sin 是有界函數(shù)是有界函數(shù)而而x. 0sinlim xxxxxysin 第11頁/共26頁 例8求)1113(lim31 xxx解: 原式11)2(lim) 1() 1)(2(lim2131xxxxxxxx)1()1(3lim321 xxxx)(型型 (消去零因子法)?)2142(lim22xxxx42lim22xxx4121lim2xx5.第12頁

8、/共26頁例例9 . 求求.9543lim2xxx解: x時(shí),分子.分子分母同除以,2x則分母原式(無窮小因子分出法)為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當(dāng)mn 當(dāng).9543lim22xxx22911543limxxxx022119543limxxx53一般有如下結(jié)果：.?9543lim2xxx=06. 型無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子、分母,以分出無窮小,然后再求極限.53, xxxxx19543lim第13頁/共26頁定理定理4 . 若若,lim,limByAxnnnn則有)(lim) 1 (nnn

9、yx nnnyxlim)2(,00)3(時(shí)且當(dāng)BynBAyxnnnlimBABA提示: 因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù) ,故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出結(jié)論 .?4343lim11nnnnn41434433lim11nnn第14頁/共26頁?12531lim3333nnnnnn解248211111l i m (1) (1) (1) (1)(1)22222nn求例10原式 )211/()211 ()211)(211)(211(lim22nn=)211 ()211)(211(lim2222nn=)211)(211(lim222nnn)211 (lim212nn=27.無窮項(xiàng)之和不能用和的

10、極限運(yùn)算法則第15頁/共26頁例11).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設(shè)設(shè)yox1xy 112 xy解兩個(gè)單側(cè)極限為兩個(gè)單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點(diǎn)是函數(shù)的分段點(diǎn),0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故8.利用左右極限求分段函數(shù)極限第16頁/共26頁二、二、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則例12 . 求).cos(lnlim) 1 (1xx解: 法11x時(shí),0ln x則,0ln時(shí)當(dāng)x. 10cos)cos(lnx. 1)cos(lnlim1xx法

11、2,lnxu令1x時(shí),0u則. 10coscoslim)cos(lnlim01uxux換元法：將原式中的x都用u代替，將關(guān)于x的極限過程改為關(guān)于u的極限過程。第17頁/共26頁定理5. 設(shè),)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時(shí),)(ax 又,)(limAufau則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim證: Aufau)(lim,0,0當(dāng)au0時(shí), 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02當(dāng)200 xx時(shí), 有ax)(對(duì)上述取,min21則當(dāng)00 xx時(shí)ax )(au 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.第18頁/共26頁定理5. 設(shè),)(lim0axxx且 x 滿足10

12、0 xx時(shí),)(ax 又,)(limAufau則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 說明: 若定理中,)(lim0 xxx則類似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim第19頁/共26頁例例13. 求求解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61 原式 =uu61lim6166例14 . 求解: 法 1.11lim1xxx,xu 則, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2第20頁/共26頁?) 1(32arctanlim221xxxx,) 1(322

13、2xxxu解：令,13xxu1x時(shí),u2arctanlim) 1(32arctanlim221uxxxux)0?(lim1aaxx,1:xu 令解x時(shí),0u1limlim001aaauuxx)0( 1lim1aaxx)0( 1lim1aann第21頁/共26頁例15：設(shè),101 xnnxx 61(n=1,2,)，試證數(shù)列 極限存在，并求此極限。 nx證：由101 x及416612 xx知21xx 設(shè)對(duì)某正整數(shù)k有,1 kkxx則有21166 kkkkxxxx故由歸納法，對(duì)一切正整數(shù)n，都有1 nnxx即 nx為單調(diào)減少數(shù)列，且), 2, 1(, 0 nxn解得. 3lim nnx，存在為存在為

14、axnn lim所以0 aaa 6有有第22頁/共26頁例16nnxxx2,211設(shè)), 2 , 1(nnnxlim，證明 存在并求此極限； 證明:1n當(dāng)時(shí)221x2kx,設(shè)，則 12222kknxxx有上界nx 單增有上界，從而必有極限。 Axnnlim20A設(shè)， 則 nnnnxx2limlim1AA2由得2A 2112222xxxkkxx111222kkkkxxxx又設(shè)，則 第23頁/共26頁(2) ,消去零因子法1. 極限四則運(yùn)算法則2. 求函數(shù)極限的方法 (3) 對(duì) 00型 , 約去公因子 ,分子分母同除分母最高次冪Th1Th2Th3Th4型總結(jié)作業(yè)P33習(xí)題1-3中第1題 (4) 型(無窮小因子分出法)(5)無窮項(xiàng)之和,變形后求極限(1)多項(xiàng)式與分式函數(shù)(分母不為0)代入法求極限(7)利用左右極限求分段函數(shù)極限(6)利用無窮小、無